Phép toán với ma trận

Bao gồm những phép toán các bài giải mẫu và ví dụ giúp cho việc học hiệu quả và hiểu bài hơn trong môn Toán cao cấp, đặc biệt là phần giải tích, giải ma trận, một trong những phần làm nhiều học sinh băn khoăn

I Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số.

Định nghĩa 1: Cho hai ma trận cùng cấp:

Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp

Ký hiệu là A + B và được xác định như sau:

Định nghĩa2: Cho ma trận  và số thực .

Tích của trận A và số thực  là một ma trận cấp 

Ký hiệu là và được xác định như sau:

Nhận xét:

+ Phép cộng ma trận chỉ áp dụng cho các ma trận cùng cấp

+ Việc thực hiện phép cộng hai ma trận và nhân ma trận với số được thực hiện tương tự như đối với vectơ:

Cụ thể:

Quy tắc cộng: ”Cộng hai ma trận cùng cấp ta cộng các phần tử ở vị trí

tương ứng với nhau.”

Quy tắc nhân véc tơ với số: ”Nhân một ma trận với số ta nhân số với

tất cả các phần tử của ma trận đó.”

,

Các tính chất cơ bản của phép cộng và nhân ma trận với số: (8

Chú ý: Ta có phép trừ hai ma trận:

A – B = A + (–B)Như vậy, Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp : 

Thì:

Quy tắc: “Trừ hai ma trận cùng cấp ta trừ các phần tử của ma trận

đứng trước cho các phần tử tương ứng của ma trận đứng sau”

Nhận xét:

Chú ý: “Từ các tính chất trên ta suy ra thực hiện biến đổi một biểu thức

ma trận (hay đẳng thức ma trận) có thể thực hiện như biến đổi một biểu thức(hay đẳng thức đại số) Tức là, có thể: nhân phân phối, chuyển vế đổi dấu,… ”

Ví dụ: (Bài 2 – Trang 112-SGTr)

Cho hai ma trận:

a) Lập các ma trận:

b) Giả thiết:

ta có,

Vậy,

X =

II Phép nhân ma trận với ma trận.

Định nghĩa: Cho hai ma trận

L

L

Chẳng hạn:

Chú ý:

1 Tích AB có nghĩa (thực hiện được) khi và chỉ khi số cột của ma trận

đứng trước (A) bằng số dòng của ma trận đứng sau (B)

2 Cấp của ma trận tích AB (khi có nghĩa): Ma trận AB có số dòng bằng

số dòng của ma trận đứng trước và số cột bằng số cột của ma trận đứng sau

3 Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử cij (nằm ở dòng

i, cột j của AB) là tích vô hướng của dòng i (của ma trận đứng trước) và cột j (của ma trận đứng sau)

d c

ij i j

Nhận xét: Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán.

L

12

n

x x

m

b b B

L L L L L L L L L L L

Vậy, hệ trên được viết dưới dạng đơn giản: AX = B

Các tính chất cơ bản của phép nhân:

1) Tính kết hợp: (AB)C = A(BC) =ABC

2) Tính phân phối đối với phép cộng:

Dạng ma trận của hệ pttt

Tính chất này cho ta qua tắc: “Khi nhân một số với tích của hai ma

trận ta có thể nhân số đó với một trong hai ma trận của tích”

4) Mọi  ma  trận  đều  không  thay  đổi  khi  nhân  với  ma  trận  đơn  vị:

………34………

m lần