phep toan voi ma tran

Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số... × Nhận xét: + Phép cộng ma trận chỉ áp dụng chocác ma trận cùng cấp.. + Việc thực hiện phép cộng hai ma trận và nhân ma trận với số được thực

§ 2 CÁC PHÉP TOÁN ĐỐI VỚI MA TRẬN

I Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số

I Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số.

Định nghĩa 1: Cho hai ma trận cùng

cấp × : =

× , =

×

Tổng của hai ma trận A và B là một matrận cấp ×

Ký hiệu là A + B và được xác định nhưsau:

Ký hiệu là và được xác định như sau:

=

×

Nhận xét:

+ Phép cộng ma trận chỉ áp dụng chocác ma trận cùng cấp

+ Việc thực hiện phép cộng hai ma trận

và nhân ma trận với số được thực hiệntương tự như đối với vectơ:

Cụ thể:

Quy tắc cộng: ”Cộng hai ma trận cùng

cấp ta cộng các phần tử ở vị trí tươngứng với nhau.”

Quy tắc nhân véc tơ với số: ”Nhân một

ma trận với số ta nhân số với tất cảcác phần tử của ma trận đó.”

4 Cộng với ma trận đối: A + (–A) = 0.

5 Nhân với 1: 1.A = A.1 =A

6 Phân phối: + = +

7 Phân phối: + = +

8 Kết hợp với phép nhân: = ( )

Chú ý: Ta có phép trừ hai ma trận:

A – B = A + (–B)Như vậy, Nếu A và B là hai ma trận cùng

Quy tắc: “Trừ hai ma trận cùng cấp ta trừ

các phần tử của ma trận đứng trước chocác phần tử tương ứng của ma trậnđứng sau”

Nhận xét: − = −

Chú ý: “Từ các tính chất trên ta suy ra

thực hiện biến đổi một biểu thức ma trận(hay đẳng thức ma trận) có thể thực hiệnnhư biến đổi một biểu thức(hay đẳngthức đại số) Tức là, có thể: nhân phânphối, chuyển vế đổi dấu,… ”

Ví dụ: (Bài 2 – Trang 112-SGTr)

Cho hai ma trận:

a) Lập các ma trận:

+ , − , 2 + 5 , 3 −

b) Tìm ma trận X thỏa mãn

3 + 2 + = + 7 − 2Giải:

a) ∘ + =

∘ − =

∘ 2 + 5 =

∘ 3 − =

b) Giả thiết:

3 + 2 + = + 7 − 2

ta có, − 5 =

Vậy, =

X =

II Phép nhân ma trận với ma trận.

Định nghĩa: Cho hai ma trận

Chẳng hạn:

= 1 2 3 4

5 6 7 8

= 1.5 + 2.6 + 3.7 + 4.8

= 5 + 12 + 21 + 32 = 70

Chú ý:

1 Tích AB có nghĩa (thực hiện được) khi

và chỉ khi số cột của ma trận đứngtrước (A) bằng số dòng của ma trậnđứng sau (B)

2 Cấp của ma trận tích AB (khi có

nghĩa): Ma trận AB có số dòng bằng sốdòng của ma trận đứng trước và sốcột bằng số cột của ma trận đứng sau

3 Các phần tử của AB được tính theo

Hãy lập ma trận BA (A, B trong Ví dụ 1)

Liên hệ với hệ phương trình tuyến

xx

m

bbB

Cột số hạng

tự dosố

Vậy, hệ trên được viết dưới dạng đơn giản:

AX = B

Các tính chất cơ bản của phép nhân:

1) Tính kết hợp: (AB)C = A(BC) =ABC

2) Tính phân phối đối với phép cộng:

+ = + , ( + ) = +

Dạng ma trận của

hệ pttt

3) = =

Tính chất này cho ta qua tắc: “Khi nhân

một số với tích của hai ma trận ta cóthể nhân số đó với một trong hai matrận của tích”

4) Mọi ma trận đều không thay đổi khinhân với ma trận đơn vị:

= , =

Đặc biệt nếu A vuông: = =

Mở rộng:

Chú ý: Đối với ma trận vuông ta có thể

sử dụng ký hiệu lũy thừa:

=

= Tổng quát: = …

……… ………

m lần