ii Nếu A có số dòng bằng số cột thì ta nói A là ma trận vuông cấp n.. iii Ma trận không, kí hiệu là O là ma trận mà tất cả các phần tử của ma trận đều bằng 0... Các phép biến đổi sơ cấp
Trang 1Chương 2: Ma trận và định thức
Bài giảng số 01 MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
1.1 Khái niệm ma trận
số trên trường K (R hoặc C) là một bảng số gồm mn phần tử a ijcủa K với 1 im, 1 jn
được kí hiệu bởi
A =
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
2 1
2 22
21
1 12
11
hoặc viết tắt A = a ij mn
Nhận xét:
i) Ma trận A gọi là ma trận cấp mn, a ijgọi là phần tử ở dòng thứ i và cột thứ j của ma trận
ii) Nếu A có số dòng bằng số cột thì ta nói A là ma trận vuông cấp n Khi đó các phần tử
ii
a với i = 1, 2, …, n được gọi là các phần tử trên đường chéo chính của ma trận A
iii) Ma trận không, kí hiệu là O là ma trận mà tất cả các phần tử của ma trận đều bằng 0
Ma trận đối của ma trận A là ma trận có dạng a ijmnvà kí hiệu là – A
Ma trận bằng nhau: Hai ma trận A = a ij mn và B = b ij mn được gọi là bằng nhau nếu a ij= b ij với mọi i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n
là ma trận đường chéo, ta viết:
A =
nn a
a a
0 0
0 0
0 0
22 11
Trang 2Đặc biết nếu tất cả các a ii=1 với i = 1, 2, …, n thì ma trận đó gọi là ma trận đơn vị kí hiệu là In
Ma trận tam giác:
Ma trận tam giác trên: là ma trận A= ( a ij)n nếu i > j thì a ij 0 hay A có dạng:
nn
n n
a
a a
a a
a
0 0
1 12
11
Ma trận tam giác dưới: là ma trận A= (a ij)n mà nếu i< j thì a ij 0 hay A có dạng:
nn n
a
a a a
2 1
22 21
11
0
0 0
1
21 11
n b
b b
Ma trận chuyển vị: Cho ma trận A= a ij mn , nếu ta đổi chỗ dòng thứ i thành cột thứ i với i = 1,
2, …,m thì ta được một ma trận gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A, kí hiệu là:
At =
mn n
n
m m
a a
a
a a
a
a a
a
2 1
2 22
12
1 21
11
Hay At = a ji nm Ma trận chuyển vị của A có cấp nm
Trang 3Ví dụ 1: Ma trận A =
2 0
3 2
1
thì At =
3 2
2 0 1
với mọi i, j = 1, 2, …, n
Ma trận đối xứng có dạng
A =
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
2 1
2 22
12
1 12
11
Ví dụ 2: Ma trận A =
1 3 2
3 0 2
2 2 1
là ma trận đối xứng cấp 3
Ma trận phản đối xứng: Ma trận A= (a ij)n vuông cấp n được gọi là phản đối xứng nếu At = -A hay a ij a ji với mọi i, j = 1, 2, …, n
Ma trận phản đối xứng có dạng:
A =
0
0 0
2 1
2 12
1 12
n n
n n
a a
a a
a a
1.2 Các phép toán trên tập các ma trận
Ta kí hiệu tập các ma trận cấp mn với hệ số trên trường K có dạng Mmn(K), khi đó ta định nghĩa phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với một số như sau:
Phép cộng: Cho hai ma trận cấp mn: A = a ij mn và B = b ij mn, ta định nghĩa A + B là một ma trận
C cấp mn có dạng: C = a ij b ijmn
Trang 4Ví dụ 3:
2 5 7
1 1 0 5 3 4
2 1 1 7 2 3
3 2 1
Phép nhân: Tích của ma trận A = a ij mn với một số K là một ma trận có dạng A (a j)mn
Ví dụ 4:
16 12 8
10 8 6
2 12 4
8 6 4
5 4 3
1 6 2 2
sau:
i) A + B = B + A
ii) (A + B) + C = A + (B + C)
iii) A + O = O + A = A, A – A = O
iv) (A + B) =A + B
v) 1.A = A
vi) 0.A =O
vii) .O =O
viii) (A) () A
cùng với hai phép toán cộng và nhân ở trên lập thành một không gian véc tơ trên trường K ( Khái niệm không gian véc tơ sẽ được định nghĩa ở chương 3)
1.3 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận
Các phép biến đổi sau đây đối với ma trận được gọi là các phép biến đổi sơ cấp:
i) Đổi chỗ hai dòng hoặc hai cột của ma trận
ii) Nhân tất cả các phần tử của một dòng hoặc một cột với một số khác không
iii) Cộng vào các phần tử của một dòng (hoặc cột) các phần tử tương ứng của một dòng (cột) sau khi đã nhân với cùng một số nào đó
1.4 Phép nhân hai ma trận
Trang 5Cho hai ma trận A = aij mn và B = b jk np
được xác định bởi:
n j jk ij
ik a b c
1
với i = 1, 2, …,m và k = 1, 2, …, p
nk
k k
in i
i ik
b
b
b
a a
a c
1
2
1 , tức là phần tử ở dòng thứ i, cột thứ k của C là tích vô
hướng của véc tơ dòng thứ i của A với véc tơ cột thứ k của B
Ví dụ 5: Cho hai ma trận A =
4 0 2
3 2 1
, B =
5 2 4 1
0 2 3 0
1 1 2 1
,
Phần tử c23 của ma trận tích AB là tích vô hướng của véc tơ dòng thứ hai của ma trận A và véc tơ
cột thứ 3 của ma trận B, ta có c23 =
2 2
1 4 0
AB là ma trận có dạng:
4 0
2
3 2
1
5 2 4 1
0 2 3 0
1 1 2 1
22 6 12 6
22 9 16 4
Nhận xét:
i) Điều kiện để thực hiện được phép nhân ma trận A với B là số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B
ii) Ma trận A là ma trận cấp n, I là ma trận đơn vị cấp n, ta luôn có A.I = A
Trang 6iii) Nếu thực hiện được phép nhân A và B thì không suy ra được phép nhân B với A, trong trường hợp thực hiện được phép nhân B với A thi nói chung AB BA, tức là phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán
iv) Nếu A là ma trận vuông cấp n thì ta có tích của n ma trân A kí hiệu là
A.A…A = An
Các tính chất của phép nhân hai ma trận:
Cho các ma trận A = a ij mn, B = b jk np, C = c kl pq, D = d ik npta có những tính chất sau: i) (AB)C = A(BC)
ii) (AB)t = BtAt
iii) A(B + D) = AB + AD
Đa thức ma trận và nghiệm
Cho đa thức P(x) = anxn +an-1xn-1 + …+a1x + a0
A là một ma trận vuông cấp n, thì ta gọi
P(A) = anAn + an-1An-1 +…+a1A + a0In là đa thức ma trận theo biến A
Nếu tồn tại ma trận A sao cho P(A) là ma trận O thì ta nói A là nghiệm của đa thức P(A)
Ví dụ 6: Cho f(x) = 2x2 +3x +5 và ma trận A =
1 1 4
1 3 1
2 1 1
Ta có
f(A) = 2A2 + 3A + 5I3 =
28 19 30
15 36 19
16 15 28
1.5 Vành các ma trận vuông
Trang 7Ta kí hiệu tập các ma trận vuông cấp n trên trường K là Mn(K)
trường K là một vành có đơn vị
Chứng minh:
Giả sử A, B, C là các ma trận vuông cấp n trên trường K, khi đó ta dễ chứng minh được các tính chất sau:
Đối với phép cộng Mn(K) là một nhóm giao hoán
Đối với phép nhân, ta có:
(AB)C = A(BC), A(B + C) = AB + AC, (B + C)A =BA + CA
A.I = I A = A
Từ các kết luận trên suy ra (Mn(K), +, ) là một vành có đơn vị I
1.6 Ma trận nghịch đảo
Câu hỏi đặt ra là: Nếu cho một ma trận vuông A cấp n thì có tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho AB = BA = I n
B cấp n sao cho AB = BA = I n
Trong trường hợp này ta nói B là ma trận nghịch đảo của A và kí hiệu là B = A -1
A khả nghịch hay ta còn nói A có nghịch đảo
Chứng minh:
Trang 8Giả sử B là ma trận nghịch đảo của A Thì ta có AB = BA = I n, từ đó suy ra
A -1 =A -1 I n =A -1 (AB) = (A -1 A)B = I n B = B
(AB) -1 = B -1 A -1
Chứng minh:
Ta có (AB)(AB) -1 = A(B(B -1 )A -1 ) =A((BB -1 )A -1 ) = A(I n A -1 ) = AA -1 = I n
Tương tự ta có (BA) -1 (BA) = I n (đpcm)
Phương pháp Gauss tìm ma trận nghịch đảo
Giả sử ma trận A vuông cấp n là ma trận khả nghịch, ta tìm ma trận A-1 bằng phương pháp Gauss như sau:
Viết thêm vào ma trận A ma trận In để có dạng (A | In) Dùng các phép biến đổi sơ cấp ma trận để biến đổi ma trận (A | In) về dạng (I | B) Khi đó ma trận B thu được chính là ma trận A-1 cần tìm
Ví dụ 7: Xét ma trận A =
2 3 0
3 0 3
2 1 1
Giải: Để tìm A-1, ta xét (A | I3)
Ta viết (A | I3) =
0 0
0 1 0
0 0 1
0 3 2
3 0 1
2 3
1
Nhân dòng 1 với -3 rồi cộng vào dòng 2, sau đó nhân dòng 1 với 2 và cộng vào dòng 3 ta có:
1 0 0
0 1 0
2 3 1
4 3 2
5
3 1
0
0
1
Nhân dòng 3 với 3, sau đó nhân dòng 2 với 5 rồi cộng vào dòng 3 ta có:
Trang 9
3 0 0
5 1 0
9 3 1
3 3 2
0 3 1
0 0 1
Nhân dòng 1 với 3 sau đó cộng dòng 2 và dòng 3 vào dòng 1 ta có:
3 0 3
5 1 6
9 3 9
3 3 0
0 3 0
0 0 3
Nhân dòng 3 với -1 rồi cộng vào dòng 2 ta có
3 3 3
5 4 6
9 6 9
3 0 0
0 3 0
0 0 3
Nhân dòng 1 với
3
1
, dòng 2 với
3
1
và dòng 3 với
3
1
ta có
1 1 1
3 / 5
3 / 4 2
3 2 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Vậy ma trận nghịch đảo của A là A-1 =
1 3 / 5 3
1 3 / 4 2
1 2 3
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho các ma trận sau:
A =
1
4
5
2
1
2
1 7 2 9
9 2 7 1
, C =
1 2 3
5 1 1
3 1 2
4 0 1
, D =
0 3 1
2 1 2
7 0 1
Tính tất cả các tích ma trận có thể
Trang 10Bài 2: Trong mỗi trường hợp sau hãy xác định tích AB và BA nếu có thể và trường hợp nào thì
AB = BA
a) A =
5 4
3 0
và B =
2 3
1 2
4 0 3
5 1 1
và B =
5 1
6 3
1 2
c) A =
2 3
1 2
và B =
1 12
4 1
d) A =
3 2 1
5 0 2
4 1 3
và B =
1 0 0
0 5 0
0 0 2
Bài 3: Cho đa thức f(x) = 3x2- 2x -3 Hãy tính các đa thức f(A-I) sau với
a) A =
b) A =
Bài 4: Tính giá trị của A2 biết A =
1 3
5 2
và tìm ,, R sao cho ma trận là ma trận
2 A
I A bằng không
Bài 5: Chứng minh rằng nếu A và B là các ma trận mà I – AB khả nghịch thì nghịch đảo của I –
BA được cho bởi công thức ( I – BA )-1 = I + B( I – AB)-1A
Bài 6: Cho ma trận vuông A thoả mãn điều kiện A2 –A + I = 0 Chứng minh rằng ma trận A khả
nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của A
Bài 7: Hãy tìm các ma trận nghịch đảo của các ma trận sau nếu có:
Trang 11a)
1 0
0
1 1
1
1 1
1
b)
1 6 2
3 5 1
2 2 1
c)
3 4 0
7 1 1
2 5 1
d)
3 3 2
2 4 3
4 3 2
e)
b a c
c a b
c b a
1
1
1
f)
3 5 3 1
2 7 4 2
1 3 2 1
5 8 5 2
g)
1 0 1 1
0 1 2 0
3 2 5 2
5 1 2 3
Bài 8: Giải các phương trình ma trận sau:
a) X
1 0 0
1 1 1
1 1 1
2 1 2
1 0 1
b)
1 1 1
1 1 1
1 1 1
X =
3 1 1 0
1 1 3 2
2 1 0 1
Bài 9: Tìm các ma trận X thỏa mãn điều kiện
a)
1 0 1
1 2 1
0 1 0
3 0 1
1 1 1
X
b)
X
Bài 10: Cho ma trận
A
Tính A n