Lý thuyết ổn định Lý thuyết phương trình vi phân

Lý thuyết ổn định là một trong những tính chất định tính tiêu biểu của lý thuyết phương trình vi phân và tích phân. Nói một cách hình tượng, một hệ thống được gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu bé trong các điều kiện ban đầu hoăc trong cấu trúc của hệ thống không làm cho hệ thông đó thay đổi quá nhiều so với trạng thái cân bằng đó

Mục Lục

Mở đầu 3

Chương 1 6

Cơ sở toán học 6

1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa 6

1.1.1 Bài toán ổn định 6

1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov 8

1.1.3 Bài toán ổn dịnh hóa 9

1.2 Bài toán ổn định và ổn định hóa có trễ 10

1.2.1 Bài toán ổn định hệ có trễ 10

1.2.2 Bài toán ổn định hóa hệ phương trình điều khiển có trễ 13

1.3 Một số bổ đề bổ trợ 13

Chương 2 16

Tính ổn định của hệ phi tuyến không ôtônôm có trễ 16

Chương 3 22

Tính ổn định của hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ hỗn hợp 22

Kết luận 32

Tài liệu tham khảo 33

Một số kí hiệu trong đề tài

  : tập các số thực không âm ; 

  : không gian véc tơ n – chiều với kí hiệu tích vô hướng là n .,. và chuẩn véc tơ là || ||;

  : không gian các ma trận (n r n r ) – chiều;

 C([a,b],  ) :tập tất cả các hàm liên tục trên [a,b] và nhận giá trị trên n

n

 ;

 AT : là ma trận chuyển vị của ma trận A;

 I :là ma trận đơn vị;

 (A): tập tất cả các giá trị riêng của A;

 max(A) : = max{Re :   (A)};

Mở đầu

Lý thuyết ổn định là một trong những tính chất định tính tiêu biểu của lý thuyết phương trình vi phân và tích phân Nói một cách hình tượng, một hệ thống được gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu bé trong các điều kiện ban đầu hoăc trong cấu trúc của hệ thống không làm cho hệ thông đó thay đổi quá nhiều so với trạng thái cân bằng

đó Được bắt đầu nghiên cứu từ những năm cuối thế kỷ 19 bởi nhà toán học người Nga A M Lyapunov, đến nay lý thuyết ổn định đã có những bước phát triển mạnh mẽ và thu được nhiều thành tựu rực rỡ Đến những năm của thập kỷ 60, cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển, người ta cũng bắt đầu nghiên cứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là tính ổn định hóa của các hệ điều khiển, do đó lý thuyết ổn định mà Lyapunov đề xướng trước tiên càng thể hiện tầm quan trọng của mình trong sự phát triển liên tục của toán học Vì những lý do vừa phân tích ở trên mà cho đến nay tính ổn định đã được nghiên cứu và phát triển như một

lý thuyết toán học độc lập có rất nhiều ứng dụng hữu hiệu trong tất cả các lĩnh vực từ kinh tế đến khoa học kĩ thuật

Như chúng ta đã biết, có nhiều phương pháp nghiên cứu tính ổn định

hệ phương trình vi phân Chẳng hạn như : phương pháp thứ nhất Lyapunov (hay còn gọi là phương pháp mũ đặc trưng), phương pháp thứ hai Lyapunov (hay còn gọi là phương pháp hàm Lyapunov), phương pháp xấp

xỉ, phương pháp so sánh, … Mỗi phương pháp đều có ưu điểm, nhược điểm riêng Trong đề tài này, chúng em nghiên cứu tính ổn định mũ của hệ phi tuyến không ôtônôm có trễ và ổn định mũ của hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ hỗn hợp Không những thế, đây cung là một lý thuyết quan trọng trong lý thuyết định tính các hệ điều khiển, các hệ động lực Ngoài ra,

thường liên quan đến độ trễ thời gian nên một cách tất nhiên, lớp hệ có trễ

đã thu hút được nhiều sự quan tâm của nhiều nhà toán học

Để có thể ứng dụng nhiều hơn trong thực tiễn, người ta không chỉ quan tâm đến việc đưa ra các tiêu chuẩn ổn định cho một lớp hệ có trễ mà không thể đánh giá được “độ” ổn định của hệ có trễ đó Một trong những cách đánh giá ổn định của một hệ có trễ là đánh giá độ ổn định của một hệ

có trễ là đánh giá bằng hàm mũ Vì vậy, tính ổn định mũ của các hệ có trễ

đã được quan tâm nghiên cứu nhiều trong những năm gần đây Đề tài trình bày một hướng nghiên cứu về tính ổn định mũ Bố cục của đề tài gồm phần

mở đầu, ba chương và phần tài liệu tham khảo

Chương 1 là cơ sở toán học Trong chương này, chúng em giới thiệu bài toán ổn định và bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân thường, hệ phương trình vi phân có trễ và một số bổ đề được sử dụng trong những chương sau của đề tài

Chương 2 chúng em xin trình bày tính ổn định mũ của hệ phi tuyến không ôtônôm có trễ Chương này chúng em tham khảo từ bài báo của các thầy P.Niamsup and K.Nlukdasai, V.N.Phat, improved exponential stability for time-varying systems with nonlinear delayed perturbations, được đăng trên tạp trí Appl Math Comput 204, pp 490-495, 2008

Chương 3 là kết quả nghiên cứu của đề tài Chương này nghiên cứu tính ổn định của hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ hỗn hợp, bằng cách cải tiến hàm Laypunov cộng với một số kỹ thuật chứng minh mới, chúng em

đã đưa ra một điều kiện đủ mới cho tính ổn định mũ của hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ hỗn hợp, và ví dụ minh họa

Cuối cùng chúng em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Mai Viết Thuận đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo chúng em trong suốt quá trình nhận và làm đề tài “tính ổn định của hệ phi tuyến không ôtônôm có trễ” tại khoa Toán – Tin, trường Đại Học Khoa Học – ĐHTN Đồng thời, chúng

em cũng bày tỏ lòng biết ơn tới những thầy, cô giáo ở khoa Toán – Tin,

ĐHKH – ĐHTN Những người chỉ bảo và chuyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm trong những năm vừa qua Măc dù chúng em đã cố gắng rất nhiều nhưng vì thời gian và trình độ còn hạn chế nên đề tài này không tránh khỏi những sai lầm và thiếu sót Chúng em rất mong nhận được sự chỉ bảo

và những đóng góp của quý thầy cô và các bạn

Chương 1

Cơ sở toán học

Chương này chúng em xin trình bày một số khái niệm cơ bản về tính

ổn định và tính ổn định hóa được của các lớp hệ phương trình vi phân thường và lớp hệ phương trình vi phân có trễ Chúng em cũng nhắc lại một

số kết quả kinh điển và phương pháp nghiên cứu cơ bản

1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa

1.1.1 Bài toán ổn định

Xét một hệ thống được mô tả bởi hệ phương trình vi phân

x t  f t x t ,   , t  0, (1.1)

Trong đó ( )x t   là véc tơ trạng thái, :n f   n  là hàm véc tơ n

cho trước Xuyên suốt đề tài này ta giả thiết rằng hàm ( )f  thỏa mãn điều

kiện sao cho với mọi t x  0, 0  hệ (1.1) có nghiệm duy nhất đi qua nđiểm t x và nghiệm kéo dài được với mọi 0, 0 t  Khi đó nghiệm này t0

  0

y t  của hệ (1.2) sẽ tương ứng với nghiệm z t của hệ (1.1) Vì vậy,  

thay vì nghiên cứu tính ổn định của nghiệm z t của hệ (1.1) thì ta nghiên  

cứu tính ổn định của nghiệm y t  của hệ (1.2) Chính vì lý do này nên   0không mất tính tổng quát ta có thể giả sử f t , 0 = 0, tức là giả sử hệ (1.1)

luôn có nghiệm không (nghiệm đồng nhất bằng 0 ) Khi đó, ta có cách định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1 [3]

Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định nếu với mọi bất kỳ

số  0,t00 , tồn tại số   ,t0  sao cho với mọi 0nghiệm x t t x của hệ với  , ,0 0 x0  , thì ta có  0,t0 0

Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là

ổn định và tồn tại số 0  (phụ thuộc vào 0 t ) sao cho mọi nghiệm 0

Khi đó N được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, được gọi là số mũ

ổn định Và , N được gọi chung là chỉ số ổn định Lyapunov

Để ngắn gọn, thay vì nói nghiệm không của hệ (1.1) là ổn định (ổn định tiệm cận ,ổn định mũ) ta sẽ nói hệ (1.1) là ổn định (ổn định tiệm cận ,

dựa vào các giá trị riêng của  Cụ thể là hệ (1.4) ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của ma trận A là âm Một tiêu chuẩn cổ điển khác là hệ (1.4) ổn định mũ khi và chỉ khi với bất kỳ một ma trận Q đối xứng, xác định dương, phương trình Lyapunov A T   = - Q A

có nghiệm  đối xứng, xác định dương Hai kết quả quan trọng này tiêu biểu cho hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân

Đó là phương pháp phổ và phương pháp hàm Lyapunov Trong đề tài này chúng em sẽ sử dụng phương pháp hàm Lyapunov là phương pháp chính để nghiên cứu bài toán ổn định và ổn định hóa

Định nghĩa 1.2 Hàm V t x , :n n,V t ,00, t 0, khả vi liên tục được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.5) nếu:

i) V t x là hàm xác định dương theo nghĩa  , 

Nếu hàm V t x thỏa mãn thêm các điều kiện  , 

iii) b  :V t x ,  b|| || ,x  t x,   n

iv) c  :V t x ,  c|| || ,x  với mọi nghiệm x t của  

hệ (1.5) thì ta gọi hàm V t x là hàm Lyapunov chặt của hệ  , 

(1.5)

Sau đây là hai định lý ổn định của Lyapunov được nhắc lại trong[14]

Định lý 1.1 Nếu hệ (1.5) có hàm Lyapunov thì hệ là ổn định Hơn nữa, nếu ham Lyapunov là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận

1.1.3 Bài toán ổn định hóa

Xét một hệ điều khiển được mô tả bởi hệ phương trình vi phân

x t  f t x t u t ,    , ,t 0, (1.6)

Trong đó   n

x t   là véc tơ trạng thái,   m

u t   là véc tơ điều khiển

Hàm điều khiển u  thuộc lớp hàm khả tích bậc hai trên các đoạn hữu hạn [0,s],  và lấy giá trị trong s 0  Hàm :m n m n

f    là hàm véc tơ cho trước được giả thiết thỏa mãn f t ,0,00, t 0

Định nghĩa 1.3 Hệ điều khiển (1.6) được gọi là ổn định hóa được nếu

như tồn tại hàm g:n  sao cho hệ phương trình vi phân sau (thường mgọi là hệ đóng, closed – loop system)

x t  f t x t g x t ,  ,     ,t0, (1.7)

Là ổn định tiệm cận Hàm u t g x t    được gọi là hàm điều khiển ngược của hệ

Định nghĩa 1.4 Hệ điều khiển (1.6) được gọi lầ ổn định hóa được dạng

mũ nếu như tồn tại hàmg:n  sao cho hệ phương trình vi phân (1.7) m

là ổn định mũ

Nếu một hệ ổn định mũ (hoặc ổn định hóa được dạng mũ) với tốc độ hội tụ

mũ  cho trước thì hệ đó được gọi là hệ  - ổn định (hoặc - ổn định hóa được)

1.2 Bài toán ổn định và ổn định hóa có trễ

1.2.1 Bài toán ổn định hệ có trễ

Chúng em thấy rằng hệ phương trình vi phân thường (1.1) mô tả mối

quan hệ giữa biến thời gian t , trạng thái của hệ thống x t và vận tốc thay  

đổi của trạng thái x t tại cung một thời điểm t Song trên thực tế, các quá  

trình xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên quan tới quá khứ, đều mang ít nhiều tính di truyền Vì vậy khi mô tả các quá trình này, chúng sẽ được biểu diễn bằng các phương trình vi phân có trễ

Giả sử một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ 0h  

Với x  là một hàm liên tục trên  , nhận giá trị trong   , chúng ta xây n

mô tả sự phụ thuộc của vận tốc thay đổi tại thời điểm t vào trạng thái của

hệ thống trong khoảng thời gian trước đó th t,  được cho dưới dạng

 ,0 0

f t  , tức là hệ (1.8) có nghiệm không Khi đó, ta cũng có các khái niệm ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ cho hệ (1.8) như sau:

Nghiệm không của hệ (1.8) được gọi là ổn định tiệm cận nếu no là

ổn định và tồn tại số  0 t0  sao cho với mọi nghiệm 0 x t , 

vớiC thỏa mãn || || 0 thì lim ||  , || 0

Nghiệm không của hệ (1.8) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại một

số N  và số 0  sao cho mọi nghiệm 0 x t , của hệ thỏa mãn

||x t, ||Ne t t || || ,  t t0

Để ngắn gọn, thay vì nói là nghiệm không của hệ (1.8) là ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) ta sẽ nói hệ (1.8) là ổn định (ổn định tiệm cận,ổn định mũ)

Tương tự như với hệ vi phân thường, ta cũng có phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.8) Cho V:C  là một hàm khả vi liên tục và x t ,  là nghiệm của hệ (1.8) khi đó, trong [6] đưa ra một tiêu chuẩn ổn định cho sự ổn định hệ (1.8) như sau:

Định lý 1.3 Giả sử f :C  đi từ n 



 (tập bị chặn trong C) vào tập bị chặn trong  Nếu tồn tại hàm khả vi : n V C  sao

 

N x t  N 

   ,   t t0Nếu điều kiện ii) được thay bằng điều kiện

iii)3 0 :V t x , t 23V t x , t, với mọi nghiệm x t của hệ  

Định nghĩa 1.6 Cho trước 0 Hệ điều khiển (1.10) được gọi là  -

ổn định hóa được nếu tồn tại hàm g:n  sao cho hệ phương trình vi mphân đóng (closed – loop system)

Bổ đề 1.1 (bất đẳng thức ma trận Cauchy) Giả sử S n n là một ma trận đối xứng, xác định dương Khi đó với mọi ma trận Q n n , ta có

Bổ đề 1.2 Giả sử M  m n là một ma trận đối xứng, xác định dương Khi

đó với mọi   và với mọi hàm khả tích 0 : 0,   , ta có n

iii) với mọi ma trận P  và một số 0   thỏa mãn 00

Chương 2 Tính ổn định của hệ phi tuyến không ôtônôm có trễ

Trong chương này, chúng em xin trình bày lại một số kết quả mới trong việc nghiên cứu tính ổn định của hệ phi tuyến không ôtônôm có trễ Đây chính là cơ sở cho những mở rộng ở chương 3

Xét hệ có nhiễu phi tuyến không ôtônôm có trễ sau

hàm liên tục và bị chặn trên  ,   t C h,0 ,  là hàm điều kiện ban n

đầu với chuẩn

 ; h t là hàm trễ khả vi liên tục cho trước  

thỏa mãn điều kiện

0h t  , h h t  1,   , t 0

Và nhiễu phi tuyến f   thỏa mãn

  0 : || f t y , || || ||y ,  t 0,y  (2.2) nCho các số dương , , ,  i i1, 2, 3 Ta đặt

P t P t I,     ax     

12

T m

T m

00

t t

Chương 3 Tính ổn định của hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ

x t   là véc tơ trạng thái, A t ,A t A t là các hàm ma 1  2 

trận liên tục ( cho trước ) trên  và   t Ch, 0 , n

   là hàm điều kiện ban đầu với chuẩn cho bởi

  , ma trận P t đối xứng ,xác định không âm và bị chặn đều,và các  

số dương  1, 2 , sao cho phương trình Riccati sau được thỏa mãn:

0 0 2 2

0( )

0

t t

Kết luận

Đề tài trình bày một số hướng nghiên cứu tính ổn định của hệ phi tuyến không ôtônôm có trễ

Kết quả chính của luận văn là:

1 Giới thiệu một số kết quả về tính ổn định mũ của hệ phi tuyến không ôtônôm có trễ

2 Bằng việc xây dựng cải tiến hàm Laypunov và bằng kỹ thuật chúng minh phù hợp, chúng em đã đưa ra một số điều kiện đủ mới cho tính ổn định mũ của hệ phi tuyến không ôtônôm có trễ hỗn hợp, chúng em đã áp dụng kết quả này để đưa ra một số điều kiện đủ mới cho tính ổn định mũ cho hệ tuyến tính không ôtônôm có trễ hỗn hợp, các két quả này đều được minh họa bằng các ví dụ kiểm tra cụ thể

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB Giáo Dục, 2000

[2] P.Niamsup, K.Mukdasai and V.N.Phat, Improved exponential stability for time – varying systems with nonlinear delayed perturbations, Appl Math Comput, 204, pp.490 – 495, 2008

[3] Mai Viết Thuận, tính ổn định, ổn định hóa hệ phương trình vi phân hàm và hệ có nhiễu phi tuyến có trễ hỗn hợp, luận văn thạc sĩ toán học,

2009

[4] Vũ Ngọc Phát, nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại Học Quốc Gia Hà nội, 2001