XÁC SUẤT THỐNG kê CÓ đáp án

-Vì các công việc trên được thực hiện liên tiếp nhau nên tổng số cách thực hiện sẽ là: Câu 3: Một kiện hàng gồm 5 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm.. Biết rằng người đó chọn ngẫu nhiên mộ

ĐÁP ÁN THAM KHẢO ĐỀ THI XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Chào mọi người!

Quay trở lại với lời hẹn ở mùa Toán Cao cấp năm trước, mình xin chia sẻ với mọi người đáp án tham khảo đề thi Xác suất – Thống kê của các khóa trước

Thành thật với các bạn rằng mình đi học không nhiều lắm Chính xác là không

có đi luôn, họa chăng vào lớp vài ba lần toàn là để ngủ Vậy nên sau 2 đợt kiểm tra lấy điểm thì mình được 1 cột 1 điểm và 1 cột vắng mặt (do không biết kiểm tra ngày nào) Mình khai báo điều này để các bạn có thể tự cân nhắc lại xem có nên tin tưởng vào đáp án đề nghị của một đứa “vô học” hay không Toàn bộ mọi thứ đều là do mình mày mò từ sách và tài liệu liên quan trong suốt 2 tuần qua Chính vì không qua giáo viên giảng nên những thứ mình viết có thể có lỗi, có thể sai hoặc cũng có thể không phù hợp với cách học và cách được dạy của các bạn ở lớp Nhưng mong rằng, nếu đã tin tưởng ở mình, thì các bạn cũng sẽ có những phản hồi tích cực để giúp tài liệu tham khảo này ngày càng hoàn thiện hơn

Đối với tập tin mình chia sẻ cho các bạn, đây là tập tin tài liệu hoàn toàn miễn phí và không vì mục đích thương mại Mình viết ra không phải để kiếm tiền, nhưng cũng không thánh thiện đến mức chỉ là vì lòng tốt chia sẻ cho mọi người Lý do mình viết và chia sẻ tài liệu này xin phép không tiết lộ Mong rằng mọi người sẽ giữ gìn sự trong sạch trên danh nghĩa cho tài liệu này, đó là: “Chỉ để tham khảo và ôn thi mà thôi!”

Có những phần mình chưa nghiên cứu tới nên mình chưa giải được

Có những phần mình chưa chắc cách làm và lập luận nên chưa thể công bố

Có những sơ sót, lỗi sai (rất nhiều)

Và tất cả mình đều theo hướng tự luận Mình ghét trắc nghiệm (thông cảm) Rất mong sẽ nhận được phản hồi, góp ý từ các bạn!

Mọi ý kiến thắc mắc, đề nghị có thể “Bình luận” trực tiếp trên facebook hoặc

“Gửi tin nhắn” trực tiếp cho mình

Cũng có thể liên hệ mình qua e-mail: keh_hikari_f@yahoo.com.vn

(Dạo này không còn thảnh thơi như đợt Toán Cao cấp nữa nên mình không chắc là sẽ giải được nhiều đề Nhưng nói chung mình vẫn sẽ cố gắng)

TRIỆU ĐOAN AN

P =C5

1 C52+ C53

C103 =

12

Câu 2: Có một lô hàng có 9 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm, được chia thành 3 phần bằng nhau Tính xác suất để trong mỗi phần đều có 1 phế phẩm

*Trước tiên, ta phải tính số cách chia 9 sản phẩm thành 3 phần

-Để chia 9 sản phẩm thành 3 phần bằng nhau, ta cần thực hiện các công việc:

C42 C21

3 Còn lại 3 sản phẩm tạo thành phần có sẵn 2 sản phẩm tốt và 1 phế phẩm Số cách

C22 C11 = 1

-Vì các công việc trên được thực hiện liên tiếp nhau nên tổng số cách thực hiện sẽ là:

Câu 3: Một kiện hàng gồm 5 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại tùng sản phẩm cho đến khi gặp phế phẩm thì dừng lại Tìm số lần lấy trung bình để gặp được phế phẩm

-Số lần lấy ít nhất để lấy được phế phẩm là 1, số lần nhiều nhất để lấy được phế phẩm là 3

Xác suất để lấy 1 lần được phế phẩm là: P1 =2

Câu 4: Tung một con xúc xắc cân đối và đồng chất 30 lần Gọi X là tổng số chấm xuất hiện trong

30 lần tung Tìm phương sai của X

-Gọi Xi là số chấm xuất hiện trong lần tung thứ i Ta có:

Var(X) = 30Var(Xi) = 87,5

Câu 5: Một xạ thủ có xác suất bắn trúng bia là 0,8 Xạ thủ này bắn 100 viên đạn Tính xác suất

để có số viên đạn bắn trúng bia từ 70 đến 80 viên

-Gọi X là số viên đạn bắn trúng bia

-Đại lương X là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối nhị thức:

X ∼ B(n = 100; p = 0,8) -Vì các lần bắn là độc lập với nhau nên:

𝚽(𝟐, 𝟓𝟕𝟔) = 𝟎, 𝟒𝟗𝟓𝟎; 𝚽(𝟐, 𝟑𝟐𝟔) = 𝟎, 𝟒𝟗𝟎𝟎; 𝚽(𝟐, 𝟏𝟕𝟎) = 𝟎, 𝟒𝟖𝟓𝟎; 𝚽(𝟐, 𝟎𝟓𝟒) = 𝟎, 𝟒𝟖𝟎𝟎 -Với mức tin cậy 96%, ta có:

2Φ(zα/2) = 96% ⇒ Φ(zα/2) = 0,48 ⇒ zα/2 = 2,054 -Gọi N là số tê giác có trong khu bảo tồn Như vậy, sau khi đánh dấu, tỉ lệ tìm săn bắt được

số tê giác là:

P =100N-Trong 200 con săn bắt được, thấy có 40 được đánh dấu nên tỉ lệ mẫu thu được:

f = 40

200= 0,2 -Suy ra độ chính xác:

ε = zα/2√f(1 − f)

n = 2,054 √

0,2.0,8

200 = 0,0581 -Khoảng tin cậy:

Gọi (𝐗𝟏, 𝐗𝟐, … , 𝐗𝟓𝟎) là mẫu ngẫu nhiên gồm n=50 quan sát độc lập được chọn từ tổng thể trên (chọn theo phương pháp có hoàn lại) Tìm phương sai của 𝐗̅ =𝟏

-Ta tính được:

μ(X) =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

6 = 3,5 Var(Xi) = ∑(Xk− μ)2 Pk

6

k=1

= 3512-Thay vào, ta được:

Câu 9: Lấy mẫu kích thước 200 thì ta tính được trung bình mẫu là 14,2 Lấy tiếp mẫu kích thước 100 thì ta tính được trung bình mẫu là 14,8 Trung bình mẫu của mẫu gộp lại cả hai mẫu trên là bao nhiêu?

A 𝛘𝟐 = 𝟓, 𝟎𝟖𝟒 Thu nhập của CN có phụ thuộc vào nơi làm việc

B 𝛘𝟐= 𝟓, 𝟎𝟖𝟒 Thu nhập của CN không phụ thuộc vào nơi làm việc

A 𝛘𝟐 = 𝟔, 𝟔𝟔𝟕 Thu nhập của CN có phụ thuộc vào nơi làm việc

A 𝛘𝟐 = 𝟔, 𝟔𝟔𝟕 Thu nhập của CN không phụ thuộc vào nơi làm việc

(Chưa nghiên cứu nên không biết làm, híc)

Câu 11: Một bến xe có 5 xe bus chạy cùng tuyến đường và đang chuẩn bị xuất phát Có 8 hành khách lên các xe này một cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau Tính xác suất để xe nào cũng

có người lên

Mình vẫn chưa tìm được cách làm và đáp án thực sự đáng tin cậy cho bài toán này

Mong sẽ nhận được lời giải đóng góp từ mọi người!

Câu 12: Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá Xác suất để câu được cá ở 3 chỗ đó lần lượt là 0,7; 0,8 và 0,9 Biết rằng người đó chọn ngẫu nhiên một chỗ rồi thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cá Tìm xác suất con cá đó câu được ở chỗ thứ nhất

Câu này giải sau nhé!

Câu 13: Khối lượng của 1 con gà được chọn ngẫu nhiên là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 1,8kg và độ lệch chuẩn là 0,2kg Khối lượng của một con vịt được chọn ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 2,5kg và độ lệch chuẩn là 0,3kg Chọn mua ngẫu nhiên 5 con gà và 4 con vịt Tìm xác suất để tổng khối lượng thịt gà và thịt vịt mua được nằm trong khoảng [18;20] (kg)

-Gọi G và V lần lượt là khối lượng của gà và vịt Theo đề bài, hai đại lượng trên tuân theo luật phân phối chuẩn:

G ∼ N(μ = 1,8; σ2 = 0,22) ; V ∼ N(μ = 2,5; σ2 = 0,32)

⇒ 5G ∼ N(μ = 9; σ2 = 12) ; 4V ∼ N(μ = 10; σ2 = 1,22) -Gọi M là tổng khối lượng 5 con gà 4 con vịt, ta có:

M = 5G + 4V -Vì G và V là các biến ngẫu nhiên và độc lập với nhau nên:

Câu 14: Khảo sát về mức tiêu thụ điện (kwh/tháng) của một số hộ gia đình ở một thành phố,

ta có bảng số liệu dạng khoảng (𝐚𝐢; 𝐛𝐢] sau:

Lượng điện tiêu thụ 240 – 360 360 – 420 420 – 480 480 – 540 540 - 720

-Tỷ lệ mẫu những hộ gia đình có múc tiêu thụ điện cao:

f = 30

100= 0,3

√f(1 − f)n

⇒ zα/2= ε√ n

f(1 − f)= 0,07√

1000,3.0,7= 1,5275 -Độ tin cậy:

2Φ(zα/2) = 2Φ(1,5275) = 88,36%

Khóa 40 – Đề 02

Câu 1: Tỷ lệ sản phẩm loại B của một nhà máy là 20% Nhà máy này có rất nhiều sản phẩm Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm của nhà máy Tính xác suất để trong 4 sản phẩm lấy ra, có không quá một sản phẩm loại B

-Gọi X là số sản phẩm loại B được lấy ra Như vậy, X là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo phân phối nhị thức:

X ∼ B(n = 4; p = 0,2) -Xác suất để có không quá một sản phẩm loại B được lấy ra:

P(X ≥ 4|X ≥ 2) =P[(X ≥ 4) ∪ (X ≥ 2)]

P(X ≥ 2) =

P(X ≥ 4)P(X ≥ 2)Với

222!+

233!)

Chú ý rằng sau mỗi lần lấy, tổng số bi trong hộp đều giảm đi 1

Câu 4: Khối lượng của sản phẩm của một nhà máy là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 𝛍 (𝐠) và độ lệch chuẩn 𝛔 = 𝟎, 𝟑 (𝐠) Biết rằng tỷ lệ các sản phẩm có khối lượng lớn hơn 𝟖 (𝐠) là 1% Cho 𝐏(𝐙 < 𝟐, 𝟑𝟑) = 𝟎, 𝟗𝟗 với 𝐙~𝐍(𝟎; 𝟏) Khi đó 𝛍 bằng:

-Gọi X là khối lượng của sản phẩm của nhà máy Theo đề bài, X là đại lượng tuân theo luật phân phối chuẩn:

X ∼ N(μ; 0,32) ⇒X − μ

0,3 ~N(0; 1) -Theo đề bài:

P(X > 8) = 1% ⇒ Φ(∞) − Φ (8 − μ

0,3 ) = 0,01 ⇒ Φ (

8 − μ0,3 ) = 0,49 P(Z < 2,33) = 0,99 ⇒ Φ(2,33) + Φ(∞) = 0,99 ⇒ Φ(2,33) = 0,49

-Đồng nhất hai vế phải của biểu thức vừa tìm được:

8 − μ0,3 = 2,33 ⇒ μ = 7,301

Câu 5: Một lô hàng có tỷ lệ sản phẩm do phân xưởng một, hai sản xuất lần lượt là 40% và 60%

Tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của phân xưởng một, hai tương ứng là 90%, 96% Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng này thì được sản phẩm không đạt tiêu chuẩn Xác suất để sản phẩm này do phân xướng một sản xuất là:

-Gọi X1, X2 là biến cố chọn được sản phẩm do phân xưởng một, hai sản xuất

-Gọi B là biến cố sản phẩm được chọn không đạt tiêu chuẩn

-Ta cần tính xác suất chọn được sản phẩm của phân xưởng một khi đã biết rằng sản phẩm này không đạt tiêu chuẩn:

P(X1|B) =P(X1B)

P(B)-Ta tính P(X1B) là xác suất chọn được sản phẩm không đạt tiêu chuẩn của phân xưởng một:

P(X1B) = 40% (1 − 90%) = 0,04 -Tính tiếp P(B) là xác suất chọn được sản phẩm không đạt tiêu chuẩn trong lô hàng:

P(B) = P(X1) P(B|X1) + P(X2) P(B|X2) = 40% (1 − 90%) + 60% (1 − 96%) = 0,064 -Thay hết vào, ta được:

P(X1|B) = 0,04

0,064 =

5

8= 0,625

Câu 6: Một kiện hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm loại A, 3 sản phẩm loại B và 1 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) từ kiện hàng này ra 2 sản phẩm Gọi X, Y lần lượt

là số sản phẩm loại A, loại B trong 2 sản phẩm lấy ra Khi đó 𝐄(𝐗|𝐘 = 𝟏) bằng:

-Với số sản phẩm B lấy ra là 1 thì số sản phẩm A lấy ra tối thiểu là 0, tối đa là 1 Ta có:

E(X|Y = 1) = E(X = 0|Y = 1) + E(X = 1|Y = 1)

⇒ E(X|Y = 1) = 0 P(X = 0|Y = 1) + 1 P(X = 1|Y = 1) = P(X = 1|Y = 1)

⇒ E(X|Y = 1) = P(X = 1|Y = 1) =P[(X = 1)(Y = 1)]

Câu 7: Lấy mẫu kích thước 300 thì ta tính được trung bình mẫu là 14,5 và phương sai mẫu là 0,4 Với độ tin cậy 95% thì ta tinh được độ chính xác trong phép ước lượng trung bình tổng thể là 𝛆 Nếu muốn độ chính xác là 𝛆 nhưng độ tin cậy là 98% thì phải lấy mẫu có kích thước bao nhiêu?

-Với độ tin cậy 95% và 98% ta có:

Φ(z1) =95%

2 ⇒ z1 = 1,96 ; Φ(z2) =98%

2 ⇒ z2 = 2,33 -Ta có công thức tính độ chính xác:

ε = z σ

√n-Vì độ chính xác trong hai lần lấy mẫu là như nhau nên:

-Giá trị trung bình và độ lệch chuẩn:

X

̅1 = 120,75 cm ; σ = 12,4273 cm -Độ chính xác:

(câu này cũng chưa nghiên cứu, tạm bỏ qua nhé!)

Câu 10: Một địa phương có 50% hộ sử dụng internet Lấy mẫu ngẫu nhiên kích thước n=100 theo phép chọn lặp Gọi Y là số lần xuất hiện hộ sử dụng internet Xác suất 𝐏(𝟒𝟎 ≤ 𝐘 ≤ 𝟔𝟎):

a) Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm loại A

-Gọi X1, X2 lần lượt là biến cố chọn được kiện hàng thứ nhất, thứ hai Vì hai kiện hàng là như nhau nên:

P(X1) = P(X2) = 0,5

-Gọi A là biến cố chọn được sản phẩm loại A

-Vì hệ {X1; X2} là hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi nên xác suất chọn được sản phẩm loại A được tính:

P(A) = P(X1) P(A|X1) + P(X2) P(A|X2) = 0,5.0,8 + 0,5.0,6 = 0,7

b) Biết rằng lấy được sản phẩm loại A Hãy tính xác suất để lấy tiếp một sản phẩm nữa từ kiện

Câu 12: 𝐗𝟏, 𝐗𝟐, 𝐗𝟑, … , 𝐗𝟏𝟎𝟎 là mẫu ngẫu nhiên kích thước n=100 lập từ đại lượng ngẫu nhiên

X (các đại lượng ngẫu nhiên 𝐗𝟏, 𝐗𝟐, 𝐗𝟑, … , 𝐗𝟏𝟎𝟎 độc lập và có cùng phân phối với X) Biết 𝐄(𝐗) = 𝟏𝟔 và 𝐕𝐚𝐫(𝐗) = 𝟒 Tính xác suất 𝐏(𝐗𝟏+ 𝐗𝟐+ 𝐗𝟑+ ⋯ + 𝐗𝟏𝟎𝟎 < 𝟏𝟔𝟓𝟎)

-Theo đề bài, X là đại lượng tuân theo luật phân phối chuẩn nên:

X ∼ N(μ = 16; σ2 = 22) ⇒X − 16

2 ∼ N(0; 1) -Vì X1, X2, X3, … , X100 độc lập và có cùng phân phối với X nên xác suất được tính:

-Với độ tin cậy 95%, ta tìm được:

Φ(z) =95%

2 ⇒ z = 1,96 -Độ chính xác:

ε = z.√n

σ = 1,96.

√40010,0644= 3,8949 -Khoảng tin cậy:

X ∈ (x̅ ± ε) ⇒ X ∈ (14,3176 ; 22,1074)

b) Những nhân viên có thu nhập từ 20 triệu đồng/tháng trở lên là những nhân viên có thu nhập cao Trong phép ước lượng tỷ lệ của những nhân viên có thu nhập cao ở Vietcombank, với độ chính xác 6% thì độ tin cậy sẽ là bao nhiêu %?

-Tỉ lệ mẫu:

f =140

400=

720-Độ chính xác:

ε = z√f(1 − f)

n ⇒ z = ε√ n

f(1 − f)= 2,52 -Suy ra độ tin cậy:

1 − α = 2Φ(2,52) = 0,9882 -Vậy độ tin cậy là 98,82%

K40 – Đề 03

Câu 1: Một lô hàng có 35 sản phẩm của công ty X (trong đó có 5 phế phẩm), 45 sản phẩm của công ty Y (trong đó có 10 phế phẩm) và 50 sản phẩm của công ty Z (trong đó có 5 phế phẩm) Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng thì thấy đó là phế phẩm Tính xác suất để phế phẩm

đó là của công ty X hoặc công ty Y

-Gọi X, Y, Z lần lượt là biến cố lấy được sản phẩm của công ty X, Y, Z Rõ ràng, bộ ba biến cố này đầy đủ xung khắc từng đôi Ta có:

⇒ P(B) =5 + 10 + 5

130 =

20130-Theo đề bài, ta đã biết sản phẩm vừa lấy ra là phế phẩm Tức biến cố B là điều kiện đã biết

Ta cần tìm xác suất sản phẩm đó là của công ty X hoặc Y

5

130 +

1013020130

P(B|A̅) =P(BA̅)

P(A̅) =

P(B) − P(AB)

1 − P(A)-Ta tính được P(AB) nhờ:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) ⇒ −P(AB) = P(A + B) − P(A) − P(B)

-Thay vào, ta được:

P(B|A̅) =P(A + B) − P(A)

1 − P(A) =

0,9 − 0,7

1 − 0,7 =

23Một điều rất lạ là kết quả không phụ thuộc vào 𝑃(𝐵)

Câu 3: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất sau Tìm phương sai của X

(Bài này hơi sai sai nên làm vẫn chưa ra)

Câu 4: Một đề thi trắc nghiệm gồm 20 câu hỏi độc lập với nhau bao gồm 4 câu hỏi (mỗi câu có

2 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng) và 16 câu hỏi (mỗi câu có 4 phương

án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng) Trả lời đúng 1 câu hỏi loại 2 phương án trả lời thì được 1 điểm và trả lời đúng 1 câu hỏi loại 4 phương án trả lời thì được 2 điểm Một thí sinh không học bài nên trả lời các câu hỏi một cách cầu may (chọn ngẫu nhiên một đáp án) Tìm số điểm trung bình mà thí sinh này làm được

-Gọi X, Y lần lượt là số câu loại 2 phương án và 4 phương án mà thí sinh trả lời đúng

-Tổng điểm của thí sinh này là:

A = X + 2Y -Số điểm trung bình:

E(A) = E(X + 2Y) = E(X) + 2E(Y) -Nhận thấy rằng, đại lượng ngẫu nhiên X và Y tuân theo luật phân phối nhị thức:

X ∼ B(nX = 4; pX = 0,5) ; Y ∼ B(nY = 16; pY = 0,25)

⇒ E(X) = nXpX = 2 ; E(Y) = nYpY = 4 -Thay hết vào, ta được:

E(A) = 10

Câu 5: Một sinh viên (SV) thi liên tiếp hai môn A và B Xác suất để sinh viên này thi đạt yêu cầu môn A là 0,8 Nếu đạt môn A thì xác suất để SV này đạt được yêu cầu môn B là 0,7 Nếu không đạt môn A thì xác suất để SV này đạt yêu cầu môn B là 0,5 Tính xác suất để sinh viên này chỉ đạt yêu cầu một môn

-Gọi A, B lần lượt là biến cố SV đạt yêu cầu môn A, B

-Xác suất để SV chỉ đạt yêu cầu một môn:

P = P(AB̅) + P(A̅B) = P(A) P(B̅|A) + P(A̅) P(B|A̅) = 0,8 (1 − 0,7) + (1 − 0,8) 0,5

⇒ P = 0,34

Câu 6: Có 500 vòng bi, khối lượng trung bình mỗi vòng bi là 150 g và độ lệch chuẩn là 1 g (cho biết khối lượng vòng bi là đạt lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn) Chọn một mẫu ngẫu nhiên gồm 100 vòng bi Tìm xác suất để mẫu này có tổng khối lượng từ 14,95 kg đến 15,01

kg

(Câu này nghi ngờ mình giải sai vì chưa dùng đến số liệu 500 vòng đầu bài Mong nhận được góp ý từ các bạn)

-Gọi X (g) là khối lượng vòng bi Theo đề bài, đại lượng X tuân theo luật phân phối chuẩn:

𝑋 ∼ 𝑁(𝜇 = 150; 𝜎2 = 12) -Ta cần tìm xác suất của mẫu 100 vòng bi, tức của đại lượng:

𝑌 = 100𝑋 -Áp dụng công thức:

𝑋 ∼ 𝑁(𝜇 = 150; 𝜎2 = 12) ⇒ 𝑌 = 100𝑋 + 0 ∼ 𝑁(100𝜇 + 0; 1002𝜎2)

⇒ 𝑌 ∼ 𝑁(15000; 1002)

⇒𝑌 − 15000

100 ∼ 𝑁(0; 1) -Ta có:

học (tuần/giờ) 1 – 4 4 – 6 6 – 8 8 – 10 10 – 12 12 – 16

Số SV 18 25 30 35 25 11

Những sinh viên có số giờ tự học thuộc khoảng [6;12) giờ được xem là những SV có số giờ tự học ở mức trung bình Để có khoảng tin cậy cho tỷ lệ SV có số giờ tự học ở mức trung bình của trường đạt độ chính xác là 8% và độ tin cậy 99% thì phải điều tra thêm bao nhiêu sinh viên nữa?

-Với độ tin cậy 99%, ta có:

2Φ(z) = 99% ⇒ z = 2,575 -Xem rằng tỷ lệ mẫu không đổi:

f = 90144-Như vây từ công thức:

ε = z√f(1 − f)

N