Bai tap xac suat thong ke

Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ thuốc, tính xác suất để được 3 lọ cùng loại.. Phải chọn bao nhiêu sinh viên sao cho trong số đó, với xác suất không bé hơn 99%, có ít nhất một sinh vi

Mục lục

1.1 Các ví dụ 2

1.2 Bài tập 6

2 Đại lượng ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất 9 2.1 Đại lượng ngẫu nhiên 9

2.1.1 Các ví dụ 9

2.1.2 Bài tập 12

2.2 Đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều 16

2.2.1 Các ví dụ 16

2.2.2 Bài tập 18

3 Mẫu thống kê và ước lượng tham số 21 3.1 Một số ví dụ 21

3.2 Bài tập 22

1 Rút được hai thẻ tạo thành một số có hai chữ số.

2 Rút được hai thẻ tạo thành một số chia hết cho 5

Giải

1 Gọi A:"Hai thẻ rút được tạo thành một số có hai chữ số" Khi đó

P (A) = A

2 9

A2 100

100.99 ≈ 0, 0073

2 Gọi B:"Hai thẻ rút được tạo thành một số chia hết cho 5 "

Khi đó thẻ thứ hai là phải là một trong 20 số 5, 10, , 100, còn thẻ thứ nhất là một trong

99 thẻ còn lại.Vậy số trường hợp thuận lợi cho B là 99.20,

P (B) = 99.20

A2 100

= 0, 2

Ví dụ 1.2 Một hộp chứa 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen cùng kích thước Rút ngẫu nhiêncùng lúc 4 quả cầu Tính xác suất để trong đó có:

1 Hai quả cầu đen

2 Ít nhất 2 quả cầu đen

3 Tất cả là cầu trắng

Giải Số phần tử của không gian mẫu là C104

1 Gọi A:"Trong 4 quả cầu rút ra có 2 quả đen"

C4 10

C4 10

Đặt Ak: "Có k nam được tuyển trong 4 nhân viên"

1 Gọi A:" Có không quá 2 nam"

C4 8

C4 8

= 1314

3 Gọi C:"Có 3 nữ, biết ít nhất một nữ đã được tuyển".Vậy

P (C) = P (A1/B) = P (A1)

P (B) =

C1 5

C4 8

.13

14 =

113

Ví dụ 1.4 Một cuộc điều tra trong thành phố X đối với các hộ gia đình sử dụng dịch vụ truyềnhình cáp và internet, có 30% hộ sử dụng truyền hình cáp, 20% hộ sử dụng internet và 15% hộ sửdụng cả hai dịch vụ trên Điều tra ngẫu nhiên một hộ gia đình, tính xác suất để hộ này:

1 Không sử dụng dịch vụ nào

2 Không dùng internet, biết người này đã dùng truyền hình cáp.

1 Tính xác suất để một thí sinh bất kì được vào đội tuyển

2 Biết thí sinh này bị loại, tính xác suất để thí sinh bị loại ở vòng thứ hai

1 Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ thuốc, tính xác suất để được 3 lọ cùng loại

2 Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ra 3 lọ thuốc thì được 1 lọ tốt và 2 lọ hỏng Tính xácsuất để hộp được chọn là hộp A

Giải

C3 15

; P (X/HB) = C

1

6C2 4

C3 10

; P (X/HC) = C

1

5C2 5

C3 10

Thay vào công thức ta có: P (X) = 5113

16380 ≈ 0, 312 Do đó P (HA/X) = 0, 2347

Ví dụ 1.7 Thống kê năm học trước của một trường đại học, tỉ lệ sinh viên thi trượt môn Toán

là 34%, thi trượt môn Ngoại ngữ là 20.5%, và trong số các sinh viên thi trượt Toán có 50% sinh

viên thi trượt môn Ngoại ngữ

1 Chọn ngẫu nhiên 12 sinh viên của trường, nhiều khả năng nhất là có bao nhiêu sinh viên

thi trượt cả hai môn Toán và Ngoại ngữ? Tính xác suất tương ứng

2 Phải chọn bao nhiêu sinh viên sao cho trong số đó, với xác suất không bé hơn 99%, có ít

nhất một sinh viên đỗ cả hai môn?

Giải

Gọi T:"Sinh viên thi trượt môn Toán"; N:"Sinh viên thi trượt môn Ngoại ngữ"

Ta có: P (T ) = 0, 34; P (N ) = 0, 205; P (N/T ) = 0, 5

1 Xác suất sinh viên trượt cả hai môn là P (T.N ) = P (T ).P (N/T ) = 0, 34.0, 5 = 0, 17

Chọn 12 sinh viên nghĩa là thực hiện phép thử Bernoulli với xác suất trượt cả hai môn là

p = 0, 17 Số sinh viên nhiều khả năng trượt cả hai môn nhất là [(n + 1)p] = [13.0, 17] = 2

và 52% có máy vi tính Tính xác suất để một hộ gia đình được chọn ngẫu nhiên:

1 Có máy vi tính và có thu nhập hàng năm trên 50 triệu;

2 Có máy vi tính, nhưng không có thu nhập hàng năm trên 50 triệu;

3 Có thu nhập hàng năm trên 50 triệu, biết rằng hộ đó không có máy vi tính

Bài 4 Một nhà máy sản xuất bút máy có 90% đạt tiêu chuẩn kỹ thuật Giả sử xác suất chấpnhận 1 sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật là 95% Xác suất để chấp nhận 1 sản phẩm không đạttiêu chuẩn kỹ thuật là 8% Tính xác suất để sản phẩm được chấp nhận đạt tiêu chuẩn kỹ thuật.Bài 5 Một lô hàng có 9 sản phẩm giống nhau Mỗi lần kiểm tra, người ta chọn ngẫu nhiên 3 sảnphẩm, kiểm tra xong lại trả vào lô hàng Tính xác suất để sau 3 lần kiểm tra, 9 sản phẩm đềuđược kiểm tra

Bài 6 Trong mội đội tuyển có 3 vận động viên A, B, C thi đấu với xác suất thắng lần lượt là

0, 6; 0, 7 và 0, 8 Giả sử mỗi người thi đấu một trận độc lập nhau Tính xác suất để:

1 Đội tuyển thắng ít nhất một trận;

2 Đội tuyển thắng hai trận;

3 Vận động viên A thua trong trường hợp đội tuyển thắng hai trận

Bài 7 Một nhân viên kiểm toán nhận thấy 15% các bảng thu chi chứa các sai lầm Trong cácbảng chứa sai lầm, 60% được xem là các giá trị bất thường so với các số xuất phát từ gốc Trongtất cả các bảng thu chi thì 20% là những giá trị bất thường Nếu một con số ở một bảng thu chi

là bất thường thì xác suất để số đó là một sai lầm là bao nhiêu?

Bài 8 Một hãng sản xuất tủ lạnh ước tính khoảng 80% số người dùng tủ lạnh có đọc quảng cáo

do hãng sản xuất Trong số đó có 30% mua tủ lạnh của hãng 10% không đọc quảng cáo cũngmua tủ lạnh của hãng Tính xác suất để một người tiêu dùng đã mua tủ lạnh của hãng mà có đọcquảng cáo

Bài 9 Có hai lô sản phẩm Lô thứ nhất có tỉ lệ sản phẩm loại I là90%, lô thứ hai có tỉ lệ sảnphẩm loại 1 là 70% Chọn ngẫu nhiên một lô rồi từ lô đó lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm thì đượcsản phẩm loại I Trả lại sản phẩm đó vào lô đã chọn, rồi cũng từ lô đó lấy ngẫu nhiên một sảnphẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy lần thứ hai là loại I

Bài 10 Một lô hàng chứa 15 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm không đạt yêu cầu Lấy lần lượttừng sản phẩm không hoàn lại để kiểm tra, cho đến khi gặp 3 sản phẩm không đạt yêu cầu thìdừng

1 Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở sản phẩm thứ ba? Sản phẩm thứ sáu?

2 Nếu việc kiểm tra dừng lại ở sản phẩm thứ sáu, tính xác suất để sản phẩm được kiểm trađầu tiên là không đạt yêu cầu?

Bài 11 Hộp thứ nhất có 4 bi trắng và 2 bi xanh, hộp thứ hai có 3 bi trắng và 3 bi xanh, kích cỡnhư nhau Chuyển một viên bi từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất, rồi lấy ngẫu nhiên một viên từhộp thứ nhất Tính xác suất để viên bi lấy ra là bi trắng

Bài 12 Hộp thứ nhất có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B; hộp thứ hai có 5 sản phẩmloại A và 3 sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 sản phẩm

1 Tính xác suất để được 3 sản phẩm loại A;

2 Giả sử lấy được một sản phẩm loại B và hai sản phẩm loại A Nhiều khả năng là sản phầmloại B thuộc hộp nào, tại sao?

Bài 13 Một lô hàng do 3 nhà máy A, B, C sản xuất, tỉ lệ sản phẩm của 3 nhà máy lần lượt là30%, 20%, 50% và tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 1%, 2%, 3% Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lôhàng Tính xác suất để sản phẩm này là phế phẩm

Bài 14 Hộp thứ nhất có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B; hộp thứ hai có 5 sản phẩmloại A và 3 sản phẩm loại B Lấy ngẫu nhiên một hộp, rồi lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm trong đó

1 Tính xác suất để được 3 sản phẩm loại A;

2 Giả sử lấy được một sản phẩm loại B và hai sản phẩm loại A Nhiều khả năng là sản phầmloại B thuộc hộp nào, tại sao?

Bài 15 Có 3 hộp thuốc, hộp I có 5 ống tốt và 2 ống xấu, hộp II có 4 ống tốt và 1 ống xấu, hộpIII có 3 ống tốt và 2 ống xấu Lấy ngẫu nhiên một hộp và rút ra từ hộp đó một ống thuốc thìđược ống tốt Tính xác suất để ống này thuộc hộp II.

Bài 16 Một lô hàng gồm 150 sản phẩm trong đó có 6% là phế phẩm Người ta dùng phươngpháp chọn mẫu để kiểm tra lô hàng và quy ước rằng: Kiểm tra lần lượt không hoàn lại 6 sảnphẩm Nếu có ít nhất 1 sản phẩm là phế phẩm thì loại lô hàng Tính xác suất để chấp nhận lôhàng

Bài 17 Một trò chơi có xác suất thắng mỗi ván là 1/50 Nếu một người chơi 50 ván thì xác suất

để người đó thắng ít nhất một ván là bao nhiêu?

Bài 18 Trong một thành phố, tỉ lệ người thích xem bóng đá là 65% Chọn ngẫu nhiên 12 người.Tính xác suất để trong đó có đúng 5 người thích xem bóng đá

Bài 19 1 Gieo một con xúc xắc liên tiếp 6 lần Tính xác suất để ít nhất có một lần xuất hiệnmặt 6 chấm

2 Gieo một cặp hai con xúc xắc 24 lần Tính xác suất để ít nhất một lần cả hai con đều xuấthiện mặt 6 chấm

Bài 20 Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của một nhà máy là 8% Khảo sát một lô hàng gồm 75 sảnphẩm do nhà máy đó sản xuất

1 Tính xác suất để trong lô hàng, có 10 phế phẩm;

2 Trong lô hàng, nhiều khả năng là có bao nhiêu phế phẩm? Tính xác suất tương ứng.Bài 21 Người ta muốn lấy ngẫu nhiên một số hạt giống từ một lô hạt giống có tỉ lệ hạt lép là3% để nghiên cứu Hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu hạt sao cho xác suất để có ít nhất một hạt lépkhông bé hơn 95%?

lọ tốt và 4 lọ hỏng, hộp C có 5 lọ tốt và 7 lọ hỏng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ thuốc.

1 Tìm luật phân phối xác suất cho số lọ thuốc tốt trong 3 lọ lấy ra;

2 Tìm xác suất để được ít nhất 2 lọ tốt; được 3 lọ cùng loại

Giải Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lọ thuốc tốt trong 3 lọ lấy ra X ∈ {0, 1, 2, 3}.

1 Gọi Ai: "Lọ thuốc lấy ra từ hộp thứ i là lọ tốt"

P(X) 7/90 59/180 77/180 1/6

2 Xác suất để được ít nhất hai lọ tốt: P (X ≥ 2) = P (X = 2) + P (X = 3) = 107

180;Xác suất để được ba lọ cùng loại: P (X = 0) + P (X = 3) = 11

45.

Ví dụ 2.3 Một hộp đựng 5 sản phẩm, trong đó có hai phế phẩm Lần lượt kiểm tra từng sảnphẩm (không hoàn lại) cho đến khi gặp hai phế phẩm thì dừng lại Tìm luật phân phối xác suấtcho số sản phẩm được kiểm tra Tính số lần kiểm tra trung bình

Giải Gọi X là ĐLNN chỉ số sản phẩm được kiểm tra X ∈ {2, 3, 4, 5}

Đặt Ai: "Lần thứ i kiểm tra được phế phẩm"

P (X = 2) = P (A1A2) = P (A1)P (A2/A1) = 1

10;

P (X = 3) = P (A1A¯2A¯3+ A2A¯1A¯3+ A3A¯1A¯2) = 2

10;Tương tự: P (X = 4) = 3

Ví dụ 2.5 Một xạ thủ có 4 viên đạn Anh ta lần lượt bắn từng viên vào bia và sẽ ngừng bắnkhi có một viên trúng bia; nếu không, anh ta sẽ bắn cho đến khi hết đạn Biết rằng xác suất bắntrúng bia ở mỗi lần bắn là 0, 8 Gọi X là số đạn mà xạ thủ đã bắn Hãy tìm luật phân phối xácsuất của X; tính kỳ vọng và phương sai của X.

Giải Miền giá trị của X là {1, 2, 3, 4}

Phương sai của X: DX = 12.0, 8 + 22.0, 16 + 32.0, 032 + 42.0, 008 − 1, 2482 = 0, 2985

Ví dụ 2.6 Một cơ sở sản xuất các bao kẹo Số kẹo trong mỗi bao là một đại lượng ngẫu nhiên

X có phân phối xác suất như sau:

P(X) 0, 14 0, 24 0, 32 0, 21 0, 09

1 Tìm trung bình và phương sai của số viên kẹo trong mỗi bao;

2 Chi phí sản xuất của mỗi bao kẹo là 3X + 16 Tiền bán mỗi bao kẹo là 100$ Không phânbiệt số kẹo trong bao Tìm lợi nhuận trung bình và độ lệch chuẩn của lợi nhuận cho mỗi baokẹo;

3 Hai bao kẹo được chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để ít nhất một trong hai bao chứa ít nhất

2.1.2 Bài tập

Bài 22 Một hộp chứa 10 tấm thẻ đỏ và 6 tấm thẻ xanh Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ

1 Gọi X là số thẻ đỏ Tìm phân phối xác suất của X;

2 Giả sử rút được thẻ đỏ được 5 điểm và rút mỗi tấm thẻ xanh được 8 điểm Gọi Y là số điểmtổng cộng sau khi rút 3 thẻ Tìm phân phối xác suất của Y

Bài 23 Trong một chiếc hộp có 5 bóng đèn, trong đó có 2 bóng tốt, 3 bóng hỏng Chọn ngẫunhiên từng bóng đem đi thử (xong không trả lại) cho đến khi thu được 2 bóng tốt Gọi X là sốlần thử cần thiết Tìm phân phối xác suất của X Trung bình cần thử bao nhiêu lần?

Bài 24 Một lô hàng gồm 7 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm đểkiểm tra Gọi X là số sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm lấy ra Tìm phân phối xác suất của X vàtính EX

Bài 25 Hai xạ thủ A và B tập bắn Mỗi người bắn hai phát Xác suất bắn trúng của A và B lầnlượt là 0, 4 và 0, 5

1 Gọi X là số phát trúng của A trừ đi số phát bắn trúng của B Tìm phân phối xác suất củaX;

2 Tìm phân phối xác suất của Y = |X|

Bài 26 Trong một đội tuyển, ba vận động viên A, B, C thi đấu với xác suất thắng lần lượt là

0, 6; 0, 7; 0, 8 Trong một đợt thi đấu, mỗi vận động viên thi một trận độc lập nhau

1 Tìm luật phân phối xác suất cho số trận thắng của đội;

2 Tính xác suất để đội thua nhiều nhất 1 trận; thắng ít nhất 1 trận;

3 Biết đội thắng 2 trận, tính xác suất để A thua trận

4 Tính số trận thắng trung bình và phương sai của số trận thắng của đội tuyển

Bài 27 Một người điều khiển ba máy tự động hoạt động độc lập với nhau Xác suất bị trục trặctrong mỗi ca sản xuất của máy I, II và III lần lượt là 0, 1; 0, 2 và 0, 3

1 Lập bảng phân phối xác suất cho số máy hoạt động tốt trong một ca sản xuất;

2 Trung bình, trong một ca, có bao nhiêu máy hoạt động tốt? Tính độ lệch chuẩn của số máyhoạt động tốt trong một ca sản xuất;

3 Biết rằng trong ca sản xuất chỉ có một máy hoạt động tốt Tính xác suất để máy đó là máyI

Bài 28 Một lô hàng gồm 5 lọ thuốc, trong đó có một lọ thuốc giả Kiểm tra lần lượt từng lọ chođến khi thấy lọ thuốc giả thì dừng.Tìm phân phối xác suất cho số chai được kiểm tra

Bài 29 Rút ngẫu nhiên 4 lá bài trong bộ bài tú lơ khơ, sau đó khoanh ngẫu nhiên 2 lá Gọi X

là số lá cơ trong 2 lá được khoanh

1 Tìm phân phối xác suất của X;

2 Tính xác suất trong 2 lá đó chỉ có một lá cơ

Bài 30 Tiến hành khảo sát số khách trên một chuyến xe buýt (SK/1C) tại một chuyến giaothông, người ta thu được số liệu sau:

Bài 31 Giả sử X là biến ngẫu nhiên số lượng xe ô tô mà một đại lý bán được trong một tuần cóphân phối xác suất như sau:

P(X) 0,1 0,2 0,3 0,25 0,15Xét ĐLNN Y = X3− 4X2+ 10

1 Tìm phân phối xác suất của Y;

2 Tính EY bằng hai cách;

3 Tính DY

Bài 33 Cho hàm f (x) =

(2x, x ∈ [0, 1]

0, x /∈ [0, 1]

1 Chứng tỏ f (x) là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục X;

2 Tìm hàm phân phối xác suất F (x) của X; Tìm kì vọng và phương sai của X;

1 Chứng tỏ f (x) là hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục X;

2 Tìm hàm phân phối xác suất F (x) của X;

2 Tìm hàm phân phối xác suất F (x) của X

Bài 36 Cho ĐLNN liên tục X có hàm mật độ f (x) =

f (x) =

(k(x2− 1), với 2 ≤ x ≤ 3

Tìm khối lượng trung bình của con gà 6 tháng tuổi và độ lệch tiêu chuẩn

Bài 38 Một lô hàng gồm 800 sản phẩm loại I và 200 sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiên ra 5 sảnphẩm có hoàn lại Gọi X là số sản phẩm loại I lấy được

1 X tuân theo quy luật nào? Viết biểu thức xác suất tổng quát?

2 Tính kì vọng và phương sai của X

Bài 39 Số hóa đơn mà một công ty A nhận được trong một ngày là một ĐLNN X có phân phốiPoátxông với tham số λ = 1, 5 Tính xác suất để trong một ngày:

1 Công ty không nhận được hóa đơn nào;

2 Công ty nhận được 2 hóa đơn;

3 Công ty nhận được nhiều nhất 2 hóa đơn;

4 Công ty nhận được ít nhất 4 hóa đơn

Bài 40 Một cửa hàng có 4 chiếc ô tô cho thuê, số khách có nhu cầu thuê trong ngày là mộtĐLNN X có phân phối Poátxông

1 Biết rằng EX = 2, hãy tính số ô tô trung bình mà cửa hàng cho thuê trong một ngày;

2 Cửa hàng cần có ít nhất bao nhiêu ô tô để với xác suất không nhỏ hơn 0, 98, cửa hàng đápứng được nhu cầu của khách hàng trong ngày?

Bài 41 Gieo một đồng tiền cho đến khi xuất hiện mặt ngửa thì dừng lại Xác suất xuất hiệnmặt ngửa là p Gọi X là ĐLNN chỉ số lần gieo cần thiết

1 Tìm phân phối xác suất của X;

2 Tìm phân phối xác suất của X với điều kiện trong n lần gieo đầu tiên chỉ đúng 1 lần đồng

xu xuất hiện mặt ngửa

Bài 42 Một lô hàng có rất nhiều sản phẩm, với tỉ lệ hàng giả là 30%

1 Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm, tính xác suất để có nhiều nhất 2 sản phẩm giả

2 Người ta lấy ngẫu nhiên ra từng sản phẩm một để kiểm tra cho đến khi nào gặp sản phẩmgiả thì dừng Tìm luật phân phối xác suất và tính kỳ vọng của số sản phẩm thật đã kiểmtra

Bài 43 Một khách hàng mua xe tại một đại lý, nếu xe có sự cố kỹ thuật thì được quyền trả xetrong vòng 3 ngày sau khi mua và được lấy lại nguyên số tiền mua xe Mỗi chiếc xe bị trả lại nhưthế làm thiệt hại cho đại lý 250 nghìn VNĐ Có 50 xe được bán ra Xác suất để một xe bị trả lại

là 0, 1

1 Tìm kỳ vọng và phương sai của số xe bị trả Tính xác xuất để có nhiều nhất 2 xe bị trả lại;

2 Tìm kỳ vọng và độ lệch chuẩn của tổng thiệt hại mà tổng đại lý phải chịu do việc trả lại xe.Bài 44 Bạn Minh tham dự một kỳ thi với hình thức phải làm một đề thi trắc nghiệm kháchquan gồm 10 câu, mỗi câu có 4 lời giải khác nhau, trong đó chỉ có một lời giải đúng Minh sẽ đượcchấm đậu nếu trả lời đúng ít nhất 6 câu

1 Giả sử Minh không học bài, mà chỉ chọn ngẫu nhiên lời giải trong cả 10 câu Tính xác suất

để Minh thi đậu;

2 Hỏi Minh phải dự thi ít nhất mấy lần để xác suất có ít nhất một lần thi đậu không nhỏ hơn97%?

Bài 45 Tỉ lệ thuốc hỏng ở lô A là PA = 0, 1, ở lô B là PB = 0, 08 và ở lô C là PC = 0, 15 Biếtrằng mỗi lô có rất nhiều chai thuốc