Bất đẳng thứcCực trị Hệ phương trình Dãy số PGS.TS Đàm Văn Nhỉ

Nói đến Đại số sơ cấp là người ta thường nói đến phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức và tìm cực trị một biểu thức. Một mảnh đất đã được cày xới nhiều lần và quá sâu qua năm tháng. Mặc dù vậy, mảnh đất này vẫn đang và tiếp tục được khai thác, gieo trồng tiếp qua các bài kiểm tra, kỳ thi, sách đọc thêm, các chuyên đề chọn lọc,v.v... Để tiếp cận mảnh đất ấy một cách tương đối hệ thống chúng tôi đã viết cuốn sách với bốn chương dưới đây: (1) Bất đẳng thức. (2) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. (3) Phương trình và bất phương trình. (4) Bổ sung một vài bài đại số thi 10 chuyên, ĐH và CĐ, HSG.

Bất đẳng thức-Cực trị

Hệ phương trình-Dãy số

Đàm Văn Nhỉ ĐHSP Hà Nội

Ngày 18 tháng 03 năm 2013

1 Bất đẳng thức 5

1.1 Khái niệm bất đẳng thức 6

1.1.1 Khái niệm và tính chất bất đẳng thức 6

1.1.2 Một vài bất đẳng thức thường gặp 6

1.2 Một số bài tập tổng hợp 29

1.3 Định lý Rolle, Đa thức bậc n 45

1.4 Bất đẳng thức Chebyshev 66

1.4.1 Bất đẳng thức với dãy tăng-giảm 66

1.4.2 Bất đẳng thức Chebyshev 67

1.5 Bất đẳng thức Karamata, Schur, Muirheard 73

1.6 Một vài bất đẳng thức trong Số học 80

1.7 Phân thức hữu tỷ 85

1.8 Cực trị có điều kiện 95

1.9 Bất đẳng thức trong tam giác 109

1.10 Bất đẳng thức Ptolemy, Hayashi cho đa giác 121

1.11 Bất đẳng thức (M, N) 124

2 Phương trình và bất phương trình 130 2.1 Giải hệ qua đánh giá 130

2.2 Phân thức hữu tỷ và xác định quan hệ 146

2.3 Hệ phương trình và tổng 152

2.4 Giải và biện luận 180

2.5 Phương trình hàm 203

1

2.5.1 Phương trình hàm đơn giản 203

2.5.2 Phương trình hàm Cauchy 206

2.5.3 Phương trình hàm D’Alembert 210

2.5.4 Một vài phương trình hàm khác 214

2.5.5 Phương trình hàm trên N 216

2.5.6 Phương trình hàm trên Z 230

2.6 Bài tạp 231

3 Dãy số và giới hạn 232 3.1 Cấp số cộng và cấp số nhân 232

3.2 Một vài dãy số truy hồi qua sai phân 235

3.3 Dãy (an), (bn) với an+1 = uan+ vbn, bn+1 = tan + zbn 243 3.4 Dãy an+1 = f (an) với hàm f (x) 244

3.5 Một vài dãy truy hồi 249

3.6 Một số tổng và dãy đặc biệt 256

3.7 Giới hạn dãy số 281

3.7.1 Một vài nguyên lý hội tụ 281

3.7.2 Một số ví dụ 283

3.8 Giới hạn của tổng, tích qua tích phân 310

3.9 Chuyên đề nâng cao về dãy số 316

3.9.1 Hệ truy hồi qua cấp số nhân 316

3.9.2 Làm mất độ phức tạp của dãy truy hồi 328

3.9.3 Phép biến đổi Abel và đánh giá tổng 347

3.10 Bài dành cho học sinh giỏi với gợi ý 352

3.11 Bài tập 370

Nói đến Đại số sơ cấp là người ta thường nói đến phương trình,

hệ phương trình, bất đẳng thức và tìm cực trị một biểu thức Mộtmảnh đất đã được cày xới nhiều lần và quá sâu qua năm tháng.Mặc dù vậy, mảnh đất này vẫn đang và tiếp tục được khai thác,gieo trồng tiếp qua các bài kiểm tra, kỳ thi, sách đọc thêm, cácchuyên đề chọn lọc,v.v Để tiếp cận mảnh đất ấy một cách tươngđối hệ thống chúng tôi đã viết cuốn sách với bốn chương dưới đây:(1) Bất đẳng thức

(2) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

(3) Phương trình và bất phương trình

(4) Bổ sung một vài bài đại số thi 10 chuyên, ĐH và CĐ, HSG.Tuy ba chương đầu đều là những vấn đề khá cổ điển, nhưng chúnglại xuất hiện trong mọi lĩnh vực của toán học Trong chương trìnhtoán phổ thông, ba chuyên đề này có mặt ở tất cả các bộ môn, như:

Số học, Đại số, Giải tích, Hình học và Lượng giác Đặc biệt, trong

kỳ thi Đại học, Học sinh giỏi quốc gia hay quốc tế đều có những bàithuộc ba chuyên đề kể trên Do vậy, qua cuốn sách chúng tôi muốncung cấp cho các em học sinh lớp 9,10,11,12, các thầy cô giáo, sinhviên và các em học sinh giỏi những kiến thức tối thiểu về bất đẳngthức, giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất và hệ phương trình

3

Chúng tôi kết thúc lời nói đầu bằng câu căn dặn của nhiều bậc vĩnhân:

Khát vọng vươn lên là mục đích của cuộc sống

Về ký hiệu:

N được ký hiệu cho tập các số tự nhiên

N∗ được ký hiệu cho tập các số tự nhiên dương

Z được ký hiệu cho vành các số nguyên

Q được ký hiệu cho trường các số hữu tỷ

R được ký hiệu cho trường các số thực

C được ký hiệu cho trường các số phức

Chú ý: Giả sử y = f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] với

a < b Để đơn giản, trong một vài bài tập ta sẽ viết đạo hàm

y′ = f′(x) thay cho việc viết: y′ = f′(x) trên (a, b)

Hà Nội, ngày 01 tháng 08 năm 2013

Đàm Văn Nhỉ

Bất đẳng thức

Bất đẳng thức là một trong số những bài toán được rất nhiều ngườithuộc nhiều lĩnh vực quan tâm đến Bất đẳng thức không phải làbài toán khó, nhưng chọn cách chứng minh như thế nào cho đơngiản Sáng tác bất đẳng thức cũng không khó, nhưng biểu diễn hìnhthức ở hai vế thế nào cho đẹp mắt Nếu để ý, các bạn sẽ thấy các bàitoán bất đẳng thức được chia ra làm hai nhóm Nhóm I là vận dụngmột số bất đẳng thức luôn đúng để chứng minh một bất đẳng thứcmới qua các phép biến đổi và nhóm II là tìm cực trị một biểu thức.Đây chính là bài toán tìm chặn trên hay chặn dưới và xét xem khinào biểu thức sẽ đạt được đại lượng đánh giá ấy Như vậy, chuyên

đề trình bày ở đây nhằm giải quyết được hai vấn đề chính:

(i) Chứng minh lại một số bất đẳng thức gắn liền với tên tuổinhững nhà toán học và trình bày việc vận dụng để giải quyếtmột vài ví dụ

(ii) Tìm cực trị cho một số biểu thức để từ đó suy ra tính chất đặcbiệt cần quan tâm của đối tượng nào đó Phần này được viếtthành chương 2

5

1.1 Khái niệm bất đẳng thức

1.1.1 Khái niệm và tính chất bất đẳng thức

Định nghĩa 1.1.1 Cho hai số thực a và b a được gọi là lớn hơn

b, ký hiệu a > b, nếu hiệu a − b là một số dương; a được gọi là lớnhơn hoặc bằng b, ký hiệu a > b, nếu hiệu a − b là một số không âm;

a được gọi là nhỏ hơn b, ký hiệu a < b, nếu hiệu a − b là một số âm;

a được gọi là nhỏ hơn hoặc bằng b, ký hiệu a 6 b, nếu hiệu a − b làmột số không dương

Giá trị tuyệt đối của a là |a| =

Mệnh đề 1.1.3 Với các số thực a, b, c, x, y, z và d 6= 0 có các đồngnhất thức sau đây:

(i) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 và (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

(ii) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

(iii) (a + b)3 = a3+ 3ab(a + b) + b3 và (a − b)3 = a3− 3ab(a − b) − b3.(iv) a2 − b2 = (a− b)(a + b)

(v) a3− b3 = (a− b)(a2+ ab + b2) và a3+ b3 = (a + b)(a2− ab + b2).(vi) (a2 + b2)(x2+ y2) = (ax + by)2 + (ay− bx)2

(vii) (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 + (ay − bx)2 +(bz − cy)2 + (cx− az)2

(viii) |ab| = |a||b|, |a

Bài giải: (i) Bởi vì (a − b)2 > 0 nên a2 + b2 > 2ab Dấu = xảy rakhi và chỉ khi a = b.

(ii) Do bởi (a2+ b2)(x2+ y2) = (ax + by)2+ (ay− bx)2 >(ax + by)2nên (a2 + b2)(x2 + y2) > (ax + by)2 Dấu = xảy ra khi và chỉ khia

|a| + |b|; Còn khi a + b < 0 thì |a + b| = −a − b 6 |a| + |b| Tóm lại

|a + b| 6 |a| + |b| Bởi vì |a| = |a + b + (−b)| 6 |a + b| + | − b| =

|a + b| + |b| nên |a| − |b| 6 |a + b| Tương tự |b| = |a + b + (−a)| 6

|a + b| + | − a| = |a + b| + |a| nên |b| − |a| 6 |a + b| Tóm lại

||a| − |b|| 6 |a + b| 6 |a| + |b|

Bổ đề 1.1.5 Với a, b, c, x, y, z, u, v, t > 0 luôn có các bất đẳng thứcsau:

p(a + x)(b + y)(c + z). Từ đây suy

ra (ii)

(iii) Vìp3

(a + x + u)(b + y + v)(c + z + t) > p3

(a + x)(b + y)(c + z)+√3

uvt nên p3

(a + x + u)(b + y + v)(c + z + t) > √3

abc + √3 xyz +3

√

uvt

(iv) được suy ra từ (iii) khi x = y = z = 1, u = v = t = 0

Ví dụ 1.1.6 Với ba số thực a, b, c ∈ [1, 2] luôn có bất đẳng thứcp

(1 + a)2 + 1

(1 + b)2 > 1

1 + ab.(iv) là hiển nhiên qua quy đồng hai vế

(1 + b)2 6 2

1 + ab 6

2

1 + abc1

(vii) Quy đồng hai vế có ngay bất đẳng thức.

Chú ý 1.1.8 Khi ab > 1 sẽ không có (iv) Thật vậy, khi a = 2, b = 1

10 =

2

1 + ab.

Mệnh đề 1.1.9 [Cauchy] Với các số thực a1, a2, , an > 0 taluôn có

−1 1

n2 − 1 =

1− x2 i

,~b = b +c

2;

√3c2

, ~c = c +a

2;

√3a2

ta có ~a+~b+~c = 3

2(a+b+c);

√3

2 (a+b+c)

.Do |~a|+|~b|+|~c| > |~a+~b+~c|suy ra √

pc(a− c) +pc(b− c) 6 √ab

Bài giải: Bất đẳng thức hiền nhiên đúng khi c = 0 Khi c > 0, dựnghai tam giác vuông OAB và OAC cùng vuông góc ở O với cạnhchung OC = √

c và OA = √

b− c, OB = √a− c ở về hai phía khácnhau so với OC Khi đó BC = √

M, N, P và Q trên các cạnh AB, BC, CD và DA sao cho AQ =

là diện tích Từ T = a + b + c = 2R(sin A + sin B + sin C) 66R sinA + B + C

3 suy ra Tln = 3√

3R khi ∆ABC đều Từ S =

2R2sin A sin B sin C 6 2R2sin3 A + B + C

3√3R2

Ví dụ 1.1.16 Với các số thực a, b, c ∈ [0; 1] ta luôn có bất đẳngthức

2(a2 + b2 + c2 + d2) 6 16 + a2b + b2c + c2d + d2a

Bài giải: Vì a, b, c, d ∈ [0; 2] nên a2b2+ b2c2+ c2d2+ d2a2 6 a2b.2 +

b2c.2 + c2d.2 + d2a.2 hay a2b2 + b2c2 + c2d2 + d2a2 6 2(a2b + b2c +

c2d + d2a) Do vậy, để chứng minh bất đẳng thức ta chỉ cần chỉ ra:

4(a2 + b2 + c2 + d2) 6 32 + a2b2 + b2c2 + c2d2 + d2a2

Hiển nhiên a2, b2, c2, d2 ∈ [0; 4] Dựng hình vuông ABCD với AB =

4 Lấy M, N, P, Q thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA, tương ứng saocho AM = a2, BN = b2, CP = c2, DQ = d2 Từ SM BN + SN CP +

SP DQ + SQAM 6 SABCD suy ra 4(a2 + b2 + c2 + d2) 6 32 + a2b2 +

b2c2 + c2d2 + d2a2

Ví dụ 1.1.18 Với các số thực a, b, c, x, y, z ta luôn có bất đẳng thức

ax+by +cz +p(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) > 2

3(a+b+c)(x+y +z).Bài giải: Xét ~u = (a, b, c), ~v = (x, y, z) và ~w = (1, 1, 1) Bất đẳngthức trở thành ~u.~v+|~u||~v| > 23(~u ~w)(~v ~w) hay ~u.~v

Ví dụ 1.1.19 Với độ dài ba cạnh a, b, c của một tam giác ta có bấtđẳng thức

đó T 6 2

3

√4a2(b + c) +

2√3

4b2(c + a) +

2√3

4c2(a + b) <

2r sin u với r ∈ [0; 5] Khi đó 3a − 8b =

−7 + r(3 cos u − 4 sin u) = −7 + 5r cos(u + α) 6 −7 + 25 = 18

Ví dụ 1.1.21 Với bốn số thực a, b, c và d biến thiên thỏa mãn hệ

a2 + b2 = c2 + d2 = 1, hãy xác định giá trị lớn nhất của biểu thứcdưới đây:

M = cot2(α− β) + cot2(β − γ) + cot2(γ − α)

Do (α − β) + (β − γ) + (γ − α) = 0 nên cot(α − β) cot(β − γ) +cot(β − γ) cot(γ − α) + cot(γ − α) cot(α − β) = 1 Từ đó suy ra

T > 1

Ví dụ 1.1.23 Chứng minh rằng

3.Bài giải: Đặt M =

...

dc

ra M = |x + y + z| > √3 Vậy bất đẳng thức cho chứngminh

Ví dụ 1.1.24 Với ba số thực a, b, c ta ln có bất đẳng thức