Phương Trình Hàm Nguyễn Văn Mậu (Sách xuất bản năm 1997)

Phương trình hàm là một lĩnh vực quan trọng của giải tích. Bài toán giải phươngtrình hàm có lẽ là một trong những bài toán lâu đời nhất của giải tích. Nhu cầu giảiphương trình hàm xuất hiện ngay khi bắt đầu có lí thuyết hàm số. Nhiều phương trình hàm xuất phát từ nhu cầu thực tế của Toán học hoặc của các ngành khoa học khác.Các nhà toán học đã có công nghiên cứu và đặt nền móng cho phương trình hàmphải kể đến: Nicole Oresme, Gregory of SaintVincent, AugusstinLouis Cauchy,Carl Friedrich Gauss, D’Alembert

PHƯƠNG TRÌNH HÀM

NXBGD 1997

1 Một số tính chất cơ bản của hàm số 3

1.1 Hàm số chẵn hàm số lẻ 3

1.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn 5

1.3 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính 8

1.3.1 Hàm tuần hoàn nhân tính 8

1.3.2 Hàm phản tuần hoàn nhân tính 9

1.4 Mối liên hệ giữa các hàm tuần hoàn cộng tính và nhân tính 10

1.5 Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp 13

2 Phương trình hàm với cặp biến tự do 16 2.1 Hàm số chuyển đổi các phép tính số học 16

2.2 Hàm số chuyển đổi các đại lương trung bình 28

2.3 Hàm số sinh bởi các đặc trưng hàm của các hàm số luợng giác, Hy-perbolic và lượng giác ngược 41

2.4 Một số dạng khác của phương trình hàm với cặp biến tự do 60

2.5 Phương trình với nhiều ẩn hàm 67

3 Phương trình hàm với phép biến đổi đối số 75 3.1 Hàm số xác định bởi các phép biến đổi tịnh tiến và đồng dạng 75

3.2 Hàm số xác định bởi các phép biến đổi phân tuyến tính 90

3.3 Hàm số xác định bởi các phép biến đổi đại số 103

3.4 Phương trình trong lớp các hàm tuần hoàn 116

2

Một số tính chất cơ bản của hàm số

Bài toán 2 Cho a, b ∈ R Xác định tất cả các hàm số f (x) sao cho

fa

2+ t

+fa

2 − t= b (1.4)Đặt

fa

2 + t

b

2 = g(t)Khi đó có thể viết (4) dưới dạng

g(−t) + g(t) = 0, ∀t ∈ R

hay là

g(−t) = −g(t), ∀t ∈ RVậy g(t) là hàm số lẻ trên R

Kết luận

f (x) = g



x −a2

+ b2trong đó g(x) là hàm lẻ tuỳ ý trên R

5 Biết rằng đồ thị của đa thức P (x) có tâm đối xứng Chứng minh rằng đồ thịcủa đa thức P (x) có trục đối xứng.

6 Biết rằng đồ thị của đa thức có trục đối xứng Chứng minh rằng đồ thị của

đa thức P (x) có tâm đối xứng

7 Cho đồ thị của hàm số bậc ba f (x) = x3+ ax2+ bx + c Một đường thẳng cắt

đồ thị tại ba điểm A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) sao cho |AB| = |BC| Chứngminh rằng

f (x2− x) + f (x2+ x) = 2y2, ∀x ∈ R

Định nghĩa 2 a) Hàm số f (x) được gọi là hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kỳ

a, (a > 0) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

(

∀x ∈ M ⇒ x± ∈ M

f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M

b) Cho f (x) là một hàm tuần hoàn trên M Khi đó T (T > 0) được gọi là chu kỳ

cơ cở của f (x) nếu f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà không là hàm tuần hoàn

với bất cứ chu kỳ nào bé hơn T

Bài toán 3 Tồn tại hay không tồn tại một hàm số f (x) 6≡ hằng số, tuần hoàn trên

R nhưng không có chu kỳ cơ sở

số nhỏ nhất nên hàm f (x) không có chu kỳ cơ sở

Bài toán 4 Cho cặp hàm f (x), g(x) tuần hoàn trên M có các chu kỳ lần lượt là a

(

F (x + T ) = f (x + na) + g(x + mb) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ MG(x + T ) = f (x + na)g(x + mb) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M

Hơn nữa, dễ thấy ∀x ∈ M thì x ± M Vậy F (x), G(x) là những hàm tuần hoàn trên

sở của hàm phản tuần hoàn f (x) trên M

Bài toán 5 Chứng minh rằng mọi hàm phản tuần hoàn trên M cũng là hàm tuầnhoàn trên M

Giải Theo giả thiết, tồn tại b > 0 sao cho ∀x ∈ M thì x ± b ∈ M và

f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M

Suy ra với mọi x ∈ M thì x ± 2b ∈ M và

f (x + 2b) = f (x + b + b) = −f (x + b) = −(−f (x)) = f (x), ∀x ∈ M

Vậy f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b trên M

Bài toán 6 Chứng minh rằng f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M khi

và chỉ khi f (x) có dạng

f (x) = g(x + b) − g(x) (1.6)

với g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M

Giải Thật vậy, với f (x) thoả mãn (6) ta có

f (x + b) = g(x + 2b) − g(x + b)

= g(x) − g(x + b)

= −(g(x + b) − g(x))

= −f (x), ∀x ∈ M

Hơn nữa, ∀x ∈ M thì x± ∈ M Do đó f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M

Ngược lại, với f (x) là hàm phản tuần hoàn chu kỳ b trên M chọn g(x) = −12f (x)thì g(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2b trên M (Bài toán 3) và

Bài tập

1 Chứng minh rằng hàm số f (x) = tan x không là hàm phản tuần hoàn trên

R {π2 + kπ, k ∈ Z}

2 Chứng minh rằng 2π là chu kỳ cơ sở của hàm số f (x) = cos x

3 Cho f (x) là một hàm số phản tuần hoàn có chu kỳ cơ sở b trên R Hỏi kếtluận sau đây có đúng không: f (x) là hàm tuần hoàn có chu kỳ cơ sở 2b trênR?

4 Chứng minh rằng sin x2 không phải là một hàm tuần hoàn trên R

5 Cho f (x), g(x) là các hàm số liên tục và tuần hoàn có chu kỳcơ sở a và b,tương ứng, trên R Biết rằng F (x) := f (x) + g(x) cũng là một hàm tuần hoàntrên R Chứng minh rằng ab ∈ Q

Định nghĩa 4 f (x) được gọi là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ a (a /∈ {0, 1, −1})trên M nếu M ⊂ D(f ) và

Bài toán 7 Cho f (x), g(x) là hai hàm số tuần hoàn nhân tính chu kỳ a và b, tươngứng trên M và

ln |a|

ln |b| =

m

n, m, n ∈ N+Chứng minh rằng F (x) := f (x) + g(x) và G(x) := f (x)g(x) là những hàm tuầnhoàn nhân tính trên M

Giải Từ giả thiết suy ra |a|n= |b|m Ta chứng minh T := a2n = b2m là chu kỳ của

Định nghĩa 5 f (x) được gọi là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ a (a /∈{0, 1, −1}) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

Bài toán 9 Chứng minh rằng f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ

b, (b /∈ {0, ±1}) trên M khi và chỉ khi f (x) có dạng

f (x) = 1

2(g(bx) − g(x)) (1.7)trong đó g(x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M

Giải Thật vậy, nếu f (x) có dạng (7) thì

Ngược lại, giả sử f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M Khi

đó g(x) = −f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M (Bài toán 2) và

Xét x < 0, đặt −x = at và f (−at) = h2(t) Khi đó t = loga|x| và (1) tương đươngvới

d tuỳ ý khi x = 0,

h4 1

2loga|x|

khi x < 0

trong đó h3(t), h4(t) là các hàm tuần hoàn công tín tuỳ ý chu kỳ 1 trên R

Bài toán 11 Cho a < 0, a 6= −1 Xác định các hàm số f (x) sao cho

f (ax) = −f (x), ∀x ∈ R (1.10)

Giải Từ (3) suy ra f (a2x) = f (x) với mọi x ∈ R Vậy mọi nghiệm của (3) có dạng

f (x) = 1

2{g(x) − g(ax)}

trong đó

g(a2x) = g(x), ∀x ∈ RThật vậy, nếu f (x) có dạng đó thì ta có

d tuỳ ý khi x = 0,

h2 1

2loga|x|

khi x < 0

với h1(t), h2(t) là các hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ 1 trên R

Nhận xét Nếu f (x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ a > 0 trên R thìg(t) = f (ln t), t > 0 là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ ea trên R∗

Ngược lại, nếu f (x) là hàm tuần hoàn công tính chu kỳ a, 0 < a 6= 1 trên R∗,thì g(t) = f (et) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kỳ ln a trên R

1 + tan2x khi x 6= π/2 + kπ, k ∈ Z

Chứng minh rằng hàm số g(x) = f (x) + f (ax) là hàm tuần hoàn cộng tínhtrên R khi và chỉ khi a ∈ Q

Để mô tả bức tranh mang tính định hướng, gợi ý và dự đoán công thức nghiệmcủa các bài toán liên quan, chúng ta xét một vài tính chất hàm tiêu biểu của một

số dạng hàm số quen biết

1 Hàm bậc nhất: f (x) = ax + b, (a 6= 0, b 6= 0) có tính chất

fx + y2



= 1

2{f (x) + f (y)}, ∀x, y ∈ R

f (x + y) = f (x)g(x) + f (y)g(x), ∀x, y ∈ Rg(x + y) = g(x)g(y) − f (x)f (y), ∀x, y ∈ RHàm f (x) = tan x có tính chất

7 Hàm lượng giác ngược:

d) Hàm p(x) = arctan x có tính chất

p(x) + p(y) = pxy − 1

x + y

, ∀x, y : x + y 6= 0

Phương trình hàm với cặp biến tự do

Trong § này, ta giải các bào toán xác định các hàm chuyển đổi các phép tính

số học đơn giản (cộng trừ, nhân, chia) của đối số sang phép tính đối với các giá trịhàm tương ứng

Ta sẽ giải quyết các bài tpán trên trong lớp các hàm xác định và liên tục trên toàntrục thực

Bài toán 12 (Phương trình hàm Cauchy) Xác định tất cả các hàm số f (x) liêntục trên R thoả mãn điều kiện

f (x) = ax, với a ∈ R tuỳ ý

Nhận xét 1 1) Từ điều kiện (2.1), ta thấy chỉ cần giả thiết f (x) là hàm liên tụctại một điểm x0 ∈ R cho trước là đủ Khi đó, f(x) thoả mãn (2.1) sẽ liên tục trên

R Thật vậy, theo giả thiết thì

lim

x→x f (x) = f (x0)

và với mỗi x1 ∈ R ta đều có

Bài toán 14 Xác định các hàm f (x) liên tục trên R thoả mãn điều kiện



= f (x)f  1

x

, ∀x ∈ R \ {0}

Vậy f (x) 6= 0 với mọi x ∈ R \ {0} và do đó

f (x2) = f (x)f (x) = [f (x)]2 > 0, ∀x ∈ R \ {0}

a) Xét x, y ∈ R+

Đặt x = eu, y = ev và f (et) = g(et) Khi đó ta có

g(u + v) = g(u)g(v) ∀u, v ∈ R} (2.9)

Theo Bài toán 2 thì (2.9) tương đương với g(t) = at∀t ∈ R (a > 0 tuỳ ý) và do đó

a) Trước hết x, y ∈ R+,

Đặt x − eu, y = ev và f (et) = g(t) Khi đó (2.11) có dạng

g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R (2.12)

Theo Bài toán 1 thì (2.12) tương đương với g(t) = bt và do đó

Bài toán 18 Xác định các hàm f (x) liên tục trên R+ thoả mãn điều kiện

fxy

f (x) = b ln x, ∀x ∈ R+, b ∈ R tuỳ ý

Kết luận

f (x) = b ln x, ∀x ∈ R+, b ∈ R tuỳ ýNhận xét Lời giải của các Bài toán 1-7 dựa vào giả thiết liên tục các hàm sốcần tìm Nếu ta thay giả thiết liên tục bằng giả thiết khả vi thì lớp hàm nhận đưựơcvẫn không thay đổi và phương pháp giả sẽ ngắn gọn hơn nhiều

Bài toán 19 Tìm các hàm số f (x) xác định và có đạo hàm trên R thoả mãn điềukiện

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (2.15)Giải Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của (2.15) theo biến x và y ta được

f0(x + y) = f0(x), ∀x, y ∈ R (2.16)

f0(x + y) = f0(y), ∀x, y ∈ R (2.17)

Các đẳng thức (2.16) và (2.17) cho ta f0(x) = f0(y) với mọi x, y ∈ R Do vậy,

f0(x) ≡const hay f (x) = ax + b Thế vào (2.15), ta được f (x) = ax với a ∈ R tuỳ ý(b = 0)

Kết luận

f (x) = ax, ∀x ∈ R, a ∈ R tuỳ ý

Bài toán 20 Tìm các hàm số f (x) xác định và khả vi trên R thoả mãn điều kiện

Giải Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của (2.21) theo biến x và y ta được

số cần tìm giới nội (bị chặn), đơn điệu hoặc liên tục một phía trên các tập đó,

Bài toán 22 Tìm các hàm f (x) xác định và đồng biến trên R thoả mãn điệu kiện



= 1

mf (x), ∀x ∈ R, ∀m ∈ N+

Do f (x) đồng biến trên R nên

−1

nf (1) < f (x) <

1

nf (1)hay

−1

n < x <

1n

Do đó

lim

x→0f (x) = 0 = f (0)Tóm lại, f (x) là hàm liên tục tại x = 0 và ∀x ∈ R

f (x) = ax, ∀x ∈ R, với a > 0 tuỳ ý

Bài toán 23 Xác định các hàm f (x) đồng biến trên R+ thoả mãn các điều kiện

f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R+ (2.26)

Giải Đặt x = eu, y = ev và f (et) = g(t) Khi đó g(t) là hàm đồng biến trên R và(2.26) có dạng

g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R (2.27)

Theo bài toán 11 thì (2.27) tương đương với g(t) = bt, b > 0 tuỳ ý và do đó ta có

f (x) = b ln x, ∀x ∈ R+, b > 0

Kết luận

f (x) = b ln x, ∀x ∈ R+, b > 0 tuỳ ý

Bài toán 24 Cho c > 0, xác định các hàm f (x) thoả mãn các điều kiện

n một số hữu tỷ qn sao cho

1p|xn| 6 qn< 1

|a| 6 c

Kết luận

f (x) = ax, với a ∈ R tuỳ ý sao cho |a| 6 c

Bài toán 25 Cho c > 0 Xác định các hàm số f (x) thoả mãn các điều kiện

(

f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R

|f (x)| 6 c, ∀x ∈ [−1, 1] (2.29)

Giải Nhận xét rằng f (x) ≡ 0 là một nghiệm Xét f (x) 6≡ 0 giả sử f (x0) 6= 0 thì

2.2 Hàm số chuyển đổi các đại lương trung bình

Từ cặp số dương x, y chúng ta có thể thiết lập vô số các đại lương trung bình.Trong § này chúng ta sẽ xét một số bài toán xác định các hàm số chuyển đổi một sốdạng trung bình thường gặp trong chương trình toán học ở bậc phổ thông cơ sở nhưcác đại lượng trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hoà, trung bìnhbình phương Những đại lượng này được sắp xếp theo thứ tự sau



= f (x) + f (y)

2 , ∀x, y ∈ R (2.31)Giải Đặt f (x) − f (0) = g(x), ta có g(x) liên tục trên R với g(0) = 0 và

gx + y2



= g(x)2

gy2



= gx2

+ gy2

, ∀x, y ∈ R

hay

g(x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R (2.32)

Vì g(x) liên tục trên R nên (2.32) là phương trình hàm Cauchy và do đó g(x) = ax.Suy ra f (x) = ax + b, a, b ∈ R) Thử lại ta thấy nghiệm f (x) = ax + b thoả mãn(2.31)

Kết luận

f (x) = ax + b, a, b ∈ R

Bài toán 27 Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R thoả mãn điều kiện

fx + y2



=pf (x)f (y), ∀x, y ∈ R (2.33)

Giải Từ điều kiện (2) suy ra f (x) ≥ x ∀x ∈ R Nếu tồn tại x0 để f (x0) = 0 thì

fx0+ y2

gx + y2



= g(x) + g(y)

2 , ∀x, y ∈ Rtrong đó g(x) = ln f (x) theo kết quả của Bài toán 1 thì g(x) = ax + b Suy ranghiệm của Bài toán 2 có dạng



= 2f (x)f (y)

f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (2.34)Giải Theo giả thiết ta có (3) tương đương với

fx + y2

hay

gx + y2



= g(x) + g(y)

2 , ∀x, y ∈ R,trong đó g(x) = f (x)1 Theo Bài toán 1 thì g(x) = ax + b Vì g(x) > 0 với mọi x ∈ Rnên a = 0 và g(x) = b, (b > 0) và f (x) = 1/b, b > 0

Kết luận

f (x) ≡ 1

b, b > 0 tuỳ ý

Bài toán 29 Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R thoả mãn điều kiện

fx + y2



=

r[f (x)]2+ [f (y)]2

2 , ∀x, y ∈ R (2.35)Giải Từ giả thiết suy ra f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R Vì vậy (4) tương đương với

hf

x + y2

i2

= [f (x)]

2+ [f (y)]2

2 , ∀x, y ∈ Rhay

Theo kết quả của Bài toán 2, thì

g(u) ≡ 0, hoặc g(u) = eau+b, a, b ∈ R tuỳ ý

Vậy

f (x) ≡ 0, hoặc f (x) = ea ln x+b = cxac ≥ 0

Kết luận

f (x) ≡ 0, hoặc f (x) = cxa, a ∈ Rc > 0 tuỳ ý

Bài toán 31 Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R+ thoả mãn điều kiện

f (√xy) = f (x) + f (y)



= g(u) + g(v)

2 , ∀u, v ∈ RTheo kết quả của Bài toán 1, thì g(u) = au + b

Kết luận

f (x) = a ln x + b, a, b ∈ R, tuỳ ý

Bài toán 32 Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R+ thoả mãn điều kiện

f (√xy) = 2

1

f (x) +

1

f (y), ∀x, y ∈ R+ (2.38)

Giải Ta có

1

f (√xy) =

2 , ∀x, y ∈ R+,trong đó g(x) = 1

f (x) Theo kết quả của Bài toán 6 thì g(x) = a ln x+b Để f (x) liêntục trong R+ thì g(x) 6= 0 với mọi x ∈ R+ Đièu đó tương đương với a = 0, b 6= 0.Kết luận

f (x) ≡ b ∈ R \ {0} tuỳ ý

Bài toán 33 Tìm hàm f (x) xác định và liên tục trên R+ thoả mãn điều kiện

f (√xy) =

r[f (x)]2+ [f (y)]2

2 , ∀x, y ∈ R+ (2.39)Giải Từ giả thiết suy ra f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R+ Đặt x = eu, y = ev [f (eu)]2 = g(u).Khi đó g(u) ≥ 0, ∀u ∈ R và (8) có dạng

gu + v2



= g(u) + g(v)

2 , ∀u, v ∈ R

Theo kết quả Bài toán 1, thì g(u) = au + b Để g(u) ≥ 0, ∀u ∈ R phải chọn a = 0

x +

1y

g

u + v2



= g(u) + g(v)

2 , ∀u, v, u + v 6= 0Theo kết quả của Bài toán 1, suy ra g(u) = au + b Hàm g(u) 6= 0, ∀ 6= 0 khi và chỉkhi

g(u) = au, a 6= 0, hoặc g(u) = b, b 6= 0

Kết luận

f (x) = x

a, a 6= 0, tuỳ ý, hoặc f (x) = b, b 6= 0 tuỳ ýBài toán 35 Tìm các hàm f (x) xác định, liên tục trên R \ {0} và thoả mãn điềukiện

x+

1y

Khi đó g(u) liên tục trên R \ {0} và (10) có dạng

gu + v2

x+

1y

x+

1y

x +

1y

x+

1y

Bài toán 37 Tìm các hàm f (x) xác định, liên tục trên R \ {0} và thoả mãn điềukiện

x +

1y

x +

1y



= g(u) + g(v)

2 , u, vu + v 6= 0trong đó

g(u) =



f1u

v)

2 , ∀u, v > 0

trong đó

g(u) = [f (u)]2 ≥ 0, ∀u > 0

Từ đó suy ra

hu + v2



= h(u) + h(v)

2 , ∀u, v > 0trong đó h(u) = g(√

!

= f (

√u) + f (√

v)

2 , ∀u, v ≥ 0Đặt f (√

u) = g(u) u ≥ 0, ta được

gu + v2



= g(u) + g(v)

2 , ∀u, v ≥ 0Theo Bài toán 1 thì g(u) = au + b Do đó

f (√u) = au + b

và

f (u) = au2+ b với mọi u ≥ 0Suy ra f (x) = f (|x|) = ax2 + b a, b ∈ R Thử lại ta thấy hàm này thoả mãn cácđiều kiện của bài toán đặt ra khi a ≥ 0, tb ≥ 0

Kết luận

f (x) = ax2+ b; a, b ∈ R tuỳ ý

Bài toán 40 Tìm các hàm f (x) xác định, liên tục trên R và thoả mãn điều kiện

Theo Bài toán 14 thì

g(u) = au2+ b, với mọi u ∈ R

Giải Từ giả thiết suy ra f (x) 6= 0, ∀x, y ∈ R Khi đó (16) tương đương với

1f

g(x) = ax2+ b, ∀x ∈ R

Để g(x) 6= 0, ∀x ∈ R thì ab ≥ 0 và b 6= 0 Vậy

f (x) = 1

ax2+ b, với a, b ∈ R, ab ≥ 0, b 6= 0Thử lại, ta thấy hàm này thoả mãn các điều kiện của bài toán đặt ra

Kết luận

f (x) = 1

ax2+ b, với ab ≥ 0, b 6= 0 tuỳ ýNhận xét Nếu trong các bài toán 1-16, điều kiện f (x) liên tục được thay bằngđiều kiện f (x) khả vi thì lời giải của các bài toán đó sẽ ngắn gọn hơn nhiều

Bài toán 42 Tìm các hàm f (x) xác định, khả vi trên R và thoả mãn điều kiện

f x + y2



= f

0(x)

2 , ∀x ∈ R1

2f

0x + y2

Giải Từ (18) ta có f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R+ Ta thấy, nếu tồn tại x0 ∈ R+ sao cho

f (x0) = 0, thì từ (18) suy ra f (x) ≡ 0 Giả thiết rằng f (x) > 0, ∀x ∈ R+ Lần lượtlấy đạo hàm hai vế của (18) theo x và y ta có

0(x)f (y)2pf(x)f(y), ∀x, y ∈ R

0(y)f (x)2pf(x)f(y), ∀x, y ∈ R

2 , ∀x, y ∈ R+ (2.50)Giải Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của (19) theo x và y ta có

x2

2 Xác định các hàm số f (x) liên tục trên R thoả mãn các điều kiện

!

= 3

r[f (x)]3+ [f (y)]3+ [f (z)]3

3 , ∀x, y, z 6= 0

7 Xác định các hàm số f (x) liên tục trên R thoả mãn các điều kiện

(x + y)f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, x + y 6= 0

8 Xác định các hàm số f (x) liên tục trên R thoả mãn điều kiện

xf (y) + (x) = f (x)f (y)(x + y), ∀x, y ∈ R, x + y 6= 0

9 Chứng minh rằng mọi hàm f : R → R thoả mãn điều kiện

f (xy + x + y) ≡ f (xy) + f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R

khi và chỉ khi

f (x + y) ≡ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R