Đa thức chuỗi lũy thừa và vận dụng trong toán sơ cấp GS đàm văn nhỉ

Mọi việc đều trôi qua, chỉ chân lý còn tồn tại Tục ngữ NgaVới Bài giảng này, chúng tôi muốn cung cấp cho các thầy cô giáo, họcviên cao học, sinh viên và các em học sinh giỏi những kiến t

và Vận dụng trong Toán sơ cấp

Đàm Văn NhỉĐHSP Hà Nội

Ngày 18 tháng 03 năm 2010

1 Vành đa thức 7

1.1 Vành đa thức và nghiệm đa thức 7

1.1.1 Khái niệm vành đa thức 7

1.1.2 Nghiệm đơn và nghiệm bội 9

1.2 Tính đóng đại số của trường C 11

1.2.1 Số phức và trường C 11

1.2.2 Tính đóng đại số của trường C 13

1.3 Công thức nội suy đa thức 18

1.3.1 Một vài chặn trên cho nghiệm đa thức 18

1.3.2 Công thức nội suy đa thức 20

1.4 Đa thức bất khả quy 24

1.4.1 Tính chất bất khả quy 24

1.4.2 Đa thức bất khả quy trên C và trên R 25

1.4.3 Đa thức bất khả quy trên Q 27

1.4.4 Bất khả quy modulo p 36

1.5 Tính chia hết của đa thức đặc biệt 43

1.6 Số đại số 47

1.6.1 Bao đóng nguyên của vành 47

1.6.2 Số đại số 52

1.6.3 Chuẩn và vết 56

1.7 Phân thức hữu tỷ 59

1.7.1 Phân thức hữu tỷ đơn giản 59

1.7.2 Giải hệ phương trình và tính một vài tổng 63

1.8 Bài tập 67

2 Vành các chuỗi lũy thừa hình thức 71 2.1 Vành các chuỗi lũy thừa hình thức 71

1

2.2 Hàm sinh thường, dãy Fibonacci, dãy Catalan 77

2.3 Làm mất độ phức tạp của dãy truy hồi 82

2.4 Hàm sinh mũ và dãy số Stirling 92

2.5 Hàm sinh của dãy các đa thức Bernoulli 98

2.6 Tích vô hạn, hàm sinh Dirichlet, Zeta-Riemann 104

2.7 Đồng nhất thức Newton 114

2.8 Một vài đồng nhất thức qua hệ phương trình 119

2.9 Chuỗi lũy thừa đặc trưng 129

2.9.1 Phân hoạch số nguyên dương 129

2.9.2 Đa thức đối xứng tối tiểu 130

2.9.3 Đa thức với trọng số 131

2.9.4 Nghiên cứu đa thức Bernoulli và đa thức Todd 134 2.10 Bài tập 134

3 Một vài ứng dụng 137 3.1 Đa thức bậc n > 2 với bất đẳng thức 137

3.2 Vận dụng trong Số học 138

3.2.1 Chuẩn trong vành Z[√d] và Z[√p,√ q] 138

3.2.2 Tồn tại nghiệm nguyên 141

3.3 Vận dụng trong Hình học sơ cấp 150

3.3.1 Đa thức bậc ba liên quan đến tam giác 150

3.3.2 Đồng nhất thức-Bất đẳng thức Ptolemy 175

3.3.3 Bất đẳng thức Hayashi cho đa giác 180

3.3.4 Bất đẳng thức (M, N ) 181

3.4 Tiêu điểm và đường chuẩn của côníc 188

3.4.1 Khái niệm đồ thị phẳng 188

3.4.2 Tiêu điểm và đường chuẩn 191

3.4.3 Tham số hóa một vài đường 194

3.4.4 Đồng nhất thức cho đa giác nội tiếp parabôl 200

3.4.5 Phép biến hình Nab 202

3.4.6 Đồng nhất thức cho đa giác nội tiếp ellíp 204

3.4.7 Đồng nhất thức cho đa giác nội tiếp hypebôl 207

3.5 Dựng hình bằng thước kẻ và com pa 209

3.5.1 Vấn đề đại số về dựng hình [32] 209

3.5.2 Một số bài toán cổ điển về dựng hình 211

3.6 Vận dụng vào tổ hợp 213

3.6.1 Ký hiệu hình thức và chuyển đổi ngược 213

3.6.2 Phương pháp hệ phương trình 219

3.6.3 Vận dụng số phức 239

3.7 Vận dụng vào biểu diễn trong đại số 242

3.7.1 Xây dựng thể quaternion 242

3.7.2 Biểu diễn dạng bậc hai thành tích 244

3.8 Bài tập 247

Mọi việc đều trôi qua, chỉ chân lý còn tồn tại (Tục ngữ Nga)Với Bài giảng này, chúng tôi muốn cung cấp cho các thầy cô giáo, họcviên cao học, sinh viên và các em học sinh giỏi những kiến thức tốithiểu về vành đa thức, chuỗi lũy thừa hình thức cũng như một vài vậndụng của chúng vào việc xây dựng và giải một số bài toán Hình học,Lượng giác, Số học và Đại số sơ cấp.

Nói đến Đại số sơ cấp là người ta thường nói đến phương trình, hệphương trình, bất đẳng thức Một mảnh đất đã được cày xới nhiềulần và quá sâu qua năm tháng Để có thể tiếp cận mảnh đất ấy theocách mới, chúng tôi đã sử dụng vành đa thức, trường C, kết thức, khaitriển đa thức và chuỗi lũy thừa hình thức Vành đa thức được xâydựng một cách tổng quát, tránh được sự khác biệt vai trò giữa x vàcác hệ số thuộc đa thức Trường C được chứng minh là đóng đại số đểkhi giải quyết những vấn đề liên quan tới phương trình chúng ta sẽ cónghiệm của nó Với khái niệm phần tử đại số, ta dễ dàng chỉ ra x làphần tử siêu việt trên trường cơ sở K Từ khái niệm vành, chúng ta

có vành thương, đặc biệt là vành Z[√d], và từ đó đã có thể xét đượcnhiều bài toán nghiệm nguyên Với vành các chuỗi lũy thừa hình thức,chúng ta xây dựng hàm sinh thường, hàm sinh mũ Từ đó, ta có thểgiải quyết dãy số và Giải tích tổ hợp

Ta dễ dàng chia các bài toán Hình học Sơ cấp ra làm hai nhómchính: Nhóm I là nhóm kết quả chủ yếu liên quan đến tỉ lệ giữa cácđoạn thẳng Nhóm II là nhóm kết quả chủ yếu liên quan đến mối quan

hệ giữa độ dài các đoạn với độ lớn góc giữa chúng Một trong nhữngvấn đề được nhiều người quan tâm là hệ thức liên hệ hay giá trị lớnnhất-nhỏ nhất giữa các yếu tố trong tam giác Phát hiện ra kết quảmới và tổng quát hóa bài hình đã biết là một trong số những vấn đề

4

hấp dẫn đối với nhiều người Nhưng làm thế nào để có kết quả mới vàtổng quát hóa như thế nào? Do vậy, giáo trình đặt vấn đề: Xây dựngmột số đồng nhất thức, bất đẳng thức và mở rộng một vài kết quảtrong Hình học Sơ cấp.

Phần tiếp theo là Số học Tuy đã có từ lâu đời, nhưng nó lại là lĩnhvực đã và đang sản sinh ra nhiều bài toán đơn giản trong phát biểu,nhưng quá khó khi giải hoặc chưa có câu trả lời Hơn nữa, Số họccòn được ứng dụng nhiều trong lĩnh vực bảo mật thông tin Do vậy,phương trình nghiệm nguyên và dãy các số nguyên đang được nhiềungười quan tâm Làm thế nào để xây dựng bài toán về số nguyênkhông quá tầm thường? Trong số các phương pháp được sử dụng, đặcbiệt trong Lý thuyết Tổ hợp, chúng tôi xét hàm sinh thường và hàmsinh mũ Từ đó, ta tìm công thức đóng của dãy và tính tổng vô hạn.Các bạn sẽ gặp khó khăn khi muốn trả lời cho câu hỏi về cách thứcxây dựng bài toán sơ cấp Bài giảng với ba chương dưới đây có thểgiúp ta tự phát hiện ra những kết quả và dần trả lời câu hỏi trên.(1) Vành đa thức

(2) Vành các chuỗi lũy thừa hình thức

(3) Một vài ứng dụng

Chương 1 giới thiệu vành đa thức, đa thức bất khả quy, tiêu chuẩnchia hết của đa thức đặc biệt, kết thức, phép khử, tính đóng đại sốcủa trường C Từ đó, ta suy ra điều kiện có nghiệm chung của các

đa thức và sự phân tích đa thức thành tích các nhân tử bất khả quytrong R[x]

Chương 2 trình bày chuỗi lũy thừa hình thức Sau khi chứng minhMệnh đề 2.1.1 chúng tôi đã giới thiệu việc biểu diễn thành chuỗi củamột số hàm và sử dụng hàm sinh thường hoặc hàm sinh mũ để xétmột số dãy số Chúng tôi trình bày công thức chuyển đổi ngược để xéttính chất đặc biệt của dãy Fibonacci và dãy Lucas Ngoài ra, trongchương chúng tôi cũng đã xét hàm Zeta-Riemann và tổng, tích vô hạn.Chương 3 trình bày một số ứng dụng các kết quả đạt được từ Chương

1 và Chương 2 vào nghiên cứu toán sơ cấp Các bạn sẽ thấy cách vậndụng tam thức bậc hai hoặc đa thức bậc cao, khái niệm số đại số,

vành thương, phân thức hữu tỷ, số phức để nghiên cứu một số vấn đềthuộc toán sơ cấp một cách bài bản.

Do khuôn khổ cuốn bài giảng nên chúng tôi chỉ trình bày những

gì cốt lõi, cần thiết nhất về đa thức và vành các chuỗi lũy thừa hìnhthức đủ để vận dụng xây dựng một số bài toán sơ cấp và giải một sốbài thi học sinh giỏi cấp quốc gia hoặc quốc tế Các bạn hãy coi toán

sơ cấp như một dòng sông tuôn chảy ra biển khơi, không bao giờ cạn

Dù có bận việc gì hay say mê một lĩnh vực khoa học nào đó, bạn hãydành chút thời gian nghiên cứu dòng sông ấy để trở lại tuổi học tròchơi vơi nhiều thứ-bơi lại dòng sông quê, một thời đáng nhớ, và pháthiện ra kết quả mới dành làm quà tặng cho thế hệ con cháu đi sau.Theo chúng tôi nghĩ, cuốn giáo trình rất hữu ích đối với sinh viên,học viên cao học, các thầy cô giáo và các em học sinh giỏi toán

Về ký hiệu:

N được ký hiệu cho tập các số tự nhiên

N∗ được ký hiệu cho tập các số tự nhiên dương

Z được ký hiệu cho vành các số nguyên

Q được ký hiệu cho trường các số hữu tỷ

R được ký hiệu cho trường các số thực

C được ký hiệu cho trường các số phức

K được ký hiệu cho một trong ba trường Q hoặc R hoặc C

Xin kết thúc lời nói đầu bằng hai câu căn dặn của nhiều bậc vĩ nhân:

Làm việc là cội rễ của mọi chiến thắngKhát vọng vươn lên là mục đích của cuộc sống

Hà Nội, ngày 18 tháng 03 năm 2010

Đàm Văn Nhỉ

1.1 Vành đa thức và nghiệm đa thức

1.1.1 Khái niệm vành đa thức

Giả sử R là vành giao hoán với đơn vị 1 Ký hiệu P ⊂ RN là tập tất

cả các dãy f = (a0, a1, , an, 0, 0, ) với các ai ∈ R và chỉ có một sốhữu hạn thành phần khác 0, còn lại tất cả bằng 0 Như vậy phần tửthuộc P hoặc có dạng (0, 0, , 0, 0, ) hoặc (a0, a1, , an, 0, 0, )với thành phần cuối cùng an 6= 0 Ta đưa phép toán vào P để biến Pthành một vành

Với f = (a0, , an, 0, ), g = (b0, , bm, 0, ) ∈ P, ta định nghĩa:

f = g khi và chỉ khi ai = bi, i = 0, 1, 2,

f + g = (a0 + b0, a1 + b1, , ak + bk, , 0, )

f.g = (a0b0, a1b0 + a0b1, a2b0 + a1b1 + a0b2, , 0, )

Bổ đề 1.1.1 Tập (P, +, ) là một vành giao hoán với đơn vị (1, 0, 0, )

và ánh xạ φ : R → (P, +, ), a 7→ (a, 0, 0, 0, ), là một đơn cấu

7

Đặt x = x1 = (0, 1, 0, 0, ) và quy ước x0 = (1, 0, 0, ) Ta biểu diễn

ký hiệu deg f (x) Riêng đa thức 0 được quy định có bậc là −∞ hoặc

−1 Vì tính chất đặc biệt của x, xem Hệ quả 1.6.15, nên đôi khi ta gọi

x là một biến trên R và đa thức f còn được viết qua f (x) Hơn nữa, x

Ta có các kết quả sau đây:

Định lý 1.1.2 R[x] là một vành giao hoán Hơn nữa, R[x] còn là mộtmiền nguyên

Định lý 1.1.3 Với các đa thức f (x), g(x) ∈ R[x] và g(x) 6= 0 cóhai đa thức duy nhất q(x), r(x) sao cho f (x) = q(x)g(x) + r(x) vớideg r(x) < deg g(x).

Chứng minh: Ta chứng minh tính duy nhất của q(x) và r(x) : Giả

sử f (x) = g(x)q0(x) + r0(x), với deg r0(x) < deg g(x) Khi đó 0 =g(x)(q(x) − q0(x)) + r(x) − r0(x) hay g(x)(q(x) − q0(x)) = r0(x) − r(x)

Vì deg[r0(x) − r(x)] < deg g(x) nên r(x) = r0(x) và q(x) = q0(x).Tiếp theo, ta chỉ ra sự tồn tại của biểu diễn: Nếu deg g(x) > deg f (x)thì f (x) = 0.g(x) + f (x) Nếu deg f (x) > deg g(x) thì ta dễ dàng chọnđược một đa thức h(x) sao cho f1(x) = f (x) − g(x)h(x) thỏa mãndeg f1(x) < deg f (x) Nếu deg f1 < deg g thì ta đã có q(x) = h(x) vàr(x) = f1(x) Nếu deg f1(x) > deg g(x) thì lặp lại quá trinh vừa rồi.Sau một số hữu hạn lần ta sẽ có được thương hụt q(x) và dư r(x).1.1.2 Nghiệm đơn và nghiệm bội

Giả sử trường K là trường con của trường K∗ Với α ∈ K∗ và đa thức

m = 1 thì α được gọi là nghiệm đơn

Định lý 1.1.4 Đa thức f (x) ∈ K[x] bậc n> 1 Khi đó có kết quả:(i) Nếu α ∈ K là nghiệm của f (x) thì f (x) = (x − α)g(x) với đathức g(x) ∈ K[x]

(ii) f (x) có không quá n nghiệm phân biệt trong K

5 là số vô tỷ Trong R[x] ta có sự phân tích

x4−14x2+9 = (x−√

2−√5)(x+√

2+√5)(x−√

2+√5)(x+√

2−√5).Mệnh đề 1.1.6 Với hai hàm f và g ta luôn có

Ví dụ 1.1.8 Với tất cả các số ai, bj phân biệt, giải hệ phương trình:

−(x − a1)(x − a2) (x − an) Cho x → bi ta được f (bi) = xig0(bi).Vậy xi = f (bi)

Bài giải: Trong lân cận đủ nhỏ của điểm 0 ta thấy ngay 1 − αix > 0với i = 1, 2, , n Ta sẽ có ln f (x) = −

n

P

i=1

ln(1 − αix) và ta nhậnđược f

f (x)g(x) Dễ dàng kiểm tra f0(0) = α1 + α2 + · · · + αn > 0 và mỗiđạo hàm cấp s của g(x) tại x là g(s)(x) = s!

n

P

i=1

αs+1i(1 − αix)s+1 Đặc biệt



j!

j!

Xét Tích Carte T = R × R = {(a, b)|a, b ∈ R} và đưa ra định nghĩa:

(a, b) = (c, d) khi và chỉ khi a = c, b = d(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

Để đơn giản, viết (a, b).(c, d) qua (a, b)(c, d) Từ định nghĩa phép nhân:(i) Với i = (0, 1) ∈ T có i2 = i.i = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0)

(ii) (a, b)(1, 0) = (a, b) = (1, 0)(a, b)

(iii) (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1), ∀ (a, b) ∈ T

Ký hiệu C là tập T cùng các phép toán đã nêu ra Ta có kết quả sau:

Bổ đề 1.2.1 ´Anh xạ φ : R → C, a 7→ (a, 0), là một đơn ánh và nóthỏa mãn φ(a+a0) = φ(a)+φ(a0), φ(aa0) = φ(a)φ(a0) với mọi a, a0 ∈ R

Đồng nhất (a, 0) ∈ C với a ∈ R Khi đó có thể viết (a, b) = (a, 0) +(b, 0)(0, 1) = a + bi với i2 = (−1, 0) = −1 Do đó i hay a hoặc a + bi

là bình đẳng trong C

Như vậy C = {a + bi|a, b ∈ R, i2 = −1} và trong C có kết quả sau:

a + bi = c + di khi và chỉ khi a = c, b = d

a + bi + c + di = a + c + (b + d)i(a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i

Mỗi phần tử z = a+bi ∈ C được gọi là một số phức với phần thực a, kýhiệu <z, và phần ảo b, ký hiệu Im z; còn i được gọi là đơn vị ảo Số phức

a − bi được gọi là số phức liên hợp của z = a + bi và được ký hiệu qua

z = a + bi Dễ dàng kiểm tra zz = (a+bi)(a−bi) = a2+b2, z1z2 = z1z2

và gọi |z| =√

zz là môđun của z Số đối của z0 = c+di là −z0 = −c−di

và hiệu z − z0 = (a + bi) − (c + di) = a − c + (b − d)i

Xét mặt phẳng tọa độ (Oxy) Mỗi số phức z = a + bi ta cho tươngứng với điểm M (z) = M (a; b) Tương ứng này là một song ánh

C → R × R, z = a + bi 7→ M (a; b)

Khi đồng nhất C với (Oxy) qua việc đồng nhất z với M, mặt phẳngtọa độ với biểu diễn số phức như thế được gọi là mặt phẳng phức haymặt phẳng Gauss để ghi công C Gauss-người đã đưa ra biểu diễn.Mệnh đề 1.2.2 C là một trường chứa trường R như một trường con.Chú ý rằng, nghịch đảo của z 6= 0 là z−1 = z

là argument của z, được ký hiệu bởi arg z Argument của số phức 0không định nghĩa

Chú ý rằng, nếu α là một argument của z thì mọi argument của z đều

có dạng α + k.2π với k ∈ Z Với z 6= 0, ký hiệu α + k.2π là Argumentcủa z Ký hiệu r =√

zz Khi đó số phức z = a + bi có a = r cos α, b =

r sin α Vậy khi z 6= 0 thì có thể biểu diễn z = r cos α + i sin α
vàbiểu diễn này được gọi là dạng lượng giác của z

Mệnh đề 1.2.4 Với số phức z1, z2 cùng biểu diễn z1 = r1 cos α1 +

i sin α1
, z2 = r2 cos α2 + i sin α2
, r1, r2 > 0, ta luôn có

(i) |z1z2| = |z1||z2|, |z1

z2| = |z1|

|z2| và |z1 + z2| 6 |z1| + |z2|(ii) z1z2 = r1r2 cos α1 + α2
+ i sin α1 + α2

1.2.2 Tính đóng đại số của trường C

Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng, mọi đa thức bậc dương thuộc C[x] đều cónghiệm trong C Đó chính là nội dung Định lý cơ bản của đại số.Người đầu tiên chứng minh định lý này là nhà toán học C Gauss(1777-1855)

Định nghĩa 1.2.7 Trường K được gọi là một trường đóng đại số nếumọi đa thức bậc dương thuộc K[x] đều có nghiệm trong K

Như vậy, trong K[x] mọi đa thức bậc dương đều phân tích được thànhtích các nhân tử tuyến tính khi K là một trường đóng đại số.

Định lý 1.2.8 [d’Alembert-Gauss, Định lý cơ bản của đại số]Mọi đa thức bậc dương thuộc C[x] đều có ít nhất một nghiệm thuộc C.Đôi khi để tìm mối liên hệ giữa các nghiệm hay một tính chất nào đócủa nghiệm đa thức ta thường xét bài toán trên C và sử dụng kết quả:Định lý 1.2.9 [Viét] Giả sử x1, , xn là n nghiệm của đa thức bậc

Ví dụ 1.2.11 Giả sử dãy số nguyên (an) và (bn) xác định như sau:

Bài giải: (i) Xét bài toán trên C Phương trình f (x) = x3 − 2x2 +5x − 1 = 0 Gọi ba nghiệm của nó trong C là x1, x2, x3 Dễ dàng kiểmtra x01 + x02 + x03 = a0, x1 + x2 + x3 = a1, x21 + x22 + x23 = a2, tổng quát

an = xn1 + xn2 + xn3, n > 0

Tương tự bn = yn1 + yn2 + y3n, n > 0, trong đó y1, y2, y3 là ba nghiệm củag(y) = y3 + 4y2 + 9y + 9 = 0 Kiểm tra trực tiếp: f (y + 2) = g(y) vàg(x − 2) = f (x) Vậy ta nhận được các hệ thức sau đây và suy ra (i):

an = xn1 + xn2 + xn3 = (y1 + 2)n + (y2 + 2)n + (y3 + 2)n

bn = y1n+ yn2 + y3n = (x1 − 2)n + (x2 − 2)n+ (x3 − 2)n, n > 0.(ii) Từ ap = xp1+ xp2 + xp3 = (x1 + x2 + x3)p−

i+j+k=p

P

06i,j,k<p

p i,j,k
xi

1xj2xk3 là số nguyênchia hết cho p Do đó ap ≡ 2p(mod p) Nếu p = 2 thì a2 = −6 chia hếtcho 2 dư 0 Nếu p > 2 thì ap ≡ 2p ≡ 2(mod p) Vậy dư bằng 2

Ví dụ 1.2.12 Giả sử dãy số nguyên (an) xác định như sau:

(

a1 = 0, a2 = 2, a3 = 3

an+3 = an+1+ an, n > 1

Khi đó ap chia hết cho p khi p là số nguyên tố

Bài giải: Đây là bài toán về dãy các số nguyên, nhưng được xét trên

C Phương trình f (x) = x3 − x − 1 = 0 Gọi ba nghiệm của nó trong

C là x1, x2, x3 Đặt a0 = 3 Dễ dàng kiểm tra x01 + x02 + x03 = a0,

x1 + x2 + x3 = a1, x21 + x22 + x23 = a2, tổng quát

an = xn1 + xn2 + xn3, n > 0

1xj2xk3 là số nguyênchia hết cho p Do đó ap ≡ 0(mod p).

Một số bài toán tiếp theo dưới đây được xét trong Z[x], nhưng mangchúng đặt trong C[x] để giải dễ dàng hơn

Ví dụ 1.2.13 [USA 1976] Bốn đa thức f (x), g(x), h(x) và k(x)thuộc Z[x] thỏa mãn đồng nhất thức f (x5) + xg(x5) + x2h(x5) = (x4+

x3+ x2+ x + 1)k(x) Khi đó f (x), g(x), h(x) chia hết cho x − 1 và ướcchung lớn nhất

1 z z2

1 z2 z4

1 z3 z6

6= 0 nên f (1) = g(1) = h(1) = 0 và ta có

f (x), g(x), h(x) chia hết cho x − 1 Với x = 2013 ta có các số thỏa mãn

f (2013), g(2013), h(2013) đều chia hết cho 2012 Như vậy, ước chunglớn nhất thỏa mãn f (2013), g(2013), h(2013)
> 2012

Ví dụ 1.2.14 [IMO 1973] Với mọi số nguyên dương n ta luôn có

√2n + 1

Bài giải: Xét đa thức x2n+1− 1 trên C với 2n + 1 nghiệm và biểu diễn

√2n + 1

Ví dụ 1.2.15 Với hai số phức z và z0 ta đặt u = √

zz0 Chứng minhrằng |z| + |z0| =

z −√

z0)22

... đa thức g(x) có đa thức h(x) ∈ K[x]

để f (x) = g(x)h(x) Đa thức f (x) ∈ K[x] gọi đa thức khả quytrên K có hai đa thức g(x), h(x) ∈ K[x] với deg g, deg h > thỏamãn f (x) = g(x)h(x) Đa. .. sử đa thức f (x) thuộc vànhK[x] Trước tiên ta nhắc lại vài khái niệm, chẳng hạn: Tính chiahết, khả quy bất khả quy đa thức

Định nghĩa 1.4.1 Giả sử hai đa thức f (x), g(x) ∈ K[x] Đa thức. .. > −2.1.3.2 Công thức nội suy đa thức

Một số đồng thức thường sử dụng vành đa thức K[x].Định lý 1.3.9 Giả sử K trường có nhiều vơ hạn phần tử Cho

f g hai đa thức K[x1,