Luận văn thạc sỹ một số bất đẳng thức đối với hàm lồi và hàm suy rộng trên tập phân thứ

132.2.2 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard đối với hàm lồi suy rộng và một số vận dụng... Mục đích của đề tài luận văn là tập trung trình bày lại một số bất đẳng thức đặc biệt đối với lớp hà

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

Nguyễn Quang Lộc

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI HÀM LỒI VÀ HÀM LỒI SUY RỘNG TRÊN TẬP

PHÂN THỨ

THÁI NGUYÊN, 5/2022

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

Nguyễn Quang Lộc

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI HÀM LỒI VÀ HÀM LỒI SUY RỘNG TRÊN TẬP

PHÂN THỨ

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Hướng dẫn 1: TS Trần Xuân Quý Hướng dẫn 2: TS Đỗ Thị Phương Quỳnh

THÁI NGUYÊN, 5/2022

Chương 2 Một số bất đẳng thức đối với hàm lồi và hàm lồi

2.1 Hàm lồi suy rộng và một số kết quả liên quan 82.1.1 Một số khái niệm và tính chất 82.1.2 Hàm lồi suy rộng và một số tính chất liên quan 122.2 Một số bất đẳng thức đối với hàm lồi suy rộng 132.2.1 Bất đẳng thức Jensen đối với hàm lồi suy rộng và

một số vận dụng 132.2.2 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard đối với hàm lồi

suy rộng và một số vận dụng 172.2.3 Bất đẳng thức Simpson đối với hàm lồi suy rộng và

một số vận dụng 27

Mở đầu

Chuyên đề bất đẳng thức là một chuyên đề rộng trong toán học, có rấtnhiều bài toán hay và thú vị, có ý nghĩa quan trọng trong Toán học ứngdụng Ngày nay việc tìm lời giải gần đúng của các bài toán trong các lĩnhvực, đặc biệt kinh tế, địa chất, khí tượng, trở thành phổ biến nhờ có sự

hỗ trợ mạnh mẽ của máy tính Việc giải các bài toán đó đòi hỏi ta ướclượng đánh giá để thu được lời giải gần đúng cần thiết Trong trường phổthông các bài toán bất đẳng thức (hay bài toán so sánh) luôn được khaithác để đưa vào rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh Đặc biệt trongcác kì thi học sinh giỏi các cấp thì chủ đề bất đẳng thức thường được khaithác để đánh giá tư duy của học sinh

Các chủ đề về bất đẳng thức đã được nhiều tác giả khai thác ở nhiềukhía cạnh Mục đích của đề tài luận văn là tập trung trình bày lại một

số bất đẳng thức đặc biệt đối với lớp hàm lồi để giải một số lớp bất đẳngthức Đồng thời trình bày một số bất đẳng thức đối với lớp hàm lồi suyrộng trên tập phân thứ

Dưới sự hướng dẫn của TS Trần Xuân Quý và TS Đỗ Thị PhươngQuỳnh, tôi chọn đề tài luận văn: “Một số bất đẳng thức đối với hàm lồi vàhàm lồi suy rộng trên tập phân thứ”

Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương, cụ thểnhư sau:

Chương 1 Trình bày về hàm lồi, hàm lồi điều hòa, một số tính chấtcủa hàm lồi và một số bất đẳng thức đối với hàm lồi

Chương 2 Trình bày về tập phân thứ, hàm lồi suy rộng, tích phân phânthứ và một số tính chất liên quan Trình bày một số bất đẳng thức đối vớihàm lồi suy rộng: lớp bất đẳng thức Jensen suy rộng, Hermite-Hadamardsuy rộng và Simpson suy rộng và một số vận dụng

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học – Đại học TháiNguyên Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới

giáo viên hướng dẫn TS Trần Xuân Quý và TS Đỗ Thị Phương Quỳnh,người đã luôn quan tâm ân cần chỉ bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tậntình và tạo điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập cũng như thựchiện đề tài.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo,

cô giáo trong khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên đã giảng dạy và giúp đỡ cho tác giả trong suốt thời gian học tậptại Trường

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT TràngĐịnh, Lạng Sơn cùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điềukiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học Đồng thời, tôicũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên,khích lệ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn tại trường Đạihọc Khoa học, Đại học Thái Nguyên

Thái Nguyên, tháng 05 năm 2022

Tác giảNguyễn Quang Lộc

Chương 1

Một số bất đẳng thức cơ bản

Chương này giới thiệu khái niệm về hàm lồi, hàm lồi điều hòa; trìnhbày một số bất đẳng thức đối với hàm lồi, hàm lồi điều hòa và một số bấtđẳng thức liên quan Một số kết quả chỉ phát biểu mà không chứng minh(xem tài liệu [1, 4, 5]) Các kết quả trình bày trong chương này sẽ đượcthiết lập cho các dạng bất đẳng thức kiểu tương tự trên tập phân thứ sẽđược trình bày trong Chương 2

1.1 Hàm lồi và một số kết quả liên quan

Định nghĩa 1.1 (i) Cho hai điểm a, b ∈ R, tập tất cả các điểm x =(1 − λ)a + λb với 0 6 λ 6 1 được gọi là đoạn thẳng (đóng) giữa a và

b ký hiệu bằng [a, b] Tập I ⊂ R được gọi là lồi nếu nó chứa mọi đườngthẳng nối hai điểm của nó; nói cách khác, nếu (1 − t)a + tb ∈ I với

a, b ∈ I, 0 6 λ 6 1

(ii) Cho hàm f : I → [−∞, +∞] trên tập lồi I ⊂ R Hàm f được gọi

là lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ I và λ ∈ [0, 1] ta có

f (λx1 + (1 − λ)x2) 6 λf (x1) + (1 − λ)f (x2)

Hàm f được gọi là lõm trên I nếu −f là hàm lồi

Mệnh đề 1.1 Cho f : I → [−∞, +∞] là hàm lồi Khi đó, với bất kỳtập hữu hạn x1, , xk ∈ I và bất kỳ các số không âm λ1, , λk thỏa mãn

n

X

i=1

λif (xi)

Mệnh đề 1.2 Hàm f là một hàm liên tục trên [a, b] Khi đó, f là hàmlồi trên (a, b) nếu và chỉ nếu thỏa mãn

f



x + y2



6 f (x) + f (y)

với mọi x, y ∈ (a, b)

Khái niệm hàm lồi lần đầu tiên được giới thiệu bởi J.L.W.V Jensennăm 1905, mặc dù hàm số thỏa mãn điều kiện (1.1) đã được nghiên cứubởi Hadamard (1893) và H¨older (1889) Ví dụ dưới đây sẽ chỉ ra một sốhàm lồi cơ bản

Ví dụ 1.1 Các hàm số xác định dưới đây là hàm số lồi

(a) f (x) = ax + b trên R với mọi a, b ∈ R;

không phải là hàm lồi trên R

Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Jensen) Cho f : I → R là một hàm lồi Giả

sử x1, x2, , xn là các điểm thuộc I và λ1, λ2, , λn là các số thực trongđoạn [0, 1] sao cho λ1 + λ2 + · · · + λn = 1 Khi đó

thực trong đoạn [0, 1] sao cho λ1 + λ2 + · · · + λn = 1, khi đó ta có bấtđẳng thức

Mệnh đề 1.3 Giả sử f có đạo hàm trên I Khi đó f là hàm lồi trên I

khi và chỉ khi f′ là hàm tăng trên I (Tức là nếu f có đạo hàm cấp 2 thì

Định lý 1.2 (Bất đẳng thức H¨older) Cho hai bộ số a1, a2, , an và

b1, b2, , bn là hai bộ n số thực dương và p > 1, thỏa mãn q−1+ p−1 = 1.Khi đó ta có bất đẳng thức sau

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi api = kbqi, với mọi i ∈ {1, 2, , n}

Kết quả tiếp theo là bất đẳng thức H¨older ở dạng giải tích, chúng tôichỉ trình bày kết quả mà không chứng minh

Định lý 1.3 (Bất đẳng thức H¨older dạng giải tích) Giả sử p, q > 1 thỏa

1.2 Một số bất đẳng thức khác đối với hàm lồi và hàm

lồi điều hòa

Định lý 1.4 Cho f : [a, b] ⊆ R → R là một hàm lồi khả vi trên đoạn

[a, b] Giả sử xi ∈ [a, b], pi > 0, i ∈ {1, 2, , n} và Pn := Pn

Chứng minh Vì f là hàm lồi khả vi trên (a, b), với mọi x, y ∈ (a, b) ta có

f (x) − f (y) > f′(y)(x − y) (1.8)

Mệnh đề 1.4 (Bất đẳng thức Hermite-Hadamard) Giả sử f là hàm lồitrên [a, b] Khi đó, nếu f khả tích trên [a, b] thì ta có

f



a + b2

Năm 2014, Imdat Iscan (xem [8]) đã đưa ra khái niệm hàm lồi điều hòa,năm 2020, Dragomir (xem [4]) đã thiết lập được bất đẳng thức Jensen chohàm lồi điều hòa.

Định nghĩa 1.2 (Hàm lồi điều hòa, Định nghĩa 2.1, [8]) Xét khoảng

I ⊂R\ {0} Hàm f : I → R được gọi là hàm lồi điều hòa nếu thỏa mãn

Ví dụ 1.2 f : (0, ∞) → R, f (x) = x là hàm lồi điều hòa

Mệnh đề 1.5 Xét khoảng I ⊂ R\ {0} Hàm f : I → R được gọi là hàmlồi điều hòa, khi đó

(i) nếu I ⊂ (0, ∞), f là hàm lồi và không giảm thì f là hàm lồi điều hòa.(ii) nếu I ⊂ (0, ∞), f là hàm lồi điều hòa và không giảm thì f là hàm lồi.(iii) nếu I ⊂ (−∞, 0), f là hàm lồi điều hòa và không giảm thì f là hàmlồi

(iv) nếu I ⊂ (−∞, 0), f là hàm lồi và không giảm thì f là hàm lồi điềuhòa

Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi điều hòa, [4]) Xét khoảng

I ⊆ (0, ∞) và f là hàm lồi điều hòa trên I, khi đó với mọi xi ∈ I và

λi ∈ [0, 1], i = 1, 2, , n thỏa λ1 + λ2 + · · · + λn = 1, ta có bất đẳng thứcsau

n

X

i=1

Chương 2

Một số bất đẳng thức đối với hàm lồi và hàm lồi suy rộng trên tập

phân thứ và một số vận dụng

Trong chương này sẽ trình bày về tập phân thứ Hàm lồi suy rộng, hàmlồi điều hòa suy rộng trên tập phân thứ và một số bất đẳng thức liên quantới lớp hàm lồi suy rộng và hàm lồi điều hòa suy rộng trên tập phân thứ.Các kết quả này trích từ các tài liệu [4]-[9]

Trước tiên, chúng tôi trình bày về lớp hàm lồi suy rộng và một số kếtquả liên quan

2.1 Hàm lồi suy rộng và một số kết quả liên quan

2.1.1 Một số khái niệm và tính chất

Trong mục này, chúng tôi trình bày về hàm lồi tổng quát xác định trêntập phân thứ Rα với 0 < α 6 1, trình bày các tính chất cơ bản của hàmlồi suy rộng và bất đẳng thức Jensen, Hermite-Hadmard đối với hàm lồisuy rộng

Cho α là một số thực thỏa mãn 0 < α 6 1, ta sẽ xác định các tập kiểu

α

: p, q ∈ Z, q 6= 0



;

Jα: là tập hợp các số vô tỉ kiểu α được xác định như tập hợp



mα 6=



pq

α

: p, q ∈ Z, q 6= 0



;

Rα: là tập hợp các số thực kiểu α được xác định bởi Rα = Qα∪Jα

Với các ký hiệu và quy ước như trên, ta sẽ định nghĩa về các phép toánhai ngôi: Phép cộng + và nhân · (đối với phép toán nhân ta thườnglược bỏ ·) trên tập phân thứ địa phương Rα như sau:

Với aα, bα ∈ Rα thì

aα+ bα := (a + b)α và (aα· bα) = aαbα := (ab)α (2.1)Khi đó ta có

❼ (Rα, +) là nhóm giao hoán: Với aα, bα, cα ∈ Rα thỏa mãn

(M5) Với mỗi aα ∈ Rα \ {0α}, (1/a)α là phần tử nghịch đảo của aα

đối với (Rα\ {0α}, ·) tức là aα(1/a)α = (a(1/a))α = 1α

❼ Luật phân phối: aα(bα+ cα) = aαbα+ aαcα

Từ đó, ta có khẳng định sau đối với (Rα, +, ·)

Mệnh đề 2.6 Những phát biểu sau là đúng

i) (Rα, +, ·) là một trường như trường số thực (R, +, ·);

ii) Phần tử đơn vị cộng 0α và phần tử đơn vị nhân 1α tương ứng xác địnhduy nhất;

iii) Phần tử đối và phần tử nghịch đảo tương ứng xác định duy nhất;iv) Với mỗi aα ∈ Rα thì phần tử đối (−a)α có thể viết là −aα Với mỗi

bα ∈ Rα \ {0α}, (1/b)α có thể viết 1α/bα nhưng khác 1/bα;

v) Nếu quan hệ thứ tự “<” xác định trên (Rα, +, ·) như sau: aα < bα

khi và chỉ khi a < b trong R thì (Rα, +, ·, <) là một trường có thứ tựgiống như trường (R, +, ·, <)

Nhận xét, trong khẳng định (iv), nếu viết (1/b)α = 1/bα với bα ∈

Rα\ {0α} thì dẫn tới 1α = 1 Như vậy, nếu 1α = 1 là đúng thì ta có thểviết

2α = (1 + 1)α = 1α+ 1α = 1 + 1 = 2,

điều này là không thể xảy ra khi 0 < α < 1

Định nghĩa 2.1 (Định nghĩa 1, [5]) Hàm không khả vi f : R →Rα, x 7→

f (x) được gọi là phân thứ liên tục địa phương tại x0 nếu với mọi ε ∈ R+thì tồn tại θ > 0 sao cho

|f (x) − f (x0)| < εα (2.2)với |x − x0| < θ, trong đó ε, θ ∈ R+ Ta nói hàm f là liên tục địa phươngtrên khoảng (a, b) nếu f liên tục phân thứ địa phương tại mọi x ∈ (a, b).Khi đó ta viết f (x) ∈ Cα[a, b]

Định nghĩa 2.2 (Định nghĩa 2, [6]) Đạo hàm phân thứ địa phương củahàm f (x) bậc α tại x = x0 được xác định bởi

f(α)(x0) = d

αf (x)

dxα

x=x 0

= lim

x→x 0

∆α(f (x) − f (x0))(x − x0)α , (2.3)trong đó ∆α(f (x) − f (x0)) = Γ(α + 1)(f (x) − f (x0)) và hàm Gamma

trong đó các đoạn [tj, tj+1], j = 0, , N − 1 thỏa mãn a = t0 < t1 < t2 <

· · · < tN −1 < tN = b là phân hoạch của [a, b] Khi đó tích phân phân thứcủa hàm f được xác định như sau

(2) (Tích phân phân thứ địa phương từng phần) Giả sử f (x), g(x) ∈

Dα[a, b] và f(α)(x), g(α)(x) ∈Cα[a, b], khi đó ta có

Bổ đề 2.2 (Bất đẳng thức H¨older suy rộng, [10]) Giả sửf, g ∈ Cα[a, b], p, q >

1 với p−1+ q−1 = 1 Khi đó ta có bất đẳng thức sau

1

Γ(α + 1)

Z b a

Định lý 2.1 (Định lý Taylor phân thứ địa phương suy rộng, [6]) Giả sử

f((k+1)α)(x) ∈ Cα[a, b] với khoảng I ⊆R, k = 0, 1, , n, 0 < α 6 1 Và xét

x0 ∈ [a, b] Khi đó, với bất kỳ x ∈ I tồn tại ít nhất một điểm ξ nằm giữa

(kα) + f

(n+1)α(ξ)Γ(1 + (n + 1)a)(x − x0)

(n+1)α (2.6)

2.1.2 Hàm lồi suy rộng và một số tính chất liên quan

Định nghĩa 2.4 (Hàm lồi suy rộng, Định nghĩa 6, [6]) Xét f : I ⊆ R →

Rα Với bất kỳ x1, x2 ∈ I và λ ∈ [0, 1], nếu có bất đẳng thức sau

f (λx1 + (1 − λ)x2) 6 λαf (x1) + (1 − λ)αf (x2) (2.7)thì hàm f được gọi là hàm lồi suy rộng trên I

Định nghĩa 2.5 (Hàm lồi chặt suy rộng, Định nghĩa 7, [6]) Xét f : I ⊆

R →Rα Với bất kỳ x1, x2 ∈ I và λ ∈ [0, 1], nếu có bất đẳng thức sau

f (λx1 + (1 − λ)x2) < λαf (x1) + (1 − λ)αf (x2) (2.8)thì hàm f được gọi là hàm lồi chặt suy rộng trên I

Từ định nghĩa về hàm lồi suy rộng và hàm lồi chặt suy rộng thì tương

tự trong giải tích cổ điển, một hàm lồi chặt suy rộng là hàm lồi suy rộng,nhưng điều ngược lại không đúng Nếu chiều của bất đẳng thức trong kháiniệm hàm lồi và lồi chặt suy rộng là ngược lại thì ta có khái niệm hàm lõmsuy rộng và hàm lõm chặt suy rộng

Ta có một số ví dụ về hàm lồi chặt suy rộng sau

Tiếp theo chúng tôi trình bày một số tính chất của hàm lồi suy rộng.Định lý 2.2 (Định lý 8, [6]) Xét f : I → Rα Khi đó f là hàm lồi suyrộng khi và chỉ khi thỏa mãn bất đẳng thức

f (x1) − f (x2)(x1 − x2)α ≤ f (x3) − f (x2)

với mọi x1, x2, x3 ∈ I thỏa mãn x1 < x2 < x3

Định lý 2.3 (Định lý 9, [6]) Giả sử f ∈ Dα(I), khi đó ta có các khẳngđịnh sau là tương đương:

(1) f là hàm lồi suy rộng trên I

(2) f(α) là hàm đơn điệu tăng trên I

(3) Với bất kỳ x1, x2 ∈ I ta có

f (x2) > f (x1) + f

(α)(x1)Γ(1 + α)(x2 − x1)

Hệ quả 2.1 (Hệ quả 10, [6]) Giả sử f ∈ D2α(a, b) Khi đó f là hàm lồisuy rộng (hoặc hàm lõm suy rộng) khi và chỉ khi

f(2α)(x) > 0 (hoặc f(2α)(x) 6 0) (2.11)với mọi x ∈ (a, b)

2.2 Một số bất đẳng thức đối với hàm lồi suy rộng

2.2.1 Bất đẳng thức Jensen đối với hàm lồi suy rộng và một số

vận dụng

Trong tập hợp phân thứ, người ta cũng đã chứng minh được một số bấtđẳng thức quen thuộc như trong tập hợp số thực Trong mục này, chúngtôi sẽ trình bày một số bất đẳng thức đó

Định lý 2.4 (Bất đẳng thức Jensen suy rộng, Định lý 11, [6]) Giả sử f

là hàm lồi suy rộng trên [a, b] Khi đó, với mọi xi ∈ [a, b] và λi ∈ [0, 1](i = 1, 2, , n) thỏa mãn Pni=1λi = 1 thì có bất đẳng thức

n

X

i=1

Chứng minh Với n = 2 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng Giả sử bấtđẳng thức (2.12) đúng với n = k Khi đó với bất kỳ x1, x2, , xk ∈ [a, b]

X

i=1

Vận dụng bất đẳng thức Jensen suy rộng và tính chất của hàm lồi, ta

có thiết lập được một số bất đẳng thức tích phân Yang đã thiết lập bấtđẳng thức Cauchy-Schwarz suy rộng

Hệ quả 2.3 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz suy rộng, Hệ quả 13, [6]).Giả sử |ak| > 0, |bk| > 0, k = 1, 2, , n Khi đó ta có



từ đó suy ra

" nX

Định nghĩa 2.6 (Định nghĩa 6, [9]) Hàm f : I ⊂ R\ {0} → Rα được gọi

là hàm lồi điều hòa suy rộng nếu thỏa mãn

với x1, x2 ∈ I, x1 < x2 và λ ∈ [0, 1] Ta ký hiệu f ∈ GHKα(I)

Định lý 2.5 (Định lý 5, [9]) Xét I ⊂ (0, ∞) và f ∈ GHKα(I) khi đó vớimọi xi ∈ I và λi ∈ [0, 1], i = 1, 2, , n thỏa λ1 + λ2 + · · · + λn = 1, ta cóbất đẳng thức sau

fPn1

i=1 λxii

6

k

X

i=1

ωiαf (xi)

Vì vậy, theo giả thiết quy nạp ta có

Ta có điều phải chứng minh

Nhận xét 2.1 Nếu thay α = 1 thì ta thu được bất đẳng thức trong Định

lý 1.5

2.2.2 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard đối với hàm lồi suy

rộng và một số vận dụng

Định lý 2.6 (Bất đẳng thức Hermite-Hadamard suy rộng, Định lý 14,[6]) Giả sử f (x) ∈ Ix(α)[a, b] là hàm lồi suy rộng trên [a, b] với a < b Khi

đó ta có

f



a + b2



6 Γ(1 + α)(b − a)α aIabf (x)dx 6 f (a) + f (b)

Chứng minh Xét x = a + b − y Khi đó, ta có

Z (a+b)/2 b

f (x)dx =

Z b (a+b)/2



f (x)(dx)α +

Z (a+b)/2 a

f (x)(dx)α

=

Z b (a+b)/2

Z 1 0

[f (ta + (1 − t)b) + f ((1 − t)b + yb)](dt)α

≤ 1Γ(1 + α)

Z 1 0

[f (ta + (1 − t)b) + f ((1 − t)b + yb)](dt)α

= 2

α

(b − a)α aIabf (x),1

Từ các bất đẳng thức (2.26) và (2.30) ta có

f



a + b2



6 Γ(1 + α)(b − a)α aIabf (x) 6 f (a) + f (b)

Định lý 2.7 (Định lý 2.2, [5]) Giả sử các giả thiết trong Bổ đề 2.3 thỏamãn Nếu |f(α)| là lồi suy rộng trên [a, b] thì bất đẳng thức sau đúng:

f (x) + (b − x)

αf (b) + (x − a)αf (a)(b − a)α − 2

αΓ(1 + α)(b − a)α aIabf (t)