Phương trình hàm Cauchy

ở trường phổ thông, kiến thức về phương trinh hàm được đề cập tới chủ yếu cho các học sinh lớp chuyên toán, còn đối với học sinh đại trà thì đây vẫn là môt kiến thức khó tiếp cận. các taì liệu về phương trình hàm con ít. Do đó để giúp học sinh dễ tiếp cận và giải quyết được một số phương trình hàm cơ bản tôi chọn đề tài phương trình hàm Cauchy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH XUÂN HUY CAO HỌC TOÁN K7C

PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY

TIỂU LUẬN TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015

Mục lục

Mở đầu

Ở trường phổ thông, kiến thức về phương trình hàm được đề cập tới chủ yếu cho các học sinh lớp chuyên toán, còn đối với học sinh đại trà thì đây vẫn là một kiến thức khó mà tiếp cận Hiện nay các tài liệu về phương trình hàm còn ít và chưa có một tài liệu nào trình bày khá đầy đủ các khía cạnh của phương trình hàm Do đó, việc có thể giúp học sinh tiếp cận với phương trình hàm dễ dàng hơn và giải quyết được một số bài toán về phương trình hàm cơ bản là một yêu cầu cần thiết nhằm phục vụ cho các kì thi học sinh giỏi nên tôi chọn đề tài “PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY”

Tác giả

Chương 1

Một số kiến cơ sở

Giải phương trình hàm là xác định hàm số chưa biết trong phương trình

Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R và tập giá trị R(f ) ⊂ R 1.2.1 Hàm số chẵn

Hàm số f (x) được gọi là hàm số chẵn (gọi tắt là hàm chẵn) trên M, M ⊂ D(f ) nếu:∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f (−x) = f (x), ∀x ∈ M

1.2.2 Hàm số lẻ:

Hàm số f (x) được gọi là hàm số lẻ (gọi tắt là hàm lẻ) trên M, M ⊂ D(f )

nếu:

∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M

Trong phần này ta nêu những đặc trưng của một sồ hàm số sơ cấp thường gặp trong chương trình phổ thông Nhờ các đặc trưng hàm này mà ta có thể

dự đoán kết quả của các phương trình hàm tương ứng cũng như có thể đề xuất những dạng bài tập tương ứng với các đặc trưng hàm đó:

+)

f (t) = at; (a 6= 0)

Đặc trưng hàm:

f (x + y) = f (x) + f (y); ∀x, y +)

f (t) = at + b; (a, b 6= 0)

Đặc trưng hàm:

f



x + y 2



= f (x) + f (y)

+)

f (t) = tα; t ∈ R+

Đặc trưng hàm:

f (x.y) = f (x).f (y); ∀x, y > 0

+)

f (t) = at; (a > 0, a 6= 1)

Đặc trưng hàm:

f (x + y) = f (x).f (y); ∀x, y

+)

f (t) = logat; (a > 0, a 6= 1, t > 0)

Đặc trưng hàm:

f (x.y) = f (x) + f (y); ∀x, y ∈ R∗ +)

f (t) = cos t

Đặc trưng hàm:

f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y) ∀x, y +)

f (x) = tgx

Đặc trưng hàm:

f (x + y) = f (x) + f (y)

1 − f (x)f (y); ∀x, y ∈ R, x + y 6= π

2 + kπ(k ∈ Z)

Giả sử hàm số y = f (x) xác định tại điểm x = x0 Ta nói rằng hàm số

f (x) liên tục tại điểm x = x0 nếu lim

x→x 0

f (x) = f (x0)

Nếu đẳng thức trên không xảy ra thì ta nói rằng hàm số bị gián đoạn tại điểm x = x0

Nếu hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc đoạn [a; b]thì ta nói hàm só f (x)

liên tục trên đoạn đó

Chương 2

Phương trình hàm Cauchy

Bài toán: Xác định hàm f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:

f (x + y) = f (x) + f (y),∀x, y ∈ R (1)

Lời giải

Từ (1) ta cóf (0) = 0 và f (−x) = −f (x) suy ra f (x) là hàm lẻ và với y = x

thì f (2x) = 2f (x) (2)

Giả sử với k ∈ N thì f (kx) = kf (x), Khi đó:

f ((k + 1)x) = f (kx + x) = f (kx) + f (x) = kf (x) + f (x) = (k + 1)f (x), ∀x ∈

R, k ∈ N

Theo nguyên lý qui nạp ta có: f (nx) = nf (x),∀x ∈ R (∗)

Vì f (x) là hàm lẻ nên ta có: f (mx) = mf (x),∀x ∈ R, m ∈ Z (3)

Từ (2) ta có: f (x) = f 2x2
= 2f x2
= 22f 2x2

= = 2nf 2xn

Từ đó suy ra: f 2xn

= 21nf (x), ∀x ∈ R, n ∈ N.(4)

Kết hợp (3) và (4) ta có: f 2mn

= 2mnf (1), ∀m ∈ Z, n ∈ N∗

Suy ra: f (x) = xf (1), ∀x ∈ Q Hơn nữa: ∀x ∈ R,luôn luôn tồn tại {x0} ⊂ Q

sao cho lim

n→+∞ xn = x

⇒ lim

n→+∞ f (xn) = f (x)⇒ lim

n→+∞ xnf (1) = f (x)

vậy f (x) = ax (với a = f (1))

Thử lại ta thấy hàm f (x) = ax,∀a ∈ R, tùy ý thỏa điều kiện bài toán Nhận xét: trong các bài toán, chúng ta ít gặp dạng phương trình hàm Cauchy đơn giản như trên, mà thường gặp dạng biến thể tổng quát hơn Chẳng hạn bài toán vấn đề sau:

Bài toán vấn đề: Cho hàm số f (x) xác định trên R và liên tục trên đoạn

[0; 1] sao cho:

(i) f (0) = f (1) = 0

(ii) 2f (x) + f (y) = 3f 2x+y3
, ∀x, y ∈ [0; 1]

Chứng minh rằng f (x) = 0,∀x ∈ R

Phân tích bài toán:

Từ điều kiện (ii) ta suy ra:f 2x+y3
= 23f (x) + 13f (y), ∀x, y ∈ R

Nếu ta coi 2x3 là x và y3 là y, thử gắn với phương trình hàm Cauchy ta có:

f 2x+y3
= f 2x3
+ f y3
, ∀x, y ∈ R

Như vậy ta có thể giả thiết:



f 2x3
= 23f (x)

f y3
= 13f (y)

Quay lại bài giải của phương trình hàm Cauchy ta phát hiện thấy điều giả thiết là đúng Thật vậy, từ (∗) ta có: f (nx) = nf (x),∀x ∈ R, n ∈ N

Thay x = xnta được: f xn
= n1f (x), ∀n ∈ N, x ∈ R(10)

Từ (3) ta có: f (mx) = mf (x),∀m ∈ Z, x ∈ R

Kết hợp (10) và (3) ta được: f (rx) = rf (x), ∀r ∈ Q, x ∈ R

Nếu ta thay f (x) = ax vào thì điều kiện bài toán được thỏa mãn Như vậy, giữa bài toán này và bài toán phương trình hàm Cauchy có mối liên hệ với nhau

Bây giờ ta sẽ tổng quát bài toán trên:

Bài toán: (phương trình hàm Cauchy mở rộng)

Cho bộ số(a1, a2, , an) ∈ (R\{0})n Tìm các hàm f (x) xác định, liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện: f (a1x1 + a2x2 + + anxn) = a1f (x1) +

a2f (x2) + + anf (xn) (1),∀x1, x2, , xn ∈ R; n ∈ N∗

Lời giải

Thayx1 = x2 = = xn = 0 vào (1)ta được: (a1+ a2+ + an− 1)f (0) = 0

Nếu a1 + a2 + + an 6= 1 thì f (0) = 0 và khi đó từ (1) ta có:

f (a1x1 + a2x2 + + anxn) = a1f (x1) + a2f (x2) + + anf (xn)

= f (a1x1) + f (a2x2) + + f (anxn)

Vậy ta có:f (x1+ x2+ + xn) = f (x1) + f (x2) + + f (xn) thay x3 = x4 = = xn = 0 ta được: f (x1+ x2) = f (x1) + f (x2), theo bài toán phương trình hàm Cauchy ta có f (x) = bx, ∀x ∈ R, b ∈ R tùy ý

Nếu a1 + a2 + + an = 1 thì f (0) nhận giá trị tùy ý, khi đó đặt g (x) =

f (x) − f (0) thay vào (1) ta được:

g(a1x1+ a2x2+ +anxn) = a1g(x1) + a2g(x2) + +ang(xn), (∀xi ∈ R, i = 1, n)

Do g(0) = 0 nên theo kết quả trường hợp trên ta có g(x) = cx, c tùy ý , nên

f (x) = cx + d với c, d ∈ R tùy ý

Kết luận:

−Nếua1 + a2 + + an 6= 1 thì f (x) = cx,c ∈ R tùy ý

−Nếu a1 + a2 + + an = 1 thì f (x) = cx + d,c, d ∈ R tùy ý

Nhận xét: Việc giải bài toán tổng quát cho ta một kết quả rất hay Tuy nhiên, giả thiết của bài toán tổng quát là liên tục trên R Do đó, nếu miền liên tục của bài toán bị thu hẹp lại thì kết quả của bài toán có còn đúng không?

Từ điều kiện (1) ta chỉ cần giả thiết f (x) liên tục tại một điểmx0 ∈ R cho trước

Từ giả thiết ta cólim

x→x 0

f (x) = f (x0).Với mỗi điểm xi ∈ R ta đều có:

f (x) = f (x − xi+ x0) + f (xi) − f (x0), ∀x ∈ R

Từ đó ta có:

lim

x→x i

f (x) = lim

x→x i

[f (x − xi+ x0) + f (xi) − f (x0)] = f (x0) + f (xi) − f (x0) =

f (xi) suy ra hàm số f (x) liên tục tại điểmxi ∈ R.Do đó hàm f (x) liên tục trên R

Vì thế, kết quả phương trình hàm Cauchy vẫn đúng khi hàm số liên tục trên miền D nào đó Nên kết quả phương trình hàm Cauchy tổng quát vẫn đúng khi tính liên tục bị thu hẹp trên miền D

hàm Cauchy:

Bài toán 2.1 Xác định hàm số f liên tục trên R và thỏa mãn:

f (x + y) = f (x).f (y) ∀x, y ∈ R (1)

Cho x = 2t, y = 2t thì f (t) = f (2t)2 ≥ 0 ∀t ∈ R.Khi đó có 2 khả năng xảy ra:

+) T H1 : ∃t0, f (t0) = 0.khi đó ∀t ∈ R ta có:

f (t) = f (t0 + (t − t0)) = f (t0).f (t − t0) = 0 ∀t Thỏa mãn đề bài vậy:

f (t) = 0

+) T H2 :f (t) > 0 ∀t ∈ R.Lấy logarit 2 vế (1) ta được:

g(x + y) = g(x) + g(y) 2 trong đó g(t) = ln f (t)là hàm liên tục trên R (2)là phương trình hàm Cauchy nêng(t) = at Suy raf (t) = eat = At (A > 0)

Kết luận:

f (t) =

( 0

1 khi A = 1

At khi A > 0, A 6= 1

Bài toán 2.2 Xác định hàm số f liên tục trên R+ và thỏa mãn:

f (x.y) = f (x) + f (y) ∀x, y ∈ R+ (1)

Lời giải

Do x, y > 0 nên có thể đặt:

x = eu, y = ev u, v ∈ R ⇔ u = ln x, v = ln y

Thế vào (1) ta được:

g(u + v) = g(u) + g(v) ∀u, v ∈ R (2)

Trong đó g(t) = f (et)là hàm liên tục trên R

Vậy (2) là phương trình Cauchy nên có nghiệm g(t) = at

Kết luận: f (t) = g(ln t) = a ln t t > 0, a ∈ R

Bài toán 2.3 Xác định hàm số f liên tục trên R và thỏa mãn:

f (x + y

2 ) =

f (x) + f (y)

(1)

Lời giải

Đặt f (0) = b, f (t) = b + g(t) Khi đó g(0) = 0

Thế vào (1) ta được:

b+g(x+y2 ) = b+g(x)+b+g(y)2 ⇔ g(x+y2 ) = g(x)+g(y)2 ∀x, y ∈ R.Trong đóg(0) = 0

Thế y = 0 vào (2) ta được: g(x2) = g(x)2 ∀x ∈ R nên ta có:

g(x+y2 ) = g(x)+g(y)2 ∀x, y ∈ R

Thế vào (2) ta được: g(x + y) = g(x) + g(y) ∀x, y ∈ R (3)

(3) là phương trình Cauchy nên có nghiệm:g(t) = at

Kết luận: f (t) = at + b a, b ∈ R

Bài toán 2.4 Xác định hàm số f liên tục trên R và thỏa mãn:

f x+y2
= pf (x)f (y), ∀x, y ∈ R (1)

Lời giải

Từ (1) ta suy ra: f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R Nếu tồn tạix0 ∈ R để f (x0) = 0 thì

f x0 +y

2

= pf (x0)f (y) = 0, ∀y ∈ R

Tức là f (x) = 0

Xét trường hợp f (x) > 0, ∀x ∈ R Khi đó:

Đặt g(x) = lnf (x), g(x) là hàm liên tục trên R Thay vào (1) ta được:

g x+y2
= lnf x+y2
= lnpf (x).f (y) = lnf (x)+lnf (y)2 = g(x)+g(y)2 , ∀x, y ∈ R

Hay g x+y2
= g(x)+g(y)2 , ∀x, y ∈ R Theo kết quả bài toán phương trình hàm Cauchy mở rộng ta có g(x) = ax + b, a tùy ý

Suy ra:f (x) = eax+b,với a, b ∈ R tùy ý Thử lại ta thấy thỏa mãn yêu cầu bài toán

Kết luận:

f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R

f (x) = eax+b,a, b ∈ R tùy ý

Bài toán 2.5 Xác định hàm số f liên tục trên R và thỏa mãn:

(i)f (x + 2y + 3z) = [f (x)][f (y)]2[f (z)]3; ∀x, y, z ∈ R

(ii)f (x) ≥ 0; ∀x ∈ R

Lời giải

Từ điều kiên (ii), nếu có x0 ∈ R : f (x0) = 0 thì:

f (x + 2y + 3z) = [f (x0)][f (y)]2[f (z)]3 = 0; ∀y, z ∈ R Tức là f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R

Xét trường hợp f (x) > 0, ∀x ∈ R Khi đó, đặt g(u) = lnf (u), ∀u ∈ R g(u)

liên tục trên R Thay vào (i) ta được:

g(x + 2y + 3z) = lnf (x + 2y + 3z) = lnf (x) + 2lnf (y) + 3lnf (z)

= g(x) + 2g(y) + 3g(z); ∀x, y, z ∈ R

Hay g(x + 2y + 3z) = g(x) + 2g(y) + 3g(z); ∀x, y, z ∈ R, theo kết quả bài

toán phương trình hàm Cauchy tổng quát ta có g(x) = ax; a tùy ý Do đó

f (x) = eax; ∀x ∈ R ,a tùy ý

Kết luận:

f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R

f (x) = eax; ∀x ∈ R, a tùy ý

Bài toán 2.6 Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn:

(i)f (a1x1+a2x2+ +anxn) = [f (x1)]a1.[f (x2)]a2 [f (xn)]an; ∀ai, xi ∈ R, i = 1 n

(ii)f (x) ≥ 0; ∀x ∈ R

Lời giải

Xét trường hợp nếu ∃xi : f (xi) = 0; i = 1, 2, , n thì:

f (a1x1+a2x2+ +aixi +anxn) = [f (x1)]a1.[f (x2)]a2 [f (xi)]ai [f (xn)]an = 0

Tức là f (x) ≡ 0

Xét trường hợp f (x) > 0, đặt g(x) = lnf (x); ∀x ∈ R, g(x) là hàm liên tục trên R, thay vào (i) ta có:

g(a1x1+ a2x2+ + anxn) = a1g(x1) + a2g(x2) + +ang(xn); ∀ai, xi ∈ R, i = 1 n, theo bài toán Cauchy tổng quát ta có:

Nếu a1 + a2 + + an 6= 1 thì g(x) = ax, với a ∈ R tùy ý, ∀x ∈ R

Nếu a1 + a2 + + an = 1 thì g(x) = ax + b, với a ∈ R tùy ý, ∀x ∈ R

Do đó:

f (x) = eax với a ∈ R tùy ý, ∀x ∈ Ra1 + a2 + + an 6= 1

f (x) = eax+b với a ∈ R tùy ý ∀x ∈ R nếu a1 + a2 + + an = 1

Kết luận:

f (x) ≡ 0

f (x) = eax với a ∈ R tùy ý, ∀x ∈ R nếu a1 + a2 + + an 6= 1

f (x) = eax+b với a ∈ R tùy ý, ∀x ∈ R nếu a1 + a2 + + an = 1

Kết luận

Phương trình hàm cauchy là phương trình hàm cơ bản, đa số các phương trình hàm khi giải cuối cùng đều đưa về phương trình hàm cauchy Do đó việc nắm vững phương pháp giải phương trình hàm cauchy là rất quan trọng Nó là tiền đề, là công cụ cho ta giải các bài toán, các dạng phương trình hàm khác

Tài liệu tham khảo

[1] Bài giảng của GS-TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

[2] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ

[3] Tài liệu nguồn Internet