Cực trị của hàm số Người đăng: Nguyễn Huyền Ngày: 02062017 Đây là nội dung khá quan trọng trong chương này, học sinh thường rất hay nhầm lẫn giữa khái niệm cực đại, cực tiểu với khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Giải bài 2: Cực trị của hàm số A. Lí thuyết I. Khái niệm cực đại, cực tiểu Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a,b) (có thể a là −∞, b là +∞) và điểm x0∈(a,b) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)0 sao cho f(x)>f(x0) với mọi x∈(x0−h,x0+h) và x≠x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0. Chú ý: 1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số. M(x0,f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. 2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) được gọi chung là cực trị của hàm số. 3. Nếu y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f′(x0)=0. II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị III. Quy tắc tìm cực trị Cách 1: Bước 1: Tìm tập xác định. Bước 2: Tính f(x). Tìm các điểm tại đó f′(x)=0 hoặc f′(x) không xác định. Bước 3: Lập bảng biến thiên. Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Cách 2: Bước 1: Tìm tập xác định. Bước 2: Tính f′(x). Giải phương trình f′(x)=0 và kí hiệu xi (i=1,2,...,n) là các nghiệm của nó. Bước 3: Tính f′′(x) và f′′(xi). Bước 4: Dựa vào dấu của f′′(xi) suy ra tính cực trị của điểm xi Cụ thể f′′(xi>0 thì xi là điểm cực tiểu và f′′(xi)0 nên x=2 và x=2 là hai điểm cực tiểu. f′′(0)=−4 Xem hướng dẫn giải Bài 2: Trang 18 sgk giải tích 12 Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau a) y=x4−2x2+1; b) y=sin2x−x; c) y=sinx+cosx; d) y=x5−x3−2x+1. => Xem hướng dẫn giải Bài 3: Trang 18 sgk giải tích 12 Chứng minh rằng hàm số y=|x|−−√ không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó. => Xem hướng dẫn giải Bài 4: Trang 18 sgk giải tích 12 Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y=x3−mx2−2x+1 luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. => Xem hướng dẫn giải Bài 5: Trang 18 sgk giải tích 12 Tìm a và b để các cực trị của hàm số y=53a2x3+2ax2−9x+b đều là những số dương và x0=−59 là điểm cực đại. => Xem hướng dẫn giải Bài 6: Trang 18 sgk giải tích 12 Xác định giá trị của tham số m để hàm số y=x2+mx+1x+m đạt cực đại tại x=2. => Xem hướng dẫn giải
Trang 1Cực trị của hàm số
Người đăng: Nguyễn Huyền - Ngày: 02/06/2017
Đây là nội dung khá quan trọng trong chương này, học sinh thường rất hay nhầm lẫn giữa khái niệm cực đại, cực tiểu với khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
A Lí thuyết
I Khái niệm cực đại, cực tiểu
Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a,b) (có thể a là −∞, b là +∞) và điểm x0∈(a,b)
• Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)<f(x0) với mọi x∈(x0−h,x0+h) và x≠x0 thì ta nói hàm
số f(x) đạt cực đại tại x0
• Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)>f(x0) với mọi x∈(x0−h,x0+h) và x≠x0 thì ta nói hàm
số f(x) đạt cực tiểu tại x0
Chú ý:
1 Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì
• x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số
• f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số
Trang 2• M(x0,f(x0)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
2 Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) được gọi chung là cực trị của hàm số
3 Nếu y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f′(x0)=0
II Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
III Quy tắc tìm cực trị
Cách 1:
• Bước 1: Tìm tập xác định
• Bước 2: Tính f'(x) Tìm các điểm tại đó f′(x)=0 hoặc f′(x) không xác định
• Bước 3: Lập bảng biến thiên
• Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
Cách 2:
• Bước 1: Tìm tập xác định
• Bước 2: Tính f′(x) Giải phương trình f′(x)=0 và kí hiệu xi (i=1,2, ,n) là các nghiệm của nó
• Bước 3: Tính f′′(x) và f′′(xi)
• Bước 4: Dựa vào dấu của f′′(xi) suy ra tính cực trị của điểm xi
Cụ thể f′′(xi>0 thì xi là điểm cực tiểu và f′′(xi)<0 thì xi là điểm cực đại
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số
f(x)=x44−2x2+6.
Trang 3Giải: TXĐ: D=R
Ta có y′=x3−4x=x(x2−4)⇒f′(x)=0⇔⎡⎣⎢x=0x=−2x=−2
Cách 1:
Bảng biến thiên
Vậy hàm số y=f(x) đạt cực tiểu tại x=−2 và x=2 ; fCT=f(±2)=2
Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại x=0 và fC Đ=f(0)=6
Cách 2: Ta có f′′(x)=3x2−4
f(±2)=8>0 nên x=-2 và x=2 là hai điểm cực tiểu
f′′(0)=−4<0 nên x=0 là điểm cực đại
Vậy hàm số y=f(x) đạt cực tiểu tại x=−2 và x=2 ; fCT=f(±2)=2
Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại x=0 và fC Đ=f(0)=6
Chú ý: Hàm số đạt cực đại tại x=0 và fC Đ=f(0)=6 tuy nhiên hàm số không có GTLN
B BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Trang 18 - sgk giải tích 12
Áp dụng Quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau
a) y=2x3+3x2−36x−10
b) y=x4+2x2−3
c) y=x+1x
d) y=x3(1−x2)
Trang 4e) y=x2−x+1−−−−−−−−√
=> Xem hướng dẫn giải
Bài 2: Trang 18 - sgk giải tích 12
Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau
a) y=x4−2x2+1;
b) y=sin2x−x;
c) y=sinx+cosx;
d) y=x5−x3−2x+1
=> Xem hướng dẫn giải
Bài 3: Trang 18 - sgk giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số y=|x|−−√ không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó
=> Xem hướng dẫn giải
Bài 4: Trang 18 - sgk giải tích 12
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y=x3−mx2−2x+1 luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu
=> Xem hướng dẫn giải
Bài 5: Trang 18 - sgk giải tích 12
Tìm a và b để các cực trị của hàm số
y=53a2x3+2ax2−9x+b
đều là những số dương và x0=−59 là điểm cực đại
=> Xem hướng dẫn giải
Bài 6: Trang 18 - sgk giải tích 12
Xác định giá trị của tham số m để hàm số y=x 2 +mx+1x+m đạt cực đại tại x=2
=> Xem hướng dẫn giải