CHUYÊN ĐỀ VỀ TÍCH PHÂN (HAY)

Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số Phương pháp Giả sử ta tính nguyên hàm phức tạp: =ò... Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần Phương pháp Giả sử ta tính nguyên hàm: B =òu

Chuyên đề : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Phần 1: NGUYÊN HÀM

I Bảng công thức nguyên hàm

1 ∫0dx C=

2 ∫dx x C= +

3 ∫adx ax C= + (a const= )

4

1

1

x

α

α

+

+

∫

5 1

∫

∫

1

ax b

a

α α

α α

+ +

+

∫

ln

+

∫

6a ( )2

a ax b

+ +

∫

ln

x

a

∫

8 ∫e dx e x = +x C

ln

px q

px q a

+

∫

8a e ax b dx 1e ax b C

a

∫

9 ∫sinxdx= −cosx C+

10 ∫cosxdx=sinx C+

11 12

tan

∫

12 12

cot sin x dx= − x C+

∫

9a sin(ax b dx) 1cos(ax b) C

a

∫

10a cos(ax b dx) 1sin(ax b) C

a

∫

tan

+

∫

cot

+

∫

13

/( )

ln ( ) ( )

u x

∫

14 ∫tanxdx= −ln cosx C+

15 ∫cotxdx=ln sinx C+

ln 2

x a

−

∫

ln

+

∫

 Tính chất của nguyên hàm

Nếu , f g là hai hàm số liên tục trên K thì với mọi x KÎ ta có

• òéêëf x( )+g x dx( )ùúû =òf x dx( ) +òg x dx ( )

• òéêëf x( )- g x dx( )ùúû =òf x dx( ) - òg x dx( )

• òkf x dx( ) =k f x dxò ( ) , " ¹k 0

Bài tập áp dụng công thức

Bài 1: Tính các nguyên hàm sau:

a) ò 2

1dx

x b) ò xdx c) ò(2x3- 3x2+1)dx d) æç ö÷

÷

- +

ò e x 1 2x dx

x

e) - +

òx2 3x 1dx

x f) ò(x7+4x3- x dx ) g) ò (3x2+1 2) ( x- 3)dx h) æç ö÷

÷ +

ò 3sinx 2 dx

x

òx3 5x2 3x x dx

x x k) òtan xdx2 l) ò 2 2

1 sin xcos x dx m)

ò x x 2x x 1dx

Bài 2: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số ( )f x sau:

a) f x( )= -2 x biết 2 (2)=7

3

F b) f x( )= -x 12+2

x biết F(1)=2

c) f x( )=(x+1)(x- 1) +1 biết F(0)=1 d) f x( )=3x+x3+1 biết F(1)=2

e) f x( )=ax+ b2

x biết F( 1)- =2, (1)F =4 và F(2)=5.

II Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Phương pháp

Giả sử ta tính nguyên hàm phức tạp:

=ò ( ( )) '( )

A f u x u x dx ta dùng pp đổi biến như

sau:

• Đặt = t u x( )®dt =u x dx '( )

• Đổi biến: = A òf t dt (đơn giản hơn)( )

=F t( )+C (dùng bảng công thức để tính

nguyên hàm)

• Đổi lại biến ban đầu: = A F u x( ( ))+C

 Khi tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi

biến ta có các dạng thường gặp sau:

 Chứa dạng: T

M → đặt t M =

 Chứa căn thức: → đặt t= c¨n thøc

 Chứa ( )n : → đặt t= trong ngoÆc

 Chứa e (mò mò )' → đặt t= mò

 Chứa 1

vµ lnx

x → đặt t = ln x

Ví dụ: Tính các nguyên hàm sau:

a) =A ò3 7 3x - x dx 2

• Đặt = -t 7 3x2 Û t2= -7 3x2®tdt= - 2xdx

• Đổi biến: =ò .(- 3 ) = - 3ò 2

= - 3 3 + = - 3 +

• Đổi lại biến ban đầu: ( - )

3 2

7 3 2

x

b) =

+

5 ( 4)

x

x

• Đặt = + ® =t x2 4 dt 2xdx

• Đổi biến: =ò 2 = ò 2 = - +

2

t

t t

• Đổi lại biến ban đầu: = - +

+ 2

5 2( 4)

x

Bài tập áp dụng

Bài 1: Tính các nguyên hàm sau:

a) òtanxdx b) ò 1 lnx+ dx

x c) ò 2+

1

x dx

x d) ò 2+3 1

x dx

x e)

-ò2lnlnx 1dx

x x

f) òx x5 3+1dx g) òsin3x 1 cos+ xdx h)

+

ò1 2

x dx

x i) òsin2xesin 2x dx

Bài 2: Tính các nguyên hàm sau:

a)

9

1

x dx

x b) ò 51+4dx

x c) òx41- x dx d)2

+

1 (1 ) dx

III Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần

Phương pháp

Giả sử ta tính nguyên hàm: B =òu x v x dx ( ) '( )

ta dùng pp tứng phần như sau:

®

'( ) ( )

dv v x dx v v x

• B =uv- òvdu=

 Khi tính nguyên hàm bằng phương pháp

từng phần ta thường có dấu hiệu ưu tiên đặt

u như sau:

Nhất lốc nhì đa tam lượng tứ mũ

Chú ý: dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp

tích phân từng phần là biểu thức dưới dấu tích

phân là dạng tích của hai loại hàm số khác nhau

trong 4 loại hàm số trên.

Ví dụ: Tính các nguyên hàm sau:

a) =A òx5lnxdx

• Đặt ìï =ïïí ®ìïï =ïïïí

ïî ïïïî =

1 ln

6

du dx

v

b) B =ò(x+1)e dx x

• Đặt ìïï = + ìïï =

ï = ï =

1

dv e dx v e

• B= +( 1)x e x- òe dx x x = +( 1)e e C x+ + = +x (x 2)e C x+

Bài tập áp dụng

Bài 1: Tính các nguyên hàm sau:

a) ∫ (x−1)e dx x b) ∫xcosxdx c) ∫x2lnxdx d) ∫ln 2( x+1)dx e) ∫e xsinxdx

f) x e2 2x−1dx

∫ g) ∫x2cosxdx h) ∫e xcos 2xdx i) I =∫x(2 sin+ x dx) k) 1( )

2 0

I =∫ e− +x e dx

Phần 2: TÍCH PHÂN

I Công thức và tính chất

• Cho hàm số f x ( ) liên tục trên [a;b] và F(x) là một nguyên hàm của f x ( ) Khi đó ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

ò

a

a

f x dx

f x dx= − f x dx

• ( )

b

a

cdx c b a= −

∫

• Nếu f(x) liên tục trên [ ]a b và ( ) 0; f x ≥ thì ( ) 0

b

a

f x dx≥

∫

• Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ]a b và ; f x( )≥g x( ) x∀ ∈[ ]a;b thì ( ) ( )

f x dx≥ g x dx

• Nếu f(x) liên tục trên [ ]a b và ; m f x≤ ( )≤M ( m,M là hai hằng số) thì ( ) ( ) ( )

b

a

mb a− ≤ ∫f x dx M b a≤ −

• Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ]a b thì ; [ ( ) ( )] ( ) ( )

f x g x dx± = f x dx± g x dx

• Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ]a b và k là một hằng số thì ; ( ) ( )

k f x dx k f x dx=

• Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ]a b và c là một hằng số thì ; ( ) ( ) ( )

f x dx= f x dx+ f x dx

• Tích phân của hàm số trên [ ]a b cho trước khơng phụ thuộc vào biến số , nghĩa là :;

( ) ( ) ( )

f x dx= f t dt= f u du=

• Nếu f là một hàm số chẵn với mọi x Ỵ - [ ; ] a a thì

0 ( ) 2 ( )

a

-=

• Nếu f là một hàm số lẻ với mọi x Ỵ - [ ; ] a a thì ( ) 0

a a

f x dx

-= ị

Bài tập áp dụng

Bài 1: Tính các tích phân sau:

a) =ị

1

4

0

5

I x dx b)

p

p

-=ị6

6

cos3

I xdx c)

-1

1

5 4

I xdx d) =ị ( - + )

2 2 1

I x x dx e) =

-+

ị

1

0

1

x

x

f)

p

p

ỉ ư÷

= çç + ÷÷

çè ø

ị6

0

sin 2

6

2 3 0

3 2

-ị

1 2

0

3 3 2

x k) =ị ( + )

4

1 2

2

4

2

-=ị +

1 3 1

I x x dx n)

p

p

-=ị3

3

sin cos

II Tích phân bằng phương pháp đổi biến

Phương pháp

Giả sử ta tính tích phân phức tạp:

Ví dụ: Tính các nguyên hàm sau:

a) =

+

ị

3

2 0

4 1

x

x

=ò ( ( )) '( )

b

a

A f u x u x dx ta dùng pp đổi biến như

sau:

• Đặt = t u x( )®dt =u x dx '( )

b

ìï = ® = = ïí

ïî

( ) ( )

x a t u a

x b t u b

• Đổi biến:

b

a

=ò ( )

A f t dt b

=F t( ) =F( )- F( )

 Khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến

ta có các dạng thường gặp sau:

 Chứa dạng: T

M → đặt t M =

 Chứa căn thức: → đặt t= c¨n thøc

 Chứa ( )n : → đặt t= trong ngoÆc

 Chứa e (mò mò )' → đặt t= mò

 Chứa 1

vµ lnx

x → đặt t = ln x

• Đặt =t x2+ Û1 t2= + ®x2 1 tdt xdx =

• Đổi cận: ìï = ® =

ïïí

ï = ® = ïïî

• Đổi biến: =ò2 = - =

1

4 4(2 1) 4

b) =ò

3

2 1

1(ln )

x

• Đặt =t lnx® =dt 1dx

x

• Đổi cận: ìï = ® =

ïí

ï = ® = ïî

• Đổi biến: =ò = =

ln2

2

ln 2

t

B t dt

Bài tập áp dụng

Bài 1: Tính các tích phân sau:

a)

=

+

ò

1

3

x

x b) =ò ( + )

1

3

0 1

I x x dx c) =ò

-2

1 1

I x x dx d) =ò +

1

1 ln

e

x

x

e) =

-ò

3

1

1

1

x

e f) =ò +

2

3

dx I

x x g) =ò

-ln5 2

x

x

e

e

III Tích phân bằng phương pháp từng phần

Phương pháp

Giả sử ta tính tích phân: =ò ( ) '( )

b

a

B u x v x dx ta dùng pp từng phần như sau:

®

'( ) ( )

dv v x dx v v x

b b a a

 Khi tính tích phân bằng phương pháp từng

phần ta thường có dấu hiệu ưu tiên đặt u như

sau:

Nhất lốc nhì đa tam lượng tứ mũ

Chú ý: dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp

Ví dụ: Tính các nguyên hàm sau:

a)

p

=ò4

0 cos2

ìï =

1 cos2 sin2

2

du dx

u x

•

p p

= 4- ò4

1 sin2 1sin2

p p

=çç + ÷÷ =

4

0

1 sin2 1cos2 2

tích phân từng phần là biểu thức dưới dấu tích

phân là dạng tích của hai loại hàm số khác nhau

trong 4 loại hàm số trên.

b) =ò 2

1 ln

e

ìïï =

ïï ®ï

ïî ïïïî =

1 ln

3

du dx

dv x dx v x

÷

ò

1

1

e

e e

Bài tập áp dụng

Bài 1: Tính các nguyên hàm sau:

a) =ò ( - )

1

2 0

2 x

I x e dx b) ( )

p

=ò2 + 0

1 sin2x

p

=ò2 + 0

2 sin

I x x dx d) =ò

2 3 1

lnx

x

e) =ò ( - )

3

2 2

ln

I x x dx f) =ò

-1

2 1 0

x

I xe dx g) ( )

p

-=ò

-0

1 cos

I x xdx h) =ò

3

1

4 ln

I x xdx

i)

p

=ò2

0

cos

x

I e xdx k) =ò ( + )

2 2 0

x

I x x e dx l) =ò ( + )

2

1

1 2 x

Phần 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

(C): y = f x ( ), trục hoành: y= 0, các đường

,

x a x b = = (a b < )có công thức tính diện tích

bằng:

b H a

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

(C): y = f x ( ), đường cong (C’):y g x = ( ) , các

đường x a x b = , = (a b < )có công thức tính

diện tích bằng:

b H a

c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

(C): y = f x ( ), đường cong (C’):y g x = ( ) có

công thức tính diện tích bằng:

b

H

a

( ta phải cho f x ( ) - g x ( ) 0 = tìm các nghiệm xi

, nghiệm nhỏ nhất trong các nghiệm trên là a,

nghiệm lớn nhất là b)

d) Khi cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đường

cong (C): y = f x ( ), trục hoành:y= 0và các

đường x a x b = , = xoay xung quanh trục Ox

Tạo thành vật thể tròn xoay (V ) Thể tích vật thể

tròn xoay (V ) được tính theo công thức:

[ ( ) ]2

b a

e) Khi cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đường

cong (C): y = f x ( ),(C’):y g x = ( )và các đường

,

thành vật thể tròn xoay (V ) Thể tích vật thể tròn

xoay (V ) được tính theo công thức:

[ ( ) ] [2 ( ) ]2

b a

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( ): C y = sin x + 1, trục hoành và các đường

7

0,

6

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm sốy = cos2x, trục hoành, trục tung và đường

x p =

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm sốy = x và y =3x

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x = 2- 4, y =- x2- 2 x và các đường

3, 2

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x = 2- 4 và y =- x2- 2 x.

Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x = 3- 4 x, trục hoành, đường thẳng

2

x=- và đường thẳng x= 4

Bài 7: Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=- 1 và x= 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 1 - £ £ x 1) là một hình vuông cạnh là

2

2 1 x -

Bài 8: Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x= 0 và x p = , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 £ £ x p ) là một tam giác đều cạnh là

2 sinx

Bài 9: Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 0, x = 4 và y = x - 1 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành

Bài 10: Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y x y = 2, = 0, x = 0 và x= 2 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành

Bài 11: Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = cos , x y = 0, x = 0 và

4

x = p Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành

Bài 12: Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường ,2 0, 0

x

khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành

Bài 13: (VDC) Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình

vẽ Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol)

Bài 14: (VDC)

Bài 15: (VDC)

Bài 16: (VDC)

Một khối cầu có bán kính là 5(dm) , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng

hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng

3(dm) để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà chiếc lu

chứa được

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP

Câu 1: Biết

2

1

x x 1dx a 3 b 2+ = +

∫ Tính S a b= +

A S 4

3

15

15

15

= −

Câu 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên đoạn [−2;1] và f ( 2) 3;f (1) 7− = = Tính

1

2

I f '(x)dx

−

=∫

A I 7

3

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) sin 3x=

A f (x)dx 1

3cos3x+C

= −

∫ B f (x)dx 3cos3x+C∫ = C f (x)dx 1

3cos3x+C

=

∫ D f (x)dx∫ = −3cos3x+C

Câu 4: Cho

f (x)dx 5; f (x)dx 2= =

∫ ∫ , với a d b< < Tính

b

a

I=∫f (x)dx

Câu 5: Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 1

2x 1

=

− và

1 F(2) 3 ln 3

2

= + Tính F(3)

A F(3) 2ln 5 3= + B F(3) 1ln 5 3

2

= + C F(3) 1ln 5 5

2

= + D F(5)= −2ln 5 5+

Câu 6: Hãy xác định hàm số ( ) 3 2

1

F x =ax +bx + +cx Biết F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) y= f x( )

thỏa mãn f( )1 =2, f ( )2 =3 và f ( )3 =4

A ( ) 3 1 2

1

2

F x = +x x + +x B ( ) 1 3 2

2 1

3

1

2

F x = x + +x D ( ) 1 3 1 2

1

3 2

F x = x + x + +x

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 5f x = x

A ( )d 5

ln

x

x

∫ B ∫ f x x( )d =5 ln 5x +C. C ∫ f x x( )d = +5x C D ( )d 5

ln 5

x

f x x= +C

∫

Câu 8: Cho hàm số

2 khi 0 1 ( )

2 khi 1 2

y f x

 Tính tích phân 2 ( )

0 d

f x x

A 1

3 2

Câu 9: Cho 3 ( )

1

d 2

f x x=

∫ và 3 ( )

1

d 1

g x x=

∫ Tính 3 ( ) ( )

1

I =∫ f x + g x dx

Câu 10: Một viên đạn được bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 29, 4 m s Gia tốc trọng / trường là 9,8 m s Tính quãng đường S viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất./ 2

A S =88, 2 m B S =88,5 m C S =88 m D S =89 m

Câu 11: Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y=lnx, y=0, x k= (k >1 ).Tìm k để diện tích

hình phẳng ( )H bằng 1.

A k =2 B k e= 3 C k e= 2 D k e=

Câu 12: Biết

5

1

2 2 1

d 4 ln 2 ln 5

x

x

− +

=∫ = + + , với a , b là các số nguyên Tính S a b= −

A S =9 B S =11 C S =5 D S = −3

Câu 13: Tìm tất cả các số thực m dương thỏa mãn

2

0

ln 2

m

x x

+

A m=3 B m=2 C m=1 D m>3

Câu 14: Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x( ) e x

x

= trên khoảng (0;+ ∞) và

3 3

1 d

x e

x

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A I =F( )3 −F( )1 B I =F( )6 −F( )3 C I =F( )9 −F( )3 D I =F( )4 −F( )2

Câu 15: Cho hàm số y= f x( ) thỏa mãn ( ) 1 , ( )1 1

2 1

x

− Tính f ( )5

A ( )5 1ln 3

2

f = B f ( )5 =ln 2 C f ( )5 =ln 3 1.+ D f ( )5 =2ln 3 1.+

Câu 16: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x= 3, y x= 5

A S =1 B S =2 C 1

6

3

S =

Câu 17: Cho f x là hàm số chẵn và ( ) 0 ( )

2 d

f x x a

−

=

∫ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A 2 ( )

0

f x x= −a

2

d 2

f x x a

−

=

2

d 0

f x x

−

=

0

d

f x x a

−

=

∫

Câu 18: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Nếu F x G x là hai nguyên hàm của hàm số ( ) ( ), f x thì ( ) F x( )+G x( ) =C , với C là một hằng số.

B Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

C Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x thì ( ) ∫ f x x F x( )d = ( )+C , với C là một hằng số.

D Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x thì ( ) F x( ) +1 cũng là một nguyên hàm của hàm số f x( )

Câu 19: Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?

A ( ) 2 ( )

2 2

1

cos

x

= = B f x( ) =sin 2 ,x g x( ) =cos 2x

C f x( ) =e g x x, ( ) =e−x D f x( ) =sin 2 ,x g x( ) =sin 2 x

Câu 20: Tính tích phân

2

2 3 0

1d

I =∫x x + x

A 16

9

9

9

9

I = −

Câu 21: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f (x) 1

2x 1

= +

A 1 2x 1 C

2x 1+

Câu 22: Cho

11

7

f (x)dx 10=

∫ Tính

5

3

I 2 f (2x 1)dx= ∫ + A 10 B 20 C 5 D 30 Câu 23: Biết

3

6

dx 1

I (ln a ln b) sin x 2

π

π

=∫ = − + Tính S a b= +

A S 10 4 3= − B S 22 4 3

3

3

Câu 24: Biết

1

a x

0

dx

2 1

+

∫ Tính S a 3b= + A S 4= B S 8

3

3

Câu 25: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x= 3−x và y x x= − 2

A 37

9

155

17 12

Câu 26: Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y x ln x= , trục hoành và đường thẳng x = e quay quanh Ox

A

3

2e 1

V

9

+

3 2e 1 V

3

+

3 2e 1 V

9

−

3 2e 1 V

3

−

=

Câu 27: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) : y2− − =1 x 0 và hai đường thẳng x = 0 , x

28

7

32 3

Câu 28: Nguyên hàm F x( ) (=∫ x sin x dx+ ) thỏa mãn F 0( ) =19 là

A ( ) 1 2

F x x cos x 20

2

= − + B ( ) 1 2

F x x cos x 20

2

F x x cos x 18 2

= + + D F x( ) = +x2 cos x 18+

Câu 29: Nguyên hàm của hàm số f x( ) =cos3x.cos xlà:

A sin 4x sin 2x C

2 + 2 + B sin 4x sin 2x C

8 + 4 + C sin 4x sin 2x C

8 + 8 + D sin 3x.sin x C+

Câu 30: Biết 1 ( )

0

f x dx 2=

∫ và f x là hàm số lẻ Khi đó ( ) 0 ( )

1

I f x dx

−

= ∫ có giá trị bằng