một số nghiên cứu về đa thức và ứng dụng

Nó đóng góp một vai trò quan trọng đến sự hình thành và phát triển của đại số, giải tích và toán học ứng dụng.. • Nội suy hàm số là một trong những bài toán rất cơ bản của giải tích số..

§¹I HäC TH¸I NGUY£N TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HäC

§Ò TµI NGHI£N CøU KHOA Häc NGHµNH TO¸N

T£N §Ò TµI:

MéT Sè NGHI£N CøU VÒ §A THøC Vµ øng dông

Sinh viªn thùc hiÖn:

NguyÔn thÞ khuyªn

Líp: CN to¸n K11

Th¸I nguyªn 2018

Gi¸o viªn h íng dÉn:

Ts Vò m¹nh xu©n

Néi Dung ChÝnh:

Më ®Çu ………

Ch ¬ng 1 §a thøc vµ mét vµi tÝnh chÊt ………

Ch ¬ng 2 §a thøc néi suy ………

KÕt luËn ………

Tµi liÖu tham kh¶o ………

• Đa thức xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực của toán học Nó đóng góp một vai

trò quan trọng đến sự hình thành và phát triển của đại số, giải tích và toán học

ứng dụng Nghiệm của đa thức là vấn đề trọng tâm nghiên cứu đa thức trong

ch ơng trình phổ thông.

• Nội suy hàm số là một trong những bài toán rất cơ bản của giải tích số Bài

toán này đ ợc dùng nhiều trong thực tế tính toán.

• Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu một số vấn đề về đa thức và

ứng dụng nh nghiệm của đa thức, bài toán nội suy, một số công thức nội suy

cơ bản, một số ứng dụng của đa thức nội suy trong việc tính đạo hàm, tích phân.

• Đề tài đ ợc chia làm 2 ch ơng.

•Ch ơng 1- Nghiệm của đa thức.

• Ch ơng 2- Đa thức nội suy và một số ứng dụng.

Ch ơng 1

Đa thức và một vài tính chất

1.1 Khái niệm và tính chất

1.2 Một số bài toán

Đầu tiên ta xét một bài toán có sử dụng l ợc đồ Horner, đây cũng là ph ơng pháp tìm nghiệm của ph ơng trình đa thức bậc cao

Bài toán 1 Tìm nghiệm của ph ơng trình

24x^5 + 10x^4 – x^3 - 19x^2 - 5x + 6 = 0 Bây giờ ta xét một số bài toán liên quan đến quan hệ giữa các nghiệm với nhau trong công thức Viete

Bài toán 2 Hãy tìm những giá trị của tham số b sao cho những nghiệm a1, a2,

a3,a4 của đa thức

P(x) = x^4 + 3x^3 + 6x^2 + bx + 4 thoả mãn điều kiện

a1 = 1/a1 + 1/a2 + 1/a3

Bài toán 3 Hãy lập đa thức bậc ba mà những nghiệm của nó a1,a2,a3 thoả

mãn những đẳng thức sau

1/a1 + 1/a2 + 1/a3 = -2

1/(a1)^2 + 1/(a2)^2 + 1/(a3)^2 = 1

1/(a1)^4 + 1/(a2)^4 + 1/(a3)^4 = 1

Bµi to¸n 4 H·y t×m nh÷ng gi¸ trÞ cña b sao cho nh÷ng nghiÖm a1, a2, a3 cña

®a thøc

P(x) = x^3 + bx + c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

|a1| = |a2| = |a3|

ë ®©y m«®un cña sè phøc (|a|)^2 =

Bµi to¸n 5 Cho x1, x2, x3 lµ nh÷ng nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh

x^3 + px^2 + qx + r = 0 H·y biÓu diÔn th«ng qua p, q, r nh÷ng hµm cña c¸c biÕn x1, x2, x3

A = x21 + x22+ x23,B = x31+ x32+ x33 ,C = x41 + x42 + x43

D = x21x2 + x1x22+ x21 x3 + x2x23 + x22 x3 + x21x23

E = x21x22+ x22x23+ x23x21

F = x31x2 + x1x32+ x32 x3 + x2x33+ x31x3 + x1x33

G = (x1 + x2)(x2 + x3)(x3 + x1),H = 1/x1 + 1/x2 + 1/x3 víi r 0

K = x1/x2 + x2/x1 + x2/x3 + x3/x2 + x1/x3 + x3/x1 víi r 0



1.3 Đa thức hệ số đối xứng

1.3.1 Định nghĩa

Một đa thức p(x) = a0x^n + a1x^(n-1) + … + an gọi là đa thức hệ số đối xứng + an gọi là đa thức hệ số đối xứng nếu những hệ số trong dạng chuẩn tắc của nó cách hệ số đầu và hệ số cuối bằng nhau thì có giá trị bằng nhau, nghĩa là a0=an , a1 = a(n-1) , … + an gọi là đa thức hệ số đối xứng , ak = a(n-k) , … + an gọi là đa thức hệ số đối xứng

1.3.2 Tính chất

Định lý 1 Đa thức P(x) là đa thức hệ số đối xứng bậc n nếu và chỉ nếu với x 0:

P(x) = x^nP(1/x)

Định lý 2 Đa thức P(x) là một đa thức hệ số đối xứng nếu và chỉ nếu điều kiện

sau thoả mãn:

(*) Một số b là nghiệm của đa thức P(x) nếu và chỉ nếu số 1/b cũng là nghiệm

Định lý 3 Nếu P(x) là đa thức hệ số đối xứng bậc 2m, thì P(x) = x^mQ(y), ở

đây y = x + 1/x với x 0, còn Q(y) là đa thức bậc m

1.3.3 Các bài toán

Bài toán 1.

Giải ph ơng trình: P(x) = x^7 + 2x^6 - 5x^5 - 13x^4 - 5x^2 + 2x + 1 = 0

Có những ph ơng trình không phải là ph ơng trình đa thức hệ số đối xứng

nh ng ta cũng có thể gải bài toán này t ơng tự nh giải bài toán ph ơng trình

đa thức hệ số đối xứng

Bài toán 2.

Giải ph ơng trình: P(x) = x^4 + 2x^3 - 11x^2 + 4x + 4 = 0

Ch ơng 2

Đa thức nội suy

2.1 Đặt vấn đề bài toán nội suy

Trên đoạn [a, b] cho tập các điểm nút a x0 < x1 < < xn b và tại các

điểm này cho giá trị f(xi) với i = 0, 1, , n của hàm f(x) Cần xây dựng hàm g(x) dễ tính và trùng với hàm f(x) tại các điểm nút trên, nghĩa là

g(xi) = f(xi) với i = 0, 1, , n.

Chúng ta th ờng gặp bài toán này trong những tr ờng hợp: cần phục hồi hàm số f(x) đối với mọi điểm x [a, b] trong khi chỉ biết giá trị của nó tại một số điểm x0, x1, , xn [a, b] Những giá trị này th ờng là các giá trị quan sát đ ợc hoặc đo đạc đ ợc Nhiều tr ờng hợp biểu thức giải tích của

f(x) đã biết nh ng quá cồng kềnh và cần tính giá trị f(x) tại mọi x [a, b] Khi đó ng ời ta tính gần đúng f(x) tại một số điểm rồi xây dựng công thức nội suy để tính những giá trị khác.

Một số dạng hàm g(x) th ờng dùng để nội suy hàm số là đa thức đại số, hàm ghép trơn, Nh ng ở đây chúng ta chỉ xét đến dạng hàm g(x) là các

đa thức đại số.

2.2 Một số ph ơng pháp nội suy cơ bản

2.2.1 Ph ơng pháp đại số

Bài toán

Tìm đa thức nội suy bậc hai đi qua các điểm x0=0, x1=1, x2=2, y0=3, y1=1, y3=4

2.2.2 Đa thức nội suy Lagrange

Một số bài toán

Bài toán 1.

Để nghiên cứu động thái mực n ớc gần sông ng ời ta đã thiết lập một tuyến

các lỗ khoan quan trắc với sông Khoảng cách từ các lỗ khoan đến sông lần l ợt

là x0=10 m, x1=20 m, x2=30 m, x4=40 m Cao trình mực n ớc tại các lỗ khoan

vào một thời điểm nào đó nh sau: H0=17 m, H1=27,5 m, H2=76 m, H3=210,5 m Hãy nội suy khuynh h ớng dâng cao mực n ớc bằng đa thức nội suy Lagrange

và nội suy giá trị dâng cao tại x=25 m

Bài toán 2.

Khoan thăm dò mạch n ớc ngầm tại các vị trí xo=1, x1=6, x2=11, x3=16,

x4=21, x5=26, x6=31, x7=36 Độ sâu sẽ có n ớc tại các vị trí t ơng ứng là

y0=30 m, y1=27 m, y3=29 m, y4=45 m, y5=70 m, y6=87 m, y7=100 m

Hãy ớc tính tại vị trí x=17 thì ở độ sâu bao nhiêu sẽ có n ớc

Bài toán 3 Dân số của một quốc gia điều tra đ ợc qua các năm 1960, 1970, 1980, 1990, 2000 t

ơng ứng là 45, 50,5, 54, 60,5, 64 Hãy ớc l ợng dân số của quốc gia này năm 1975 Bài toán 4 Ng ời ta

tiến hành thí nghiệm đo chiều cao cây thu đ ợc kết quả ở các ngày thứ nhất, ngày thứ hai, ngày thứ ba chiều cao t ơng ứng của cây là 0,5 m, 0,7 m, 1m Hãy tính chiều cao của cây vào ngày thứ t

2.2.3 Đa thức nội suy Newton

2.2.3.1 Sai phân

Giả sử f : R R là một hàm số cho tr ớc và h là hằng số khác 0 Ta gọi sai phân cấp một của f(x) là đại l ợng f(x) = f(x + h) - f(x)

Một cách tổng quát

nf(x = [n 1f(x)], (n 1),0f(x) = f(x)−1f(x)], (n 1),0f(x) = f(x)

2.2.3.2 Đa thức nội suy

a)Đa thức nội suy Newton tiến

b)Đa thức nội suy Newton lùi

Bài toán

Tính tổng

a) Sn = 1^2 + 2^2 + + n^2

b) Sn = 1^2 + 4^2 + 7^2 + (3n + 1)^2

c) Sn = 1^3 + 2^3 + + n^3

2.3 Một số bài toán ứng dụng

2.3.1 Tính gần đúng đạo hàm 2.3.1.1 Sử dụng đa thức nội suy Lagrange

2.3.1.2 Sử dụng đa thức nội suy Newton

Dùng đa thức nội suy Newton tiến 2.3.2 Tính gần đúng tích phân 2.3.2.1 Công thức hình thang 2.3.2.2

Công thức parabol (Simpson) 2.3.3.3 Công thức Newton-CotesMột số bài toán về sử dụng một số công thức nội suy cơ bản ứng dụng để tính đạo hàm tích phân

Kết luận

Trong đề tài này, chúng tôi đã trình bày một số vấn đề về đa thức Cụ thể chúng tôi đã thu đ ợc một số kết quả sau:

Trình bày một ph ơng pháp để tìm nghiệm hữu tỉ, nghiệm nguyên của đa thức.

Trình bày một số vấn đề liên quan đến nghiệm của đa thức.

Trình bày một số ứng dụng của bài toán nội suy trong việc tính đạo hàm, tích phân và một số ứng dụng thực tiễn khác.

Những kết quả trên có vai trò quan trọng trong đại số và toán học nói chung Để đề tài này đ ợc hoàn thiện hơn, chúng tôi rất mong nhận đ ợc sự đánh giá, góp ý của thầy cô và các bạn.

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] NguyÔn H÷u §iÓn, §a thøc vµ øng dông, NXB Gi¸o dôc, 2003 [2] Ph¹m K× Anh, Gi¶i tÝch sè, NXB §¹i häc Quèc Gia HN, 2002.