Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)

Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng (LV thạc sĩ)

Möc löc

Ch÷ìng 1 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy 4

1.1 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mët bi¸n 6

1.1.1 V· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh 6

1.1.2 Ph÷ìng tr¼nh h m cëng t½nh tr¶n khæng gian phùc 11 1.1.3 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mô 14

1.1.4 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy Logarit 17

1.1.5 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy nh¥n t½nh 18

1.2 Ph÷ìng tr¼nh Cauchy nhi·u bi¸n 23

1.2.1 Ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh nhi·u bi¸n 23

1.2.2 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy nh¥n t½nh nhi·u bi¸n 27 1.2.3 Hai ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy nhi·u bi¸n kh¡c 28 1.3 Mð rëng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy 29

1.4 Mët sè b i to¡n ¡p döng 35

Ch÷ìng 2 Mët sè ùng döng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy 37 2.1 Têng c¡c lôy thøa cõa sè nguy¶n 37

2.1.1 Têng cõa n sè tü nhi¶n ¦u ti¶n 38

2.1.2 Têng b¼nh ph÷ìng cõa n sè tü nhi¶n ¦u ti¶n 39

2.1.3 Têng lôy thøa k cõa n sè tü nhi¶n ¦u ti¶n 39

2.2 Têng lôy thøa cõa c¡c sè trong d¢y c§p sè cëng 42

2.3 Sè c°p câ thº rót ra tø n ph¦n tû 43

2.4 Têng cõa chuéi húu h¤n 44

Mð ¦u

Ph÷ìng tr¼nh h m l  mët nh¡nh cõa to¡n håc hi»n ¤i, tø n«m 1747

¸n 1750 nh  to¡n håc J D'Alembert ¢ cæng bè 3 b i b¡o li¶n quanv· ph÷ìng tr¼nh h m, ¥y ÷ñc xem l  c¡c k¸t qu£ ¦u ti¶n v· ph÷ìngtr¼nh h m

G¦n ¥y, ph÷ìng tr¼nh h m ÷ñc r§t nhi·u nh  To¡n håc nêi ti¸ngcõa th¸ giîi nghi¶n cùu, v  câ nhúng âng gâp lîn lao cho c£ to¡n lþthuy¸t v  to¡n ùng döng, ch¯ng h¤n nh÷ qua c¡c cuèn s¡ch cõa A.N.Sarkovskii and G.P.Reljuch (1974); J Ac
zel and Z Da
roczy (1975); J.Dhombres (1979)

Ch½nh sü ph¡t triºn m¤nh m³ cõa lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh h m m c¡c k¸t qu£ cõa nâ ¢ ÷ñc xem x²t nghi¶n cùu cho èi t÷ñng håc sinhtrung håc phê thæng Thº hi»n qua c¡c ký thi håc sinh giäi quèc gia,c¡c b i to n v· ph÷ìng tr¼nh h m luæn thu hót BTC quan t¥m v  lüachån

V¼ vªy, · t i luªn v«n th¤c s¾ ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p s³ tªptrung v o lîp ph÷ìng tr¼nh h m cì b£n, â l : V· ph÷ìng tr¼nh h mCauchy v  ùng döng

Luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng

Ch÷ìng 1: Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy

Ch÷ìng n y tr¼nh b y c¡c ành ngh¾a, ành lþ, chùng minh v· ph÷ìngtr¼nh h m Cauchy v  c¡c d¤ng cõa nâ T¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

h m Cauchy cëng t½nh, ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy nh¥n t½nh, ph÷ìngtr¼nh h m Cauchy mô v  ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy Logarit Tr¼nh b y

mð rëng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ÷a ra mët sè b i to¡n vªndöng ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh º gi£i quy¸t Mët sè b ito¡n l  · thi håc sinh giäi c¡c n÷îc, ÷ñc tr½ch tø t i li»u [9] cõa t¡cgi£ Titu Andreescu v  Iurie Boreico

Ch÷ìng 2: Mët sè ùng döng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy

Ch÷ìng n y tr¼nh b y ùng döng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy trongt½nh têng lôy thøa cõa sè nguy¶n (têng cõa n sè tü nhi¶n ¦u ti¶n, têngb¼nh ph÷ìng cõa n sè tü nhi¶n ¥u ti¶n, têng lôy thøa k cõa n sè tünhi¶n ¦u ti¶n), t½nh têng lôy thøa cõa c¡c sè trong d¢y c§p sè cëng,t¼m sè c°p câ thº rót ra tø n ph¦n tû, lüc l÷ñng cõa mët tªp hñp v têng cõa chuéi húu h¤n

º ho n thi»n luªn v«n tr÷îc h¸t tæi xin gûi líi c£m ìn s¥u s­c tîi

TS Tr¦n Xu¥n Quþ ¢ d nh thíi gian h÷îng d¨n, ¡nh gi¡, ch¿ b£o,tªn t¼nh gióp ï trong qu¡ tr¼nh x¥y düng · t i v  ho n thi»n luªnv«n Qua ¥y tæi công xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi t§t c£ c¡c th¦y

cæ, Ban gi¡m hi»u, Khoa To¡n - Tin - Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤ihåc Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o i·u ki»n, gióp ï trong suèt qu¡ tr¼nh ho n

th nh khâa håc

Tæi mong nhªn ÷ñc sü gâp þ cõa th¦y, cæ v  c¡c b¤n

Th¡i Nguy¶n, ng y 05 th¡ng 5 n«m 2017

T¡c gi£ luªn v«nHåc vi¶n Nguy¹n Thà Mªn

Ch֓ng 1

Ph÷ìng tr¼nh h m

Cauchy

Vi»c nghi¶n cùu v· h m cëng t½nh câ tø thíi A.M Legendre l  ng÷íi

¦u ti¶n cè g­ng t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy

f (x + y) = f (x) + f (y)vîi måi x, y ∈ R Vi»c nghi¶n cùu h» thèng ph÷ìng tr¼nh h m Cauchycëng t½nh ¢ ÷ñc khði x÷îng bði A.L Cauchy trong cuèn s¡ch cõa æng

"Coursd d'Analyse" n«m 1821

Mët ph÷ìng tr¼nh bao gçm mët h m ch÷a bi¸t v  mët ho°c nhi·u

¤o h m cõa nâ ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n V½ dö nh÷

f (t) = f (2t) + f (2t − 1)

Ph¤m vi cõa ph÷ìng tr¼nh h m bao gçm c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n,ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n, ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n C¡c ph÷ìng tr¼nh

h m l  mët l¾nh vüc cõa to¡n håc tr¶n 200 n«m tuêi Hìn 5000 b i b¡o

¢ ÷ñc cæng bè trong l¾nh vüc n y Tuy nhi¶n èi vîi luªn v«n th¤cs¾ tæi ch¿ tªp trung nghi¶n cùu v· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  mët sèùng döng cõa nâ

N«m 1747 v  1750, d'Alambert ¢ cæng bè 3 b i b¡o trong â b ithù nh§t l  ph÷ìng tr¼nh h m (xem Acz²l (1966)) Ph÷ìng tr¼nh h m

÷ñc nghi¶n cùu bði d'Alambert (1747), Euler (1768), Poisson (1804),Cauchy (1821), Darboux (1875) v  nhi·u nh  to¡n håc kh¡c Hilbert

(1902) · xu§t trong sü nèi ti¸p vîi v§n · 5 cõa æng l  ành lþ h m

vi ph¥n cung c§p ph÷ìng ph¡p µp v  m¤nh º gi£i ph÷ìng tr¼nh h m,trong â gi£ thi¸t kh£ vi l  i·u ki»n khæng thº thi¸u Nhí · xu§tcõa Hilbert nhi·u nghi¶n cùu v· ph÷ìng tr¼nh h m ¢ xem x²t vîi c¡cph÷ìng tr¼nh h m kh¡c nhau khæng câ mët v i ho°c ½t c¡c gi£ thi¸t ·u

Sü né lüc n y ¢ gâp ph¦n ph¡t triºn ành lþ hi»n ¤i v· ph÷ìng tr¼nh

h m Lþ thuy¸t c¡c d¤ng quy t­c to¡n håc hi»n ¤i cõa ph÷ìng tr¼nh

h m ng y c ng ph¡t triºn nhanh châng ð cuèi thªp k¿ 6

Gi£i ph÷ìng tr¼nh h m ngh¾a l  t¼m t§t c£ c¡c h m sè thäa m¢nph÷ìng tr¼nh h m º thu ÷ñc mët nghi»m, c¡c h m sè ph£i bà giîih¤n bði mët °t tr÷ng ri¶ng (nh÷ l  gi£i t½ch, bà ch°n, li¶n töc, lçi, kh£

vi, o ÷ñc hay ìn i»u)

1.1 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mët bi¸n

1.1.1 V· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh

Ph¦n n y giîi thi»u v· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh v  x¡c

ành nghi»m cõa nâ (÷ñc tr½ch tø t i li»u[7])

Cho f : R → R trong â R l  tªp sè thüc, f l  h m sè thäa m¢nph÷ìng tr¼nh h m

f (x + y) = f (x) + f (y) (1.1)vîi måi x, y ∈ R Ph÷ìng tr¼nh h m n y ¢ ÷ñc bi¸t l  ph÷ìng tr¼nh

h m Cauchy Ph÷ìng tr¼nh h m (1.1) ÷ñc nghi¶n cùu ¦u ti¶n bðiA.M Legendre (1791) v  C.F Gauss (1809) nh÷ng A.L Cauchy (1821)

l  ng÷íi ¦u ti¶n t¼m ra nghi»m trong lîp h m li¶n töc Ph÷ìng tr¼nh(1.1) câ và tr½ quan trång trong to¡n håc nâ ÷ñc · cªp tîi trong h¦uh¸t c¡c kh½a c¤nh cõa to¡n håc

ành ngh¾a 1.1 H m sè f : R → R ÷ñc gåi l  h m cëng t½nh n¸u nâthäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy

f (x + y) = f (x) + f (y)vîi måi x, y ∈ R

ành ngh¾a 1.2 H m sè f : R → R ÷ñc gåi l  h m tuy¸n t½nh khi v ch¿ khi nâ câ d¤ng

f (x) = cx (∀x ∈ R),

trong â c l  mët h¬ng sè tòy þ.

ç thà cõa h m tuy¸n t½nh f(x) = cx l  mët ÷íng khæng th¯ng, iqua gèc do â nâ ÷ñc gåi l  tuy¸n t½nh H m sè tuy¸n t½nh thäa m¢nph÷ìng tr¼nh h m Cauchy C¡c c¥u häi ÷ñc ÷a ra l  câ h m n o kh¡cthäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy hay khæng?

Ta th§y r¬ng ch¿ câ nghi»m li¶n töc cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy

l  tuy¸n t½nh ¥y l  k¸t qu£ ÷ñc chùng minh bði Cauchy v o n«m1821

ành lþ 1.1 Cho f : R → R l  li¶n töc v  thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h mCauchy cëng t½nh (1.1) Khi â f tuy¸n t½nh, ngh¾a l  f(x) = cx trong

v o (1.1) suy ra d = 0

Trong ành lþ 1.1 ta sû döng t½nh li¶n töc cõa f º k¸t luªn r¬ng

f kh£ t½ch T½nh t½ch ph¥n cõa f b­t buëc nghi»m f cõa ph÷ìng tr¼nh

Cauchy cëng t½nh l  tuy¸n t½nh Do â méi nghi»m kh£ t½ch cõa ph÷ìngtr¼nh Cauchy cëng t½nh công tuy¸n t½nh.

ành ngh¾a 1.3 Mët h m f : R → R ÷ñc gåi l  kh£ t½ch àa ph÷ìngkhi v  ch¿ khi nâ l  t½ch ph¥n tr¶n måi kho£ng húu h¤n

Theo tr¶n méi nghi»m kh£ t½ch àa ph÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchycëng t½nh công l  tuy¸n t½nh Ta ÷a ra mët c¡ch chùng minh ÷ñc ÷a

ra bði Shapiro 1973 Gi£ sû f l  mët nghi»m kh£ t½ch àa ph÷ìng cõaph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh Do â f(x + y) = f(x) + f(y) óng vîimåi x, y ∈ R Tø â sû döng t½nh kh£ t½ch àa ph÷ìng cõa f ta ÷ñc

f (x)

x = c,vîi c l  mët h¬ng b§t ký i·u n y suy ra f(x) = cx vîi måi x ∈ R\{0}.Cho x = 0 v  y = 0 ð (1.1) ta ÷ñc f(0) = 0 Nh÷ vªy f l  mët h mtuy¸n t½nh tr¶n R

M°c dò chùng minh cõa ành lþ 1.1 ng­n gån v  ch¿ gçm c¡c ph²pt½nh vi ph¥n, t½ch ph¥n nh÷ng nâ l¤i khæng hi»u qu£ cao v  câ nhi·uki¸n thùc Gií ta s³ tr¼nh b y mët c¡ch chùng minh kh¡c s³ gióp ta hiºuhìn v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh

Ta x²t ành ngh¾a sau

ành ngh¾a 1.4 Mët h m sè f : R → R ÷ñc gåi l  thu¦n nh§t húu t¿khi v  ch¿ khi

f (rx) = rf (x) (1.4)vîi måi x ∈ R v  måi sè húu t¿ r

ành lþ sau s³ cho th§y måi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh

l  thu¦n nh§t húu t¿

ành lþ 1.2 Cho h m sè f : R → R l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchycëng t½nh th¼ f thu¦n nh§t húu t¿ Ngo i ra f tuy¸n t½nh tr¶n tªp húu t¿Q

Chùng minh Thay x = 0, y = 0 v o (1.1) ta th§y f(0) = f(0) + f(0)

v  ta câ

f (0) = 0 (1.5)Thay y = −x trong (1.1) v  dòng (1.5), ta th§y f l  h m l´ tr¶n R ngh¾a

l 

f (−x) = −f (x) vîi måi x ∈ R (1.6)Nh÷ vªy ta ¢ ch¿ ra ÷ñc mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëngt½nh b¬ng 0 t¤i iºm gèc v  l  h m sè l´ Ti¸p theo ta ch¿ ra r¬ng nghi»mcõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh l  thu¦n nh§t húu t¿ Thªt vªy, vîimåi x ∈ R, ta câ

Do â ta ¢ ch¿ ra r¬ng f(nx) = nf(x) vîi måi sè nguy¶n n v  måi sèthüc x ∈ R Ti¸p theo ta x²t r l  sè húu t¿ tòy þ th¼

r = k

l,trong â k l  sè nguy¶n (kh¡c khæng), l l  sè nguy¶n d÷ìng Ta câ

kx = l(rx) Sû döng t½nh thu¦n nh§t nguy¶n cõa f ta ÷ñc

B¥y gií ta ÷a ra c¡ch chùng minh thù hai cõa ành lþ 1.1

Chùng minh Cho f l  nghi»m li¶n töc cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchycëng t½nh Vîi x ∈ R b§t ký tçn t¤i mët d¢y {rn} c¡c sè húu t¿ hëi töv· x V¼ f thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh Tø ành lþ 1.2 ta

câ f tuy¸n t½nh tr¶n tªp húu t¿ ngh¾a l 

Ta câ i·u ph£i chùng minh

ành lþ 1.3 (Darboux (1875)) Gi£ sû f l  mët nghi»m cõa ph÷ìngtr¼nh h m Cauchy cëng t½nh (1.1) N¸u f li¶n töc t¤i mët iºm t ∈ Rth¼ nâ li¶n töc tr¶n R

Chùng minh Gi£ sû f li¶n töc t¤i t v  x l  mët iºm b§t ký do â

ành lþ sau ¥y ÷ñc suy ra tø ành lþ 1.1 v  ành lþ 1.3

ành lþ 1.4 Cho f l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh(1.1) N¸u f li¶n töc t¤i mët iºm th¼ f l  tuy¸n t½nh ngh¾a l  f(x) = cxvîi måi x ∈ R

ành lþ 1.5 N¸u mët h m cëng t½nh thüc f ho°c l  bà ch°n mët ph½aho°c l  ìn i»u th¼ nâ l  tuy¸n t½nh

ành lþ 1.6 N¸u f l  mët h m cëng t½nh thüc f bà ch°n tr¶n mët o¤n[a, b]th¼ nâ l  tuy¸n t½nh ngh¾a l  tçn t¤i mët h¬ng sè c sao cho f(x) = cxvîi måi x ∈ R

1.1.2 Ph÷ìng tr¼nh h m cëng t½nh tr¶n khæng gian phùc

Ð ph¦n n y ta tr¼nh b y l¤i mët sè k¸t qu£ câ li¶n quan ¸n h mcëng t½nh vîi gi¡ trà phùc trong khæng gian phùc ÷ñc tr½ch tø t i li»u[7]

Mët h m b§t ký f : C → C câ thº vi¸t

f (z) = f1(z) + if2(z), (1.8)khi f1 : C → R v  f2 : C → R ÷ñc cho bði

f1(z) = Ref (z)v  f2(z) = Imf (z) (1.9)

f (z) = f11(Rez) + f12(Imz) + if21(Rez) + if22(Imz).

ành lþ ti¸p theo li¶n quan tîi d¤ng cõa h m phùc li¶n töc cëng t½nhtrong m°t ph¯ng phùc

ành lþ 1.8 N¸u f : C → C l  mët h m li¶n töc cëng t½nh th¼ tçn t¤ihai sè phùc c1 v  c2 sao cho

f (z) = c1z + c2z (1.10)vîi z l  sè phùc li¶n hñp cõa z

Chùng minh V¼ f cëng t½nh n¶n theo ành lþ 1.8 ta câ

f (z) = f11(Rez) + f12(Imz) + if21(Rez) + if22(Imz),

vîi fkj : R → R (k, j = 1, 2) l  c¡c h m sè cëng t½nh nhªn gi¡ trà thüc,x¡c ành tr¶n tªp sè thüc V¼ f li¶n töc n¶n c¡c h m fkj công li¶n töcv¼ vªy

fkj(x) = ckjx,vîi ckj (k, j = 1, 2) l  c¡c sè thüc Do â ta câ

f (z) =c11Rez + c12Imz + ic21Rez + ic22Imz

2 v  c2 = a + bi

2 l  c¡c sè phùc

Rã r ng r¬ng khæng gièng h m cëng t½nh nhªn gi¡ trà thüc x¡c ànhtr¶n tªp sè thüc h m nhªn gi¡ trà phùc cëng t½nh li¶n töc tr¶n m°tph¯ng phùc khæng tuy¸n t½nh Ta s³ t¼m i·u ki»n º nâ tuy¸n t½nh

ành ngh¾a 1.5 Mët h m sè f : C → C ÷ñc gåi l  gi£i t½ch khi v  ch¿khi f kh£ vi tr¶n C

ành lþ 1.9 N¸u f : C → C l  h m gi£i t½ch cëng t½nh th¼ tçn t¤i mët

f0(z1+ z2) = f0(z1)vîi måi z1 v  z2 trong C V¼ th¸ ta chån z1 = 0 v  z2 = z ta ÷ñc

f0(z) = f (0) = c

Tø â ta th§y r¬ng f(z) = cz + b Trong â b l  mët sè phùc Thay biºuthùc cõa f(z) v o (1.11) ta ÷ñc b = 0

Chó þ 1.1 Ta th§y ành lþ 1.13 khæng óng cho h m phùc trong m°tph¯ng phùc, công bi¸t r¬ng câ mët tü çng c§u giai o¤n cõa m°t ph¯ngphùc (theo Kamke (1927)) mët tü çng c§u giai o¤n l  mët ¡nh x¤ 1-1

f (x + y) = f (x) + f (y) (1.15)vîi måi x, y ∈ R Trong c¡c ph¦n ti¸p theo ta gi£i 3 ph÷ìng tr¼nh h mCauchy tr¶n Nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh h m n y ÷ñc x¡c

ành theo c¡c h m cëng t½nh Cuèi còng sû döng nghi»m têng qu¡t tathu ÷ñc nghi»m li¶n töc cõa méi ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n

1.1.3 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mô

Trong möc n y ta s³ x²t ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng (1.12), d¤ng ph÷ìngtr¼nh n y ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mô Ta s³ x¡c ànhnghi»m têng qu¡t cõa h m sè mô Cauchy (1.12) m  khæng gi£ sû c¡c

i·u ki»n ch½nh quy nh÷ t½nh li¶n töc, t½nh bà ch°n hay t½nh kh£ vi tr¶n

h m f

ành lþ 1.10 N¸u h m sè f : R → R thäa m¢n f(x + y) = f(x)f(y),vîi måi x, y th¼ nghi»m têng qu¡t cõa (1.12) ÷ñc cho bði

f (x) = eA(x) v  f(x) = 0 ∀x ∈ R (1.16)vîi A : R → R l  h m cëng t½nh

Chùng minh D¹ th§y f(x) = 0 vîi måi x ∈ R l  nghi»m cõa (1.12).

Ta câ h» qu£ sau l  k¸t qu£ hiºn nhi¶n cõa ành lþ tr¶n

H» qu£ 1.1 N¸u h m sè f : R → R thäa m¢n f(x + y) = f(x)f(y), vîimåi x, y th¼ nghi»m têng qu¡t li¶n töc cõa (1.12) ÷ñc cho bði

f (x) = ecx v  f(x) = 0 ∀x ∈ R, (1.18)vîi c l  mët h¬ng sè tòy þ

Cho n l  mët sè nguy¶n d÷ìng Gi£ sû câ ph÷ìng tr¼nh h m

f (x + y + nxy) = f (x)f (y) (1.19)thäa m¢n vîi sè thüc x > −1

n v  y > −1

n khi â n → 0, ph÷ìng tr¼nh

h m (1.19) trð ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mô Ph÷ìng tr¼nh n y ÷ñcnghi¶n cùu bði Thielman (1949)

ành lþ 1.11 Måi nghi»m f cõa ph÷ìng tr¼nh h m f(x + y + nxy) =

f (x)f (y), vîi måi x, y > −1

n câ d¤ng

f (x) = 0 ho°c f(x) = eA(ln(1+nx)), (1.20)vîi A : R → R l  h m cëng t½nh

Chùng minh Ta câ ph÷ìng tr¼nh h m (1.19) t÷ìng ÷ìng vîi

φ(u) = f  ev − 1

n



(1.23)trong ph÷ìng tr¼nh (1.22) ta câ

φ(u + v) = φ(u)φ(v) (1.24)vîi måi u,v ∈ R V¼ vªy theo ành lþ 1.10 ta câ

φ(x) = eA(x) ho°c φ(x) = 0 ∀x ∈ R, (1.25)vîi A : R → R l  h m cëng t½nh Do â tø (1.23) v  (1.25) chóng ta thu

֖c

f (x) = 0 ho°c f(x) = eA(ln(1+nx))

vîi A : R → R l  h m cëng t½nh

Tø â ta câ h» qu£ sau

H» qu£ 1.2 Måi nghi»m li¶n töc f cõa ph÷ìng tr¼nh h m (1.19) vîimåi sè thüc x > −1

n v  måi y > −1

n câ d¤ng l 

f (x) = 0 ho°c f(x) = (1 + nx)k

, (1.26)trong â k l  mët h¬ng sè tòy þ

1.1.4 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy Logarit

B¥y gií ta xem x²t ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy thù hai (1.13) ¥y

l  ph÷ìng tr¼nh h m ÷ñc bi¸t ¸n nh÷ ph÷ìng tr¼nh Cauchy logarit

ành lþ 1.12 N¸u ph÷ìng tr¼nh h m (1.13), tø ph÷ìng tr¼nh l 

f (xy) = f (x) + f (y)

óng vîi måi x, y ∈ R \ {0} th¼ nghi»m têng qu¡t cõa (1.13) l 

f (x) = A(ln|x|) ∀x ∈ R \ {0} (1.27)vîi A l  mët h m cëng t½nh

Chùng minh ¦u ti¶n ta thay x = t v  y = t v o ph÷ìng tr¼nh (1.13)

x = es v  y = et (1.29)suy ra

s = ln x v  t = ln y (1.30)Chó þ s, t ∈ R do x, y ∈ R+ trong â R+ = {x ∈ R|x > 0} Tø (1.29)

vîi måi s, t ∈ R Tø (1.31) ta câ

f (x) = A(ln x) ∀x ∈ R+ (1.32)

Do f(t) = f(−t) n¶n nghi»m têng qu¡t cõa (1.13) l 

f (x) = A(ln |x|) ∀x ∈ R \ {0}

Theo ành lþ tr¶n ta câ c¡c h» qu£ sau

H» qu£ 1.3 Nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh h m f(xy) = f(x) +

f (y) vîi måi x, y ∈ R+ l 

f (x) = A(ln x), (1.33)vîi A : R → R l  mët h m cëng t½nh

H» qu£ 1.4 Nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh h m f(xy) = f(x) +

f (y) vîi måi x, y ∈ R l 

f (x) = 0 ∀x ∈ R (1.34)H» qu£ 1.5 Nghi»m li¶n töc têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh h m f(xy) =

f (x) + f (y) vîi måi x, y ∈ R \ {0} ÷ñc cho bði

f (x) = c ln |x| ∀x ∈ R \ {0}, (1.35)vîi c l  mët h¬ng sè thüc tòy þ

ành lþ 1.13 N¸u mët h m cëng t½nh f l  nh¥n t½nh th¼ f tuy¸n t½nh.

ành lþ 1.14 Nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh h m nh¥n t½nh f(xy) =

f (x)f (y), vîi måi x, y ∈ R l 

Chùng minh Thay x = 0 = y v o ph÷ìng tr¼nh (1.14) ta thu ÷ñc

f (0)[1 − f (0)] = 0 khi â câ hai kh£ n«ng x£y ra

f (0) = 0 ho°c f(0) = 1 (1.41)T÷ìng tü thay x = 1 = y trong ph÷ìng tr¼nh (1.14) ta câ f(1)[1−f(1)] =

0 khi â câ hai kh£ n«ng x£y ra

f (1) = 0 ho°c f(1) = 1 (1.42)X²t x > 0 Khi â tø ph÷ìng tr¼nh (1.14) ta câ

f (x) = f (√

x)2 ≥ 0 (1.43)

Gi£ sû tçn t¤i mët x0 ∈ R, x0 6= 0 sao cho f(x0) = 0 Cho x ∈ R l  mët

sè thüc tòy þ Khi â tø (1.14) ta câ

vîi måi x ∈ R v  ta thu ÷ñc nghi»m (1.37)

Tø ¥y ta gi£ sû r¬ng f(x) 6= 0 vîi måi x ∈ R \ {0}

Tø (1.41) ta câ ho°c f(0) = 0 ho°c f(0) = 1 N¸u f(0) = 1 thay

y = 0 trong ph÷ìng tr¼nh (1.14) ta thu ÷ñc

f (0) = f (x)f (0)

v  do â

f (x) = 1 vîi måi x ∈ R

Vªy ta câ nghi»m x¡c ành (1.38)

Ti¸p theo ta x²t tr÷íng hñp f(0) = 0 Trong tr÷íng hñp n y ta s³ch¿ ra f(x) 6= 0 vîi måi x ∈ R \ {0} Gi£ sû ng÷ñc l¤i tùc l  tçn t¤i

y0 ∈ R \ {0} º f(y0) = 0 Thay y = y0 v o (1.14) ta câ

f (xy0) = f (x)f (y0) = 0khi â

f (x) = 0 ∀x ∈ R \ {0}

i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t f khæng çng nh§t b¬ng 0 Vªy

f (x) 6= 0 vîi måi x ∈ R \ {0} Tø (1.43) ta câ

f (x) > 0 vîi x > 0 (1.44)

Ta x²t

x = es v  y = et (1.45)hay

s = ln x v  t = ln y (1.46)Chó þ r¬ng s, t ∈ R do â x, y ∈ R+ Thay (1.45) v o (1.14) ta thu ÷ñc

f (x) = eA(ln|x|) ∀x ∈ R+ (1.48)

Tø (1.42) ta th§y r¬ng ho°c f(1) = 0 ho°c f(1) = 1 N¸u f(1) = 0 thay

y = 1 v o (1.14) ta nhªn ÷ñc

f (x) = 0 ∀x ∈ R \ {0}

Tr¡i l¤i gi£ thi¸t f l  h m çng nh§t khæng tr¶n R\{0} do â f(1) = 1.Cho x = −1 = y trong ph÷ìng tr¼nh (1.14) ta ÷ñc f(1) = f(−1)2 suyra

f (−1) = 1 ho°c f(−1) = −1 (1.49)N¸u f(−1) = 1 ta thay y = −1 v o (1.14) ÷ñc

Tø ành lþ tr¶n ta câ h» qu£ sau

H» qu£ 1.6 Nghi»m têng qu¡t li¶n töc cõa ph÷ìng tr¼nh h m f(xy) =

f (x)f (y), vîi måi x, y ∈ R cho bði

f (x) = 0, (1.50)

f (x) = 1, (1.51)

f (x) = |x|α, (1.52)

v 

f (x) = |x|αsgn(x), (1.53)trong â a l  mët h¬ng sè d÷ìng tòy þ

Chùng minh Tø ành lþ 1.14 ta câ ho°c f = 0, ho°c f = 1, ho°c f

câ d¤ng (1.39) ho°c (1.40) vîi A : R → R l  h m cëng t½nh V¼ f li¶ntöc

A(t) = lnf (et),

A công l  h m li¶n töc tr¶n R do â

A(t) = αt,trong â α ∈ R l  mët h¬ng sè tòy þ V¼ vªy tø (1.39) v  (1.40) ta câ

f (x) = |x|α

v 

f (x) = |x|αsgn(x)

Ti¸p theo ta s³ chùng minh α > 0

Thªt vªy n¸u ta câ α = 0 khi â (1.52) s³ thu ÷ñc f(x) = 1 vîi x 6= 0,

tø t½nh li¶n töc cõa f ta câ f(0) = 1 Do â ta câ f = 1, tr÷íng hñp n ych½nh l  kh¯ng ành (1.51) Trong kh¯ng ành (1.53) vîi α = 0 ta ÷ñc

ành ngh¾a 1.6 nh x¤ f : R → R ÷ñc gåi l  h m nh¥n t½nh n¸u nâthäa m¢n f(xy) = f(x)f(y) vîi måi x, y ∈ R

1.2 Ph÷ìng tr¼nh Cauchy nhi·u bi¸n

Trong möc n y ta s³ ch¿ ra r¬ng mët h m cëng t½nh gi¡ trà thüc tr¶n

Rn câ thº ÷ñc biºu di¹n nh÷ l  têng cõa n h m cëng t½nh mët bi¸n.Mët k¸t qu£ t÷ìng tü óng cho h m logarit gi¡ trà thüc tr¶n Rn vîi mët

sè h¤n ch¸ tr¶n mi·n x¡c ành Hìn núa nâ s³ ÷ñc ch¿ ra r¬ng mët h m

sè nh¥n t½nh nhªn gi¡ trà thüc x¡c ành tr¶n Rn câ thº ÷ñc biºu di¹nnh÷ l  t½ch cõa n h m nh¥n t½nh mët bi¸n T÷ìng tü k¸t qu£ n y công

óng cho h m mô tr¶n x¡c ành Rn

1.2.1 Ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh nhi·u bi¸n

Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy

f (x + y) = f (x) + f (y) vîi x, y ∈ R (CE)

Câ thº ÷ñc têng qu¡t th nh

f (x1 + y1, x2 + y2, , xn+ yn) = f (x1, x2, , xn) + f (y1, y2, , yn)

vîi (x1, x2 xn) ∈ Rn v  (y1, y2 yn) ∈ Rn Ð ¥y f : Rn → R Ta c¦nt¼m nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh h m n y Vîi ph¤m vi luªn v«ntæi ch¿ x²t tr÷íng hñp n = 2 Tùc l  x²t ph÷ìng tr¼nh

f (x1 + y1, x2 + y2) = f (x1, x2) + f (y1, y2) (FE)vîi måi x1, x2, y1, y2 ∈ R

ành lþ 1.15 Nghi»m têng qu¡t f : R2 → R cõa ph÷ìng tr¼nh h m(FE) ÷ñc cho bði

f (x1, x2) = A1(x1) + A2(x2), (1.54)vîi A1, A2 : R → R l  cëng t½nh

Chùng minh Cho x2 = y2 = 0 thay v o (FE) ta câ

f (x1+ y1, 0) = f (x1, 0) + f (y1, 0) (1.55)X²t h m sè A1 : R → R x¡c ành bði

A1(x) = f (x, 0) (1.56)