Đề và ĐA thi thử ĐH 2009 (Đề số 20)

Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của C .Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của C đi qua điểm I.. Viết phương trình trục đẳng phương d của 2 đường tròn C1 và C2.. Chứng minh rằn

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009 – MÔN TOÁN KHỐI A, B, D

ĐỀ SỐ 20

Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : y =

2

1

x

 (*)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số (*)

2 Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của ( C ).Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C ) đi qua điểm I

Câu II:( 2 điểm) 1 Giải bất phương trình : 8x2 6x 1 4x 1 0

2 Giải phương trình : ( ) 3 2 cos 22 1

x

x

Câu III: (3 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 đường tròn :

(C1 ): x2 + y2 9và (C2 ): x2 + y2 2 x 2y 23 0 Viết phương trình trục đẳng phương d của 2 đường tròn (C1) và (C2) Chứng minh rằng nếu K thuộc d thì khỏang cách từ K đến tâm của (C1) nhỏ hơn khỏang cách từ K đến tâm của ( C2 )

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(5;2; - 3) và mặt phẳng

(P) : 2x2y z  1 0 a) Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ) Xác định tọa độ điểm M1

và tính độ dài đọan MM1 b) Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua M và chứa đường thẳng x-1 y-1 z-5

:

2  1  -6

Câu IV: ( 2 điểm) 1.Tính tích phân 4 sin

0





2 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ 1, 5 ?

Câu V: (1 điểm) Cmrằng nếu 0   y x 1 thì

1

4

x y y x Đẳng thức xảy ra khi nào?

BÀI GIẢI CÂU I 1/ Khảo sát

2

x 2x 2 y

x 1

 



MXĐ: D R \ 1  

 



       



2

2 2

x 2x

y' ,y' 0 x 2x 0 x 0hay x 2

x 1

BBT

y

 

-2 



Tiệm cận

x1 là pt t/c đứng y x 1  là pt t/c xiên

Đồ thị :Bạn đọc tự vẽ

2/ Chứng minh không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua I 1,0  là giao điểm của 2 tiệm cận

Gọi    

2

o

x 2x 2

M x ,y C y

x 1

 

  



Phương trình tiếp tuyến của (C) tại Mo

   

2

o

x 2x

y y f ' x x x y y x x

x 1

  

  

 

  

  



2

o

x 2x 1 x

0 y

x 1

x 2x 2 x 2x

x 1 x 1

  

2 0

  Vô lí Vậy không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua I 1,0 

CÂU II 1/ Giải bất phương trình 8x2 6x 1 4x 1 0    (1)

(1)  8x2 6x 1 4x 1  



 



        





2

2

1 1

x Vx

1 1

4 2

1

4 x 0hayx 8x 6x 1 (4x 1) 8x 2x 0 4

 x1 hay x1

2/ Giải phương trình tg x 3tg x2 cos2x 12

 

  

 

(2)

2 2

2

2sin x cot gx 3tg x

cos x



   



  1  tg x 02   tg x3  1 tgx 1 x  k ,k Z

CÂU III 1/ Đường tròn C1 có tâm O 0,0  bán kính R13

Đường tròn C2 có tâm I 1,1 , bán kính R2 5

Phương trình trục đẳng phương của 2 đường tròn C1 , C2 là

x2y2 9  x2 y2 2x 2y 23   0

x y 7 0

    (d)

Gọi K x ,y k k   d  yk xk  7

  2  2       2   

OK x 0 y 0 x y x x 7 2x 14x 49

 2  2  2  2

IK  x  1  y  1  x  1  x  8 2x 14x 65

Ta xét IK2 OK2 2x2k14xk 65  2x2k 14xk49 16 0

Vậy IK2 OK2  IK OK(ñpcm)

2/ Tìm M1 là h/c của M lên mp (P)

Mp (P) có PVT n2,2, 1 

Pt tham số MM1 qua M,  P là

x 5 2t

y 2 2t

z 3 t

 





 



  



Thế vào pt mp (P): 2 5 2t   2 2 2t     3 t 1 0  

18 9t 0 t 2

     Vậy MM1 P M 1, 2, 11   

Ta có MM1 5 1 22 2 2   3 12  16 16 4   36 6

* Đường thẳng      



x 1 y 1 z 5 :

2 1 6 đi qua A(1,1,5) và có VTCP a2,1, 6 



Ta có    

AM 4,1, 8

Mặt phẳng (Q) đi qua M, chứa   mp (Q) qua A có PVT là     

  AM,a 2,8,2 hay 1,4,1 nên pt (Q): x 5 4 y 2       z 3  0

Pt (Q): x 4y z 10 0   

Cách khác: Mặt phẳng (Q) chứa  nên pt mp(Q) có dạng:

        

x 2y 1 0haym(x 2y 1) 6y z 11 0 Mặt phẳng (Q) đi qua M(5;2; - 3) nên ta có 5 – 4

+ 1 = 0 ( loại) hay m( 5 – 4 + 1) + 12 – 3 – 11 = 0  m = 1

Vậy Pt (Q): x 4y z 10 0   

CÂU IV: 1/ Tính I0/ 4tgx e sinxcosx dx

sinx

I tgxdx e cosxdx dx e cosxdx

cosx

   

 

1 / 4

ln cosx  e  ln 2 e 1

      

2/ Gọi n a a a a a 1 2 3 4 5 là số cần lập

Trước tiên ta có thể xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: ta có: A25 4.5 20 cách

Xếp 1,5 rồi ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại đầu tiên

4 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 2

3 cách chọn 1 chữ số cho ô còn lại thứ 3

* Theo qui tắc nhân ta có: A 5.4.3 20.60 120025   số n

Cách khác : - Bước 1 : xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: ta có: A25 4.5 20 cách

-Bước 2 : có A35 3.4.5 60 cách bốc 3 trong 5 số còn lại rồi xếp vào 3 vị trí còn lại

Vậy có 20.60 = 1200 số n thỏa ycbt

CÂU V Ta có 0 x 1   x x 2

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có

1  21  2 1 

y x yx 2 yx x y

1

x y y x

4

 

Dấu = xảy ra



  

    



 



2 2

0 y x 1 x 1

y

yx

4