Cú thể tỡm được bao nhiờu số gồm 3 chữ số khỏc nhau đụi một?. PHẦN TỰ CHỌN 2 điểm Thớ sinh được chọn một trong 2 cõu sau CÂU Va: ab. a.Chứng minh rằng đoạn MN cú độ dài khụng đổi b.Xỏc đ
Trang 1Sở GD & ĐT Thanh Hóa
Trờng THPT Lê Văn Hu đề thi thử vào đại học cao đẳng lần 26
Môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút)
Ngày thi: /2009
Họ và tên thí sinh:
A Phần chung cho tất cả các thí sinh (8,0 điểm)
CÂU I:
y= x − m+ x + m m+ x+ (1)
a Khảo sỏt hàm số (1) khi m=1
b Chứng minh rằng ,∀m hàm số (1) luụn đạt cực trị tại x1, x2 với x1 −x2 khụng phụ thuộc m
CÂU II:
a Giải hệ phương trỡnh
b Tam giỏc ABC cú 3 cạnh là a , b, c và p là nửa chu vi.Chứng minh rằng:
p a+ p b+ p c ≥ a+ +b c
CÂU III:
a Giải phương trỡnh : cos3x+ 2 cos 3− 2 x =2(1 sin 2 )+ 2 x
b Chứng minh rằng nếu a,b,c là 3 cạnh của tam giỏc ABC và
2
C
a b tg+ = atgA btgB+ thỡ tam giỏc ABC cõn
CÂU IV:
a Cú thể tỡm được bao nhiờu số gồm 3 chữ số khỏc nhau đụi một?
b Từ cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiờu số chẵn cú 5 chữ số đụi một khỏc nhau?
B PHẦN TỰ CHỌN (2 điểm) (Thớ sinh được chọn một trong 2 cõu sau)
CÂU Va:
a Nếu Elip x22 y22 1
a + b = nhận cỏc đường thẳng 3x-2y-20=0 và x+6y-20 =0 làm tiếp tuyến, hóy tớnh 2
a và 2
b
b Cho Elip
a + b = (E).Tỡm quan hệ giữa a, b, k, m để (E) tiếp xỳc với đường thẳng y=kx+m
CÂU Vb:
Trong khụng gian, cho đoạn OO’= h và 2 nửa đường thẳng Od, O’d’ cựng vuụng gúc với OO’ và vuụng gúc với nhau Điểm M chạy trờn Od , điểm N chạy trờn O’d’ sao cho ta luụn cú 2 2 2
'
OM +O N =k , k cho trước
a.Chứng minh rằng đoạn MN cú độ dài khụng đổi b.Xỏc định vị trớ của M trờn Od, N trờn O’d’ sao cho tứ diện OO’MN cú thể tớch lớn nhất
Trang 2ĐÁP ÁN
• CÂU I:
a) Khảo sát (1) khi m= 1:
• TXĐ: D= R
2
' 0
y
ñieåm uoán I
• BBT:
• Đồ thị:
b) Chứng minh rằng ∀m hàm số (1) luôn đạt cực trị tại x1, x2 với x1 - x2 không phụ thuộc vào m
Ta có:
2
2
2
Trang 3⇒ (*) luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt x x1, 2.
⇒ Hàm số luơn đạt cực trị tại x x1, 2
Ta cĩ:
1
2
= + − =
Vậy:x2−x1 khơng phụ thuộc m.
• CÂU II:
a) Giải:
Cách 1:
Vì x = 0 khơng là nghiệm của hệ nên đặt y= kx
Khi đĩ hệ trở thành:
Ta cĩ: (4) ⇔ 15k2−13k+ =2 0 (vì x = 0 khơng là nghiệm)
1 5 2 3
k
k
=
⇔
=
thế vào (3) ta được :
25 2
2
2 9
x
x
=
=
Vậy hệ cĩ 4 nghiệm 5 2, 2 , 5 2, 2 ,(3, 2), ( 3, 2)
2
y
x
y
x
⇔ − + =
Thế y vào (1) ta được đáp số trên
b) Chứng minh:
p a+ p b+ p c ≥ a+ +b c
Nhận xét: Nếu M, N > 0 thì:
Trang 42
+
Do đó:
2
2
2
Cộng vế với vế ta được điều phải chứng minh
• CÂU III:
cos3x+ 2 cos 3− x =2(1 sin 2 )+ x
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki, ta có:
VT = 1.cos3x+1 2 cos 3− 2 x≤ 1 1 cos 3+ 2 x+ −(2 cos 32 x) =2 Mặt khác: VP≥2
Do vậy:
Phương trình
2
2
2
2 3
2
x
x x x
x k
x k
π π π
⇔
⇔
=
=
=
⇔
=
Trang 5b) Ta có:
2
2
2
2
C
C
A B
A B
+
−
2
2
A B
A B
A B
A B
−
−
• CÂU IV:
a) Gọi số cần tìm có dạng a a a1 2 3
Số cách chọn a1: 9 (vì a1≠0)
Số cách chọn , : 2
Vậy các số cần tìm là: 9.A92 =648 (số).
b) Từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau
Gọi số cần tìm có dạng a a a a a1 2 3 4 5
Trang 6Trường hợp 1 : a5=0
Số cách chọn các vị trí còn lại: 4 840
7
A = (số).
5
a có 3 cách chọn
1
a có 6 cách chọn (vì a1 khác 0)
2 3 4
a a a có A63 cách chọn
⇒ Số các số trong trường hợp 2là 3
6
A 6
3 (số)
⇒ số các số cần tìm ( Các em tự làm tiếp)
CÂU Va:
a) (E) tiếp xúc với đường thẳng 3x - 2y - 20 = 0
và x + 6y – 20 = 0
b) (E) tiếp xúc với đường thẳng kx – y + m = 0
• CÂU Vb:
a) Chứng minh MN không đổi:
Ta có:
⇒ = + (không đổi).
b) Định M và N để OO’MN có thể tích lớn nhất
+