Một số vấn đề về lý thuyết xấp xỉ tốt nhất, bậc của xấp xỉ và ứng dụng trong toán sơ cấp

Xấpxỉđềutốtnhấttrongkhônggiancáchàmliêntục nhờhệđơnthức1,x,x2...,x n……….. Xấpxỉđềutốtnhấttrongkhônggiancáchàmliêntục nhờhọphituyến……… 27 Kếtluậnchương2……….... Chương1 MỘTSỐKIẾNTHỨCCHUẨNB

LỜICẢMƠN

TôixinđượcbàytỏlòngbiếtơnsâusắcđốivớiTS.NguyễnVănKhảiđãtậntìnhhướngdẫn,giúpđỡtôitrongsuốtquátrìnhthựchiệnđềtài

TôixintrântrọngcảmơnBanGiám

hiệuTrườngĐạihọcSưphạmHàNội2,Phòngsauđạihọc,KhoaToánđãtạomọiđiềukiệnthuậnlợivàgiúpđỡtôitrongq u á trìnhhọctậpvàhoànthànhluậnvăn

Tôix i n trântrọngcảmơnSởG i á o d ụcvàđàot ạoPhúThọ,T r ườngTHPTYênLập,THPTMinhHoàđãtạomọiđiềukiệngiúpđỡđểtôiyêntâmhọctậpvàh o à n thànhtốtluậnvăntốtnghiệp

Xincảmơngiađìnhvàbạnbèđãđộngviêntôitrongsuốtquátrìnhhọctậpvànghiêncứu

HàNội,tháng10năm2009

Tácgiả

Tôixincamđ oanđâyl à c ô n g t r ì n h nghiêncứucủatôidướisựhướngd ẫnk h o a họccủaTiếnsĩNguyễnVănKhải.Tôiđãđọc,nghiêncứutàiliệu,tổnghợp,vậndụngkiếnthứcđểviếtnênluậnvănnày

HàNội,tháng10năm2009

Tácgiả

Trang

Lờicảmơn……… 1

Lờicamđoan……… 2

Mụclục……… 3

Mởđầu……… 5

Chương1:MỘTSỐKIẾNTHỨCCHUẨNBỊ……… 7

1.1.Khônggianmetric……… 7

1.2.KhônggianBanach……… 8

1.3.KhônggianHilbert……… 9

1.4.Hàmgiảitích……… 13

Chương2:XẤPXỈTỐTNHẤT……… 15

2.1 Bàitoáncơbảncủaxấpxỉtuyếntính……… 15

2.2 Tínhduynhấtcủaxấpxỉtốtnhất……… 18

2.3 Xấpxỉđềutốtnhấttrongkhônggiancáchàmliêntục nhờhệđơnthức1,x,x2 ,x n………. 20

2.4 Xấpxỉđềutốtnhấttrongkhônggiancáchàmliêntục nhờhọphituyến……… 27

Kếtluậnchương2……… 29

Chuơng3:BẬCCỦAXẤPXỈ……… 30

3.1.Phépđocácxấpxỉtốtnhất……… 30

3.2 Bậccủaxấpxỉtrongkhông gianHilbert……… 36

3.3 Bậccủaxấpxỉtrongkhônggiancáchàmliên tục……… 39

Kếtluậnchương3……… 47

Chương4:MỘTVÀIỨNGDỤNGCỦALÝTHUYẾTXẤPXỈ ĐỀUTỐTNHẤTTRONGTOÁNSƠCẤP……… 48

4.1 Xấpxỉđềutốtnhấtbằngđathứcbậckhông……… 48

4.2 Xấpxỉđềutốtnhấtbằngđathứcbậcnhất……… 48

4.3 Mộtvàiứngdụngtrongtoánsơcấp………

51K ếtluậnchương4……… 62

Kếtluậncủaluậnvăn………

1 Lýdochọnđềtài

Mộttrongnhữngvấnđềcổxưanhấtcủatoánhọcvàliêntụcpháttriểncùngvớiquátrìnhpháttriểncủatoánhọclàlýthuyếtxấpxỉhàm.Đâylàlĩnhvựcvừac ó ýnghĩakhoahọccótínhlýthuyếtsâusắcvừacótínhứngdụngthựctiễncao.C á c kếtquảđạtđượcthuộclĩnhvựcnàyvừathúcđẩysựpháttriểncủatoánhọclýthuyết,vừalàmtiềnđềchocácngànhcủatoánhọcứngdụngcũngnhưcácngànhk h o a họckỹthuật, kinhtế…

Mộttrongnhữngvấnđềcơbảncủalýthuyếtxấpxỉhàmlà:ChoXlàkhông

giantuyếntínhđịnhchuẩn, y

X làmộtphầntửbấtkỳvàAlàkhônggianconhữuhạnchiềucủaX.Hãytìm x0

Dovậytôiđãquyếtđịnhchọnđềtài‘‘Mộtsốvấnđềvềlýthuyếtxấpxỉtốtnhất,bậccủa

xấpxỉvàứngdụngtrongtoánsơcấp’’đểthựchiệnluậnvăncủamình.

2 Mụcđíchnghiêncứu

Làmrõ,trìnhbàyhệthốngmộtsốvấnđềvềxấpxỉtốtnhấtvànêumộtsốứngdụngtrongtoánsơcấp

3 Nhiệmvụnghiêncứu

Lýthuyếtxấpxỉt ốtn h ấttrongkhônggiantuyếnt í n h địnhchuẩnv à t r o n g k h ô n g

giancáchàmliêntụcC [a,b].

Lýthuyếtbậcxấpxỉvàcáctrườnghợpcụthểtrongkhônggiancáchàmliênt ụcC [a,b],trongkhônggianHilbert

Ứngdụngcủalýthuyếtxấpxỉđềutốtnhấtđểgiảivàsángtạomộtlớpbàitoánsơcấp

Chương1 MỘTSỐKIẾNTHỨCCHUẨNBỊ

1.1Khônggianmetric

Địnhnghĩa1.1.1.ChoXlàmộttậpkhác rỗng.

Hàmd:X X

,đượcgọilàmộtkhoảngcách(haymetric)nếucáctiênđềsauđượcthoảmãn:

1)d (x,y)0x,yX đồngthờid (x,y)0xy;

L p[ a,b]l à khônggiancáchàmsốbìnhphươngkhảtích trênđoạn[a,b],

0 chỉtrênmộttậpcóđộđo0).Tatrangbịtrênt

p [ a,b] mộttíchvôhướngbằngcáchđặtvới x(t),y(t)L p [ a,b]

Khônggian

b (x,y)∫p(t)x(t)y(t)dt.

a

L p[ a,b]vớitíchvôhướngtrênlàmộtkhônggianHillbert.

Địnhnghĩa1.3.4.ChokhônggianHilbertH.Haiphầntử x,yH gọilàtrực giaovàkýhiệuxy nếu(x,y)0.

Phần

Địnhnghĩa1.3.5.ChokhônggianHilbertH v à tậpconAH,A.

tửxHg ọilàtrựcgiaovớitậpAnếu xyy A vàkýhiệu xA

Địnhlý1.3.2(địnhlýPythagore).Nếu x,y H vàxy thì

hạnhayđếmđượccácphầntử,baogiờcũngcóthểbiếnhệthốngnàythànhmộth ệtrựcchuẩnnhờquátrìnhtrựcgiaohoáHilbert-Schmidtnhưsau:

(y,e)|2.

1.4.2 ChuỗiTaylor

Giảsử f: (a,b) khảvivôhạntại

'()

x0(a,b).Khiđóchuỗihàm (n)

(xx) n

gọilàchuỗiTaylorcủa

f(x) tại x0.

Nếu0 (a,b)v à x

00thìchuỗicódạng

f(x0)

f '(0)1!

x



f (n)(0)

x n n!



gọilàchuỗiMaclaurincủaf.

n

lim sup n | an |n

Chương2 XẤPXỈTỐTNHẤT

Nhậnxét.C h o x1,x2, ,x nX làcơsởt r o n g A.Tậph ợpc á c tổh ợptuyến

tínhcủa a1x1a2x2 a n

tínhcủa x1,x2, ,x n làphầntửa1x1a2x2 a n x n xácđịnhbởibởi

"y(a1x1a2x2 a n x n )" inf

ậytacóthểgiớihạnviệctìmxấpxỉtốtnhấttrong.Do  làtậpđ óng,bịchặntrongkhônggianhữuhạnchiềuAnên  compact

Xéthàm(x)"yx",tacó

axn | a, ,aaxb () ( 0 1 2 n )

dimA.Á p dụngđịnhlý2 2 1 tồntạiđ athứcxấpx

ỉtốtnhấtcủaphầntửfnghĩalà

P n (x)a0 a1x a n xlà

P

"f(x)P(x)" p

mi n

b

∫|f(x)(a  axax2

 axn )|p dxinf" f  Q" p n

0 1i 2i ni

min (f(x)(a ax

ax2 axn ))2cónghiệm

n

thoảmãnf() f() thìcómộtđathứclượnggiácbậc

T n (x)∑a k coskx∑b k sinkx

Hệquả2.1.8.ChoB làmiềnbịchặntrongmặtphẳngphứcz Cho f(z)l à

hàmgiảitíchtrongB vàliêntụctrongB Bàitoántìm

minmax|fz  aazaz2

azn | a, ,aaxb () ( 0 1 2 n )

cónghiệm

2.2 Tínhduynhấtcủaxấpxỉtốtnhất

Theođịnhlý2.1.1xấpxỉtốtnhấtluôntồntạinhưngcóthểkhôngduynhất.V ậyvớiđiềukiệnnàothìbàitoántìmxấpxỉtốtnhấtc ó nghiệmduynhất?

Sauđâysẽlàmộtđiềukiệnđủđểbàitoánxấpxỉtốtnhấtcónghiệmduynhất

Địnhnghĩa2.2.1.KhônggiantuyếntínhđịnhchuẩnXđượcgọilàlồithựcs ựnếu

x,y0,"xy""x""y"⇒yx(>0) (2.2.1)Ýnghĩahìnhhọccủahệthức(2.2.1)làmặtcầuđơnvịtrongkhônggianlồithựcsựkhôngchứabấtkỳđoạnthẳngnào

"yy1 yy2

""yy1""yy2"

DoXlồithựcsựnên

yy2 y y1(

 0)

Địnhlý2.3.2(ĐịnhlýChebyshev).Điềukiệncầnvàđủđểđathức PPlàđathứcxấpxỉđềutốtnhấtcủaChebysh

|f(x i )P(x i )|"f P"(i0,1, ,n1)

Suyra

có

 min | f(x i )P(x i )|"f i0,1, ,n1

 P".TheođịnhlýValée-Poussin ta

="f P"E

n (f)⇒"f P"E n (f).

TừtínhduynhấtcủaxấpxỉđềutốtnhấtsuyraPlàđathứcxấpxỉđềutốt nhấtcủa f C [a,b].

) cóthểlấyZ k1 saocho|f(x)Q n (x)|L,với Z k1  xyk .

Đặt Z

0a,Zmb.Theophépxâydựngt r ê n thìmỗiđ oạn [Zi1 ,Z i ] (i 1,2, ,m) cóđ iểm y i ởđósaocho f(y i )Q n (y i )(1) i1

L vàkhôngc ó điểmx đ ể

f(y)Q( y)(1) i L

|f(Z)Q d (

Z)||f(Z)Q(Z)|<L.Từđósuyra

f(x)Q d ( x)L x[Z0,Z1]

Suyr a |f(x)Q d ( x)|Lx[a,b].Vậy

i1 Max|f(x)Q d0(

x)|L tráiv ới

n

x[a,b] n giảthiếtQ n( x)l à xấpxỉđềutốtnhất.Suyra mn2.Địnhlýđượcchứngminh.

ĐịnhlýChebyshevchotatiêuchuẩnkiểmtramộtđathứccóphảilàđathức

xấpx ỉđ ề ut ốtnhấtcủah à m ch

ứng

f C [a,b] haykhông? N ó c ũngđ ư ợ csửd ụngđ ể

Tacó(1i)|Q(xi ) f(x i )|(1i )E n (f)2E n (f) hayi1.TừđâysuyraP(x i )Q(x i )(i0,1, ,n1)h ayPQ.Địnhlýđượcchứngminh.

P"En (f).

|f(x)P(x)|"f(x)P(x)"E n (f)x[1,1]

Suyra P(x) cũnglàđathứcxấpxỉđềutốtnhấtcủaf Dotínhchấtduy

nhấtcủaxấpxỉđềutốt nhấtsuyra P(x)P(x)x[1,1].

đoạn[a,b]thì

fC n [a,b] còn f (n1) (x) bịchặnv à khôngđ ổ idấut r ê n

2 2 2(n1) (k1,2, ,n1)tacó f(x k

GiảsửQ làđathứcxấpxỉđềutốtnhấtcủahàmf t r ê n [a,b],khiđótheo

địnhlýChebyshevfQ đổid ấu n

2

lầnnênfQ cóítn h ất n

1 không

điểm y i (i1,2, ,n1)saocho f(y i )Q(y i )(i1,2, ,n1)

NhưvậyQ làđ at h ứcn ộisuyc ủahàm f vớic á c mốcnộisuy

E n (f)|a n1| .

22n1 ĐathứcQcóbậckhôngquán ,ngoàira

Giải.Vì

f(x) làhà m sốl ẻnênđ athứcxấpx ỉđềutốtnhấtbậchaivà bậc nhấttrùngnhau.Tatìmđathứcbậchaixấpxỉtốtnhấtf,theohệquả2.3.2tacó

Q(x)x3T3(x)

3x

tốtnhấtQ(x)ax b củaftrênđoạn[-1,1]cũnglàhàmchẵnsuyra a0.Khi

đóđathứcxấpxỉđềutốtnhấtbậcnhấtc ủahàmsố f(x)3 x cũngchính làđa

thứcxấpxỉđềutốtnhấtbậckhôngcủaftr ên đoạn[-1,1].

toántìm min max|f(x) ax naxn1 an|cónghiệm

R(x) A k (x),

A (x)

n m

∑j j0

axb

k

j a

Dođiềukiệnchuẩnhoácáchệsốcủab (k) làbịchặn,hệsố (k)

i cũngbịchặn.Từ(2.4.1)tacó

chọnmộtdãycon p hộitụđếnđiểm

i

p'(a',a', ,a';b',b', ,b').Xétcáchàmhữutỉtươngứngvớidãycon

lima (k)a'(i1,2, ,n)

pnàytacó

i

k i i limb (k)b' (j1,2, ,m). (2.4.4)Khiđó

k j j

R'(x) a0x

a'x

 b'

vàchọn x[a,b]với D(x)0.TaphảicólimR(x)R'(

x).Tacó k k

x)||f(x)R(x)||R(x)R'(

x)|, 0.Vìvậy

 Chứngminhđượctrongkhônggiantuyếntínhđịnhchuẩnlồithựcsựxấpx ỉtốtnhấttồntạiduynhất

 Chứngminhđượcđiềuki ệncầnvà đủđể

PPl àđathứcxấpxỉtốt

nhấtcủa fC[a,b] ,P đ ư ợ cgọilàđathứcxấpxỉđềutốtnhấtcủaf.

 Chứngminhđịnhlývềsựtồntạinghiệmcủabàitoánxấpxỉđềutốtnhấttrongkhônggiancáchàmliêntụcnhờcáchọphituyến.

Chương3BẬC CỦAXẤPXỈ

3.1 Phépđocácxấpxỉtốtnhất

Địnhnghĩa3.1.1.ChoXlàkhônggianđịnhchuẩnvàx i làdãycácphầntửđộclậpcủaX.Vớibấtkì y X cóthểxấpxỉtốtnhấtytừtrongtổhợptuyến

x1,x2 ,x n ,x n1nên

E1(y)E2(y) E n (y)0. (3.1.2)

Địnhlý3.1.1.ChoXl à k hô ng giantuyếnt í n h địnhc h u ẩn,vớimọi yX,

i1

2) E n ( yz)

En (

E n (y)||En (y). (3.1.11)Kếthợp(3.1.10)và(3.1.11) tacó E

n (y)||E n (y).

Nếu

0 thìmệnhđềhiểnnhiênđúng.

E n (y(t1(1t)2)z)E n (t(y1z)(1t)y2z)

tEn (y1z)(1t)E n (y2z) suyra E n (y

i1

=E j1 (xaj1 x j1 )E j (xaj1 x j1).

E n (0b n1 x n1 )e n . thoảmãn

Từe n1  e

n theobổđề(3.1.1),tồntạib n thoảmãn

E n1(bn x nbn1 x n1 )e n1

E n (b n x nbn1 x n1 )E n (b n1 x n1 )e n . Vìe n2 e n1 nêntồntạib n1thoảmãn

 e2 0,lime n0,tacóthểtìm

thoảmãn E( y )

e (k1,2, ,n) và" y "e.Tasẽchỉra

rằngcómộtdãyconcủay n hộitụđếny

Vớimỗi

k(k1,2, ) xét

làt ổh ợptuyếnt í n h c ủa

x1,x2, ,x k chomộtxấpxỉtốtnhất của y n khiđó"y nzn,k " "y n ".

j 1 nghĩalà lim"wp kz n,k "0,vớipđ ủ lớn(phụthuộck )tacó p

"wkz n,k "e k vàe E(

E k (y n

)"y

p p

k

 ∑j1 d j x j " e k

n fC [a,b] thoảmãn E n (f)e n (n0,1, ).

(f,g)∫∫f(z)g(z)dxdy,f,gL2

(

B),tíchvôhướngnày B

1

sinhrachuẩn"f "∫∫|f(z)|dxdy Theođịnhnghĩabậccủaxấpxỉ

Nếuf giảitíchtrong|z|, 1,nhưngkhônggiảitíchtrong|z|<' với

kn1 k1

k 

11

1limsupE n (f)n( ).

thìC [a,b]cùngvớichuẩn" "làkhônggianBanach

Cho f(x)C [a,b] theođịnhnghĩab ậcc ủaxấpxỉv ới XC [a,

b]

vàdãycác

phầntửđộclậplà1,x,x2, ,x n, tacóbậcxấpxỉcácđơnthức1,x,x2,

,x nso với f(x)l à

f(x)∑(c k coskxdk sinkx)|

c i ,d i x[a,b

41Fourierc ủa

f(x) nhưsựsosánhhàmkhôngcócơsởđểkhẳngđịnhđólàđánh

giátốtnhấtcủa E

n( f).SauđâytaxétmộtsốđịnhlýcủaJackson,ởđóôngđãtìm

ranhữngđathứclượnggiáckhácdẫnđếnnhữngướclượngtốthơn

2

 a a).

Từa sin0a sinn20,t a được

n2

cos (a a n2

0 1

 an )a0a1 a1a2 a n1 a n .

Cáchệsốcủaco s ttrong

K˜ n (t)là 2A n (a0a1 a1a2  a n1 a n )

2 n

Chứngminh.Đặt g(x) f(cosx) tacógliêntục,tuầnhoàn,xácđịnhtrên

[,].Sửdụn

g K˜ t) n ( trong dạng n( f;x)ởbổđề3.3.4tacó

∑

n (g;x) a0

2

n

∑

k1

nk a k coskx vớia k

n,k a k cos(karccosy)|1 2

n; f k1

từc o s ( karcosy)T k( y)l à đathứcChebyshev

giátốcđộhộitụvàướclượngcủa E n (f).

Chương4 MỘTVÀIỨNGDỤNGCỦALÝTHUYẾTXẤPXỈĐỀUTỐTNHẤTTR

ONGTOÁNSƠCẤP

4.1 Xấpxỉđềutốtnhấtbằngđathứcbậckhông

Bàitoán.Cho fC[a,b] ,tìmhằngsốk đ ể max|f(x)k|đạtm i n

axb Giải.Gọi

Cx1x2;f(x1)f(x2)),Dx1x2;f(x1x2)).Khiđóbấtđẳngthức f(xy)f(x)f

BC

4.2.2 xấpxỉđềutốtnhấtbằngđathứcbậcnhất

[a,b] làhàmlồitrênđoạn[a,b].Tìmđathứcbậc nhấtQ(x)a0xa1đểmax|f(x)(a0xa1)|đạtm i n

axb Giải.Với f(x) làhàmlồitrênđoạn[a,b],nếu f(x) làhàmtuyếntínhthìđa

L, f(c)(a L, 0a1c) f(b)(a0 a1b)L trongđó L"f Q", 

2x trên[-1,2]l à P(x)

47.8

g(x)

18

498

Từb ảngbiếnt h i ê n t a t h ấy

max|g(x)|=49.Vậyvới

a47

x[ ,  ]

Tacó

Suyra

2K|g(M)|+|g(m)||g(M)g(m)|=|Mm|=Mm.

K=max|f(x)a| Mm.

Từđótacó

x[ ,  ] 2M

Bước1:X á c định2điểmA(,f()),B(,f ()),viếtphươngtrìnhđườngthẳng

AB:ykxm

Hình4.3.1

BA

VậycácđiểmA(1,1),B(1,1) thuộcđồthịhàmsốf(x)x2.

KhiđóphươngtrìnhđườngthẳngABlà y1.Suyraphươngtrìnhtiếptuyếncủađồthịhàmsố

f(x)x2 vàsongsongv ớiđ ư ờ ngt h ẳngA B l à

xỉđềutốtnhấtcủanótrênđoạn[1,1]cũnglàhàmchẵn⇒a0.

12

Dođóđ athứcxấpxỉđềutốtn hấtbậcnhấtcủa f(x)x2 cũngchínhlàđ athứcxấpxỉđềutốtnhấtbậckhôngtrênđoạn[1,1].Tacó

maxf (x)1,

1x1 minf (x)=0.

1x1Suyrađathứcxấpxỉđềutốtnhấtbậckhôngtrênđoạn[1,1]là

Trườnghợp1 : a0,tacó2M|g(1)g(0)||1a|.Vì a

Vậyvớia 0,b1

thìGTNNđạtđược max|x21|

1

n x

Vídụ4.3.4.Tìma,b đ ể max|

x[0,1]  (axb)|đ ạ tm i n

Lờigiảinhờl ý thuyếtx ấpx ỉđ ề utốtnhất.Yêucầubàitoánt ươngđ ư ơ ng

với:Tì m đathứcbậcnhất Q(x)ax

 1n1

     Dođóphươngtrìnhtiếptuyếncủa f(x) tại

thì

n n  1  

x n

x[0,1] 2nn 2nn

Thôngquacácvídụtrênchúngtôicóthểđưaralờigiảisơcấptổngquátcho

x[ ,  ]Tính

Bài tậptương tự:

1 Tìmmđ ể max|cosxm|đạtGTNN.

x[0,] 2

2 Tìmm đểmax|2 x + m|đạtm i n

0x1

Trongchươngnàychúngtôiđãtrìnhbày:

 Haitrườnghợpđặcbiệtcủaxấpxỉđềutốtnhấtcủacáchàmliêntục,đưaralờigiảitổngquátd ựat r ê n lýthuyếtx ấpx ỉđềut ốtnhất,c ù n g lờigiảis ơcấpt ươngứngtrongviệcvậndụngxấpxỉđềutốtnhấtbằngđathứcbậckhôngvàxấpx ỉđềutốtnhấtbằngđathức bậcnhất

 Vậndụngxấpxỉđềutốtnhấtbằngđathứcbậckhôngvàxấpxỉđềutốtn h ấtbằngđathứcbậcnhấtđểgiảivàsángtạoramộtlớpcácbàitoánsơcấp

Qualuậnvăn‘‘Mộtsốvấnđềvềlýthuyếtxấpxỉtốtnhấtbậccủaxấpxỉvà

ứngdụngtrongtoánsơcấp’’,chúngtôiđãthực hiệnđược:

1 Nghiêncứumộtcáchtươngđốicóhệthốngvềmộtsốvấnđềcơbảncủalýthuyếtxấpxỉtốtnhấtt r o n g không giantuyềnt í n h địnhc h u ẩn,xấpxỉđề utốt

nhấttrongkhônggiancáchàmliêntụcnhờhệđơnthức1,x,x2 ,x n,tốtnhấttr

ongkhônggiancáchàmliêntụcnhờhọphituyến

xấpxỉđều

2 Địnhnghĩabậccủaxấpxỉtốtnhấttrongkhônggiantuyếntínhđịnhchuẩn,v à nghiêncứucáctrườnghợpcụthểđiểnhình:bậccủaxấpxỉtrongkhônggianH i l b e r t vớimộttíchvôhướngxácđịnh,bậccủaxấpxỉtrongkhônggiancáchàml i ê n tục

3 Ứngdụngmộtvàitrườnghợpđặcbiệtcủalýthuyếtxấpxỉtốtđềunhấtđể

giảivàsángtạoramộtlớpbàitoánsơcấpchohọcsinhkhá,giỏiởTHPT

Mặcd ù đãc ó n h i ềuc ốgắng,s o n g d o s ựh ạnh ẹpvềthờigian,đ iềuk i ệnn g h i ê ncứuvàtrìnhđộ,luậnvănkhôngtránhkhỏinhữngnhượcđiểmsaisót.Kínhmongsựgópýchânthànhcủacácthầygiáo,côgiáo,củacácbạnquantâmđểđềt à i được hoànthiệnhơn

[7]PhanVănH ạp(1981),Cácphươngp h á p g i ảig ầnđúng,N X B Đạih ọcv à T r u n g

họcchuyênnghiệp,Hà Nội

[8]PhanVănHạp,LêĐìnhThịnh(1984),Cácphươngpháptoánhọctínhtoán,N X B Đại

họcvàTrunghọcchuyênnghiệp,HàNội

[9]NguyễnPhụHy(2006),Giảitíchhàm,N XB Khoahọcvàkỹthuật,Hà Nội.

[10] HoàngTuỵ(2005),Hàmthựcvàgiảitíchhàm,N X B ĐạihọcQ u ốcgiaHàNội [11]B.N.SahneyandD.S.Goel(1973),Ondegreeofapproximationofcontinuousfuncti on,RachiUniv.Maths.

[12]FrankDeusch(2001),BestapproximationinInnerProductSpaces,Springer-V e r l a g , NewYork

[13]F.E.B r o w d e r (1968),NonlinearMaximalMonotoneOperatorsinB a n a c h Spa ces,Math-Ann.

[14]F.E.B r o w d e r (1969),NonlinearVariationalInequalitiesandMaximalMonotone MappingsinBanachSpaces,Math-Ann.

[15]M.J.D.Powell(1981),Approximationtheorya n d methods,C a m b r i d g e U n i v e

r i s t y Press

[16]Philip.J.Davis(1963),Interpolationandapproximation,Bailsdell,NewYork.

k