Chúng ta vẫn giải các bài toán hình học bằng định nghĩa góc hình học, và một số bài toán thì lời giải phụ thuộc vào hình vẽ khá rắc rối. Nếu ta sử dụng khái niệm góc định hướng thì cho lời giải ngắn gọn, rõ ràng và không phụ thuộc vào hình vẽ. Hơn nữa, góc định hướng giúp định nghĩa các phép biến hình, từ đó mở ra những ứng dụng khác. Trong SGK hình học 10 có định nghĩa khá rõ ràng về góc định hướng (hay góc lượng giác) của hai tia và hai đường thẳng, ở đây xin không nhắc lại, chỉ nêu một vài tính chất quan trọng giúp ích cho việc giải toán.
Trang 1http://hsgstonghop.edu.vn/Courses/Offline/DHC TC/tabid/180/detail/1456/cat/1251/Default.aspx
Góc định hướng
Leave a reply
Chúng ta v n gi i các bài toán hình h c b ng đ nh nghĩa góc hình h c, và m t s bài toán thì l i gi iẫ ả ọ ằ ị ọ ộ ố ờ ả
ph thu c vào hình v khá r c r i. N u ta s d ng khái ni m góc đ nh hụ ộ ẽ ắ ố ế ử ụ ệ ị ướng thì cho l i gi i ng n ờ ả ắ
g n, rõ ràng và không ph thu c vào hình v H n n a, góc đ nh họ ụ ộ ẽ ơ ữ ị ướng giúp đ nh nghĩa các phép ị
bi n hình, t đó m ra nh ng ng d ng khác.ế ừ ở ữ ứ ụ
Trong SGK hình h c 10ọ có đ nh nghĩa khá rõ ràng v góc đ nh hị ề ị ướng (hay góc lượng giác) c a haiủ tia và hai đường th ng, đây xin không nh c l i, ch nêu m t vài tính ch t quan tr ng giúp ích choẳ ở ắ ạ ỉ ộ ấ ọ
vi c gi i toán.ệ ả
Tính ch t 1 ấ H th c Charlesệ ứ
a) Cho là ba đường th ng b t kì thìẳ ấ
b) Cho là ba tia thì
Tính ch t 2 ấ (Đi u ki n 3 đi m th ng hàng)ề ệ ể ẳ Cho 3 đi mể và đường th ngẳ Khi
đó th ng hàng khi và ch khiẳ ỉ
Tính ch t 3. (Đi u ki n 4 đi m đ ng viên) ấ ề ệ ể ồ Cho 4 đi mể Khi đó cùng thu cộ
m t độ ường tròn khi và ch khiỉ
Tính ch t 4 ấ N u $latexế a $ là phân giác c a góc t o b i hai đủ ạ ở ường th ngẳ thì
Tính ch t 5 ấ N uế và đ i x ng nhau qua đố ứ ường th ngẳ thì
Tính ch t 6 ấ N uế là nh c aả ủ qua phép quay v i góc quayớ thì
Áp d ng các tính ch t trên, ta s gi i m t s bài toán sau.ụ ấ ẽ ả ộ ố
Trang 2Bài 1. (Đ nh lý Migel)ị Cho tam giác ; G i ọ l n l t là các đi m thu c các đ ng ầ ượ ể ộ ườ
th ng ẳ và
a) Ch ng minh r ng các đ ng tròn ngo i ti p các tam giác ứ ằ ườ ạ ế cùng đi qua
m t đi m ộ ể
b) N u ế th ng hàng thì đi m ẳ ể thu c đ ng tròn ngo i ti p c a tam giác ộ ườ ạ ế ủ ; h n ơ
n a tâm các đ ng tròn ữ ườ cùng thu c m t đ ng tròn và đ ng ộ ộ ườ ườ tròn đó qua
L i gi i ờ ả
a) G iọ là giao đi m c aể ủ và , ta ch ng minhứ đ ng viên.ồ
Suy ra
Do đó đ ng viên.ồ
b)
Trang 3Ta có ,
Do đó th ng hàng khi và ch khiẳ ỉ khi và ch ỉ
G iọ l n lầ ượt là tâm đường tròn ngo i ti p các tam giácạ ế
Ta ch ng minhứ đ ng viên.ồ
đó đ ng viên. Tồ ương tự đ ng viên. Suy ra đi u c n ch ng minh.ồ ề ầ ứ
Bài 2.(Đ nh lý Steiner) ị
a) Cho tam giác n i ti p đ ng tròn ộ ế ườ là m t đi m thu c ộ ể ộ G i $latex ọ A’, B’, C’ $
l n l t là đi m đ i x ng c a ầ ượ ể ố ứ ủ qua Ch ng minh r ng ứ ằ cùng thu c m t ộ ộ
đ ng th ng và đ ng th ng đó qua tr c tâm ườ ẳ ườ ẳ ự c a tam giác ủ
b) Ng c l i l y ượ ạ ấ là m t đ ng th ng qua ộ ườ ẳ G i ọ l n l t là các đ ng th ng đ i ầ ượ ườ ẳ ố
x ng c a ứ ủ qua Ch ng minh r ng ứ ằ đ ng qui t i m t đi m thu c đ ng ồ ạ ộ ể ộ ườ tròn
L i gi i ờ ả
Trang 4G iọ là đi m đ i x ng c aể ố ứ ủ qua Ta có
a)
V yậ th ng hàng.ẳ
b)
Ta th yấ G iọ là giao đi m c aể ủ Ta ch ng minhứ
Ta có:
Trang 5Do đó
Bài 3. Cho hai hình vuông và cùng hướng, không th ng hàng. Ch ng ẳ ứ minh r ngằ đ ng quy.ồ
L i gi i ờ ả
Xét phép quay tâm A góc quay Khi
đó B bi n thành D, E bi n thành G. G i H là giao đi m c a BE và GD. Khi ế ế ọ ể ủ
T đó ta cóừ
ra
Bài t p rèn luy n ậ ệ
Bài 1 (VMO 2006) Cho t giác l i ABCD. Xét m t đi m M di đ ng trên đ ng th ng AB sao cho M ứ ồ ộ ể ộ ườ ẳ không trùng v i A và B. G i N là giao đi m th hai khác M c a đ ng tròn đi qua 3 đi m M, N, C và ớ ọ ể ứ ủ ườ ể
đ ng tròn đi qua 3 đi m M, B, D. Ch ng minh: ườ ể ứ
a) Đi m N di đ ng trên m t đ ng tròn c đ nh ể ộ ộ ườ ố ị
b) Đ ng th ng MN luôn đi qua m t đi m c đ nh ườ ẳ ộ ể ố ị
Trang 6Bài 2. Cho t giác l i ABCD n i ti p m t đ ng tròn. G i P, Q, R, S là giao đi m c a các đ ng ứ ồ ộ ế ộ ườ ọ ể ủ ườ phân giác ngoài c a các góc ủ ADB và ADB, DAB và DBA, ACD và ADC, DAC và DCA t ng ng. ươ ứ
Ch ng minh r ng P, Q, R, S đ ng viên ứ ằ ồ
Bài 3. Cho t giác ABC. Ch ng minh r ng đ ng tròn Euler c a các tam giác ABC, ACD, ABD và ứ ứ ằ ườ ủ BCD cùng đi qua m t đi m ộ ể
Bài 4. Cho hai đ ng tròn (O) và (O’) c t nhau t i A và B. M t đ ng th ng qua A c t (O) và (O’) t i ườ ắ ạ ộ ườ ẳ ắ ạ
M và N. M t đ ng th ng qua B c t (O) và (O’) t i P và Q. Ch ng minh MP//NQ ộ ườ ẳ ắ ạ ứ