Luận văn hàm suy rộng tăng chậm phân rã ở vô tận

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN THỊ NGOAN HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VÔ TẬN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGOAN

HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VÔ TẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGOAN

HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VÔ TẬN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS BÙI KIÊN CƯỜNG

Hà Nội - 2018

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học SưPhạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường Thầy đãnhiệt tình hướng dẫn và cho tác giả những lời khuyên quý báu trong họctập và nghiên cứu khoa học Thầy luôn động viên và khích lệ tác giả cốgắng và vươn lên trong học tập Tác giả bày tỏ lòng biết ơn, lòng kínhtrọng sâu sắc nhất đối với thầy.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư Phạm

Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy

cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành chương trình caohọc và luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD và ĐT Hà Nội, ban Giám hiệutrường THPT Đông Anh, tổ Toán trường THPT Đông Anh, Hà Nội Tácgiả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã tạo mọi điềukiện để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn

Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế vềthời gian thực hiện nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tácgiả kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn đồngnghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Ngoan

Tác giả cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giảdưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Bùi Kiên Cường Luận văn khôngtrùng lặp với các đề tài khác.

Trong quá trình nghiên cứu tác giả đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Ngoan

2 LỚP HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM PHÂN RÃ Ở VÔ

2.1 Các không gian con của các hàm suy rộng ôn hòa 262.2 Lớp biểu trưng tổng quát (SG-symbols) và các toán tử 282.3 Lớp hàm suy rộng tăng chậm phân rã ở vô tận 322.3.1 Hàm suy rộng giảm nhanh 322.3.2 Hàm suy rộng s−giảm, s ∈ R 42

là triệt tiêu ở vô cực Điều này thực ra đã tác động đến một số tác giả,trong khi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm đối với một số lớpphương trình vi phân ngẫu nhiên kiểu hypebolic, với (t, x)− phụ thuộc các

hệ số chấp nhận dáng điệu đa thức đối với x khi |x| → ∞

Trong bài báo [3], các tác giả Alessia Ascanelli, Sandro Coriasco vàAndré S¨ußđã nghiên cứu một lớp con của một hàm suy rộng tăng chậm

có tính chất phân rã ở vô tận, đặc trưng của các phần tử thuộc lớp này vànghiên cứu tính chất của phép biến đổi tích phân Fourier SG đối với cácphần tử thuộc không gian hàm này

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về lớp không gian hàm suy rộngtăng chậm phân rã ở vô tận, dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường,tôi lựa chọn đề tài: "Hàm suy rộng tăng chậm phân rã ở vô tận "

để nghiên cứu và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Với nội dung nghiên cứu này, ngoài phần lời mở đầu, kết luận và tàiliệu tham khảo, luận văn được chia thành 2 chương Kết quả chính tậptrung trong Chương 2

Chương 1 trình bày một số khái niệm, định nghĩa và các kết quả cầnthiết về lý thuyết các hàm suy rộng như không gian các hàm suy rộng

tăng chậm, không gian các hàm giảm nhanh, đạo hàm của hàm suy rộng

và phép biến đổi Fourier

Chương 2 luận văn trình bày một số định nghĩa cơ bản về các khônggian con D0

L p(Rd), p ∈ (1, +∞], không gian các hàm suy rộng ôn hòa vàcác lớp SG-biểu trưng, cùng với các phép tính của giả vi phân và các toán

tử tích phân Fourier tương ứng của chúng Sau đó, luận văn sẽ trình bàycác đặc trưng của S0(Rd)∞ và S0(Rd)s theo nghĩa của tích chập

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống hóa lớp không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rd)

Trình bày về một lớp con của không gian các hàm suy rộng tăng chậmphân rã ở vô tận cùng với tính chất của phép biến đổi tích phân Fourier

SG các lớp hàm đó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm một báo cáo tổng quan thể hiện đầy đủ mục đích nghiên cứu, nộidung và phương pháp nghiên cứu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Không gian các hàm suy rộng tăng chậm

S0(R), không gian các hàm suy rộng tăng chậm phân rã ở vô tận, phépbiến đổi tích phân Fourier SG

Đặc trưng của S0(Rd)∞ và S0(Rd)s theo nghĩa của tích chập và cấutrúc kết quả

Phạm vi nghiên cứu : Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nướcliên quan đến các đối tượng nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm, phương phápnghiên cứu lý thuyết để tiếp cận vấn đề

Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các tài liệutrong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới

C∞ : Không gian các hàm khả vi vô hạn.

C0∞(Ω) : Tập hợp các hàm khả vi vô hạn giá compact

C0(Rn) : Không gian các hàm liên tục có giá compact

D(Ω) : Không gian các hàm cơ bản

S (Rd) : Không gian các hàm giảm nhanh

S0(Rd) : Không gian các hàm tăng chậm

(f ∗ g)(x) : Tích chập của f và g,

(f ∗ g)(x) = R

Rdf (y)g(y − x)dy

b

f , F (f ) : Biến đổi Fourier của hàm f

F−1(f ), ˇf : Biến đổi Fourier ngược của hàm f

F , ˆf : Liên hợp của biến đổi Fourier của hàm f

Xαf (x) : Toán tử nhân, Xαf (x) = xαf (x)

Lp : Không gian các hàm đo được Lebesgue, có chuẩn Lp hữu hạn,

KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG TĂNG CHẬM

Trong chương này, luận văn sẽ trình bày một số khái niệm, định nghĩa

và các kết quả cần thiết về lý thuyết các hàm suy rộng và phép biến đổiFourier Tài liệu tham khảo chính của chương này là [1],[2]và [17]

1.1 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm

Cho N = {1, 2, } là tập hợp các số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, } làtập hợp các số nguyên không âm, R là tập hợp các số thực, C là tập hợpcác số phức Đơn vị ảo √

−1 = i.Trong toàn bộ luận văn, với mọi số tự nhiên d ∈ N, tập Rd là khônggian Euclide d-chiều Chuẩn Euclide với x = (x1, x2, , xd) ∈ Rd

−1 = i

Với mỗi k ∈ Z+, và tập mở Ω ⊂ Rd ta ký hiệu

|u(x)| = inf{M > 0 | µ{x ∈ Rd||u(x)| > M } = 0

Ký hiệu F là phép biến đổi Fourier, bf (hay F f) là ảnh Fourier của hàm

f, suppfblà giá của ảnh Fourier (gọi là phổ) của hàm f

Định nghĩa 1.2 Dãy hàm {fk}∞k=1 trong không gian S (Rd) được gọi làhội tụ đến hàm f ∈ S (Rd) nếu

Chứng minh Lấy hàm f ∈ S (Rd) Hiển nhiên hàm f ∈ L∞(Rd) Nên tachỉ cần xét 1 ≤ p < ∞ Theo định nghĩa, ta có

Chú ý 1.1 Nếu hàm a(·) ∈ C∞(Rd) sao cho với mỗi α ∈ Zd+ có một sốthực m = m(α), và một số dương c = c(α) có |Dαa(x)| < c(1 + kxk)m,

khi đó ánh xạ biến mỗi hàm ϕ thành hàm aϕ là ánh xạ tuyến tính liêntục từ không gian các hàm giảm nhanh S (Rd) vào chính nó

Mệnh đề 1.2 Không gian các hàm giảm nhanh S (Rd) là không gian đầyđủ

Tiếp theo, ta sẽ đến với định nghĩa về không gian các hàm suy rộngtăng chậm

Định nghĩa 1.3 Ta nói rằng f là một hàm suy rộng tăng chậm nếu f làmột phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian S (Rd)

Hàm suy rộng tăng chậm f tác động lên mỗi hàm ϕ ∈ S (Rd) đượcviết là hf, ϕi Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rd) là tập hợptất cả các hàm suy rộng tăng chậm

Trên không gian các hàm suy rộng tăng chậm S0(Rd) có thể xây dựngmột cấu trúc không gian vectơ trên Rd, nghĩa là ta có thể định nghĩa cácphép toán tuyến tính như sau

(1) Phép cộng: Với các hàm f1, f2 ∈ S0(Rd) tổng các hàm f1+ f2 đượcxác định như sau:

(f1 + f2) : ϕ −→ hf1 + f2, ϕi = hf1, ϕi + hf2, ϕi ∀ϕ ∈ S (Rd)

(2) Phép nhân với vô hướng: Với hàm f ∈ S0(Rd), λ ∈ Cd tích λf đượcxác định như sau:

λf : ϕ −→ hλf, ϕi = λhf, ϕi ∀ϕ ∈ S (Rd)

Hơn thế, ta có thể định nghĩa phép nhân của hàm suy rộng tăng chậm

f với một đa thức P (x) như sau:

P (x)f : ϕ −→ hf, P ϕi ∀ϕ ∈ S (Rd)

Khi đó P (x)f ∈ S0(Rd)

Ví dụ 1.1.2 Ta có các ví dụ sau đây

(1) Với 1 ≤ p ≤ ∞, không gian Lp(Rd) là không gian con của khônggian các hàm tăng chậmS0(Rd), tức là mỗi hàm f ∈ Lp(Rd)thì hàmsuy rộng

f : ϕ 7→ hf, ϕi =

Z

Rd

f (x)ϕ(x)dx ∀ϕ ∈ S (Rd)

là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian S (Rd)

(2) Hàm Dirac δa tại a là phiếm hàm xác định như sau

1.2 Đạo hàm của hàm suy rộng

Định nghĩa 1.4 Cho hàm suy rộng f ∈ S0(Rd), α = (α1, , αd) ∈ Zd+.Đạo hàm suy rộng cấp α của hàm suy rộng tăng chậm f, ký hiệu là Dαf,

là ánh xạ xác định trên không gian S (Rd) bởi

hDαf, ϕi := (−1)|α|hf, Dαϕi ∀ϕ ∈ S (Rd)

Với mỗi hàm suy rộngf ∈ S0(Rd), α ∈ Zd+ đạo hàm suy rộng cấpα củahàm suy rộng tăng chậmf cũng là một hàm suy rộng tăng chậm Nói cáchkhác, đạo hàm suy rộng Dαf là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên khônggian S (Rd) Do đó, đạo hàm Dαf là một hàm suy rộng thuộc không giancác hàm tăng chậm S0(Rd) Hơn nữa, hàm suy rộng tăng chậm có đạohàm mọi cấp và không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm

Ví dụ 1.2.1 Cho hàm θ(x) được xác định như sau:

Sau đây, ta sẽ nói về giá của hàm suy rộng

Định nghĩa 1.5 Cho x ∈ Rd, các hàm suy rộng f, g ∈ S0(Rd) Ta nóirằng hàm suy rộng f = g tại x nếu tồn tại một lân cận mở ω ∈ Rd của x

để

hf, ϕi = hg, ϕi ∀ϕ ∈ S (Rd), suppϕ ⊂ ω

Từ định nghĩa trên, ta thấy rằng hàm suy rộng f 6= g tại x ∈ Rd,nếu với mọi lân cận mở ω ⊂ Rd của điểm x đều tồn tại một hàm ϕ ∈

C0∞(Rd), suppϕ ⊂ ω sao cho

hf, ϕi 6= hg, ϕi

Định nghĩa 1.6 Cho hàm suy rộng f ∈ S0(Rd) Giá của hàm suy rộng

f được xác định như sau

1.3 Tích chập và phép biến đổi Fourier

Dưới đây, ta đưa ra khái niệm tích chập của hai hàm khả tích trên Rd,nhằm xác định quy tắc lấy tích chập giữa chúng

Định nghĩa 1.7 Cho f, g là các hàm khả tích địa phương trên Rd Nếutích phân

Z

Rd

f (x − y)g(y)dy

xác định với hầu hết x ∈ Rd (nghĩa là tập các giá trị x ∈ Rd để tích phântrên không tồn tại là tập có độ đo không) thì hàm khả tích địa phươngtrên Rd biến x thành

L1(Rd), g ∈ Lp(Rd) Khi đó tích chập của hàmg và hàmf làf ∗g tồn tại vàtích chập f ∗g ∈ Lp(Rd), đồng thời ta có bất đẳng thứckf ∗gkp ≤ kf k1kgkp

Mệnh đề 1.3 Cho các hàmϕ, ψ ∈ S (Rd), ta có ϕ∗ψ = ψ ∗ϕ ∈ C∞(Rd),và

Định nghĩa 1.8 Cho hàm f ∈ S (Rd) Ảnh Fourier của hàm f ký hiệu

là bf (ξ) hay F (f )(ξ), là hàm được xác định bởi

Định nghĩa 1.9 Ảnh Fourier ngược của hàm f ∈ S (Rd) là hàm đượcxác định bởi

hội tụ tuyệt đối và đều theo ξ trong Rd và mọi α ∈ Zd+ Vì

e−ixξ(−iDx)β((−ix)αϕ(x))dx,

Như vậy, với mỗi α, β ∈ Zd+, có

Đối với phép biến đổi Fourier ngược F−1 ta chứng minh tương tự.

Chứng minh được hoàn thành

Mệnh đề 1.7 Cho các hàm ϕ, ψ ∈ S (Rd) Khi đó,

F (ϕ ∗ ψ)(ξ) = (2π)d/2F ϕ(ξ)F ψ(ξ),

F−1(ϕ ∗ ψ)(ξ) = (2π)d/2F−1ϕ(ξ)F−1ψ(ξ),(2π)d/2F (ϕ(x)ψ(x))(ξ) = F ϕ(ξ) ∗ F ψ(ξ),

(2π)d/2F−1(ϕ(x)ψ(x))(ξ) = F−1ϕ(ξ) ∗ F−1ψ(ξ)

Chứng minh Áp dụng định nghĩa tích chập cho hàm ϕ, ψ ∈ S (Rd), ta có

Chứng minh được hoàn thành

Dưới đây ta sẽ trình bày một số tính chất khác của phép biến đổiFourier, trong không gian các hàm giảm nhanh S (Rd)

Mệnh đề 1.8 Cho hàm ϕ ∈ S (Rd) Khi đó,

Định nghĩa 1.10 Cho hàm f ∈ S0(Rd) Ảnh Fourier của hàm suy rộngtăng chậm f, kí hiệu là bf (hay F f), là hàm suy rộng tăng chậm được xácđịnh bởi

hf , ϕi = hf,b ϕib ∀ϕ ∈ S (Rd)

Định nghĩa 1.11 Với hàm f ∈ S0(Rd) Ảnh Fourier ngược của hàm suyrộng tăng chậm f, ký hiệu fˇhayF−1(f ) là hàm suy rộng tăng chậm đượcxác định bởi

Vậy dẫn đến δˇ0 = (2π)−d/21.

Khi đó biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược của hàm δ0 đều là hàmhằng (2π)−d/2

2 −ε, ε ∈ (0, δ],với δ > 0 thích hợp, miễn là chỉ số phân rã s đủ lớn.

Ký hiệu hxi = (1 + |x|2)1/2 khi x ∈ Rd sẽ được sử dụng trong chươngnày Tài liệu tham khảo chính cho chương này là [3],[15] và [17]

2.1 Các không gian con của các hàm suy rộng ôn

hòa

Các không gian con của S0(Rd) đã được giới thiệu trong [15, Chương

VI, §8] Tuy nhiên, ta có thể đưa ra một định nghĩa tổng quát hơn của

DL q(Ω) và D0

L p(Ω), 1 < p ≤ ∞, 1

p +

1

q = 1, trên một tập con mở tùy ý

Ω ⊆ Rd Nhưng vì ta sẽ chỉ dựa vào đặc trưng của chúng thông qua tíchchập, nên ta sẽ giới hạn xét trên các không gian con DL q(Rd) và D0

L p(Rd).Nhắc lại rằng ký hiệu E (Rd) là không gian các hàm khả vi vô hạn trên

Rd với tô pô sinh bởi sụ hội tụ: dãy {ϕk} trong E(Rd) được gọi là hội tụ

Mệnh đề 2.1 (xem [3]) Với mọi p ∈ (1, +∞], ta có

Định nghĩa 2.2 Lớp Sm,µ(R2d) các SG-biểu trưng bậc (m, µ) ∈ R2d đượcđịnh nghĩa là tập hợp tất cả các hàm a ∈ C∞(Rd ×Rd) sao cho với mọi

α, β ∈ Zd+, tồn tại hằng số Cα,β > 0 để bất đẳng thức

|DxαDβξa(x, ξ)| ≤ Cα,βhxim−|α|hξiµ−|β|, (x, ξ) ∈ R2d (2.1)luôn đúng

Tổng quát hơn, ta có thể xét các hàm trơn kiểu SG (smooth functions

of SG type), nghĩa là b ∈ C∞(Rkd), k ∈ N, sao cho với m1, , mk ∈ R

nào đó và với mọi x1, , xk ∈ Rd, ta có

Sau đây ta chỉ xét trường hợp k = 1 và trường hợp tiêu chuẩn k = 2.Với trường hợp k = 1 ta ký hiệu lớp tương ứng bởi Sm(Rd), m ∈ R Các

lớp biểu trưng được giới thiệu lần đầu bởi Cordes H O ([5]), Parenti C.([12]) và Melrose R ([10])

Định nghĩa 2.3 Các lớp toán tử giả vi phân Op(Sm,µ) tương ứng với lớpbiểu trưng Sm,µ(R2d) bao gồm các toán tử Op(a), a ∈ Sm,µ(R2d) có dạng:

được gọi là các toán tử trơn (smoothing operators)

Có thể kiểm tra tương tự trường hợp k = 1 để thấy rằng:

- Lớp Op(Sm,µ) tạo thành một đại số phân bậc (graded algebra), tức là

Op(Sm1 ,µ 1) ◦ Op(Sm2 ,µ 2) ⊆ Op(Sm1 +m 2 ,µ 1 +µ 2)

- Các toán tử trơn có hạt nhân (kernel ) trong S (R2d) ánh xạ liên tục

kukt,τ = kOp(ϑt,τ)ukL2

Định nghĩa 2.5 Một toán tử A = Op(a) tương ứng với biểu trưng

a ∈ Sm,µ(R2d) được gọi là elliptic (hay Sm,µ-elliptic) nếu tồn tại R ≥ 0

sao cho

Chximhξiµ ≤ |a(x, ξ)|, |x| + |ξ| ≥ R,

với hằng số C > 0 nào đó

Định lý 2.2 Một toán tử SG elliptic A ∈ Op(Sm,µ) có một parametrix

P ∈ Op(S−m,−µ) sao cho

P A = I + K1, AP = I + K2,

với K1, K2 là các toán tử trơn với các biểu trưng trong S−∞,−∞(R2d), và

A là một toán tử Fredholm trên không gian hàm Ht,τ(Rd), t, τ ∈R.

Định nghĩa 2.6 (xem [6]) Toán tử tích phân Fourier với hàm pha ϕ cógiá trị thực và hàm biên độ a ∈ Sm,µ(R2d) được định nghĩa bởi

f 7−→ (Opϕ(a)f )(x) = (2π)−d

Z

Rd

eiϕ(x,ξ)a(x, ξ)f (ξ)dξbvà

Chú ý rằng toán tử loại II Opϕ(a)∗ là dạng L2-liên hợp của toán tử loại

Sm,µ(R2d) được gọi là các toán tử tích phân Fourier chính quy

Dưới đây là các tính chất ánh xạ của các toán tử tích phân Fourier SG.Định lý 2.3 (xem [6], Định lý 4 và Định lý 5) Giả sử rằng ϕ là mộthàm pha SG, tức là ϕ có giá trị thực, ϕ ∈ S1,1(R2d) và thỏa mãn (2.5),

tử loại I và loại II ([6])

Định lý 2.4 (xem [6], Định lý 7) Giả sử rằng ϕ là một hàm pha SG,nghĩa là ϕ có giá trị thực, ϕ ∈ S1,1(R2d) và thỏa mãn (2.5) Cho p ∈

Hơn nữa, F là một phép đẳng cấu đại số của đại số tích chập O0

(ii) Với mọi χ ∈ D(Rd), u ∗ χ ∈ S (Rd);

(iii) Với bất kỳ k ∈ Z+, tồn tại

Mk ∈ N, βjk ∈ Zd+, fjk ∈ L∞(Rd) ∩ C(Rd), j = 1, , Mk

và

f

Mk ∈ N, βejk ∈ Zd+, fejk ∈ L∞(Rd) ∩ C(Rd), j = 1, ,Mfksao cho

(2) Đẳng thức thứ hai của (2.7) có thể suy ra từ đẳng thức thứ nhất vàquy tắc Leibniz cho đạo hàm của tích hàm trơn với hàm suy rộng Thậtvậy, xét một số hạng đơn của tổng thứ nhất trong (2.7) Nếu eβjk = 0, vớimọi j = 1, ,Mfk, thì không có gì để chứng minh Nếu |βejk| > 0, ta viết

g thay cho efjk và γ thay cho eβjk, khi đó ta thu được

h·i−kDγg = Dγ(h·i−kg) − X

α≤γ

|α|<|γ|

γα

với gαγk ∈ S−k−1(Rd) Số hạng Dγ(h·i−kg) của biểu diễn sau cùng trong(2.8) có dạng của các số hạng có trong tổng thứ hai của (2.7).

Nếu |γ| = 1, điều này cũng đúng với tổng trong biểu diễn sau cùng của(2.8) Thật vậy, trong trường hợp này α = 0 và tổng này được quy về một

Bổ đề dưới đây cho phép ta kiểm tra dáng điệu của u∗χkhiχ ∈S (Rd)

Bổ đề 2.1 Nói đến đặc trưng của S0(Rd)∞ thông qua tích chập u ∈

S0(Rd)∞ nếu và chỉ nếu với mọi χ ∈S (Rd), ta có u ∗ χ ∈ S (Rd) và hệquả 2.1

Để chứng minh bổ đề trước hết ta nhắc lại bất đẳng thức Peetre: Vớimọi s ∈ R; ∀ξ; η ∈ Rd ta có

Định nghĩa 1.3 Ta nói f hàm suy rộng tăng chậm f làmột phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian S (Rd)

Hàm suy rộng tăng chậm f tác động lên hàm. ..

Với hàm suy rộngf ∈ S0(Rd), α ∈ Zd+ đạo hàm suy rộng cấpα củahàm suy rộng tăng chậmf hàm suy rộng tăng chậm Nói cáchkhác,... đượcviết hf, ϕi Không gian hàm suy rộng tăng chậm S0(Rd) tập hợptất hàm suy rộng tăng chậm

Trên không gian hàm suy rộng tăng chậm S0(Rd)