Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)

Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)Phương trình hàm Cauchy và một số biến thể của nó (LV thạc sĩ)

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

o0o

BÒI THÀ HŒNG

PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY V€ MËT SÈ BI˜N THš CÕA NÂ

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

THI NGUY–N, 2017

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

o0o

BÒI THÀ HŒNG

PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY V€ MËT SÈ BI˜N THš CÕA NÂ

LÍI CƒM ÌN

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤à håc Th¡iNguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS.NGUY™N œNH BœNH T¡c gi£ xintr¥n trång b y tä láng k½nh trång v  bi¸t ìn s¥u s­c tîi TS.NGUY™N

œNH BœNH, th¦y ¢ tªn t¼nh ch¿ b£o, h÷îng d¨n, ëng vi¶n kh½ch l» v t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶ncùu luªn v«n

Qua b£n luªn v«n n y, t¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn tîi c¡c th¦y cæ trongtr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤à håc Th¡i Nguy¶n nâi chung v  c¡c th¦y

cæ trong khoa To¡n - Tin håc nâi ri¶ng ¢ d¤y b£o v  d¼u d­t t¡c gi£trong suèt thíi gian qua

T¡c gi£ công xin c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, çng nghi»p v  t§t c£ måing÷íi ¢ quan t¥m, ëng vi¶n v  gióp ï º t¡c gi£ câ thº ho n th nhluªn v«n cõa m¼nh

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn!

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 06 n«m 2017

Håc vi¶n

Bòi Thà H¬ng

Möc löc

1.1 Têng quan v· ph÷ìng tr¼nh h m 5

1.2 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy 6

1.3 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy têng qu¡t 13

1.4 Mët sè b i to¡n ùng döng 14

2 Mët sè bi¸n thº cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  ùng döng 25 2.1 Ti¸p cªn gi¡ trà ban ¦u 25

2.1.1 Tr÷íng hñp khi eif l  ë o àa ph÷ìng, Rn 26

2.1.2 Ph²p t½nh g¦n óng gi¡ trà ban ¦u 29

2.1.3 Tr÷íng hñp eif l  o ÷ñc, h¼nh xuy¸n Topo 39

2.2 Ph÷ìng tr¼nh Cauchy tr¶n mi·n h¤n ch¸ 42

2.3 Mët sè bi¸n thº cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy 45

2.3.1 Ph÷ìng tr¼nh Jensen 45

2.3.2 Ph÷ìng tr¼nh Cauchy nh¥n t½nh 46

2.3.3 Ph÷ìng tr¼nh Cauchy lu¥n phi¶n 47

2.3.4 Ph÷ìng tr¼nh Pexider 48

2.3.5 T½nh ên ành 49

2.4 Mët sè v½ dö minh håa 53

MÐ †U

1 Lþ do chån · t i.

Mët ph÷ìng tr¼nh ÷ñc nhi·u ng÷íi bi¸t ¸n v  l  ph÷ìng tr¼nh cì b£ntrong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh h m l  ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy Ph÷ìngtr¼nh h m Cauchy l  mët trong nhúng l¾nh vüc hay v  khâ cõa to¡n håc sìc§p, nâ câ nhi·u ùng döng trong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh h m v  trong c¡cl¾nh vüc to¡n håc v  khoa håc kh¡c, bao gçm h¼nh håc gi£i t½ch, nghi¶ncùu gi£i t½ch, gi£i t½ch phùc, x¡c xu§t thèng k¶, gi£i t½ch h m, ëng lüchåc, ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, cì håc cê iºn, cì håc thèng k¶ v  kinh t¸håc

Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ¢ ÷ñc giîi thi»u trong s¡ch cõa æng tøn«m 1821 Cauchy ¢ ph¥n t½ch ch°t ch³ ph÷ìng tr¼nh â tø c¡c gi£thuy¸t r¬ng h m sè f b§t k¼ l  mët h m sè li¶n töc tø R ¸n R v  c¡cbi¸n x, y câ thº l  c¡c sè thüc b§t k¼ Gauss công ¢ nghi¶n cùu ph÷ìngtr¼nh h m Cauchy trong cuèn s¡ch cõa æng tø n«m 1809, nh÷ng sü nghi¶ncùu n y khæng ch°t ch³ v  công khæng rã r ng Trð l¤i nhúng n«m tr÷îcnúa, n«m 1794, ta câ thº t¼m th§y trong s¡ch cõa Legendre, ð ph¦n d nhcho sü nghi¶n cùu t¿ sè di»n t½ch cõa c¡c h¼nh chú nhªt, c£ ùng döng v ph¥n t½ch cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy, tuy nhi¶n chóng v¨n ch÷a ch°tch³ v  khæng rã r ng Do â nâ ¢ thu hót sü chó þ cõa c¡c t¡c gi£ trongkho£ng thíi gian d i Kannappan ¢ vi¸t: C¡c nh  nghi¶n cùu ¢ amm¶ nhúng ph÷ìng tr¼nh n y [Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  3 kiºu t÷ìng

÷ìng], v  sü £o t÷ðng n y s³ ti¸p töc v  d¨n ¸n nhi·u th nh qu£ thó

và hìn.

H÷îng i chung cõa vi»c nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy l  sûdöng nhi·u lo¤i i·u ki»n thæng th÷íng tr¶n h m sè b§t k¼ Nâ ch¿ ra

r¬ng trong tr÷íng hñp °c bi»t khi f : R → R, méi i·u ki»n n y suy

ra sü tçn t¤i cõa c ∈ R, sao cho f(x) = cx, vîi måi x ∈ R, v  thüc t¸

n y ¢ ÷ñc chùng minh b¬ng nhi·u c¡ch V½ dö, Cauchy ¢ gi£ sû f li¶ntöc Darboux ¢ chùng minh r¬ng f câ thº ÷ñc gi£ thi¸t ho°c ìn i»uho°c bà ch°n tr¶n mët kho£ng, Fr²chet, Blumberg, Banach, Sierpinski,Kac, Alexiewicz-Orlicz, v  Figiel ¢ gi£ thi¸t r¬ng f l  o ÷ñc Lebesgue,Kormes ¢ gi£ thi¸t r¬ng f bà ch°n tr¶n tªp o ÷ñc d÷ìng, Ostrowski

v  Kestelman ¢ gi£ thi¸t r¬ng f bà ch°n tø mët b¶n tr¶n tªp o ÷ñcd÷ìng, v  Mehdi ¢ gi£ thi¸t r¬ng f bà ch°n tr¶n tr¶n tªp nhâm Baire.M°t kh¡c, Hamel ¢ nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy khi khæng câb§t k¼ i·u ki»n kh¡c cõa f B¬ng vi»c sû döng cì sð Hamel, æng ta ¢ suy

ra r¬ng câ nhi·u nghi»m khæng tuy¸n t½nh tø ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy

v  æng ¢ t¼m ra t§t c£ chóng

Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ¢ ÷ñc kh¡i qu¡t hâa hay bê sung theonhi·u h÷îng Mët h÷îng iºn h¼nh l  l§y mi·n x¡c ành v  mi·n gi¡ tràcõa f th nh c¡c nhâm cõa lo¤i n o â, v½ dö (compact àa ph÷ìng) nhâmPolish, v  º chùng minh r¬ng n¸u f thäa m¢n mët i·u ki»n b§t k¼ cõagi£ thuy¸t o ÷ñc (Baire, Haar, hay Christensen), v  câ thº l  c¡c gi£thuy¸t cëng t½nh, th¼ nâ ph£i li¶n töc (Chó þ: thay v¼ nâi ph÷ìng tr¼nh

h m Cauchy, ta nâi l  h m thu¦n nh§t ho°c cëng t½nh) Mët h÷îng kh¡c

l  lñi döng c¡c gi£ thuy¸t tø t½nh o ÷ñc Ch÷a h÷îng i têng qu¡t n o

l  thay êi ành ngh¾a mi·n x¡c ành cõa f º m  s³ khæng câ mët c§utróc ¤i sè µp núa, m  l  s³ ch¿ ìn thu¦n l  tªp con n o â cõa mi·nx¡c ành ch½nh thùc, v½ dö mët tªp lçi, ph¦n bò cõa tªp o ÷ñc 0, vv

Sü bi¸n êi n y l  º thay êi mi·n gi¡ trà cõa ph÷ìng tr¼nh, v½ dö, gi£

sû r¬ng f thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ch¿ vîi c°p (x, y) thuëc

v o tªp con cõa R2n, v½ dö a t¤p (v  f câ thº ÷ñc ành ngh¾a tr¶n to nkhæng gian ho°c tr¶n tªp con cõa nâ) Trong t§t c£ c¡c tr÷íng hñp n y,

ta câ thº k¸t luªn sü tçn t¤i nghi»m khæng tuy¸n t½nh cõa ph÷ìng tr¼nh

h m Cauchy (m°c dò c¡c i·u ki»n ·u m¤nh) ho°c (trong tr÷íng hñpkhi f ÷ñc gi£ ành ành ngh¾a tr¶n to n bë khæng gian) f ph£i thäa m¢n

nâ vîi t§t c£ c¡c c°p (x, y) câ thº

B i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  mët sè bi¸n thº cõa nâ l  cæng

cö º gi£i quy¸t r§t nhi·u b i to¡n ph÷ìng tr¼nh h m hay v  khâ, nâ xu§thi»n nhi·u trong c¡c · thi håc sinh giäi trong n÷îc v  quèc t¸ v  th÷íng

l  mët th¡ch thùc èi vîi håc sinh Nhi·u t i li»u v  c¡c · t i v· ph÷ìngtr¼nh h m Cauchy ¢ ÷ñc bi¶n so¤n v  thüc hi»n Tuy nhi¶n méi t i li»uch¿ tr¼nh b y mët sè v§n · v  c¡c ùng döng, ch÷a bao qu¡t ÷ñc ¦y õ.V¼ vªy, c¡c v§n · v· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v¨n cán r§t phong phó

2 Möc ½ch.

Möc ½ch cõa luªn v«n l  nghi¶n cùu c¡c v§n · li¶n quan ¸n ph÷ìngtr¼nh h m, ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  mët sè bi¸n thº cõa nâ, xem x²tkh£ n«ng gi£i ÷ñc v  sü ên ành t÷ìng èi cõa nâ èi vîi c¡c tªp concõa khæng gian Euclide a chi·u Mët sè lo¤i i·u ki»n mîi ÷ñc tr¼nh

b y, ch¯ng h¤n nh÷ mët ph÷ìng tr¼nh trong â mët sè mô phùc t¤p c¡c

h m ch÷a bi¸t C¡c ph¥n t½ch ÷ñc mð rëng ¸n mët sè bi¸n thº cõaph÷ìng tr¼nh h m Cauchy °c bi»t l  ùng döng c¡c lþ thuy¸t n y trongvi»c gi£ng d¤y v  bçi d÷ïng ki¸n thùc to¡n håc cho håc sinh THPT v  l 

t i li»u tham kh£o cho sinh vi¶n ng nh To¡n håc

3 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu.

èi t÷ñng nghi¶n cùu cõa luªn v«n l  ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v mët sè bi¸n thº cõa nâ Mët c¡ch cö thº, luªn v«n s³ tr¼nh b y c¡c k¸tqu£ ch½nh trong c¡c t i li»u tham kh£o [1], [2], [3] v  c¡c b i b¡o [4], [5]

Ch֓ng 1

Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy.

Trong ch÷ìng n y, t¡c gi£ tr¼nh b y ành ngh¾a, t½nh ch§t cõa ph÷ìngtr¼nh h m Trong â, t¡c gi£ i s¥u v· nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh h mCauchy v  mët sè b i to¡n ùng döng

Nëi dung ch½nh ÷ñc tham kh£o t¤i c¡c t i li»u [1], [2], [3]

1.1 Têng quan v· ph÷ìng tr¼nh h m.

ành ngh¾a 1.1 Ph÷ìng tr¼nh h m l  ph÷ìng tr¼nh m  ©n l  c¡c h m

sè Gi£i ph÷ìng tr¼nh h m tùc l  t¼m c¡c h m sè ch÷a bi¸t â

Ti¸p cªn ph÷ìng tr¼nh h m, méi ng÷íi câ nhúng cì sð v  ph÷ìng ph¡pkh¡c nhau Tuy nhi¶n, düa v o °c tr÷ng cõa c¡c h m ta câ thº x¥y düng

÷ñc mët sè ành h÷îng nh÷ sau:

1 Th¸ c¡c gi¡ trà bi¸n phò hñp: H¦u h¸t c¡c gi¡ trà ban ¦u câ thº th¸

v o l : x = 0, x = 1, ; tø â t¼m ra mët t½nh ch§t quan trång n o

â ho°c c¡c gi¡ trà °c bi»t cõa h m ho°c t¼m c¡ch chùng minh h m

sè h¬ng

2 Quy n¤p to¡n håc: ¥y l  ph÷ìng ph¡p sû döng gi¡ trà f(x) v  b¬ngc¡ch quy n¤p vîi n ∈ N º t¼m f(n) Sau â t¼m f(1

n)v  f(e) Ph÷ìngph¡p n y th÷íng ¡p döng trong b i to¡n m  ð â h m f ¢ ÷ñc x¡c

ành tr¶n Q; tø â mð rëng tr¶n c¡c tªp sè rëng hìn

3 Sû döng ph÷ìng tr¼nh Cauchy v  kiºu Cauchy

4 Nghi¶n cùu t½nh ìn i»u v  t½nh li¶n töc cõa c¡c h m C¡c t½nh ch§t

n y ¡p döng trong ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ho°c kiºu Cauchy C¡cph÷ìng tr¼nh â n¸u khæng câ t½nh ìn i»u, li¶n töc th¼ b i to¡n trðn¶n phùc t¤p hìn nhi·u

5 T¼m iºm cè ành ho°c gi¡ trà 0 cõa c¡c h m

6 Nghi¶n cùu t½nh ìn ¡nh v  to n ¡nh cõa c¡c h m lôy thøa trongph÷ìng tr¼nh

7 Dü o¡n h m v  dòng ph÷ìng ph¡p ph£n chùng º chùng minh i·u

Ti¸p theo, thay x = −y, ta ÷ñc:

0 = f (x − x) = f (x) + f (−x),hay



= n.f

xn

,hay

fxn

Vªy f(x) = ax, ∀x ∈ R, a ∈ R cho tr÷îc.

Ng÷ñc l¤i, n¸u f(x) = ax, ∀x ∈ R, a ∈ R th¼ d¹ th§y r¬ng f l  mëtnghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy

(2) f li¶n töc t¤i iºm x0 ∈ R,

(3) f li¶n töc t¤i iºm 0,

(4) f ìn i»u thüc sü tr¶n mët kho£ng trong R,

(5) f bà ch°n tr¶n mët kho£ng (ho°c mët o¤n) trong R

< f (x0) < f



x0 + εn

Vªy f li¶n töc t¤i x0 n¶n f li¶n töc

Chùng minh: (1) ⇔ (5) Ta ch¿ c¦n chùng minh (5) suy ra (1)

Gi£ sû f bà ch°n tr¶n kho£ng I ⊂ R

L§y x0 ∈ I, ε > 0, sao cho: (x0 − ε, x0 + ε) ⊂ I

Vîi måi x ∈ (−ε, ε) : f(x) = f(x + x0) − f (x0) vîi x + x0 ∈ I

Do â, f bà ch°n tr¶n (−ε, ε) Hay, tçn t¤i M > 0, sao cho: |f(x)| ≤ M,vîi |x| < ε

#

∈ N Ta câ: |knxn| ≤ 1

p|xn||xn| =p|xn|

Vîi måi δ > 0, chån n0 ∈ N sao cho:

M

kn < δ v  |knxn| < p|xn| < ε, ∀n > n0.Khi â,

Tø ành lþ 1.1 v  Bê · 1.1 , suy ra h m f thäa m¢n mët trong c¡c

i·u ki»n cõa Bê · l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy khi v  ch¿khi:

f (x) = ax, ∀x ∈ R,vîi a l  h¬ng sè

Ta câ mët sè h» qu£ sau:

H» qu£ 1.1 H m sè f li¶n töc tr¶n R l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m



= f

x2

trong â: g(x) = ln[f(x)].

Theo ành lþ 1.1, ta câ: g(x) = ax, a ∈ R Vªy

f (x) = eax = bx, b = ea > 0

H» qu£ 1.2 H m sè f li¶n töc tr¶n R {0} l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

h m

f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R {0} ,khi v  ch¿ khi: f(x) = a ln|x|, ∀x ∈ R {0}

Chùng minh

+) Vîi x, y ∈ R+, °t x = eu v  y = ev

Ta câ:

f (eu+v) = f (eu) + f (ev)

⇔ g(u + v) = g(u) + g(v), ∀u, v ∈ R

trong â, g(u) = f(eu) li¶n töc tr¶n R

p döng ành lþ 1.1, ta câ: g(u) = a u

Suy ra: f(x) = g(lnx) = a lnx, ∀x ∈ R+

+) Vîi x < 0, ta câ:

f x2
= f (x) + f (x),hay

f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R {0} ,khi v  ch¿ khi f(x) = |x|α

, ∀x ∈ R {0} , α l  h¬ng sè

Chùng minh

Thay y = 1, ta ֖c:

= f (x).f  1

x

, ∀x ∈ R {0}

Suy ra f(x) 6= 0, ∀x ∈ R {0} Do â:

f x2
= f (x).f (x) = f2

(x) > 0, ∀x ∈ R {0} Suy ra, f(x) > 0, ∀x ∈ R+

°t g(t) = f(et

), t ∈ R Khi â,g(t + u) = f (et+u) = f (et.eu) = f (et)f (eu) = g(t).g(u)

Ph÷ìng tr¼nh tr¶n câ nghi»m l : g(t) = at

, ∀t ∈ R

V¼ x = et, t÷ìng ÷ìng t = ln x, n¶n:

f (x) = g(ln x) = aln x = eln a
ln x = eln x
ln a = xln a = xα, α ∈ R.X²t x, y ∈ R−, khi â −x, −y ∈ R+

Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l :

1.3 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy têng qu¡t

Sau ¥y ta x²t mët sè tr÷íng hñp °c bi»t cõa (1.5)

+ H(x, y) = xy, khi â (1.5) trð th nh:

trong â, A(x) l  mët h m cëng t½nh b§t ký, hay A(x) l  nghi»m cõaph÷ìng tr¼nh Cauchy (1.1).

Vªy nghi»m cõa (1.5) trong tr÷íng hñp n y l :

trong â, A(x) l  h m cëng t½nh tòy þ

Chóng ta gåi nghi»m (f, g) cõa ph÷ìng tr¼nh (1.5) l  t¦m th÷íng n¸u

f l  afin, tùc l  f(x) = A(x) + c, trong â A(x) l  cëng t½nh v  c l h¬ng sè

+ º þ r¬ng c¡c ph÷ìng tr¼nh (1.6)-(1.8) l  d¤ng ph÷ìng tr¼nh (1.5) vîiH(x, y) câ d¤ng sau:

f (x) + f (y) − f (x + y) = g(φ(x) + φ(y) − φ(x + y)) (1.10)

Rã r ng, n¸u φ l  afin th¼ vîi måi g ph÷ìng tr¼nh (1.10) ·u câ nghi»m

f l  afin, tùc l  (1.10) câ nghi»m t¦m th÷íng

V¼ vªy chóng ta x²t φ khæng afin v  kþ hi»u I l  (α, +∞), (ho°c

1.4 Mët sè b i to¡n ùng döng

Tø cì sð lþ thuy¸t ¢ n¶u ð ph¦n tr¶n, sau ¥y t¡c gi£ s³ tr¼nh b yùng döng cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy º gi£i quy¸t mët sè b i to¡n

B i to¡n 1.1 X¡c ành h m sè f(x) ìn i»u tr¶n R v  thäa m¢n (1.1).Líi gi£i:

V¼ f(x) thäa m¢n (1.1) n¶n: f(x) = a x, ∀x ∈ R, vîi a = f(1) ∈ R tòy

þ Ta ch¿ ra, n¸u f ìn i»u th¼: f(x) = a x, ∀x ∈ R

Ta chùng minh tr÷íng hñp f khæng gi£m, cán tr÷íng hñp f khæng t«ngth¼ chùng minh t÷ìng tü

Gi£ sû, f khæng gi£m tr¶n R Khi â, a = f(1) ≥ f(0) = 0 Vîi méi

x ∈ R b§t k¼, ta x²t hai d¢y sè húu t¿ sn gi£m v  qn t«ng còng câ giîi h¤n

+ Tø gi£ thi¸t f ìn i»u tr¶n R v  thäa m¢n (1.1), ta câ thº suy ra fli¶n töc t¤i x = 0 Suy ra, f(x) = x f(1), ∀x ∈ R C¡ch l m tr¶n s³ kh¡ng­n gån v  rã r ng ëc lªp hìn l  n¸u ta quy v· t½nh li¶n töc cõa f

¥y l  k¸t qu£ n·n t£ng cõa c¡c b i to¡n v· lîp ph÷ìng tr¼nh h m vøacëng t½nh vøa ìn i»u

+ N¸u thay gi£ thi¸t f ìn i»u bði: f(x) > 0, ∀x ∈ R v  f thäa m¢n(1.1) th¼ suy ra f l  h m khæng gi£m tr¶n R, do â: f(x) = ax, ∀x ∈ R

v  a ≥ 0

N¸u f(x2n) = [f (x)]2n, n ∈ N∗, suy ra: f(x) ≡ 0 ho°c f(x) = x, ∀x ∈R

Cán n¸u, f(x) ≤ 0, ∀x ≥ 0 suy ra: h m f khæng t«ng tr¶n R, hay

f (x) = ax, ∀x ∈ R, vîi a ≤ 0

B i to¡n 1.2 T¼m c¡c h m sè f(x) x¡c ành tr¶n R v  thäa m¢n (1.1)

v  bà ch°n tr¶n o¤n [c, d] vîi c < d b§t k¼

Líi gi£i: Gi£ sû f l  h m thäa m¢n b i to¡n

Do f thäa m¢n (1.1) n¶n: f(x) = ax, ∀x ∈ Q, trong â: a = f(1)

Do â, n|f(x) − ax| công bà ch°n vîi måi n ∈ N

i·u n y ch¿ x£y ra khi: f(x) − ax = 0

Suy ra: g(x + y) = g(x) + g(y).

Theo ph÷ìng tr¼nh Cauchy câ: g(x) = ax v  f(x) = x2+ ax Thû l¤i,

ta th§y f(x) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (1.11)

f

1

V¼ f li¶n töc tr¶n R+ n¶n g công li¶n töc tr¶n R+

Tø mët h» qu£ cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy, ta câ:

g(x) = xα, ∀x ∈ R+, 0 6= α ∈ R

Vªy f(x) = axα

, ∀x ∈ R+.Thû l¤i ta th§y f(x) = axα

, ∀x ∈ R+, thäa m¢n (1.12)



B i to¡n 1.6 T¼m c°p f, g x¡c ành v  li¶n töc tr¶n (1, +∞) sao cho

Líi gi£i:

Cho x = y, thay v o (1.14) ta câ:

f (x2) = 2xg(x)

Vªy vîi a 6= 0 th¼ h m sè f khæng tçn t¤i.

Ta vi¸t l¤i quan h» h m

f (x − y) = f (x) − f (y), ∀x, y ∈ R

Ta câ: f(x) = f(x + y − y) = f(x + y) − f(y), ∀x, y ∈ R

Suy ra f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R

p döng ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy, ta câ: f(x) = cx, ∀x ∈ R, c l h¬ng sè



B i to¡n 1.9 T¼m t§t c£ h m sè f : R → R li¶n töc v  thäa m¢n

f (x + y) + f (z) = f (x) + f (y + z), ∀x, y, z ∈ R (1.18)

B i to¡n 1.10 (IMO 2002) T¼m t§t c£ h m sè f : R → R thäa m¢n

i·u ki»n

(f (x)+f (z))(f (y)+f (t)) = f (xy−zt)+f (xt+yz), ∀x, y, z, t ∈ R (1.22)Líi gi£i:

N¸u f ≡ c, thay v o (1.22) ta ÷ñc c = 0 ho°c c = 1

2 Hai nghi»m n ythäa m¢n (1.22)

Gi£ sû tçn t¤i h m sè f(x) kh¡c h¬ng sè thäa m¢n y¶u c¦u b i to¡n.Thay x = z = 0 v o ph÷ìng tr¼nh (1.22), ta ÷ñc:

2f (0).(f (y) + f (t)) = 2f (0),

⇒ f (0) = 0

ho°c f(y) + f(t) = 1, ∀y, t ∈ R

N¸u f(y) + f(t) = 1, cho y = t ta ÷ñc:

Khi â, ∀x, y > 0 ta câ:

g(xy) = f (√

x√y
= f (√x).f (√

2 l  nghi»m cõa b i to¡n ¢ cho

−8eg(x−y)+g(y−z)+g(z−x) = −8,

Trong (1.26), cho x = y = z = 0 Suy ra: g(0) = 0

Cho y = z = 0, suy ra: g(x) = g(−x), ∀x ∈ R

Do f li¶n töc tr¶n R, suy ra g li¶n töc tr¶n R

Theo k¸t qu£ cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy ta câ:

g(x) = ax

⇒ f (x) = −2eax, ∀x ∈ R



àa ph÷ìng Mët gi¡ trà ban ¦u g¦n óng º ph¥n t½ch ph÷ìng tr¼nh n ycông ÷ñc xem x²t v  nâ ÷a ra t½ch trong, nh÷ l  sü tçn t¤i cõa h m

sè thüc (kh¡c h m h¬ng) câ mët tªp khæng ¸m ÷ñc cõa chu k¼ ëc lªptuy¸n t½nh tr¶n sè húu t¿ Sü ph¥n t½ch k²o ¸n nhúng ph÷ìng tr¼nh câli¶n quan nh÷ ph÷ìng tr¼nh Jensen, ph÷ìng tr¼nh Cauchy thu¦n nh§t v ph÷ìng tr¼nh Pexider

Nëi dung ch½nh trong ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o t i li»u [4], [5]

2.1 Ti¸p cªn gi¡ trà ban ¦u

Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy t÷ìng ÷ìng vîi 3 kiºu vi¸t:

f (x + y) = f (x).f (y),

f (xy) = f (x) + f (y),

f (xy) = f (x).f (y).Trong möc n y, t¡c gi£ tr¼nh b y c¡c kh½a c¤nh li¶n quan ¸n (2.1),bao gçm t½nh gi£i ÷ñc v  t½nh ên ành cõa nâ d÷îi nhúng lo¤i gi£ thuy¸tmîi v  tr¼nh b y c¡c ph÷ìng ph¡p mîi º ph¥n t½ch nâ K¸t qu£ ¦u ti¶n

÷ñc chùng minh l  nh÷ sau:

N¸u f : Rn

→ R(n ∈ N) câ t½nh ch§t l  mët sè mô phùc cõa f l  ë

o àa ph÷ìng, ngh¾a l , eif l  ë o Lebesgue tr¶n mët kho£ng mð n o

â (v  do â tr¶n mët si¶u lªp ph÷ìng compact b§t k¼ chùa trong qu£c¦u n y), th¼ f ph£i tuy¸n t½nh Nâi c¡ch kh¡c, tçn t¤i c ∈ Rn, sao cho:

f (x) = cx, ∀x ∈ Rn (ð ¥y, hiºn nhi¶n, c.x k½ hi»u l  t½ch trong giúa c¡cv²ctì: c = (ck)nk=1 v  x = (xk)nk=1, ngh¾a l : c.x := Pn

k=1ckxk i·u ki»nthæng th÷íng n y ho n to n y¸u hìn t½nh o ÷ñc v  m°c dò nâ câ v´nh÷ r§t mîi, nhúng d§u hi»u cõa nâ câ thº ÷ñc t¼m th§y trong b i vi¸tcõa Kac Trong möc 2.1.2 k¸t qu£ t÷ìng tü nh÷ vªy ÷ñc chùng minhb¬ng c¡ch sû döng ph²p t½nh g¦n óng b¬ng vi»c xem x²t (2.1) nh÷ mët

b i to¡n gi¡ trà ri¶ng v  tªn döng t½nh chu k¼ n£y sinh tü nhi¶n Hai t½chtrong cõa ph²p t½nh g¦n óng n y l  i·u nhªn th§y r¬ng tçn t¤i nghi»mphi tuy¸n cõa (2.1) câ væ sè tªp hñp cõa c¡c chu k¼ m  c¡c chu k¼ ëclªp tuy¸n t½nh tr¶n tr÷íng húu t¿ v  mi·n x¡c ành cõa mët sè nghi»mcõa (2.1) ÷ñc ành ngh¾a tr¶n topo nhi·u chi·u (m°t ph¯ng) ph£i tri»tti¶u çng nh§t Gi£i t½ch tr÷îc ¥y ÷ñc mð rëng ¸n sü x¥y düng kh¡c:

tø ph÷ìng tr¼nh Jensen, tø ph÷ìng tr¼nh Cauchy tr¶n mi·n bà h¤n ch¸thäa m¢n i·u ki»n ¤i sè trøu t÷ñng n o â v  c¡c i·u ki»n li¶n quan,ph÷ìng tr¼nh Cauchy thu¦n nh§t, d¤ng t÷ìng ÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nhCauchy, ph÷ìng tr¼nh Pexider v  t½nh ên ành cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy

ph÷ìng Lebesgue, th¼ tçn t¤i c ∈ Rn, sao cho: f(x) = c.x, ∀x ∈ Rn.Chùng minh:

p döng h m sè: t 7→ eit

, t ∈ R tr¶n c£ hai v¸ cõa (2.1), ta câ:

eif (x+y) = eif (x)eif (y),