ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm 1.1 Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm TrþĆc khi đến vĆi bài học, chúng ta cæn hiểu đþợc khái niệm cûa đäo hàm. Đðnh nghïa. GiĆi hän hĂu hän (nếu có) cûa tî số    0  0 f x f x x x   khi x dæn đến 0 x đþợc gọi là đäo hàm cûa hàm số đã cho täi điểm 0 x , kí hiệu là f x  0  hoặc y x  0  , nghïa là       0 0 0 0 lim x x f x f x f x  x x    . Trong đðnh nghïa trên, nếu đặt:  Số gia biến số là 0    x x x .  Số gia tþĄng Āng cûa hàm số là    y f x f x    0  . Lúc đó ta sẽ có       0 0 0 0 0 lim lim x x x f x x f x y f x    x x         . Quy tắc tính đạo hàm theo đðnh nghïa. Muốn tính đäo hàm cûa hàm số y f x    täi điểm 0 x , theo đðnh nghïa trên ta thăc hiện các bþĆc sau: 1. Tính y theo công thĀc      y f x x f x  0 0    . 2. Tính giĆi hän 0 lim x y   x   . Nhận xét. Nhóm 9 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 2 | N h ó m 9 o Nếu hàm số y f x    có đäo hàm täi điểm 0 x thì nó liên týc täi điểm đó. o Đâo läi không đúng, nghïa là một hàm số liên tục tại điểm 0 x có thể không có đạo hàm tại điểm đó. 1.2 Ý nghïa hình học của đạo hàm a) Tiếp tuyến của đường cong phẳng. Cho đþąng cong C và một điểm cố đðnh M trên C, M là điểm di động trên C . Khi đó MM là một cát tuyến cûa C. Đðnh nghïa. Nếu cát tuyến MM có vð trí giĆi hän M T khi M di chuyển trên C và dæn tĆi điểm M thì đþąng thẳng M T đþợc gọi là tiếp tuyến cûa đþąng cong täi điểm . Điểm M đþợc gọi là tiếp điểm. Sau đåy ta không xét trþąng hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng vĆi Oy . Ở đồ thị trên, MM chính là cát tuyến của (C) b) Ý nghïa hình học của đạo hàm. Cho hàm số y f x    xác đðnh trên khoâng a b;  và có đäo hàm täi x a b  ;  , gọi C là đồ thð hàm số đó.  Đäo hàm cûa hàm số f x  täi điểm M là hệ góc cûa tiếp tuyến M T cûa C täi điểm M.

1 | N h ó m 9

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Nhóm 9 Nguyễn Đức Thắng, Dương Diễm Thi, Du Hiền Vinh

1 Đạo hàm của hàm số tại một điểm

1.1 Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm

TrþĆc khi đến vĆi bài học, chúng ta cæn hiểu đþợc khái niệm cûa đäo hàm

Đðnh nghïa GiĆi hän hĂu hän (nếu có) cûa tî số    0

0

f x f x

x x



 khi x

dæn đến x0 đþợc gọi là đäo hàm cûa hàm số đã cho täi điểm x0, kí hiệu

là f x hoặc ' 0 y x , nghïa là ' 0

0

0 0

0

' lim

x x

f x f x

f x

x x







Trong đðnh nghïa trên, nếu đặt:

 Số gia biến số là   x x x0

 Số gia tþĄng Āng cûa hàm số là  y f x    f x0

Lúc đó ta sẽ có

0

' lim lim

f x x f x y

f x

Quy tắc tính đạo hàm theo đðnh nghïa Muốn tính đäo hàm cûa

hàm số y f x  täi điểm x0, theo đðnh nghïa trên ta thăc hiện các bþĆc sau:

1 Tính y theo công thĀc  y f x 0  x  f x0

2 Tính giĆi hän

0

lim

x

y x

 





Nhận xét

2 | N h ó m 9

o Nếu hàm số y f x  có đäo hàm täi điểm x0 thì nó liên týc täi điểm

đó

o Đâo läi không đúng, nghïa là một hàm số liên tục tại điểm x0 có thể không có đạo hàm tại điểm đó

1.2 Ý nghïa hình học của đạo hàm

a) Tiếp tuyến của đường cong phẳng Cho đþąng cong  C và một điểm

cố đðnh M trên '  C , M là điểm di động trên  C Khi đó MM là một cát ' tuyến cûa  C

Đðnh nghïa Nếu cát tuyến MM có vð trí giĆi hän ' M T khi M di '

chuyển trên  C và dæn tĆi điểm M thì đþąng thẳng ' M T đþợc gọi là ' tiếp tuyến cûa đþąng cong täi điểm Điểm M đþợc gọi là tiếp điểm ' Sau đåy ta không xét trþąng hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng vĆi Oy

Ở đồ thị trên, MM'chính là cát tuyến của (C)

b) Ý nghïa hình học của đạo hàm Cho hàm số y f x  xác đðnh trên khoâng  a b và có đäo hàm täi ; x a b; , gọi  C là đồ thð hàm số đó

 Đäo hàm cûa hàm số f x täi điểm   M là hệ góc cûa tiếp tuyến ' M T ' cûa  C täi điểm M '

10

8

6

4

2

2

4

M

M'

3 | N h ó m 9

 PhþĄng trình tiếp tuyến cûa đồ thð  C cûa hàm số y f x  täi điểm

 

 0 0 

' ;

M x f x có däng: y y 0  f x' 0 x x 0

Ở đồ thị trên, đường thẳng x chính là tiếp tuyến của (C)

2 Các quy tắc tính đạo hàm

2.1 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số

Đðnh lý Nếu hai hàm số u u x   và v v x   có đäo hàm trên J thì

các hàm số y u v  , y u v, yu v. và y u

v

 (vĆi trþąng hợp cuối ta cæn điều kiện v x 0 vĆi mọi xJ) cüng có đäo hàm và

  , , ,

u v  u v

u v u v uv

 u , u v uv, 2 ,

v v



 

 

2.2 Bâng đạo hàm một số hàm số thường gặp

 ,

1

x  x  ,

1 ,

u u u

2

x

x

2

u u

u



10

8

6

4

2

2

4

x

M

M'

4 | N h ó m 9

,

2

1 1

x x

   

 

 

2

1 u

u u

   

 

 

sinx cosx  , ,

sinu u.cosu

cosx  sinx  , ,

cosu  u.sinu

2

1

tan

cos

x

x

2

tan

cos

u u

u



2

1 cot

sin

x

x

,

2

cot

sin

u u

u

 

 ,

,

e u e

 ,

.ln

a a a  ,

,

.ln

a u a a

ln x

x

,

lnu u

u



log

.ln

a x

x a

,

log

.ln

a

u u

u a



2.3 Đạo hàm một số phân thức hữu tî thường gặp



1 1 ,

2

a b

a b

a x b y

a x b a x b



2

, 2

2

2

a b a c b c

a b a c b c

a x b x c y

a x b x c a x b x c

Với chú ý sau:

a b

ad bc

c d  

2.4 Bài tập đề nghð

Do công thĀc đäo hàm có thể bän đã nắm rõ nên nhóm chî nêu lên hai bài tập đề nghð để bän luyện tập thêm

Bài tập 1 Bài tập đề nghð

5 | N h ĩ m 9

Tính đäo hàm cûa các hàm số sau:

a) 4 3 11 2

x

y  x  x  x b) 13 12

22 12

x y x







c) y 1x2 d) y 4x2 1 2x

Câu 1. Tìm số gia cûa hàm số 2

1

yx  täi điểm x0 1 Āng vĆi số gia x, biết:

a)  x 1

A  y 1 B  y 2 C  y 3 D  y 4

10

x

  

A   y 0,19 B   y 0,15 C   y 0,1 D  y 0,1

Câu 2. PhþĄng trình tiếp tuyến cûa đþąng hypebol 1

y x

 täi điểm 1

; 2 2

M 

 

  là:

A y 4 4x B y 4 4x C y 2 2x D y 2 2x Câu 3. PhþĄng trình tiếp tuyến cûa đồ thð hàm số y x 3 täi điểm cĩ hồnh

độ bằng 1 là:

A y3x2 B y2x3 C y3x2 D y2x3

3 Ứng dụng của đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số

3.1 Khái niệm và đðnh lý

Giâ sā I là một không, một độn hoặc một nāa không và f là hàm

xác đðnh trên I Khi đĩ

Hàm f đþợc gọi là đồng biến trên I nếu

1

x

 , x2I,x1 x2, ta cĩ f x   1  f x2 Hàm f đþợc gọi là nghịch biến trên I nếu

Bài tập 2 Bài tập đề nghð

6 | N h ó m 9

1

x

 , x2I,x1 x2, ta có f x   1  f x2

Ta có đðnh lý sau:

Đðnh lý Giâ sā hàm số f có đäo hàm trên khoâng I Khi đó

 f đồng biến trên I tþĄng đþĄng vĆi f x' 0 vĆi mọi x I

 f nghðch biến trên I tþĄng đþĄng vĆi f x' 0 vĆi mọi x I

 f có giá trð không đổi trên I tþĄng đþĄng vĆi f x' 0 vĆi mọi

x I

3.2 Ví dụ và bài tập đề nghð

Xét chiều biến thiên cûa hàm số

2

8 2

x y

x

 

Lời giâi

Tập xác đðnh cûa y là / 0 Ta có  

8 '

y x

    

nên y'  0 x 2

Ta có bâng biến thiên

'

y 





6



Vậy hàm số đã cho nghðch biến trên mỗi khoâng ; 0 và 0; 2, đồng biến trên  2; 

Ví dụ

Bài tập đề nghð

7 | N h ó m 9

Xét chiều biến thiên cûa các hàm số sau

a) 3 5 2

6 1

3 2

x

y  x  x b) y 3x 1

x

c) y 1x2 d)  2

1993 1995

yx  x

4 Ứng dụng của đạo hàm trong khâo sát sự biến thiên và vẽ đồ thð hàm số

4.1 Các bước khâo sát sự biến thiên và vẽ đồ thð của hàm số

4.1.1 Các bước thực hiện

Để khâo sát să biến thiên và vẽ đồ thð cûa một hàm số bçt kì, ta thăc hiện các bþĆc nhþ sau:

1 Tìm tập xác đðnh cûa hàm số

2 Khâo sát să biến thiên cûa hàm số

a) Tìm một số giĆi hän cûa hàm số: giĆi hän täi vô căc và giĆi hän vô căc Tìm các tiệm cận cûa đồ thð

b) Lập bâng biến thiên cûa hàm số:

 Tìm đäo hàm y cûa hàm số ,

 Xét dçu y Tÿ đó suy ra chiều biến thiên và tìm căc trð cûa hàm số ,

 Điền các kết quâ vào bâng biến thiên

3 Tìm điểm uốn cûa đồ thð hàm số:

Tìm đäo hàm y ; xét dçu ,, y , tÿ đó suy ra các điểm uốn cûa đồ thð hàm số ,,

4 Vẽ đồ thð hàm số

 Vẽ các đþąng tiệm cận cûa đồ thð (nếu có)

8 | N h ó m 9

 Xác đðnh các điểm căc trð Tìm các điểm đặc biệt khác cûa đồ thð (giao điểm cûa đồ thð vĆi các trýc tọa độ )

 Vẽ đồ thð hàm số

 Nhận xét về đồ thð: chî ra trýc đối xĀng và tåm đối xĀng cûa đồ thð (nếu có)

4.1.2 Ví dụ và bài tập đề nghð

Khâo sát să biến thiên và vẽ đồ thð hàm số 2

2

y x  x

Lời giâi

1 Do

2

2 4

x   x x   

  vĆi mọi x nên hàm số xác đðnh vĆi mọi x

thuộc , tĀc là D

2 Ta có 2

lim 2

lim 2

Xét ,

2

2 1

2

x y

x x





  Ta có

,

0

2

x

Hàm số giâm trên ; 1

2

  

  và tăng trên

1

; 2

 

 

Hàm số đät căc tiểu bằng 11

2 khi 1

2

x 

Ta có bâng biến thiên:

2

'

y 

11 2



Ví dụ

9 | N h ó m 9

12

10

8

6

4

2

2

x = 1

2

h x ( ) = x2 + x + 2

3 Đồ thð hàm số

Đồ thð hàm số cắt trýc

tung täi điểm  0; 2

Đồ thð nhận đþąng thẳng

1

2

x  làm trýc đối xĀng

Khâo sát să biến thiên và vẽ đồ thð hàm số y x21

4.2 Khâo sát một số hàm số đa thức

Sau đåy là tóm tắt lý thuyết một vài däng hàm số thþąng gặp

4.2.1 Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx +d3 2

DþĆi đåy là một số đặc điểm cûa hàm số bậc ba và đồ thð cûa nó:

 Hàm số có tập xác đðnh là D

 Các giĆi hän täi vô căc đều bằng vô căc

 Đồ thð cûa hàm số không có đþąng tiệm cận

 Đồ thð luôn luôn có một điểm uốn vĆi hoành độ là nghiệm cûa phþĄng trình y,, 0

 Tùy theo số nghiệm cûa phþĄng trình ,

0

y  mà đồ thð hàm số có số các điểm căc trð khác nhau và tÿ đó mà nó có các däng khác nhau DþĆi đåy là bâng tóm tắt tçt câ các däng đồ thð cûa hàm số bậc ba:

PhþĄng trình y,0 có

hai nghiệm phân biệt

hay 2

   

8 4

2 6

15 10 5 5 10 15

8 4

2 4 8

15 10 5 5 10 15

Bài tập đề nghð

10 | N h ó m 9

PhþĄng trình y,0 có

nghiệm kép hay

2

   

PhþĄng trình ,

0

y  vô

2

   

4.2.2 Hàm số bậc bốn dạng trùng phương y ax  4 bx c2

DþĆi đåy là một số đặc điểm cûa hàm số này và đồ thð cûa nó:

o Tập xác đðnh cûa hàm số là D

o Đåy là hàm số chẵn nên đồ thð cûa nó luôn đối xĀng qua trýc tung

o Do phþĄng trình y' 0 luôn có nghiệm nên đồ thð luôn có điểm căc trð

o Đồ thð hàm số có thể có hai điểm uốn hoặc không có điểm uốn nào DþĆi đåy là bâng tóm tắt tçt câ các däng cûa đồ thð hàm trùng phþĄng:

0

' 0

y  có 3 nghiệm

phân biệt ab0

' 0

y  chî có một

nghiệm ab0

4.3 Khâo sát một số hàm số phân thức

Ở đåy ta chî xét hàm số phân thĀc có däng  



ax b y

cx d , c 0,  ad bc 0 (còn   gọi là hàm số bçt biến)

o Tập xác đðnh cûa hàm số là D d

c

 

  

 

8 4

2 6

15 10 5 5 10 15

8 4 2 2 4 6

15 10 5 5 10 15

8 6 2 2 6

15 10 5 5 10 15

8 6 4

2 6

15 10 5 5 10 15

10 8 6 4 2 2 4

4 2 2 4 6 8 10 12

8 6 4 2 2 4 6

8 6 4 2 2 4 6

11 | N h ó m 9

o GiĆi hän cûa hàm số täi vô căc là a

c nên đþąng thẳng y a

c

 là tiệm cận ngang cûa đồ thð

o GiĆi hän bên phâi, bên trái täi d

c

 cûa hàm số là vô căc nên đþąng

thẳng x d

c

  là tiệm cận đĀng cûa đồ thð

o Nếu ad bc 0 thì hàm số nghðch biến, ad bc 0 thì hàm số đồng biến, tĀc là hàm số luôn đĄn điệu trên tÿng khoâng xác đðnh

o Đồ thð cûa hàm số nhận giao điểm cûa hai tiệm cân là I d a;

c c

 

  làm tåm đối xĀng

DþĆi đåy là các däng cûa đồ thð này:

0

ad bc 

0

ad bc 

5 Ứng dụng của đạo hàm tìm giá trð lớn nhất

và giá trð nhỏ nhất của hàm số

Trong phæn này, ta sẽ Āng dýng tính đĄn điệu và căc trð cûa hàm số để tìm giá trð lĆn nhçt và giá trð nhỏ nhçt cûa hàm số, cüng nhþ Āng dýng cûa nó vào việc chĀng minh bçt đẳng thĀc, tìm giá trð lĆn nhçt, giá trð nhỏ nhçt cûa một biểu thĀc

5.1 Đðnh nghïa

Đðnh nghïa Giâ sā hàm số f xác đðnh trên tập hợp I

8 6 4 2 2 4 6

8 6 4 2 2 4 6

12 | N h ó m 9

a) Nếu tồn täi một điểm x0I sao cho

f x  f x ,  x I

thì M f x 0 đþợc gọi là giá trị lớn nhất cûa hàm số f trên I , kí hiệu

 

max

x I

M f x



b) Nếu tồn täi một điểm x0I sao cho

f x  f x ,  x I

thì m f x 0 đþợc gọi là giá trị nhỏ nhất cûa hàm số f trên I , kí

hiệu

 

min

x I

m f x



Ta xét một ví dý nhỏ sau đåy

Tìm giá trð nhỏ nhçt cûa hàm số   4

2 8 2

x

   vĆi 4; 4

3

x  

  

 

Lời giâi

4 2 2 4 8 2 '

8 2 8 2

f x

Vậy f x'   0 x 2 vĆi 4; 4

3

x  

 

 

Ta có 4 9 8 3

3 3

f  

 

  , f 2  2, f 4 1 nên giá trð nhỏ nhçt cûa hàm số là

f  

Tìm giá trð lĆn nhçt và giá trð nhỏ nhçt cûa hàm số   9

f x x

x

  vĆi x 1; 2

5.2 Kï thuật đưa bài toán tìm GTLN, GTNN về một biến và ứng dụng của đạo hàm

Ví dụ

Bài tập đề nghð

13 | N h ó m 9

Ở phæn này, ta chî nêu lên một vài ví dý tiêu biểu

Cho x , y , z là ba số thăc dþĄng thỏa mãn x y và x z y z   1 Tìm giá trð nhỏ nhçt cûa biểu thĀc

P

x y x z y z

Lời giâi

Ta có x z y z   1 z2 xz yz  1 xy

Và

2

2

x y

Suy ra

2 2

1

4 8

x y

Đặt  2

0

x y  t thì   1

4 8

t

      12

f t

t

   

Suy ra   1

2

f t   t Ta có bâng biến thiên

'

y 

12



Dễ thçy   1

12 2

f t f 

  

  nên P12

Đẳng thĀc xây ra khi

1 2 1

x y

x y y z







1 2 2

x y

y z



 

  



Ví dụ

14 | N h ó m 9

Vậy giá trð nhỏ nhçt cûa P là 12 khi 1

2

x y, 1

2

z y, vĆi y 0; 2

Cho các số thăc 1;1

4

x  

  

 , y z, 1 thỏa mãn xyz1 Tìm giá trð nhỏ nhçt cûa biểu thĀc

P

  

5.3 Kï thuật tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức

5.3.1 Lý thuyết chung

Lý thuyết Cho hàm số y f x  liên týc và có đäo hàm trên  a b , gọi ;

0

x là điểm bçt kì thuộc  a b Tiếp tuyến täi điểm ; x0 có däng

'

y f x x x y

Nếu f'' x 0  x  a b; thì ta có bçt đẳng thĀc:

f x  f x x x y Nếu f'' x 0  x  a b; thì ta có bçt đẳng thĀc:

f x  f x x x y Đẳng thĀc xây ra khi xx0

5.3.2 Ví dụ và bài tập đề nghð

Cho a , b , c là các số thăc thỏa mãn điều kiện a b c  6 ChĀng minh rằng

2

a   b c a  b c

Lời giâi

Dçu bằng xáy ra khi a b c  2 nên ta viết phþĄng trình tiếp tuyến vĆi đồ thð hàm số f x x4 2x3 täi điểm x2

Bài tập đề nghð

Ví dụ

15 | N h ó m 9

Ta có phþĄng trình tiếp tuyến là y8x16

8 16 2 2 4 0

f x  x  x x  x  x  Do đó

f a  f b  f c  a b c   

Vì vậy 4 4 4  3 3 3

2

a   b c a  b c

Cho a , b , c là các số thăc không nhỏ hĄn 3

4

 thỏa mãn điều kiện a b c  1 ChĀng minh rằng

9 10

6 Sử dụng phương pháp hàm số giâi hệ phương trình, phương trình, bất phương trình

6.1 Lý thuyết chung

Lý thuyết Vận dýng nội dung cûa các kết quâ sau đåy:

 Hàm số f x luôn đồng biến trên   D thì f x    f a  x a,

a D

 

 Hàm số f x luôn nghðch biến trên   D thì f x    f a  x a,

a D

 

 Hàm số f x luôn đồng biến hoặc luôn nghðch biến trên   D thì

   

f x  f a  x a , a D 

6.2 Ví dụ và bài tập đề nghð

Ta xét 2 ví dý nhỏ sau đåy

Ví dụ 1

Bài tập đề nghð

16 | N h ĩ m 9

Giâi bçt phþĄng trình:

2x 3x 6x16 4 x 2 3

Lời giâi

Điều kiện: 2  x 4

Xét hàm số f x  2x33x26x16 4x trên độn 2;4  cĩ

2 4

x x

f x

x

 



   ,   x  2; 4

Do đĩ hàm số f x luơn đồng biến trên độn   2; 4

Ta nhận thçy f 1 2 3 nên f x    f 1  x 1

Giâi hệ phþĄng trình:





Lời giâi

Điều kiện: y0 Do y0 khơng phâi là nghiệm cûa hệ nên xét y0 thì tÿ phþĄng trình thĀ 2, để hệ cĩ nghiệm thì x0

PhþĄng trình thĀ 2 cûa hệ tþĄng đþĄng

y y y

 

      

 

Ta nhận thçy   1

2

f x f

y

 

  

  và câ hai vế cûa phþĄng trình trên đều cĩ däng

1

f t  t t t 

Ví dụ 2

17 | N h ó m 9

Ta xét   2

1

f t  t t t  trên 0; có   2

2

2

1

t

f t t

t

 ,  t 0

Do đó hàm số f t đồng biến trên   0; Suy ra   1 1

f x f x

 

Thế vào phþĄng trình đæu tiên cûa hệ ta đþợc

y  y y  y  Xét hàm số   3  2 

f y y  y y  y trên 0;

' 3 4 y 0

f y y y y

y



     ,  y 0 nên f y đồng biên trên  

0; Nếu y1 thì f y    f 1 0 và nếu y1 thì f y    f 1 0 Tÿ đó suy ra y1 và tập nghiệm cûa hệ phþĄng trình là   1

; ;1

2

S x y  

Giâi bçt phþĄng trình:

5

2 1

x

Giâi hệ phþĄng trình:

3

2 4 3 1 2 2 3 2

2 14 3 2 1

x x x x y y







Bạn nào cần tham khâo thêm vui lòng liên hệ “Nhóm 9” để được nhận file lời giâi chi tiết !

Bài tập 1 Bài tập đề nghð

Bài tập 2 Bài tập đề nghð