Một số vấn đề về lý thuyết xấp xỉ tốt nhất, bậc của xấp xỉ và ứng dụng trong toán sơ cấp

Một trong những vấn đề cơ bản của lý thuyết xấp xỉ hàm là: Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn, y ∈ là một phần tử bất kỳ và A là không gian con Xhữu hạn chiều của X.. Vấn đề này c

Tôi xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Phú Thọ, Trường THPT Yên Lập, THPT Minh Hoà đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi yên tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp

Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên tôi trong suốt quá trình học tập

và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 10 năm 2009

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Văn Khải Tôi đã đọc, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp, vận dụng kiến thức để viết nên luận văn này

Hà Nội, tháng 10 năm 2009

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn……… 1

Lời cam đoan……… 2

Mục lục……… 3

Mở đầu……… 5

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ……… 7

1.1 Không gian metric……… 7

1.2 Không gian Banach……… 8

1.3 Không gian Hilbert……… 9

1.4 Hàm giải tích……… 13

Chương 2: XẤP XỈ TỐT NHẤT……… 15

2.1 Bài toán cơ bản của xấp xỉ tuyến tính……… 15

2.2 Tính duy nhất của xấp xỉ tốt nhất……… 18

2.3 Xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian các hàm liên tục nhờ hệ đơn thức 1, , ,x x2 x n……… 20

2.4 Xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian các hàm liên tục nhờ họ phi tuyến……… 27

Kết luận chương 2……… 29

Chuơng 3: BẬC CỦA XẤP XỈ……… 30

3.1 Phép đo các xấp xỉ tốt nhất……… 30

3.2 Bậc của xấp xỉ trong không gian Hilbert……… 36

3.3 Bậc của xấp xỉ trong không gian các hàm liên tục……… 39

Kết luận chương 3……… 47

Chương 4: MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT TRONG TOÁN SƠ CẤP……… 48

4.1 Xấp xỉ đều tốt nhất bằng đa thức bậc không……… 48

4.2 Xấp xỉ đều tốt nhất bằng đa thức bậc nhất……… 48

4.3 Một vài ứng dụng trong toán sơ cấp……… 51

Kết luận chương 4……… 62

Kết luận của luận văn……… 63

Tài liệu tham khảo……… 64

Một trong những vấn đề cơ bản của lý thuyết xấp xỉ hàm là: Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn, y ∈ là một phần tử bất kỳ và A là không gian con Xhữu hạn chiều của X Hãy tìm x ∈ để 0 A

Phần tử x0 (nếu có) sẽ được gọi là xấp xỉ tốt nhất của y trong A

Vấn đề này có những kết quả đặc trưng trong những không gian hàm khác nhau như không gian các hàm liên tục C[ , ]a b hay không gian Hilbert: Sự tồn tại nghiệm, đặc trưng nghiệm, sai số của nghiệm (bậc của xấp xỉ)

Là một giáo viên phổ thông, trong quá trình học tập tôi luôn có ý thức tìm kiếm các ứng dụng khác nhau của toán học cao cấp trong toán sơ cấp Lý thuyết xấp xỉ đều tốt nhất có nhiều ứng dụng soi sáng cho phép sáng tạo một lớp các bài toán sơ cấp dành cho học sinh khá giỏi

Do vậy tôi đã quyết định chọn đề tài ‘‘ Một số vấn đề về lý thuyết xấp xỉ tốt

nhất, bậc của xấp xỉ và ứng dụng trong toán sơ cấp’’ để thực hiện luận văn của

mình

2 Mục đích nghiên cứu

Làm rõ, trình bày hệ thống một số vấn đề về xấp xỉ tốt nhất và nêu một số ứng dụng trong toán sơ cấp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Lý thuyết xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn và trong không gian các hàm liên tục C[ , ]a b

Lý thuyết bậc xấp xỉ và các trường hợp cụ thể trong không gian các hàm liên tục C[ , ]a b , trong không gian Hilbert

Một số ứng dụng của nó trong toán sơ cấp

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Không gian tuyến tính định chuẩn, không gian các hàm liên tục C[ , ]a b và không gian Hilbert

Bài toán xấp xỉ tốt nhất, bậc của xấp xỉ trong những không gian đó

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc và nghiên cứu tài liệu, tổng hợp vận dụng

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập khác rỗng

Hàm d: X X × →  , được gọi là một khoảng cách (hay metric) nếu các tiên

đề sau được thoả mãn:

Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric M (X, ) = d Dãy điểm ( )x ⊂ n X gọi

là dãy cơ bản trong M nếu

Dễ thấy (1.1.1) thoả mãn các tiên đề về metric Có thể chứng minh rằng C[a,b]

là không gian metric đủ

Ví dụ 1.1.2 Ta kí hiệu L

[a,b]

C là tập các hàm số liên tục trên đoạn [a,b], với hai

d x y =∫|x t −y t dt| (1.1.2)

Dễ thấy (1.1.2) thoả mãn các tiên đề về metric Khi đó có thể chứng minh rằng L

[a,b]

C là không gian metric và không là không gian metric đủ

1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.2.1 Không gian tuyến tính X trên  được gọi là không gian

tuyến tính định chuẩn nếu ứng với mỗi phần tử x∈ X, ta có một số thực ký hiệu

Khi đó x

được gọi là chuẩn của x

Định nghĩa 1.2.2 Dãy điểm ( )x n của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm x ∈ nếu X lim n 0

Định nghĩa 1.2.4 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu

mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Ví dụ 1.2.1 Không gian tuyến tính C[a,b]với chuẩn được định nghĩa

Ví dụ 1.2.2 Không gian tuyến tính [a,b]L với chuẩn được định nghĩa

là một không gian tuyến tính định chuẩn và không phải là không gian Banach

Ví dụ 1.2.3 Với p ≥ xét không gian [ , ]1 L a b p gồm tất cả các hàm số ( )x t đo được theo độ đo Lebesgue trên đoạn [ , ]a b sao cho ( )

b

p a

x =  x t dt

| | Khi đó

là một chuẩn trên [ , ]L a b và cùng với chuẩn nêu trên, p L a b là không gian Banach p[ , ]

1.3 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.3.1 Cho không gian tuyến tính X trên 

Ánh xạ ψ: X X× →  thoả mãn các điều kiện:

Định nghĩa 1.3.2 Không gian tuyến tính X trên  cùng với một tích vô

hướng gọi là không gian tiền Hilbert

Định nghĩa 1.3.3 Ta gọi một tập H ≠ ∅ là không gian Hilbert thực nếu tập

H thoả mãn các điều kiện:

1) H là không gian tuyến tính trên trường số thực  ;

2) H được trang bị tích vô hướng ;

3) H là không gian Banach với chuẩn

x = ( , ), x x x∈H

Tương tự ta có thể định nghĩa cho không gian Hilbert phức

là không gian Hillbert

Ví dụ 1.3.2 Kí hiệu [ , ]L a b p là không gian các hàm số bình phương khả tích trên đoạn [ , ]a b , x L a b∈ p[ , ] thì

b a

x y =∫p t x t y t dt Không gian [ , ]L a b với tích vô hướng trên là một không gian Hillbert p

Định nghĩa 1.3.4 Cho không gian Hilbert H Hai phần tử ,x y ∈ gọi là trực H

giao và ký hiệu x⊥ nếu ( , ) 0y x y =

Định nghĩa 1.3.5 Cho không gian Hilbert H và tập con A⊂H, A ≠ ∅ Phần

tử x ∈ gọi là trực giao với tập A nếu H x⊥ y y∀ ∈ và ký hiệu A x ⊥ A

trong đó δij là ký hiệu Kronecker ( tức δij = với i1 = và j δij = với i0 = ) j

Như vậy một hệ trực chuẩn là một hệ trực giao ( các phần tử của nó trực giao từng đôi một ) và chuẩn hoá:
e = i
1 với mọi i

Nhận xét Cho một hệ thống các véc tơ độc lập tuyến tính { }x ⊂ n H gồm hữu hạn hay đếm được các phần tử, bao giờ cũng có thể biến hệ thống này thành một

hệ trực chuẩn nhờ quá trình trực giao hoá Hilbert-Schmidt như sau:

1

x e

k

k k i i i

k k i i i

∞

=

∑ là chuỗi luỹ thừa tại

0∈ , vì vậy ta chỉ nghiên cứu chuỗi

0

n n n

Chương 2 XẤP XỈ TỐT NHẤT

2.1 Bài toán cơ bản của xấp xỉ tuyến tính

Bài toán tổng quát: Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn, A⊂X là không gian con hữu hạn chiều và y ∈ là phần tử cố định Tìm X x ∈ sao cho 0 A

Nếu phần tử x tồn tại thì được gọi là xấp xỉ tốt nhất của y trong A 0

Nhận xét Cho x x1, , ,2 x n∈ X là cơ sở trong A Tập hợp các tổ hợp tuyến tính của a x a x1 1+ 2 2+ + a x n n tạo thành một không gian con hữu hạn chiều A của không gian tuyến tính định chuẩn X, vì vậy bài toán xấp xỉ tuyến tính có thể diễn đạt lại như sau:

Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn, x x1, , ,2 x n∈ X là n phần tử độc

lập tuyến tính vày ∈ là phần tử cố định Xấp xỉ tốt nhất của y bởi tổ hợp tuyến Xtính của x x1, , ,2 x là phần tử n a x a x1 1+ 2 2+ + a x n n xác định bởi bởi

Hệ quả 2.1.1 Cho X là không gian định chuẩn x x1, , ,2 x n∈ X là n phần tử

độc lập tuyến tính và y ∈ là phần tử cố định Bài toán tìm X

i

n n a

≤ ≤ | − + + + + |

có nghiệm

Chứng minh Áp dụng định lý 2.1.1 với X=C[ , ]a b và A là không gian con của

X sinh bởi hệ {1, , , ,x x2 x n}ta có điều phải chứng minh

Hệ quả 2.1.3 Cho ( )f x ∈L a b p[ , ] và n là số nguyên cố định ( p ≥ ) Bài 1toán tìm

a a a

a a a

Hệ quả 2.1.8 Cho B là miền bị chặn trong mặt phẳng phức z Cho ( ) f z là

hàm giải tích trong B và liên tục trong B Bài toán tìm

Định nghĩa 2.2.1 Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là lồi thực

|( , )x y |≤



x y (2.2.3)

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y =λx Hệ thức (2.2.2) chứng tỏ (2.2.3) đạt được dấu đẳng thức Do đó hệ thức (2.2.2) tương đương với hệ:

Theo giả thiết ,x y≠ ⇒0 λ≠ vậy 0 y=λx ( 0)λ > Điều phải chứng minh

Ví dụ 2.2.2 Không gian C[ , ]a b không lồi thực sự

Định lý 2.2.1 Trong không gian tuyến tính định chuẩn lồi thực sự, xấp xỉ tốt

nhất tồn tại và duy nhất

Chứng minh Sự tồn tại của xấp xỉ tốt nhất suy ra từ định lý 2.1.1

Tính duy nhất Giả sử y y ∈1, 2 A là hai xấp xỉ tốt nhất của y ∈ , tức là X

2 1

2 1 hay

2.3 Xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian các hàm liên tục nhờ hệ đơn thức 1, ,x x2, ,x n

Ký hiệu Pn là tập hợp các đa thức có bậc không quá n trên đoạn [ , ] a b và quy

ước có cả đa thức đồng nhất không với bậc 0

Trong phần này ta xét X=C[ , ]a b , A=Pn, chuẩn trong C[ , ]a b là chuẩn Chebyshev

Trường hợp µ > : Giả sử 0 E f n( )<µ và P ∈Pn là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất

của f trên đoạn [ , ] a b Khi đó
f −P
=E f n( ) < µ suy ra

Định lý 2.3.2 (Định lý Chebyshev) Điều kiện cần và đủ để đa thức P ∈Pn là

đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f ∈C[ , ]a b là tồn tại n + điểm luân phiên 2Chebyshev sao cho:

i i

f x −P x =α −
f −P
i= n+ (2.3.1) trong đó α = ± 1

Chứng minh

Điều kiện đủ: Giả sử tồn tại n + điểm 2 a x≤ 0< x1< <x n+1≤ b thoả mãn

i i

f x −P x =α −
f −P
P∈P Ta phải chứng minh P là đa thức xấp xỉ

đều tốt nhất của f trên đoạn [a,b] Thật vậy, ta có:

Điều kiện cần: Giả sử Q x là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f trên đoạn n( )[a,b], ta chứng minh tồn tại n + điểm 2 a≤ y1< y2< <y n+2 ≤ b sao cho

Đặt L=
f −Q n
, ký hiệu y1=inf x{ ∈[a,b]: | f x( )−Q x n( )|}=L Từ định

nghĩa của L và sự liên tục của ( ) f x −Q x n( ), suy ra sự tồn tại của y , vậy 1

f y + −Q y + = − L Tiếp tục quá trình này cho đến khi y m = b

hoặc đến y m thoả mãn điều kiện không lấy được y m

Nếu m n≥ + thì ta có điều phải chứng minh 2

Giả sử m n< + , vì 2 f x( )−Q x n( ) liên tục trên đoạn [a,b] nên với mỗi

k ≤ ≤k m có thể lấy Z k−1 sao cho | f x( )−Q x n( )| <L, với Z k−1≤ <x y k

Đặt Z0 =a Z, m = Theo phép xây dựng trên thì mỗi đoạn b [Z , ]i−1 Z i

(i=1, 2, ,m) có điểm y ở đó sao cho i ( ) ( ) ( 1)i 1

i n i

f y −Q y = − − L và không có điểm x để ( ) ( ) ( 1)i

i i i

∈ | − | < trái với giả thiết Q x n( ) là xấp xỉ đều tốt nhất Suy ra m n≥ + Định lý được chứng minh 2 Định lý Chebyshev cho ta tiêu chuẩn kiểm tra một đa thức có phải là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của hàm f ∈C[ , ]a b hay không ? Nó cũng được sử dụng để chứng

minh nhiều tính chất của đa thức xấp xỉ đều tốt nhất

Định lý 2.3.3 Đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f ∈C[ , ]a b là duy nhất

Chứng minh. Giả sử , QP ∈Pn là hai đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f trên

Do đó |P x( )i − f x( )i | |= Q x( )i − f x( )i |=E f n( ) (i=0,1, ,n+1 ) hay

( )i ( ) i i ( )i ( ) , i 1

Ta có (1+λi)|Q x( )i − f x( )i |=(1+λi) ( ) 2 ( )E f n = E f n hay λi = Từ đây suy 1

ra ( )P x i =Q x( ) (i i =0,1, ,n+1 ) hay P Q≡ Định lý được chứng minh

Hệ quả 2.3.1 Đa thức xấp xỉ đều tốt nhất P ∈Pn của một hàm f ∈C[-1,1] chẵn (lẻ) cũng là hàm chẵn (lẻ)

Chứng minh Giả sử f là hàm chẵn Với mọi x ∈ −[ 1,1], ta có

| f x( )−P x( )|≤
f −P
=E f n( )

Thay x= − , ta có x

| f(−x)−P x(− )|=
f x( )−P x(− )
≤E f n( ) ∀ ∈ −x [ 1,1]

Suy ra (P x− ) cũng là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f Do tính chất duy

nhất của xấp xỉ đều tốt nhất suy ra (P x− )=P x( ) ∀ ∈ −x [ 1,1]

Chứng minh Gọi P là đa thức nội suy của f với các mốc nội suy là nghiệm

của đa thức Chebyshev

Giả sử Q là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của hàm f trên [ , ] a b , khi đó theo

định lý Chebyshev f −Q đổi dấu n + lần nên f2 −Q có ít nhất n + không 1điểm (y i i =1, 2, ,n+ sao cho ( )1) f y i =Q y( ) (i i =1, 2, ,n+ 1)

Như vậy Q là đa thức nội suy của hàm f với các mốc nội suy

+

+

+ !trong đó

=

Giả sử |ωn+1( )x | đạt max tại x x= 0∈[ , ]a b , ta có

f −Q
=E f n( ) Điều phải chứng minh

Ví dụ 2.3.1 Tìm đa thức bậc nhất xấp xỉ đều tốt nhất f x( )=x3 trên đoạn [-1,1]

Giải Vì ( ) f x là hàm số lẻ nên đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc hai và bậc

nhất trùng nhau Ta tìm đa thức bậc hai xấp xỉ tốt nhất f , theo hệ quả 2.3.2 ta có

( ) 3( )

Giải Vì hàm f x =( ) 3x2 là hàm chẵn trên đoạn [-1,1] nên đa thức xấp xỉ đều tốt nhất ( )Q x =ax b + của f trên đoạn [-1,1] cũng là hàm chẵn suy ra a = Khi 0

đó đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc nhất của hàm số ( ) 3x2

Thật vậy, R' hữu tỉ có thể hữu hạn hoặc vô hạn Đặt

Từ (2.4.7) suy ra R x'( ) bị chặn trên đoạn [a,b] Với x là điểm bất kì trong

đoạn [a,b] và ( ) 0D x ≠ , cho k =1,2, ta có

|f x( )−R x'( )| |≤ f x( )−R x k( )| |+ R x k( )−R x'( )| ≤ ∆ +k η ηk, k →0

Vì vậy

|f x( )−R x'( )|≤ ∆ (2.4.8) Nếu ( ) 0D x = thì ta có thể tìm một dãy điểm x x1, , 2 trong đoạn [a,b] với

i

x → , x D x ≠ thì do (2.4.8) ta có ( ) 0i |f x( )i −R x'( )i | ≤ ∆(i=1, 2 ) và bởi tính liên tục suy ra |f x( )−R x'( )| ≤ ∆

Như vậy ta đã chứng tỏ rằng |f x( )−R x'( )| ≤ ∆ với mọi x ∈[a,b], theo định nghĩa ∆ suy ra (2.4.6) Điều phải chứng minh

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 Trong chương này chúng tôi đã thực hiện được những công việc sau

• Phát biểu bài toán cơ bản của xấp xỉ tuyến tính trong không gian tuyến tính định chuẩn, chứng minh được sự tồn tại nghiệm của bài toán đó

• Chứng minh được trong không gian tuyến tính định chuẩn lồi thực sự xấp

Chương 3 BẬC CỦA XẤP XỈ

3.1 Phép đo các xấp xỉ tốt nhất

Định nghĩa 3.1.1 Cho X là không gian định chuẩn và { }x i là dãy các phần

tử độc lập của X Với bất kì y ∈ có thể xấp xỉ tốt nhất y từ trong tổ hợp tuyến Xtính của các phần tử x x1, , ,2 x n, khi đó số đo của xấp xỉ tốt nhất xác định bởi

Nhận xét Do tổ hợp tuyến tính các phần tử x x1, , ,2 x n cũng là tổ hợp tuyến tính của x x1, , ,2 x x n n+1 nên

→∞ = khi và chỉ khi dãy { }x i là đóng trong X

Chứng minh Từ định nghĩa hệ { }x i đóng trong X ta có điều phải chứng minh

Sau đây là một số tính chất cơ bản của hàm E y n( )

5) E y n( +σz) là hàm liên tục của σ; (3.1.7) Nếu σ∈  thìE y n( +σz) là hàm lồi theo biến σ; (3.1.8) NếuE z > n( ) 0 thì lim E y n( z)

Nếu σ = thì mệnh đề hiển nhiên đúng 0