Luận văn Các suy rộng của định lý giá trị trung bình Lagrange

Luận văn Các suy rộng của định lý giá trị trung bình Lagrange, luận văn toán học hay nhất 2017. Luận văn Các suy rộng của định lý giá trị trung bình Lagrange Luận văn Các suy rộng của định lý giá trị trung bình Lagrange

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ NGỌC TOÀN

CÁC SUY RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH

Đà Nẵng - Năm 2013

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Ngọc Toàn

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

1 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu đề tài 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Đóng góp của đề tài 3

6 Cấu trúc của luận văn 3

CHƯƠNG 1 CÁC MỞ RỘNG CỔ ĐIỂN CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE 4

1.1 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN 4

1.2 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI TỈ SAI PHÂN 23

1.3 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CAUCHY VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN 29

1.4 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN 33

CHƯƠNG 2 CÁC SUY RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 40

2.1 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM THỰC 40

2.2 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM GIÁ TRỊ THỰC TRÊN MẶT PHẲNG 46

2.3 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM GIÁ TRỊ VECTƠ TRÊN ĐƯỜNG THẲNG THỰC 49

2.4 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM GIÁ TRỊ VECTƠ TRÊN MẶT PHẲNG 51

2.6 MỘT DỰ ĐOÁN CỦA FURI VÀ MARTELLI 64

CHƯƠNG 3 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ ĐẠO HÀM SUY RỘNG 66

3.1 VI PHÂN ĐỐI XỨNG CỦA HÀM THỰC 66

3.2 MỘT ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TỰA – TRUNG BÌNH 70

3.3 MỘT ỨNG DỤNG 73

3.4 CÁC SUY RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 74

3.5 ĐẠO HÀM DINI CỦA HÀM THỰC 76

3.6 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI CÁC HÀM KHÔNG KHẢ VI80 KẾT LUẬN 85

TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan trọng trong giải tích Nó có nguồn gốc từ định lý Rolle, được chứng minh bởi nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652-1719) đối với đa thức vào năm 1691

Định lý này xuất hiện lần đầu trong cuốn sách Methode pour resoudre les égalitez không có chứng minh và không có nhấn mạnh đặc biệt nào Định lý

Rolle được sự công nhận khi Joseph Lagrange (1736-1813) trình bày định lý

giá trị trung bình trong cuốn sách của mình Theorie des functions analytiques

vào năm 1797 Nó nhận thêm được sự công nhận khi Augustin Louis Cauchy (1789-1857) chứng minh định lý giá trị trung bình trong cuốn sách

Equationnes differentielles ordinaires Gần đây, nhiều phương trình hàm

được nghiên cứu xuất phát từ các định lý giá trị trung bình và các suy rộng của chúng

Xuất phát từ tính thời sự của định lý giá trị trung bình và các suy rộng của nó và nhu cầu muốn tìm hiểu về các suy rộng của định lý giá trị trung bình Lagrange cùng các ứng dụng của chúng trong phương trình hàm, hai vấn

đề quan trọng trong chương trình THPT, đặc biệt là dành cho khối chuyên

toán, chúng tôi quyết định chọn đề tài với tên gọi: Các suy rộng của định lý

giá trị trung bình Lagrange để tiến hành nghiên cứu Vấn đề này luôn mang

tính thời sự trong giải tích Chúng tôi hy vọng tạo được một tài liệu tham khảo

tốt cho những người bắt đầu tìm hiểu về định lý giá trị trung bình và một số suy rộng của nó với các ứng dụng trong phương trình hàm và giới thiệu một

số ví dụ minh hoạ hay nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này

2 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu các định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng định lý giá trị trung bình và các phương trình hàm xuất phát từ chúng Có nhiều vấn đề liên quan đến định lý giá trị trung bình, nhưng ở đây nội dung của đề tài được tập trung nghiên cứu các vấn đề trong ba chương sau:

Trong Chương 1, chúng tôi sẽ bàn về định lý giá trị trung bình Lagrange và hai mở rộng cổ điển của nó là định lý giá trị trung bình Cauchy, định lý giá trị trung bình Pompeiu cùng với nhiều ví dụ minh họa

Trong Chương 2, chúng tôi sẽ khảo sát nhiều suy rộng của định lý giá trị trung bình Lagrange Đầu tiên, chúng tôi trình bày tất cả các suy rộng của

định lý giá trị trung bình đối với các hàm từ R vào R Chúng tôi xét đến các

suy rộng của Flett, Trahan và nhiều nhà toán học khác Tiếp đến là định lý giá trị trung bình đối với các hàm giá trị thực trên mặt phẳng được đề cập và trình bày một số kết quả của Clarke và Ledyaev Định lý giá trị trung bình đối với các hàm giá trị vectơ sẽ được bàn đến trong chương này bao gồm các kết quả của McLeod và Sanderson Một kết quả gần đây của Furi và Martelli sẽ được

đề cập ở đây và chúng tôi trình bày định lý giá trị trung bình đối với các hàm giá trị phức trên mặt phẳng phức

Chương 3 bàn về định lý giá trị trung bình và các suy rộng của nó đối với hàm có đạo hàm đối xứng và đạo hàm Dini Ở đây, chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm vi phân đối xứng và sau đó là định lý giá trị trung bình đối với các hàm khả vi đối xứng Khái niệm đạo hàm Dini được giới thiệu với một số ví

dụ đặc sắc Cuối cùng, chúng tôi trình bày định lý giá trị trung bình đối với các hàm không khả vi

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là định lý giá trị trung bình Lagrange

và các suy rộng của nó Phạm vi nghiên cứu của đề tài là các định lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng định lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan đến chúng

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan đến các suy rộng của định lý giá trị trung bình và các ứng dụng của chúng

- Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu Trao đổi qua email, blog, forum với các chuyên gia về các định lý giá trị trung bình và các ứng dụng của chúng

5 Đóng góp của đề tài

- Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến

Định lý giá trị trung bình Lagrange và các suy rộng của nó cùng với các phương trình hàm liên quan nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về định lý giá trị trung bình và phương trình hàm

- Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như đưa ra một

số ví dụ minh hoạ hay và hợp lý nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập

6 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo trong luận văn gồm có

3 chương như sau :

- Chương 1: Các mở rộng cổ điển của định lý giá trị trung bình Lagrange

- Chương 2: Các suy rộng của định lý giá trị trung bình

- Chương 3:Các định lý giá trị trung bình đối với một số đạo hàm suy rộng

CHƯƠNG 1

CÁC MỞ RỘNG CỔ ĐIỂN CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG

BÌNH LAGRANGE

Chương này sẽ trình bày định lý giá trị trung bình của phép tính vi phân

và một số ứng dụng của nó Hơn nữa sẽ bàn đến nhiều phương trình hàm được phát triển bằng cách sử dụng định lý giá trị trung bình Tất cả các phương trình hàm đề cập trong chương này được sử dụng theo đa thức đặc trưng Chương này cũng khảo sát định lý giá trị trung bình đối với tỷ sai phân

và đưa ra một số ứng dụng trong việc xác định trung bình hàm Cuối cùng sẽ chứng minh định lý giá trị trung bình của Cauchy và chứng minh định lý giá trị trung bình của Pomeiu và chỉ ra các phương trình hàm khác nhau có thể là động lực sử dụng các định lý này nói chung

1.1 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN

Một trong những định lý quan trọng nhất của phép tính vi phân là định

lý giá trị trung bình Lagrange Định lý này được phát hiện lần đầu tiên bởi Joseph Louis Lagrange (1736-1813) nhưng ý tưởng của việc áp dụng định lý Rolle vào một hàm bổ trợ thích hợp được đưa ra bởi Bonnet Ossian (1819-1892) Tuy nhiên, công bố đầu tiên của định lý này xuất hiện trong một bài báo của nhà vật lý nổi tiếng Andre – Marie Ampère (1775-1836) Nhiều kết quả của giải tích thực cổ điển là hệ quả của định lý giá trị trung bình Chứng minh định lý Rolle được dựa trên hai kết quả sau

Mệnh đề 1.1.1 Nếu một hàm khả vi f : đạt cực trị tại một điểm c trong khoảng mở (a,b) thì f’(c) = 0

Mệnh đề 1.1.2 Một hàm liên tục f:  đạt cực trị trên một khoảng đóng

và bị chặn bất kỳ [a,b]

Chúng ta bắt đầu với định lý Rolle nhƣ sau:

Định lý 1.1.1 Nếu f liên tục trên [x 1 ,x 2 ] và khả vi trên (x 1 ,x 2 )với f(x 1 )=f(x 2 ) thì tồn tại một điểm (x 1 ,x 2 ) sao cho f’( )=0

Chứng minh: Vì f liên tục và [x1,x2] là một khoảng đóng bị chặn nên theo Mệnh đề 1.1.2, f đạt giá trị cực đại và cực tiểu trên khoảng này Nếu cả hai xảy ra ở hai đầu mút x1, x2 thì giá trị cực đại và cực tiểu là bằng nhau và hàm này là hàm hằng, do đó f’( )=0 với mọi (x1,x2) Ngƣợc lại, một trong các cực trị xảy ra ở điểm (x1,x2) và theo Mệnh đề 1.1.1 ta có f’( )=0

Nhƣ vậy định lý Rolle có thể giải thích về mặt hình học nhƣ sau nếu có một cát tuyến nằm ngang của đồ thị f thì có một tiếp tuyến nằm ngang của đồ thị sao cho tiếp điểm nằm giữa hai giao điểm của cát tuyến với đồ thị

Một giải thích khác của định lý Rolle là giữa hai nghiệm thực của một hàm thực khả vi f có ít nhất một điểm tới hạn của f (nghiệm của đạo hàm cấp một f’)

Định lý Rolle đƣợc tổng quát hóa bằng cách quay đồ thị của hàm f để

có định lý giá trị trung bình Lagrange

Định lý 1.1.2 Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên một khoảng I và với mọi

cặp x 1 x 2 trong I, tồn tại một điểm phụ thuộc vào x 1 và x 2 sao cho

do f và h liên tục trên [x1,x2] và khả vi trên (x1,x2), nên g cũng thế và ta có g(x1) = g(x2) = 0, do đó g thỏa mãn giả thiết định lý Rolle Khi đó tồn tại (x1,x2) sao cho

Chú ý 1.1.1 Mục này khép lại với một chứng minh khác của định lý

Lagrange mà không sử dụng Mệnh đề 1.1.1 và Mệnh đề 1.1.2 Chứng minh này của Tucker (1997) và Velleman(1998)

Bắt đầu với một khoảng khác rỗng [x1,x2] với f khả vi và xác định

2 1

f x f x m

x x và

2

x x y

Khi đó y chia khoảng [x1,x2] thành hai khoảng con có độ dài h= 2 1

f y f x m

2 2

với mọi n = 1,2,… và lim( n n) 0

các khoảng này Nếu = aN với N nào đó thì = an với mọi n > N, nên

( ) ( )

'( )

n n

Rõ ràng phụ thuộc vào x1 và x2 và có thể yêu cầu f như thế nào khi

giá trị trung bình phụ thuộc vào x1 và x2 theo một cách nào đó Từ quan

điểm này, phương trình (1.2) xuất hiện như một phương trình hàm với ẩn f và

được cho

Định lý sau đây được thiết lập bởi Aczél (1963) và cũng độc lập bởi Haruki (1979) Định lý sau được chứng minh dựa vào công trình của Aczel (1985) Định lý này liên quan đến phương trình hàm (1.2)

Định lý 1.1.3 Các hàm f, h:  thỏa mãn phương trình hàm

(1.3) f[x,y] = h(x + y), x y, khi và chỉ khi

f(x) = ax 2 + bx + c và h(x) = ax + b trong đó a, b, c là hằng số thực tùy ý

Chứng minh: phương trình (1.3) bằng cách sử dụng định nghĩa tỷ sai phân sẽ

được viết lại là

(1.4) f(x) – f(y) = (x - y)h(x + y) với x y cũng đúng với x = y Nếu f thỏa mãn phương trình (1.4) thì f + b với b là một hằng số tùy ý, cũng thế Vì vậy không mất tính tổng quát ta có thể giả sử f(0)

= 0 Đặt y = 0 trong phương trình (1.4), ta thấy rằng

(1.5) f(x) = xh(x)

Do vậy, theo phương trình (1.5), phương trình (1.4) sẽ chuyển thành

(1.6) xh(x) – yh(y) = (x – y)h(x + y)

Một lần nữa, nếu h thỏa mãn phương trình (1.6) thì h + c cũng vậy, với

c là một hằng số tùy ý Vì vậy ta có thể giả sử h(0) = 0 Do đó đặt x = -y trong phương trình (1.6), ta được

(1.7) -yh(-y) = yh(y)

nghĩa là h là một hàm lẻ Thay y bởi –y trong phương trình (1.6), ta có

(1.8) xh(x) – yh(y) = (x + y)h(x – y)

So sánh phương trình (1.8) và (1.6) ta có

(1.9) (x – y)h(x + y) = (x + y)h(x – y) thay u = x + y và v = x – y vào phương trình (1.9) ta được

(1.10) vh(u) = uh(v) với mọi u, v  Vì vậy

trong đó a, b, c là hằng số tùy ý Phần đảo của định lý này là hiển nhiên

Hệ quả 1.1.1 Hàm f :  thỏa mãn phương trình hàm

Định lý 1.1.4 Nếu đa thức bậc hai f(x)= ax 2

+ bx + c, với a 0, là một nghiệm của phương trình hàm

(1.12) f(x + h) – f(x) = hf’(x + h) (0< <1)

được giả sử với mọi x  và h \{0} thì = 1

2 Đảo lại nếu một hàm f thỏa mãn phương trình hàm ở trên với = 1

2 thì nghiệm duy nhất là một đa thức có bậc nhiều nhất bằng hai

Chứng minh: Giả sử đa thức

(1.13) f(x) = ax 2 + bx + c

là một nghiệm của phương trình (1.12) Khi đó thay phương trình (1.13) vào phương trình (1.12) ta có

a(x + h) 2 + b(x + h) +c – ax 2 – bx – c = h(2a(x + h) + b)

nghĩa là ah 2

(1 - 2 ) = 0 Vì a và h khác không, ta có = 1

2 Ngược lại, cho = 1

Vậy, theo Hệ quả 1.1.1, f là một đa thức có bậc nhiều nhất là hai

Cho s và t là hai số thực Khi đó tất cả các hàm khả vi f trên đường

A(ty) + y nÕu s = -t 0

y nÕu s t

y

trong đó A :  là một hàm cộng tính và a, b, c, , là các hằng số thực

tùy ý

Chứng minh : Để chứng minh định lý này, ta xét một số trường hợp phụ

thuộc vào tham số s và t

Trường hợp 1 Giả sử s = 0 = t Khi đó phương trình (1.15) trở thành

với mọi y  Đặt x = 0 trong phương trình (1.20) và sử dụng phương trình

(1.23), ta thấy f(0) = b Vì vậy phương trình (1.21) đúng với mọi x  Từ phương trình (1.21) và (1.23), ta có nghiệm của phương trình (1.15) cho trường hợp này như đã khẳng định trong Định lý 1.1.5

Trường hợp 3 Giả sử s 0 t Đặt x = 0 trong phương trình (1.15) ta có

Tương tự, với y = 0 trong phương trình (1.15) ta có

với mọi số thực x 0 (với x = g(0))

Thay phương trình (1.24) và (1.25) vào phương trình (1.15) và đơn giản ta được

(1.26) xh(sx) – yh(ty) + c – b = (x – y)h(sx + ty)

với mọi số thực x và y khác không, x y

3.1 Giả sử s = t Khi đó phương trình (1.27) thành

(1.28) xh(x) – yh(y) = (b – c)t +(x – y)h(x + y)

Thay đổi vai trò của x và y trong phương trình (1.28) và cộng phương trình nhận được vào (1.28), ta có b = c Vì vậy phương trình (1.28) thu được

(1.32) 2yh(0) = (x + y)h(x – y) – (x – y)h(x + y)

với mọi số thực x và y khác không, với x + y và x - y 0 Thay

vào phương trình (1.32), ta thấy rằng (u – v)h(0) = uh(v) – vh(u) hay

0 nÕu x = 0

xh x b c t

A x

Khi đó theo phương trình (1.38), phương trình (1.37) thành

với mọi số thực x, y và x + y khác không Tiếp theo ta chứng tỏ rằng A trong phương trình (1.39) là cộng tính trên tập số thực Để A là cộng tính thì nó phải thỏa mãn

(1.40) A(x) + A(-x) = A(0) = 0 hoặc xh(x) – xh(-x) + 2(b – c)t = 0

Thay đổi vai trò y với – y trong phương trình (1.37), ta có

(1.41) xh(x) – yh(-y) + (b – c)t = (x – y)h(x – y)

Trừ phương trình (1.41) cho phương trình (1.37) ta có

(1.42) yh(y) + yh(-y) = (x + y)h(x + y) – (x – y)h(x – y)

Vì vậy, sử dụng phương trình (1.38), ta có

(1.43) A(y) – A(-y) = A(x + y) – A(x – y)

với mọi số thực x, y, x + y và x – y khác không Thay x bởi –x trong phương trình (1.43), ta được

Từ phương tình (1.43) và phương trình (1.44) ta có

(1.45) A(x + y) + A(-(x + y)) = A(x – y) + A(-(x – y))

Đặt u = x + y và v = x – y trong phương trình (1.45), ta thấy rằng

với mọi số thực u, v, u – v và u + v khác không Vì vậy

với mọi số thực u khác không (khi đó là một hằng) Sử dụng phương trình (1.38), ta thấy từ phương trình (1.47) là

với mọi số thực x khác không Từ phương trình (1.15) với s = -t, ta có

với mọi số thực x khác không Hiển nhiên ở trên cũng đúng với x = 0 Do đó

A là một hàm cộng tính trên tập các số thực Từ phương trình (1.38), phương trình (1.24) và (1.25), ta được

(1.57)

( )( )

( )( )

giống với phương trình (1.29) Vì vậy

với và b là các hằng số tùy ý Đưa phương trình (1.60) vào phương trình (1.58) và đơn giản kết quả nhận được, ta có

s t) = b – c với mọi x và y khác không mà tx sy và sx ty Vì s t, ta thấy rằng =0 và

b = c Do đó phương trình (1.60) trở thành

Từ phương trình (1.62), phương trình (1.24) và (1.25) ta có được dạng của f, g

và h như đã khẳng định

Ghi chú 1 Trong trường hợp g = f, vế trái của phương trình (1.15) với s = -t

là đối xứng theo x và y Vì vậy sử dụng tính đối xứng này có thể kết luận h là một hàm chẵn Tính chẵn của h kéo theo A trong phương trình (1.39) là cộng tính

Ghi chú 2 Trong trường hợp 3.1, h(y) không xác định tại y = 0

Hệ quả 1.1.2 Các hàm , f :  thỏa mãn phương trình hàm (1.2) với mọi x, y  mà x y khi và chỉ khi

2

nÕu s=0=t nÕu s=0, t 0 nÕu s 0, t=0

( )

nÕu s=-t 0 nÕu s

2 2

tïy ý nÕu s=0=t nÕu s=0, t 0 nÕu s 0, t = 0

( ) nÕu s=-t 0 nÕu s

a a

A y y

t



trong đó A :   là một hàm cộng tính và a, b, c, , là các hằng số thực tùy ý

Hệ quả dưới đây được phát biểu bởi Walter Rudin vào năm 1989

Hệ quả 1.1.3 Hàm f :   thỏa mãn phương trình

Chú ý rằng Định lý 1.1.3 và 1.1.5 đặc trưng cho đa thức bậc thấp Về mặt nguồn gốc, phương trình (1.3) xuất hiện dưới dạng

f(x) – f(y)=(x – y)h(x + y)

vì vậy không rõ ràng khi suy rộng nó để cho đa thức bậc cao Ý tưởng xuất phát từ khái niệm tỷ sai phân Bailey (1992) suy rộng kết quả của Aczel và Haruki và thiết lập định lý dưới đây

Định lý 1.1.6 Nếu f là một hàm khả vi thỏa mãn phương trình hàm

thì f là một đa thức có bậc nhiều nhất là ba

Chứng minh : Sử dụng định nghĩa của tỷ sai phân từ phương trình (1.63), ta

Viết lại phương trình (1.65), ta có :

Năm 1992, Bailey đặt ra câu hỏi có hay không mỗi hàm liên tục (hoặc

khả vi) f thỏa mãn phương trình hàm

là đa thức có bậc nhiều nhất là n Sử dụng kĩ thuật sơ cấp Kannappan và Sahoo (1995) đã giải quyết bài toán của Bailey Đầu tiên ta giải bài toán của Bailey với n = 3 và ta có định lý

Định lý 1.1.7 Chi f thỏa mãn phương trình hàm

(1.69) f[x 1 , x 2 , x 3 ] = g(x 1 + x 2 + x 3 ),

với mọi x 1 , x 2 , x 3  sao cho x 1 x 2 , x 2 x 3 và x 3 x 1 Khi đó f là đa thức có bậc nhiều nhất là ba và g là tuyến tính

Chứng minh : Nếu f(x) là một nghiệm của phương trình (1.69) thì f(x) + a0 +

a1x cũng vậy Do đó không mất tính tổng quát, giả sử

(sau khi sử dụng (1.70) và (1.71)) với x 0,

Tiếp theo, ta thay (x, 0, y) cho (x1, x2, x3) trong (1.69) để có

với mọi x, y \{0} mà x y Chú ý rằng (1.75) vẫn đúng với x = y

Bây giờ ta xét phương trình

q(x) – q(y) = (x – y)g(x + y) với mọi x, y \{0} Đặt y = -x trong (1.75) để có

- b Bỏ giả thiết f(0) = 0, ta có

với mọi x 0, Từ (1.70), (1.71) và (1.84) ta kết luận rằng f là đa thức có

bậc nhiều nhất là ba với mọi x 

Bây giờ chúng ta tìm nghiệm của (1.68) mà không có giả thiết nào về

hàm ẩn f và g Bổ đề sau đây cần thiết để giải quyết bài toán của Bailey

Bổ đề 1.1.1 Cho S là một tập con hữu hạn đối xứng qua 0 ( nghĩa là –S = S)

và đặt f ,g :   là các hàm thỏa mãn phương trình hàm

với mọi x, y \S Khi đó

với x \S và y , trong đó a, b, c là hằng số nào đó

Chứng minh: Thay y bởi –x trong (1.85), ta được

Tương tự, thay y bởi – y trong (1.85), ta được

f(x) – f(-y) = (x +y)g(x – y), với x, y \S

sau khi trừ cho (1.85) và sử dụng (1.87) cho ra

(1.88) (x + y)(g(x – y) – g(0)) = (x – y)(g(x + y) – g(0))

với mọi x, y \S Cố định u 0 trong  Đặt v  sao cho (u v)/2 S và

đặt x = (u + u)/2 và y = (u – v)/2 Khi đó x + y = u và x – y = v và sử dụng (1.88) ta được

Thay g nhận được vào (1.85), ta được

(1.90) f(x) – ax2 – bx = f(y) – ay2 – by

với mọi x, y \S Chọn bất kỳ y \S trong (1.90) cho được f(x) = ax2 + bx

+ c với x \S, với hằng số c nào đó mà có dạng như yêu cầu của f trong

(1.86)

Định lý 1.1.8 Cho f, g: thỏa mãn phương trình hàm (1.68)với x 1 , x 2 , …,

x n phân biệt Khi đó f là một đa thức có bậc nhiều nhất là n và g là tuyến tính

Chứng minh: Dễ dàng thấy rằng nếu f là một nghiệm của phương trình (1.68)

f x a x cũng vậy Vì thế ta có thể giả sử rằng f(0) = 0 = f(y1) = … =

f(yn-2) với y1, y2, …, yn-2 phân biệt và khác không Rõ ràng có nhiều cách để chọn 0, y1, …, yn-2 Đưa vào trong phương trình (1.68), (x, 0, y1, …, yn-2) và (x, 0, y1,…, yn-3) đối với (x1, x2,…,xn), ta có

tương ứng với x y và x 0, y, y1, ,yn-2

Bây giờ phương trình có thể được viết lại

(1.92)

trong đó

( ) ( )

f x

l x

x y x y x với x, y 0, y1, ,yn-3 Khi đó theo Bổ

đề 1.1.1 và sự lựa chọn tùy ý x, y 0, y1, ,yn-3 ta có g là tuyến tính (và l(x) là bậc hai) Do đó theo (1.91), f là một đa thức bậc nhiều nhất là n

1.2 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI TỈ SAI PHÂN

Trong phần này, chúng ta chứng minh định lý trung bình đối với tỷ sai phân và trình bày một số ứng dụng đối với việc nghiên cứu các trung bình Chúng ta bắt đầu với một biểu diễn tích phân của tỉ sai phân Một số kết quả

của phần này có thể tìm thấy trong sách của Isaacson và Keller (1966) và

Ostrowski (1973) Trong mục này f(n)

biểu diễn đạo hàm cấp n của hàm f trong khi f’ biểu diễn đạo hàm cấp một của f

Định lý 1.2.1 Giả sử f : có đạo hàm cấp n liên tục trong khoảng

x x

f z dz dz

Bây giờ chúng ta trình bày giá trị trung bình đối với tỷ sai phân

Định lý 1.2.2 Cho f : [a,b] là một hàm giá trị thực với đạo hàm cấp n liên tục và x 0 , x 1 , ,x n trong [a,b] Khi đó tồn tại một điểm trong khoảng [min{x 0 , x 1 , ,x n }, max{x 0 , x 1 , ,x n }] sao cho

( )

( ) [ , , , ]

!

n n

f

n

Chứng minh : Vì f(n)(x) liên tục trên [a,b], hàm f(n)(x) có cực đại và cực tiểu

trên [a,b] Đặt m = minf(n)

(x) và M = maxf(x)(x) Khi đó từ biểu diễn tích

phân của của f[x0,x1, ,xn], ta có

Chú ý 1.2.1 Định lý giá trị trung bình đối với tỉ sai phân có thể đƣợc dùng để

xác định trung bình hàm Ta thấy rằng một số nút trong tỉ sai phân có thể kết

hợp thành nhóm nếu f khả vi thích hợp Ví dụ, nếu f khả vi thì

[ , , , ]

1 = [ [ , , ] [ , , ]]

1 = [ [ , ] 2 [ , ] [ , ]]

Chú ý rằng tính đơn điệu chặt của f(2n-1)(x) buộc là một giá trị trung bình,

nghĩa là a < < b Hơn nữa, vì f(2n-1)(x) là đơn điệu chặt, một nhƣ thế cũng duy nhất và điều này xác định một trung bình hàm M a b n f( , )theo a và b Do đó

Dưới đây là hai ví dụ minh họa bằng cách sử dụng trung bình hàm

2

( )

n n

n n

n

x x x

số học của a và b Ví dụ 1.2.2 minh họa rằng nếu p =-1, khi đó trung bình hàm

với p  Kết quả này nói rằng nếu f là một hàm lũy thừa

thì trung bình hàm tiến đến tiệm cận trung bình hình học Cũng có các trung bình khác xuất hiện trong trường hợp giới hạn của M a b n f( , )khi n Chẳng

Định lý 1.3.1 Với mọi hàm giá trị thực f và g khả vi trên khoảng số thực I và

với mọi cặp x 1 x 2 trong I, tồn tại một điểm phụ thuộc vào x 1 và x 2 sao cho

Chú ý 1.3.1 Định lý giá trị trung bình Cauchy được sử dụng trong việc chứng

minh một phương pháp thông dụng để tính giới hạn của tỉ nào đó các hàm Phương pháp này của Guillaume Francois Marquis de L’Hospital (1661-1704) và được gọi là qui tắc L’Hospital Năm 1696, Marquis de L’Hospital biên dịch bài giảng của thầy ông là Johann Bernoulli (1667-1748) và qui tắc

L’Hospital đầu tiên xuất hiện Chính xác hơn nên gọi qui tắc này là qui tắc Bernoulli - L’Hospital

Như định lý giá trị trung bình Lagrange, định lý giá trị trung bình Cauchy có thể được dùng để suy ra trung bình Stolarsky Cho , là hai số thực phân biệt khác không Định lý giá trị trung bình Cauchy áp dụng cho

hàm f(t) = t , g(t) = t trên khoảng [x,y] các số thực dương sao cho

1

,

( ( , )

xy x Nếu ta yêu cầu điều kiện f và g để giá trị trung bình phụ thuộc vào x1

và x2 một cách nhất định thì phương trình (1.97) xuất hiện như một phương trình hàm Phương trình này được xét bởi Aumann (1936) bằng cách xét

Định lý 1.3.2 Cho f,g :[a,b]  là những hàm giá trị thực có đạo hàm cấp n liên tục và g (n)

(t) 0 trên [a,b] Hơn nữa, cho x 0 , x 1 , ,x n trong [a,b] Khi đó tồn tại một điểm [min{x 0 , x 1 , ,x n }, max{x 0, x 1 , ,x n }] sao cho

(1.100) f[x 0 , x 1 , ,x n ]g (n) ( ) = g[x 0 , x 1 , ,x n ]f (n) ( )

Chứng minh : Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử x0 x1 xn Nếu

x0 = x1 = = xn thì từ định nghĩa của tỉ sai phân và từ việc f và g khả vi liên

Vì f và g khả vi đến cấp n, nên h cũng vậy Vì vậy sử dụng định lý giá trị

trung bình đối với tỉ sai phân, ta có

!

n n

Định lý 1.4.1 Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên một khoảng [a, b] không

chứa 0 và với mọi cặp x 1 x 2 trong [a, b], tồn tại điểm (x 1 , x 2 ) sao cho

(1.113)

Chứng minh: Định nghĩa một hàm giá trị thực F trên khoảng 1 1,

b a bởi (1.114)

Vì f khả vi trên [a, b] và 0 không thuộc [a, b], ta thấy rằng F khả vi trên 1 1,

!

n

h n

Chú ý 1.4.1 Dưới đây là ý nghĩa hình học của định lý này Phương trình của

cát tuyến nối các điểm (x1,f(x1)) và (x2, f(x2)) được cho bởi

đó là phương trình (1.113) trong Định lý 1.4.1 Do đó ý nghĩa hình học là tiếp tuyến tại điểm ( , ( )f ) cắt trục tung tại cùng điểm như của cát tuyến nối các điểm (x1, f(x1)) và (x2, f(x2))

Chú ý 1.4.2 Biểu thức đại số (1.113) cho một phương trình hàm Ở đây dạng

chính xác của vế phải là không cần thiết Điều có liên quan là vế phải của (1.113) chỉ phụ thuộc vào mà không trực tiếp vào x1 và x2 Vì vậy ta có phương trình hàm

Bổ đề 1.4.1 Nếu f, g, h: thỏa mãn phương trình hàm

với mọi x, y  với x y, khi đó f(x) = g(x), x 

Chứng minh : Thay đổi vai trò x với y trong phương trình trên, ta có