TÌM HIỂU NỘI DUNG PHÉP QUAY TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG

Cách đây khoảng mười hai năm về trước thì các phép biến hình chưa có trong môn toán ở trường học phổ thông.. Trong chương trình dạy và học toán ở phổ thông, phép biến hình, và các phép d

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÁI NGUYÊN

Trang 2

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 3

NỘI DUNG 5

I K IẾN THỨC VỀ PHÉP QUAY Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 5

1 Định nghĩa 5

2 Tính chất của phép quay 5

3 Biểu thức tọa độ của phép quay 6

II C ÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP QUAY TRONG TRƯỜNG PHỔ THÔNG 8

1 Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép quay 8

2 Dạng 2: Sử dụng phép quay để giải bài toán dựng hình 12

3 Dạng 3: Sử dụng phép quay để giải các bài toán tập hợp điểm 16

4 Dạng 4: Sử dụng phép quay để giải bài toán hình 19

KẾT LUẬN 22

Trang 3

MỞ ĐẦU

Hình học là môn khoa học suy diễn, đòi hỏi người đọc phải có sự tư duy khả năng tưởng tượng tốt Cách đây khoảng mười hai năm về trước thì các phép biến hình chưa có trong môn toán ở trường học phổ thông Đến khoản năm 2000 thì các phép biến hình được đưa vào môn toán trong phổ thông Trong chương trình dạy và học toán ở phổ thông, phép biến hình, và các phép dời hình trong mặt phẳng thường được lựa chọn để giải nhiều dạng toán khác nhau Hiện nay, nội dung phép biến hình trong hình học phẳng và trong hình không gian chiếm tỉ trọng không nhỏ của nội dung môn toán và nội dung phép biến hình trong mặt phẳng được đưa vào chương trình Hình học 11 Bên cạnh đó, các tài liệu tham khảo về phép biến hình không nêu rõ phương pháp ứng dụng chúng để giải toán Do đó, học sinh chưa hiểu rõ và không vận dụng được một cách có hiệu quả

Phép biến hình nói chung và phép quay nói riêng có vai trò hết sức quan trọng trong nội bộ môn toán cũng như trong tri thức khoa học Có vai trò là công

cụ giải toán ở rường phổ thông Nội dung của phép quay có liên hệ mật thiết với nhiều dạng hoạt động trong đó tập trung vào các hoạt động toán học và hoạt động trí tuệ cho học sinh Nếu giáo viên thiết kế và tổ chức dạy học nội dung phép quay theo hướng tăng cường hoạt động học tập của học sinh thì chất lượng dạy và học nội dung phép quay được nâng lên và có nhiều cơ hội để bồi dưỡng năng lực trí tuệ cho học sinh

Việc ứng dụng phép quay vào việc giải toán ở trường phổ thông có một ý nghĩa quan trọng:

• Nó giúp học sinh rèn luyện kĩ năng, thao tác tư duy, phương pháp suy luận

và khả năng sáng tạo, từ đó liên hệ các phép biến hình trong giải toán hình học với các phương pháp sử dụng ở cấp trung học phổ thông

Trang 4

• Việc lựa chọn các công cụ thích hợp cho mỗi loại bài toán là một việc làm cần thiết, giúp tiết kiệm thời gian và công sức để giải toán một cách tối ưu nhất Đồng thời, nó cũng giúp cho giáo viên tự nâng cao trình độ chuyên môn của mình Bài tiểu luận nhóm này chúng em sẽ tập trung nghiên cứu sâu về nội dung, các bài toán và ứng dụng của phép quay vào việc giải toán hình học cấp trung học

phổ thông

Trang 5

NỘI DUNG

I Kiến thức về phép quay ở trường phổ thông

1 Định nghĩa

Cho điểm 𝑂 và góc lượng giác α Phép biến hình biến

𝑂 thì chính nó, biến mỗi điểm M khác 𝑂 thành điểm 𝑀’

sao cho 𝑂𝑀′ = 𝑂𝑀 và góc lượng giác (𝑂𝑀; 𝑂𝑀′) bằng

𝛼 được gọi là phép quay tâm O góc 𝛼

Phép quay tâm 𝑂 góc 𝛼 thường được kí hiệu là 𝑄(𝑂,𝛼)

Điểm 𝑂 được gọi là tâm quay, 𝛼 được gọi là góc quay

 Chiều dương của phép quay trùng với chiều dương của đường tròn lượng giác

 Phép quay tâm 𝑂 góc quay 𝛼 = (2𝑘 + 1)𝜋 với 𝑘 nguyên, chính là phép đối xứng tâm 𝑂

 Phép quay tâm 𝑂 góc quay 𝛼 = 2𝑘𝜋 với 𝑘 nguyên, chính là phép đồng nhất

2 Tính chất của phép quay

 Định lí: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì (Phép quay

là phép dời hình)

 Hệ quả:

+ Biến một đường thẳng thành đường thẳng;

+ Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng đã cho;

Trang 6

+ Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho;

+ Biến một đường trong thành đường tròn có cùng bán kính

 Chú ý: Giả sử phép quay tâm I góc 𝛼 biến

đường thẳng 𝑑 thành đường thẳng 𝑑′ Khi đó

3 Biểu thức tọa độ của phép quay

 Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, cho điểm

′ = 𝑟(cos 𝛼 cos 𝜑 − sin 𝛼 sin 𝜑) = 𝑥 cos 𝜑 − 𝑦 sin 𝜑

𝑦′ = 𝑟(sin 𝛼 cos 𝜑 + cos 𝛼 sin 𝜑) = 𝑥 sin 𝜑 + 𝑦 cos 𝜑

Vậy trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, phép quay tâm 𝑂(0; 0) góc quay 𝜑 biến điểm 𝑀(𝑥; 𝑦) thành điểm 𝑀′(𝑥′; 𝑦′) có biểu thức tọa độ là:

𝑥′ = 𝑥 cos 𝜑 − 𝑦 sin 𝜑

𝑦′ = 𝑥 sin 𝜑 + 𝑦 cos 𝜑

 Các trường hợp đặc biệt của phép quay tâm O góc quay 𝜑:

Góc quay 𝝋 Tọa độ điểm 𝑴′(𝒙′; 𝒚′) Ghi chú

Trang 8

II Các dạng toán về phép quay trong trường phổ thông

1 Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép quay

Khi đó phép quay 𝑄(𝑂,90°) biến điểm C thành

điểm D, biến điểm B thành điểm C

Vậy ảnh của đường thẳng BC qua phép quay

𝑄(𝑂,90°) là đường thẳng CD

Bài tập 2: Cho hình vuông 𝐴𝐵𝐶𝐷 tâm 𝑂 𝑀 là trung điểm của 𝐴𝐵, 𝑁 là trung

điểm của 𝑂𝐴 Tìm ảnh của tam giác 𝐴𝑀𝑁 qua phép quay tâm 𝑂 góc quay 90°

Lời giải:

Phép quay tâm O góc quay 90o biến A thành D,

biến M thành M ' là trung điểm của AD , biến N

thành N 'là trung điểm của OD

Do đó nó biến tam giác AMN thành tam giác

' '

DM N

y y

Phương pháp:

1 Dựa vào biểu thức tọa độ của phép quay

2 Lấy 2 điểm thuộc đường thẳng 𝑑 , tìm ảnh của 2 điểm này qua phép quay

và viết phương trình đưởng thẳng đi qua 2 điểm này

Lời giải

 Cách 1:

Trang 10

- Gọi 𝑀(𝑥; 𝑦) là điểm bất kì thuộc đường thẳng 𝑑 𝑀′(𝑥′; 𝑦′) là ảnh của điểm

𝑀 qua phép quay tâm 𝑂 góc quay−90° Khi đó 𝑀′ sẽ thuộc đường thẳng 𝑑′ Theo biểu thức tọa độ của phép quay tâm O góc quay −90° ta có:

1 1

Trang 11

Đường thẳng 𝑑 có phương trình là : 3(𝑥 − 2) + 2(𝑦 − 0) = 0 3𝑥 + 2𝑦 −

6 = 0

Vậy phương trình đường thẳng 𝑑′ là 3𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0

Bài tập 5: Cho 𝐼(2; 1) và đường thẳng 𝑑: 2𝑥 + 3𝑦 + 4 = 0 Tìm ảnh của 𝑑 qua 𝑄(𝐼;45°)

Lời giải

Lấy hai điểm 𝑀(−2; 0) và 𝑁(1; −2) thuộc 𝑑

Gọi 𝑀′(𝑥1; 𝑦1) và 𝑁′(𝑥2; 𝑦2) là ảnh của 𝑀, 𝑁 qua phép quay 𝑄(𝐼;45°)

Theo biểu thức tọa độ của phép quay ta có:

y

y

1 1

2

1

3 22

b Bài tập vận dụng

Bài toán 1: Cho điểm 𝐴 và hai đường thẳng 𝑑1; 𝑑2

Dựng tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông cân tại 𝐴 sao cho 𝐵 ∈ 𝑑1, 𝐶 ∈ 𝑑2

Lời giải:

Phân tích:

Giả sử đã dựng được tam giác 𝐴𝐵𝐶

thỏa mãn yêu cầu bài toán

- Dựng đường thẳng qua A vuông góc với AB cắt d2 tại C

Suy ra tam giác ABC là tam giác cần dựng

Chứng minh:

Trang 13

Từ cách dựng suy ra Q(A; 900 )(𝐵) = 𝐶 nên 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 và 𝐵𝐴𝐶̂= 900 Do đó tam giác ABC vuông cân tại A

Biện luận:

- Nếu d1,d2 không vuông góc thì có một nghiệm hình

- Nếu d1⏊d2 và A nằm trên đường phân giác của một trong các góc tạo bởi d1,d2

Giả sử đã dựng được các điểm 𝑁, 𝑃 sao cho 𝑁 ∈

𝐵𝐶, 𝑃 ∈ 𝐴𝐶 sao cho 𝑀𝑁 = 𝑀𝑃 và đường tròn

( 𝐴𝑀𝑃) tiếp xúc với 𝑀𝑁 Khi đó do MN tiếp xúc với

Trang 14

- Dựng đường thẳng qua O song song với AB cắt BC tại N

- Dựng tia MP cắt AC tại P sao cho NMP̂ = α

Như vậy các điểm N,P là các điểm cần dựng

Chứng minh:

Vì 𝑂𝑁//𝐴𝐵 nên AMÔ =MON ̂ = α Suy ra PMN̂ = MAP̂ = α Khi đó đường tròn (AMN) tiếp xúc với MN

Ta có 𝑄(𝑀; −𝛼): 𝑀𝑃 → 𝑀𝑁 nên 𝑀𝑃 = 𝑀𝑁

Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình duy nhất

Bài tập 3 Cho hai đường thẳng song song a và b Với một điểm C không nằm

trên hai đường thẳng đó, hãy tìm trên a,b lần lượt hai điểm A, B sao cho ABC là tam giác đểu

Lời giải

Giả sử ta đã dựng được tam giác đều ABC thỏa mãn các điều kiện của bài toán + Với phép quay 𝑄(𝐶;𝜋

3 ) ta có điểm A biến thành điểm B, khi đó đường thẳng

𝑎 biến thành đường thẳng 𝑎′ cũng đi qua B

Từ đó ta suy ra các dựng sau đây:

Trang 15

- Dựng đường thẳng 𝑎′ là ảnh của 𝑎 qua phép quay 𝑄(𝐶;𝜋

3 ) bằng cách kẻ 𝐶𝐻 ⊥

𝑎 tại H, tìm ảnh 𝐻′ của 𝐻 qua phép quay đó rỗi vẽ 𝑎′ ⊥ 𝐶𝐻′ tại 𝐻′

- Gọi B là giao điểm của 𝑎′ với 𝑏 và lấy điểm A là tạo ảnh của B trong phép quay nới trên ta có A nằm trên a Ta sẽ chứng minh được 𝐴𝐵𝐶 là tam giác đều cần dựng

+ Với phép quay 𝑄(𝐶;−𝜋

3 ) ta có thêm một vị trí mới của tam giác ABC cần dựng Hai tam giác này đối xứng với nhau qua trục CH

Chú ý: Nếu hai đường thẳng a,b cho trước cắt nhau và điểm C không nằm trên

hai đường thẳng đó, ta cũng có bài toán tương tự như bài toán trên đây (Có thể xảy ra trường hợp đường thẳng 𝑎′ không cắt 𝑏 (𝑎′ ∥ 𝑏), khi đó bài toán không có lời giải.)

Bài tập 4 Cho một góc nhọn định hướng 𝑦𝑂𝑥̂ = 𝛼 và một điểm m thuộc miền trong của góc đó Hãy dững đường tròn tâm M cắ các cạnh Ox, Oy theo các dây

AB và CD sao cho 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝑚 cho trước

Lời giải

Phân tích: Gọi 𝛼 = (𝑂𝑦⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ ) Giả sử ta đã dựng được đường tròn tâm M cắt

Ox và Oy thao các dây AB và CD thỏa mãn điều kiện 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝑚

Ta quay dây CD trong phép quay tâm M với góc quay 𝛼 ta sẽ có vị trí mới của

- Vẽ đường tròn bán kính MB tâm M ta được đường tròn cần dựng thỏa mãn các yêu cầu của bài toán

3 Dạng 3: Sử dụng phép quay để giải các bài toán tập hợp điểm (Bài toán quỹ tích)

a Phương pháp

Xem cần điểm cần dựng là giao của một đường thẳng có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay Q(I; α) nào đó

Để tìm tập hợp điểm M′ ta đi tìm tập hợp điểm M mà Q(I; α) nào đó biến điểm

M thành điểm M′, khi đó nếu 𝑀 ∈ (𝐻) thì 𝑀′ ∈ (𝐻′) = 𝑄(𝐼; 𝛼)(𝐻)

Do tam giác 𝐴𝐵𝐶 đều và có tâm 𝐺 nên phép

quay tâm 𝐺 góc quay 1200 biến 𝐴 thành 𝐵 hoặc C

và phép quay tâm 𝐺 góc quay 2400 biến 𝐴 thành 𝐵

hoặc 𝐶

Mà 𝐴 ∈ 𝑑 nên 𝐵, 𝐶 thuộc các đường thẳng là

ảnh của d trong hai phép quay nói trên

Vậy quỹ tích các điểm B,C là các đường thẳng

ảnh của d trong hai phép quay tâm G góc quay 1200 và 2400

Bài toán 2: Cho tam giác đều 𝐴𝐵𝐶 Tìm tập hợp điểm 𝑀 nằm trong tam giác 𝐴𝐵𝐶 sao cho 𝑀𝐴2 + 𝑀𝐵2 = 𝑀𝐶2

Bài tập 3 Cho một điểm M chuyển động trên một nữa đường tròn tâm O bán

kính 𝐴𝐵 = 2𝑅 Dựng ra ngoài tam giác 𝐴𝑀𝐵 một hình vuông 𝑀𝐵𝐶𝐷 Hãy tìm quỹ tính của đỉnh C khi M vạch ra nửa đường tròn trên

Trên tia 𝐵𝑥 vuông góc với AB tại B và nằm cùng phía với nửa đường tròn, ta lấy điểm 𝑂′ sao cho 𝐵𝑂′ = 𝐵𝑂 Chứng minh 𝑂𝑀 ⊥ 𝑂′𝐶

Lời giải

Theo giải thiết ta có 𝐵𝑀 = 𝐵𝐶 và (𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) = −𝜋

2+ 2𝑘𝜋

Với phép quay tâm B góc quay 𝛼 = −𝜋

2 ta có C là ảnh của M Do đó khi diểm

M vạch nửa đường tròn đường kính 𝐴′𝐵 với 𝐴′ là ảnh của A trong phép quay

𝑄(𝐵;−𝜋

2 ) nói trên Ta chứng minh được đó là quỹ tích cần tìm

Trang 21

b) Từ câu a) suy ra phép quay tâm D, góc 90ο biến O thành P, biến A thành Q

Do đó OA bằng và vuông góc với PQ

Bài tập 3 Cho tam giác ABC Trên các cạnh AB, AC ta dựng ra phía ngoài các

hình vuông ABMN và ACPQ

2 ) ta biến điểm N thành điểm B, điểm C thành điểm Q

Do đó đường thẳng NC biến thành đường thẳng BQ

Gọi 𝐵1 là điểm đối xứng với B qua tâm A ta có 𝐴𝑀′ ∥ 𝐵1𝐶 (Do 𝐴𝑀′ là đường trung bình của tam giác 𝐵𝐶𝐵1) Qua phép quay 𝑄(𝐴;𝜋

2 ) biến điểm C thành điểm Q

và điểm 𝐵1 thành điểm N Do đó đường thẳng 𝐶𝐵1 ⊥ 𝑄𝑁 và 𝐴𝑀′ ⊥ 𝑄𝑁

Vì 𝑁𝐶 = 𝐶𝐵1 mà 𝑁𝐶 = 𝐵𝑄 nên 𝐶𝐵1 = 𝐵𝑄 Vì 𝐴𝑀′ = 𝐶𝐵1

2 nên 𝐴𝑀′ = 𝐵𝑄

2

Trang 22

KẾT LUẬN

Qua bài tiểu luận nhóm đã thu được một số kết quả sau:

- Biết cách xác định một hình qua phép quay dựa vào định nghĩa, tính chất và

biểu thức tọa độ của phép quay

- Sử dụng phép quay để giải các bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, giải các

bài toán hình học

Phép quay là một trong những phép biến hình cơ bản được vận dụng linh hoạt

trong việc giải các bài toán dựng hình, bài toán chứng minh, bài toán quỹ

tích,…Tuy nhiên việc vận dụng phép quay vào giải toán không phải là điều dễ

dàng, vì vậy nhóm đã đưa ra một số phương pháp giúp học sinh vận dụng phép

quay tốt hơn trong việc giải toán và qua đó thấy được ứng dụng của phép quay

trong bộ môn toán cũng như trong thực tiễn…

Bài tiểu luận còn nhiều thiếu sót mong thầy và các bạn có thêm ý kiến đóng

góp và bổ sung để bài tiểu luận của nhóm được hoàn thiện hơn

Trang 23

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan

Văn Viện, Hình học 11, NXB Giáo dục 2014

[2] Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Bài tập Hình học 11, NXB

Giáo dục 2014

[3] Nguyễn Mông Hy, Các phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo dục 2004

[4] https://hoc360.net/phep-quay-chuyen-de-hinh-hoc-11/