Đề cương môn Toán thi THPT quốc gia 2019

Đề cương ôn thi TN môn Toan hoc 2019. Bao gồm những nội dung cơ bản môn toán lớp 10, lớp 11 và trọng tâm nằm ở chương trình lớp 12. Trong đề cương có một số đề mẫu của các năm 2017, 2018. Có hướng dẫn giải chi tiết một số mã đề thi ở các năm.

Trang 2

Tài liệu ôn tập thi TN quốc gia 2018 – Khoa CSCB

Trang 1

PHỤ LỤC: PHẦN 1 LƯỢNG GIÁC 3

I CUNG LƯỢNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 3

II HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 5

III PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 7

PHẦN 2 ĐẠI SỐ TỔ HỢP 10

I QUY TẮC ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP 10

II TỔ HỢP – NHỊ THỨC NIU TƠN 12

III XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 14

PHẦN 3 DÃY SỐ - GIỚI HẠN 16

I QUY NẠP TOÁN HỌC – DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN 16

II GIỚI HẠN 17

PHẦN 4 ĐẠO HÀM 19

I LÝ THUYẾT 19

II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 20

PHẦN 5 PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG 21

I PHÉP TỊNH TIẾN 21

II PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC 22

III PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 24

IV PHÉP QUAY 26

V PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU 27

VI PHÉP VỊ TỰ 28

VII PHÉP ĐỒNG DẠNG 30

PHẦN 6 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 31

I QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 31

II BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH 34

III BÀI TOÁN VỀ GÓC 37

PHẦN 7 HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 40

I SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 40

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 41

III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 44

IV ĐƯỜNG TIỆM CẬN 46

V KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 48

VI PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 53

VII BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO 55

PHẦN 8 HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LÔGARIT 58

I LUỸ THỪA – MŨ - LOGARIT 58

II PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 60

III PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 62

PHẦN 9 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 65

I NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 65

II ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 69

PHẦN 10 SỐ PHỨC 71

I CÁC KHÁI NIỆM 71

II CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC 71

III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 73

Trang 3

Trang 2

PHẦN 11 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 75

I LÝ THUYẾT VÀ KIẾN THỨC LIÊN QUAN 75

II BÀI TẬP MINH HOẠ 76

PHẦN 12 MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU 80

I MẶT NÓN TRÒN XOAY 80

II MẶT TRỤ TRÒN XOAY 81

III MẶT CẦU 81

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 83

PHẦN 13 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 85

I KIẾN THỨC LIÊN QUAN 85

I.1 Một số phép toán vectơ 85

I.2 Phương trình mặt phẳng 85

I.3 Phương trình đường thẳng 85

I.4 Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính r 86

II VÍ DỤ MINH HOẠ 86

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI THPT QUỐC GIA 2017 92

MÃ ĐỀ 101- 2017: 92

MÃ ĐỀ 102- 2017: 100

Trang 4

4 Công thức nhân đôi

sin22sin cos  cos2 cos2sin2 2cos2  1 1 2sin2

2 2

3 2

3tan tantan3

6 Công thức biến đổi tổng thành tích

7 Công thức biến đổi tích thành tổng

sin sin



Hệ quả:

Trang 5

Câu 3: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai: Với mọi Với mọi ;  ta có:

A cos( + )=cos +cos    C tan(  )tantan

B cos( - )=cos cos -sin sin      D tan ( -  ) =







tan.tan1

tantan





Câu 4: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai: Với mọi Với mọi ;  ta có:



2tan2

cos

4sin

B cos( + )=cos cos -sin sin      D sin(  )sincos -cos sin  

có biểu thức rút gọn là:

A A 2sinx B A   2sin x C A  0 D A  2cotx

Câu 6: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:

A (sinx + cosx)2 = 1 + 2sinxcosx B (sinx – cosx)2 = 1 – 2sinxcosx

C sin4x + cos4x = 1 – 2sin2xcos2x D sin6x + cos6x = 1 – sin2xcos2x

Câu 7: Tính giá trị của biểu thức   2

sintantan 



2

3(





Trang 6

π/4 -π/4

4 Hàm số y = cot x

- Tập xác định: D R\k,kZ

- Hàm số y = cot x là một hàm số lẻ và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ  ;

- Đồ thị:

Trang 7

π/4 -π/4 0

* Hàm số tuần hoàn: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D

Ta nói hàm số y = f(x) là hàm tuần hoàn trên D nến tồn tại số dương T sao cho xD ta có :

D

T

x  và f(x+T) = f(x) Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn phương trình f(x+T) = f(x) gọi là chu kỳ

của hàm tuần hoàn

* Tìm chu kỳ của hàm số lượng giác:

- Hàm số y = A.sin(ax + b) + B, y = A.cos(ax + b) + B có chu kỳ bằng :

a

2

- Hàm số y = A.tan(ax + b) + B, y = A.cot(ax + b) + B có chu kỳ bằng :

a



- Hàm số y = f(x) có chu kỳ bằng T thì hàm số

)(

1

x f

y có chu kỳ T

- Hàm số y = f(x) có chu kỳ bằng T1 và hàm số y = g(x) có chu kỳ bằng T2 thì hàm số

)()(x g x

A ycosx B ysinx C ytanx D ycotx

Câu 3 Khẳng định nào sau đây là SAI?

A Hàm số ycotx có tập giá trị là [0; ] B Hàm số ysinx có tập giá trị là [-1;1]

C Hàm số ycosx có tập giá trị là [-1;1] D Hàm số ytanx có tập giá trị là R

Câu 4 Giá trị lớn nhất của hàm số y3sin 2x5 là:

Trang 8

Câu 8 Biết rằng y = f(x) là một hàm số lẻ trên tập xác định D Khẳng định nào sai?

A f[sin(– x)] = – f(sinx) B f[cos(– x)] = f(cosx)

C sin[ f(– x)] = sin[ f(x) ] D cos[ f(– x)] = cos[ f(x) ]

Câu 9 Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ trên tập xác định của nó?

III PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

III.1 Lý thuyết

1 Giải và biện luận phương trình sin xm (a)

Bước1: Nếu |m|>1 phương trình vô nghiệm

Bước 2: Nếu |m|1 ,ta xét 2 khả năng

- Khả năng 1: Nếu m đợc biểu diễn qua sin của góc đặc biệt , giả sử  khi đó phương trình sẽ có dạng đặc biệt

2 Giải và biện luận phương trình lượng giác cos x  m ( ) b

Bớc 1: Nếu m  1phương trình vô nghiệm

Trang 9

Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm

4 Giải và biện luận phương trình lượng giác cot x  m ( ) d

Bước1: Đặt điều kiện sinx  0 x k k

Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (d) luôn có nghiệm

5 Phương trình bậc nhất đối sin x và cos x

Dạng: sina x b cosxc (*) với a, b, c là các hằng số và 2 2

Trang 10

Trang 9

Câu 3: Nghiệm của phương trình: sin x + cos x = 1 là:

A xk2 B

222

24

 



 

Câu 7 Các nghiệm của phương trình sinxcos 2x 2 0 là:

Câu 9 Các nghiệm của phương trình   1

Trang 11

a Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án

B Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n+m cách

b Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A

có thể làm theo n cách Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách

- Định nghĩa Cho một tập A gồm n phần tử (n1) Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ

n phần tử của tập A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho

Trang 12

Trang 11

HD: Cũng không yêu cầu giống hay khác, gọi số có dạng abcd; a (có 9 cách chọn), còn các số b,c,đều có 10 cách chọn, d có 5 cách chọn Vậy có 9.102

.5=4500 Câu 4 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0? Biết rằng tổng của ba số này bằng 8

HD: Gọi các số có dạng abcba hoặcababa hoặc abbba hoặc aaaaa(9) số có dạng

abcba có (9.9.8+1.9.8), số có dạng ababa có (9.9), số có dạng abbba có (9.9), số có dạng aaaaa có 9 số Vậy có 900

Câu 6 Tìm số máy điện thoại có10 chữ số(có thể có) với chữ số đầu tiên là 0553?

HD: Có 3 cách chọn vị trí đầu còn 5 vị trí còn lại có 5! Cách chọn Vậy có 3.5!

Câu 8 Từ 2,3,5,7 Có bao nhiêu số tự nhiên X sao cho 400<X<600?

HD: Giả sử cặp vợ chồng là một người thì còn lại là 5 người, suy ra có 4!; nhưng cặp vợ chồng

có thể hoán vị để ngồi kề nhau là 2! Vậy có 4!.2!

Câu 11 Có bao nhiêu số có hai chữ số là số chẵn?

Trang 13

Áp dụng vào là C4 6 16 1  126( theo đề mội học sinh đều có ít nhất một phần quà nên;

ta phát lần lượt đều cho 6 học sinh là 6 phần quà; còn lại 4 phần ta phát cho 6 học sinh)

Câu 3 Có 7 trâu và 4 bò Cần chọn ra 6 con, trong đó không ít hơn 2 bò Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

HD: “Không ít hơn 2 con bò”là có thể 2 bò Vậy có 2 4 3 3 4 2

C C C C C C Câu 4 Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là:

HD: Số giao điểm tối đa của n đường thẳng phân biệt là Cn2 Áp dụng Vậy có 2

C Câu 5 Số giao diểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt với 5 đường tròn(Chỉ đường thẳng với đường

HD: Bổ sung nếu bài toán “giao điểm tối đa của chỉ n đường thẳng với k đường tròn” có 2.n.k

Áp dụng.Vậy có 2.10.5=100

Câu 6 Ông X có 11 người bạn Ông ta muốn mời 5 người trong số họ đi chơi xa Trong 11 người đó

có 2 người không muốn gặp mặt nhau, vậy ông X có bao nhiêu cách mời?

Trang 14

Trang 13

HD: Ông X loại bỏ hai người ghét nhau ra thì có C95 Ông X chỉ mời một trong hai người ghét nhau, mời một trong hai người ghét nhau thì có hai cách mời; 4 người còn lại lấy trong 9 người (vì đã loại bớt một người trong hai người ghét nhau) có C94 Vậy có 4

9

2C 378Bài này có thể dùng phương pháp bài trừ (C115  C93  378)

Câu 7 Sáu người chờ xe buýt nhưng chỉ còn 4 chỗ ngồi Hỏi có bao nhiêu cách sắp đặt?

4

C cách phân công, thầy giáo thứ VI có C22cách phân công C C C C C 122 102 82 62 42

Câu 9 Hai nhân viên bưu điện cần đem 10 bức thư đến 10 địa chỉ khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách phân công:

Câu 11 Trong khai triển (x-2)100= a0+a1x1+…+a100x100.

a Hệ số a97 trong khai triển là:

Trang 15

- Biến cố là một tập con của không gian mẫu

- Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử

+) Tập  \ Ađƣợc gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A

+) Axảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra

* Giả sử A và B là hai biến cố có liên quan đến một phép thử

+) Tập AB đƣợc gọi là hợp của các biến cố A và B(A  Bcòn viết là A+B)

+) Tập AB đƣợc gọi là giao của các biến cố A và B (A  B còn viết là A.B)

+) Nếu tập A    B thì ta nói A và B xung khắc

2 Xác suất của biến cố

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện Ta gọi tỉ số ( )

HD:   20 Số nguyên tố từ 1 đến 20 gồm: 1,3,5,7,11,13,17,19 Vậy xác suất là 8 2

205Câu 2 Từ một cỗ bài có 52 quân bài, rút ngẫu nhiên 1 quân bài Xác suất để có 1 quân bài át là:

52 13Câu 3 Ném ngẫu nhiên 1 đồng xu 3 lần Xác suất để có đúng hai lần xuất hiện mặt ngửa là:

HD:   23  8 Tìm số các kết quả thuận lợi cho A (NNS),(NSN),(SNN), suy ra: ( ) 3

8

P A 

Câu 4 Từ một hộp chứa 20 quả cầu đánh số từ 1 đến 20 Lấy ngẫu nhiên một quả Xác suất của biến

cố nhận đƣợc quả cầu ghi số chia hết cho 3 là:

Trang 16

Câu 6 Trong một hộp đựng 7 bi xanh, 5 bi đỏ và 3 bi vàng Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Tính xác xuất để

Câu 7 Trong một lớp học có 54 học sinh trong đó có 22 nam và 32 nữ Cho rằng ai cũng có thể tham gia làm ban cán sự lớp Chọn ngẫu nhiên 4 người để làm ban cán sự lớp; 1 là lớp Trưởng, 1 là lớp Phó học tập, 1 là Bí thư chi đoàn, 1 là lớp Phó lao động.Tính xác suất để “ Ban cán sự có hai nam và hai nữ” ?

A

2 2

22 32

4 54

A A C

D

2 2

22 32 4 54

Câu 9 Gieo hai con súc sắc và gọi kết quả xảy ra là tích hai số xuất hiện trên hai mặt Không gian mẫu

HD: có 4! Cách sắp xếp bốn chữ cái, có đúng một cách xếp chữ SANG, xác suất là: 1 1

4!  24

Câu 12 Có ba chiếc hộp Hộp A đựng 3 bi xanh và 5 bi vàng; Hộp B đựng 2 bi đỏ và 3 bi xanh; Hộp C đựng 4 bi trắng và 5 bi xanh Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một viên bi từ hộp đó Xác suất để lấy được bi xanh là

Trang 17

Trang 16

PHẦN 3 DÃY SỐ - GIỚI HẠN

I QUY NẠP TOÁN HỌC – DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN

I.1 Lý thuyết

1 Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau:

 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1

 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tùy ý (k  1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1

Câu 2 Công thức nào sau đây đúng với CSC có số hạng đầu u1 ,công sai d?

A.un= un +d B.un= u1 +(n+1)d C.un= u1 -(n+1)d D.un= u1 +(n-1)d Câu 3 Cho cấp số cộng 1, 8, 15, 22, 29,….Công sai của cấp số cộng này là:

Trang 18

Tài liệu ơn tập thi TN quốc gia 2018 – Khoa CSCB

nếu L và g x cùng dấu

f x g x nếu L và  g x trái dấu



Trang 19

b Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

c Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và

g x liên tục tại x 0 nếu g(x 0 )  0

f Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c(a; b): f(c) = 0

Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c (a; b)

Câu 4 Kết quả của giới hạn lim 1k

xx (với k nguyên dương) là:

Câu 5 Giới hạn

2 2

lim

2

n n

Trang 20

Trang 19

Câu 7 Giới hạn lim( n2 n n) có kết quả bằng:

2Câu 8 Giới hạn lim  n2  2 n   3 n  có kết quả bằng:

2 15lim

3

x

x x x

x

x x

1

x

x x

Trang 21

Đạo hàm của hàm số lƣợng giác:

sinx' cosx sinu' u'cosu ' 1  '

sin.sin)

costan  (tann u)'ntann1u.(tanu)'

sincot  (cotn u)'ncotn1u.(cotu)'

II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Hàm số y =

2

1(1+ tanx)2 có đạo hàm là:

A y/ = 1+ tanx B y/ = (1+tanx)2 C y/ = (1+tanx)(1+tanx)2 D y/ = 1+tan2x Câu 2 Hàm số y = sin2x.cosx có đạo hàm là:

xcot1y

2 /  

; B

x2cot

)xcot1(y

2 /   

; C

xcot

x2tan1y

2 /  

; D

xcot

)x2tan1(y

2 /   

Câu 4 Cho hàm số y = cos3x.sin2x Khi đó y/ 

Câu 5 Cho hàm số y = f(x) = (x – 1)2 Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số f(x)?

A dy = 2(x – 1)dx B dy = (x–1)2dx C dy = 2(x–1) D dy = (x–1)dx

Câu 6 Một hàm số y = f(x) = 1cos2 x Chọn câu đúng:

x2cos12

x4sin)

x(

xsin)

x(df

x2cos)

x(

x2sin)

x(df

2







Trang 22

xy

1y

4y

Câu 2 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A 2;5 Hỏi A là ảnh của điểm nào trong các điểm sau qua

phép tịnh tiến theo vectơ v 1;2 ?

A  3;1 B  1;6 C  4;7 D  1;3

Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép tịnh tiến theo vectơ v  3;2 biến điểm A 1;3 thành điểm nào trong các điểm sau:

A 3;2 B  1;3 C 2;5 D 2; 5 

Câu 4 Cho hai đường thẳng song song d và d' Tất cả những phép tịnh tiến biến d thành d' là:

A Các phép tịnh tiến theo v,với mọi vectơ v0không song song với vectơ chỉ phương của d

B Các phép tịnh tiến theo v, với mọi vectơ v0 vuông góc với vectơ chỉ phương của d

C Các phép tịnh tiến theo AA , trong đó hai điểm A và '' A tùy ý lần lượt nằm trên d và d'

D Các phép tịnh tiến theo v, với mọi vectơ v0 tùy ý

Trang 23

Trang 22

Câu 5 Cho P Q cố định Phép tịnh tiến T biến điểm M bất kỳ thành , M2 sao cho MM2 2PQ

A T chính là phép tịnh tiến theo vectơ PQ ; B T chính là phép tịnh tiến theo vectơ MM2;

C T chính là phép tịnh tiến theo vectơ 2PQ ; D T chính là phép tịnh tiến theo vectơ 1

Điểm Mgọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn

MM Phép đối xứng qua đường thẳng gọi là đối xứng trục

Trang 24

P x   y

Vậy   2

4:

P x   y

Câu 6: Cho 3 đường tròn có bán kính bằng nhau và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau tạo thành hình

 H Hỏi  H có mấy trục đối xứng?

Lời giải: Gọi I J K, , lần lượt là tâm của 3 đường tròn có bán kính bằng nhau và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau tạo thành hình  H Trục đối xứng của hình  H là các đường cao của tam giác

đều IJK

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho phép đối xứng trục Ox Với bất kì, gọi M là

ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox Khi đó tọa độ điểm M là:

A M'x y;  B M  x y,  C M   x, y D Mx,y

Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho phép đối xứng trục Oy , với M x y , gọi M là

ảnh của M qua phép đối xứng trục Oy Khi đó tọa độ điểm M là:

A Mx y,  B M  x y,  C M   x, y D Mx,y

Lời giải: Hai điểm đối xứng nhau qua trục Oy có tung độ bằng nhau và hoành độ đối nhau

Câu 9: Hình nào sau đây có trục đối xứng (mỗi hình là một chữ cái in hoa):

Trang 25

Trang 24

III PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

1 Định nghĩa: Phép đối xứng tâm I là một phép dời hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng

với M qua I

Kí hieäu : Ñ (M) MI  IM IM

2 Biểu thức toạ độ: Cho I(x0;y0) và phép đối xứng tâm I:

)'

;'()(')

x x x

0

2'

Câu 7: Hình nào sau đây không có tâm đối xứng?

A Hình vuông B Hình tròn C Hình tam giác đều D Hình thoi Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x  y 2 0, tìm phương trình đường thẳng d là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I 1;2

Trang 26

Điểm đối xứng với I3; 1  qua O 0;0 là I  3;1 Vậy  C là:   2 2

x  y  Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy, tìm phương trình đường tròn  C là ảnh của đường tròn

Điểm đối xứng với O 0;0 qua I 1;0 là O x y   ; 

Ta có: 2.1 0 2  2;0

2.0 0 0

x

O y

C x  y  Giả sử qua phép đối xứng tâm I điểm A 1;3 biến thành điểm B a b ; Tìm phương trình của đường tròn  C là ảnh của đường tròn  C qua phép đối xứng tâm I

Trang 27

Trang 26

IV PHÉP QUAY

1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác Phép biến hình biến mỗi điểm

M thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và (OM;OM’) =  được gọi là phép quay tâm O với góc quay



- Phép quay hoàn toàn xác định khi biết tâm và góc quay

- Kí hiệu: Q(O,) hoặc Q O

Chú ý: Chiều dương của phép quay trùng với chiều dương của đường tròn lượng giác

Biểu thức toạ độ: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x;y) Tìm M'Q(O;)(M)

Trang 28

Trang 27

Lời giải: Với điều kiện 0  2 thì có 4 giá trị tìm được của  là 0,

3

, 23



và 2 Câu 7 Cho hình chữ nhật có O là tâm đối xứng Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc  ,

0  2, biến hình chữ nhật trên thành chính nó?

Lời giải: Với điều kiện 0  2 thì có 3 giá trị tìm được của  là 0,  và 2

Câu 8 Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O góc k2 , k là số nguyên?

Lời giải: Với góc k2, k là số nguyên thì có duy nhất một điểm là O

Câu 9 Phép quay Q(O;) biến điểm M thành M Khi đó:

A OM OM và OM OM,    B OM OM và OM OM,   

C OM OM và MOM  D OM OM và MOM 

Câu 10 Chọn câu sai trong các câu sau:

A Qua phép quay Q(O;) điểm O biến thành chính nó

B Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O, góc quay180

C Phép quay tâm O góc quay 90 và phép quay tâm O góc quay 90 là hai phép quay giống nhau

D Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O, góc quay 180

V PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU

+ Tam giác thành tam giác bằng nó (Trực tâm trực tâm, trọng tâmtrọng tâm,…)

+ Đường tròn thành đường tròn bằng nó (Tâm biến thành tâm: I I R , R)

+ Góc thành góc bằng nó

3 Hai hình bằng nhau

KN: Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia

4 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2; 1) Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên

tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ v = (2; 3) biến điểm M thành điểm nào trong

các điểm sau?

Trang 29

Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0 Hỏi phép dời hình có

được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm O và phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; 2) biến

đường thẳng d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?

A 3x + 3y – 2 = 0 B x – y + 2 = 0 C x + y + 2 = 0 D x + y – 3 = 0

Câu 4: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến

B Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứng trục

C Thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua tâm và phép đối xứng trục sẽ được một phép đối xứng qua tâm

D Thực hiện liên tiếp phép quay và phép tịnh tiến sẽ được một phép tịnh tiến

Câu 5: Hãy tìm khẳng định sai:

A Phép tịnh tiến là phép dời hình B Phép đồng nhất là phép dời hình

C Phép quay là phép dời hình D Phép vị tự là phép dời hình

Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình : x2 + y2 2x + 6y + 1 = 0 Ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo véc tơ v = (2; 1) có phương trình :

Trang 30

Câu 2: Trong măt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – 3 = 0 Phép vị tự tâm O tỉ số

k = 2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?

A 2x + y + 3 = 0 B 2x + y – 6 = 0 C 4x – 2y – 3 = 0 D 4x + 2y – 5 = 0

Câu 3: Trong măt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y – 2 = 0 Phép vị tự tâm O tỉ số

k = – 2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau ?

Câu 6: Cho tam giác ABC với trọng tâm G Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,

AC, AB của tam giác ABC Khi đó phép vị tự nào biến tam giác A’B’C’ thành tam giác ABC ?

B Có vô số phép vị tự biến mọi điểm thành chính nó

C Thực hiện liên tiếp hai phép vị tự sẽ được một phép vị tự

D Thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm I sẽ được một phép vị tự tâm I

Câu 9: Cho hình thang ABCD, với AB



Trang 31

biến điểm M thành M/ Khi đó tọa độ điểm I là:

A I(–4; 10) B I(11; 1) C I(1; 11) D I(–10; 4)

A 2x – y = 0 B 2x + y = 0 C 4x – y = 0 D 2x + y – 2 = 0

Câu 6: Mọi phép dời hình cũng là phép đồng dạng tỉ số

Trang 32

biến điểm A thành A/, biến điểm B thành B/ Khi đó độ dài A/

d/ thành đường thẳng d1 Khi đó phép đồng dạng biến đường thẳng d thành d1 có phương trình là:

I.1.1 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC NHAU

C1: Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng

C2: a  b góc( ; )a b 90o

C3: Dùng hệ quả:

// ,

Trang 33

Trang 32

( ) ( )

( )( ),

C4: Sử dụng định lí ba đường vuông góc: Giả sử d (P) và d không vuông góc (P),   P ,

d’ là hình chiếu của d lên (P) Khi đó d     d’  

C5: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông

góc với cạnh còn lại của tam giác

I.1.2 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

C1: Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường

thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng

C2: Dùng hệ quả:

C3: Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao

tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó

I.1.3 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

1 Định nghĩa: Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi góc tạo bởi hai mặt phẳng đó bằng

900 (Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó)

2 Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

I.2 BÀI TẬP MINH HOẠ

1 Dạng hai đường thẳng vuông góc nhau

Bài 1 Cho tứ diện đều ABCD Gọi I là trung điểm của AB Chứng minh :

Trang 34

Trang 33

* Chứng minh : AB  CD

Vì I là trung điểm của AB nên CI là đường cao của tam giác cân BCA

→ CI  AB (1)

Tương tự DI là đường cao của tam giác ADB → DI  AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB  (CDI)

* Chứng minh BC  AD : Lập luận tương tự ta có điều phải chứng minh (Gọi J là trung điểm BC) Bài 2 Cho hình chop S.ABC có AB = AC, góc SAC = góc SAB M là trung điểm BC Chứng minh rằng : a) AM  BC và SM  BC

b) SA  BC

Giải:

a) Vì  BAC cân tại A => AM  BC

Ta có  SAC =  SAB ( c-g-c) => SB = SC Vậy  BSC cân tại S => SM  BC

b) Ta có : BC  AM, BC  SM => BC  (SAM) = > BC  SA

2 Dạng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác ABC vuông tại B Kẻ

AM vuông góc với SB tại M và lấy điểm N trên SC sao MN//BC Chứng minh rằng:

a) BC(SAB), AM (SBC) b) SB  AN

Bài giải:

BCAB, BC SA => BC(SAB),

AM  BC, AM  SB => AM (SBC) b) Vì MN//BC và SB  BC => SB  MN

Mặc khác SB  AM , do đó SB  (AMN) suy ra SB  AN Bài 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi vá có SA = SC, SB = SD Gọi O là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng:

a) Chứng minh SO  (ABCD)

b) Chứng minh: AC  (SBD), DB  ( SAC)

Giải:

a) Chứng minh : SO  (ABCD)

Ta có SA = SC nên tam giác SAC cân tại đỉnh S,

SO là trung tuyến cũng là đường cao của tam giác SAC : SO  AC (1)

Ta có SB = SD nên tam giác SDB cân tại đỉnh S ,

SO là trung tuyến cũng là đường cao của tam giác SDB nên: SO  (SBD) (2)

Trang 35

Trang 34

O

C

B A

D S

3 Dạng hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi , SA= SC Chứng minh rằng:

Giải:

+ Ta có: AC  BD (1) (giả thiết)

+ Mặt khác, SO  AC (2)

(SAC là tam giác cân tại A và O là trung điểm của AC

nên SO là đường cao của tam giác)

+ Từ (1) và (2) suy ra: AC  ( SBD )mà AC  ( ABCD ) nên ( SBD )  ( ABCD )

Bài 2 Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy ABC là tam giác đều, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh (SAI)  (SBC)

- Nếu tam giác cân tại M? thì H là trung điểm của AB

- Nếu tam giác thường? thì tính diện tích tam giác từ đó suy ra độ dài MH

Dạng 2: Tính d(M; (P)) trong trường hợp điểm M thuộc mặt phẳng khác và là hình chiếu vuông góc

của một điểm thuộc (P)

Minh hoạ: Tính d(M, (SAB)) như hình sau:

B A

S

Trang 36

A d

P M



))(,(

|

|))(,(

C B A

D Cz By Ax P

Phương pháp 4 Dựa vào bài toán cơ bản: Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông

góc với nhau Kẻ OH  (ABC) Khi đó,

5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách 1 : Tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và tính độ dài đoạn đó

+ Dạng 1: Khi a  b

Tìm mp P    b P ,    atại H

Trong (P) dựng HK  btại K

Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b

+ Dạng 2: Khi a’ (hình chiếu của a) cắt b và a’, b cùng thuộc một mặt phẳng

Tìm mp(P) chứa a’và b Gọi Ha'b

Từ giao điểm H kẻ HK vuông góc với a tại K

HK

 là đoạn vuông góc chung cần tìm

Cách 2 : Tìm mặt phẳng (P) chứa đường a và song song với b Tính khoảng cách từ b đến (P)

Cách 3 : Tìm hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng Khoảng cách giữa hai mặt

phẳng đó là khoảng cách cần tìm

II.2 BÀI TẬP MINH HOẠ

1 Bài toán khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Ví dụ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a

Tính khoảng cách từ A đến SC

Giải:

Kẻ AH vuông góc với SC ( H thuộc SC)

Tính AH bằng biểu thức: SO.AC = AH SC

2 Bài toán khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Trang 37

Bài 2 Cho hình chóp S ABCD có tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

 ABCD , tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a Gọi H là trung điểm của AB Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD)

Giải:

Nhận xét : điểm H thuộc mp khác và là hình chiếu của một điểm thuộc mặt phẳng cần tính khoảng cách

Do tam giác SAB đều và H là trung điểm của AB nên SH  AB

Mà  SAB    ABCD  Nên SH   ABCD   SH  CD

Do ABCD là hình vuông nên gọi E là trung điểm của CD nên HE  CD

Vậy CD   SHE  Mà CD   SCD  nên  SCD    SHE 

SH  Do ABCD là hình vuông nên HE  a

Vì SH   ABCD  nên SH  HE Khi đó 1 2 12 12

3 Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA=a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

Trang 38

Trang 37

Từ (1) và (2) suy ra AH là đoạn vuông góc chung của AD và SB

AH là đường cao của tam giác vuông cân SAB nên AH =

AI ( Vì OK là đường trung bình của tam giác AIC)

Với AI là đường cao của tam giác vuông SAC , suy ra AI =

Giải:

Nhận xét: Dạng a  b

Gọi I, J thứ tự là trung điểm của AB và CD

Vì AB = AC nên ACD là tam giác cân đỉnh A  A J CD ,

tương tự BJ CD

CD (ABJ) => CD  AB

Do  BCD   ACDAJ = BJ BJA là tam giác cânJI AB

JI là đọan vuông góc chung của AB với CD

Vậy d AB CD ,  1 2  2 2

'2

Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ)

Tìm u1 , u2 lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng     1 à 2

Trang 39

III.2 BÀI TẬP MINH HOẠ

1 Các dạng bài tập xác định góc của hai mặt phẳng

TH1: Tìm góc của 2 mp khi giao tuyến của chúng là một cạnh đáy của hình chóp

Bài toán 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D, AB=2a, AD=DC=a, có cạnh SA vuông góc với mp(ABCD) và SA =a Xác định góc giữa hai mp(SBC) và (ABCD)

Giải:

Theo gt: SA(ABCD) => SACB (1)

Xét tam giác vuông ADC có AD = a, DC = a =>AC =a 2

Gọi I là trung điểm của AB => ICIB và IC=IB=AD=a

Xét tam giác vuông ICB ta có CB = a 2

Xét tam giác vuông ACB ta có : AB2 = 4a2 => AC2 + CB2 = AB => ACCB (2)

Từ (1) & (2) => CB (SAC) => CBSC (3)

Từ (2) & (3) => góc SCA là góc giữa hai mp (SCB) và (ABCD)

TH2: Tìm góc của 2 mp khi giao tuyến của chúng là một cạnh bên của hình chóp

Bài toán 2 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cạnh a, SB = a Xác định góc giữa hai mp(SAB)

Trong mp (SAD), từ I dựng IK SA tại I cắt AD tại K

=> góc BIK là góc giữa hai mp(SAB) và (SAD)

TH3: Tìm góc của 2 mp khi chúng có một điểm chung

Bài toán 3 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và SCD) Giải:

Hai mp(SAB) và (SCD) có điểm chung S và AB// CD

Qua S dựng Sx // AB (//CD) => Sx = (SAB) (SCD)

Dựng SH  AB => SH Sx

Dựng SK  CD => SK Sx

=> góc HSK là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

Nhận xét: giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAB) và (SCD) song song với mp đáy

R

P

Q

p q

Trang 40

Trang 39

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c Khẳng định nào sau đây sai?

A Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a//b B Nếu a//b và c  a thì c  b

C Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a//b

D Nếu a và b cùng nằm trong mp () // c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c

Câu 2 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ASBBSC CSA Hãy xác định góc giữa cặp

vectơ SB và AC ?

Câu 3 Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A Tứ giác MNPQ là hình gì?

A Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình vuông D Hình thang

Câu 4 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC BAD60 ,0 CAD900 Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB và IJ ?

Câu 5 Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC

và BC Số đo của góc ( IJ, CD) bằng:

A A’C’BD B BB’BD C A’BDC’ D BC’A’D

Câu 9 Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P), trong đó a  (P), Mệnh đề nào sau đây là sai? A Nếu b  (P) thì b // a B Nếu b // (P) thì b  a

Định dạng
Số trang	108
Dung lượng	4 MB
File đính kèm	Đề cương ôn thi TN môn Toan hoc.rar (3 MB)