Kỹ thuật dồn biến trong bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức trong chương trình phổ thông

Trong đề thi THPT quốcgia và đề thi Học sinh giỏi các tỉnh thành, bài toán bất đẳng thức và tìm GTLN,GTNN của hàm số luôn là một bài tập ở đòi hỏi mức độ vận dụng cao.. Trong quá trình g

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG

- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KỸ THUẬT DỒN BIẾN TRONG BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG

Người thực hiện: Hồ Thị Bình

Chức vụ: Giáo viên

SKKN (thuộc lĩnh vực môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2020

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

2.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức hai biến 4

2.4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ba biến 13

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19

3.1 Kết luận 19 3.2 Kiến nghị 19p

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Việc đổi mới phương pháp, hình thức dạy học và kiểm tra, đánh giá theođịnh hướng phát triển năng lực học sinh đã được triển khai từ hơn 30 năm qua.Hầu hết giáo viên hiện nay đã được trang bị lí luận về các phương pháp và kĩthuật dạy học tích cực trong quá trình đào tạo tại các trường sư phạm cũng nhưquá trình bồi dưỡng, tập huấn hằng năm Tuy nhiên, việc thực hiện các phươngpháp dạy học tích cực trong thực tiễn còn chưa thường xuyên và chưa hiệu quả Bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của hàm số là một dạng Toán khó đối vớihầu hết học sinh phổ thông, kể cả học sinh khá giỏi Trong đề thi THPT quốcgia và đề thi Học sinh giỏi các tỉnh thành, bài toán bất đẳng thức và tìm GTLN,GTNN của hàm số luôn là một bài tập ở đòi hỏi mức độ vận dụng cao Mặc dù

đa phần các bài tập đều quy về một biến và dùng kỹ thuật khảo sát hàm số đểgiải quyết, song với thời gian giải quyết đề thi trắc nghiệm như hiện nay, việc sửdụng bất đẳng thức Cauchy giúp học sinh tiết kiệm được rất nhiều thời gian

Chính vì vậy, tôi chọn đề tài “Kỹ thuật dồn biến trong bài toán tìm GTLN, GTNN

của biểu thức trong chương trình phổ thông” làm đề tài nghiên cứu của mình

1.2 Mục đích nghiên cứu

Sử dụng Kỹ thuật dồn biến nhằm giúp học sinh bớt khó khăn khi giải cácbài toán bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN của hàm số trong quá trình học vàthi

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 10 và 12 qua các nămgiảng dạy từ trước đến nay

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu là xây dựng cơ sở lý thuyết, thống kê đưa ra các bàitoán tổng quát

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

-Đánh giá trực tiếp từ bất đẳng thức Cauchy cho hai ẩn: Với x y , 0,

 2

2 2

2 2

2 ,2

Nguyên lý cực trị của hàm nhiều biến Một hàm liên tục trên một tập đóng, bị

chặn D nếu không đạt GTLN hay GTNN tại điểm dừng thì sẽ đạt trên biên D

Định lý ABC

Định lý 1: Nếu f(abc, ab+bc+ac, a+b+c) là hàm đơn điệu trên R theo abc thì GTLN và GTNN xảy ra khi hai trong 3 số a, b, c bằng nhau hoặc có một số bằng 0.

Định lý 2: Nếu f(abc, ab+bc+ac, a+b+c) là hàm lồi trên R theo abc thì GTLN xảy ra khi hai trong 3 số a, b, c bằng nhau hoặc có một số bằng 0.

Định lý 3: Nếu f(abc, ab+bc+ac, a+b+c) là hàm lõm trên R theo abc thì GTNN xảy ra khi hai trong 3 số a, b, c bằng nhau hoặc có một số bằng 0.

Bản thân định lý ABC cũng là một công cụ khá hiệu quả trong loại bài toán này song định lý không được phép sử dụng khi thi Đại học nên chúng tôi không đề cập đến vấn đề này ở đây mà chỉ dùng với mục đích dự đoán điểm rơi, định hướng để giải bài tập.

Chú ý đến đặc điểm của biểu thức cần tìm GTLN, GTNN (tính đối xứng,

bất đối xứng,…) để dự đoán được điểm rơi.

Như vậy từ các nhận xét trên ta thấy GTLN, GTNN thường có thể đạt được trong trường hợp các biến bằng nhau (đạt tại tâm) hoặc ít nhất một biến nằm trên biên của tập xác định (đạt trên biên) Ta sẽ xét cụ thể 3 kỹ thuật dồn biến

+ Dồn biến về tâm+ Dồn biến ra biên+ Dồn biến theo các đại lượng hỗn hợp

Ngoài ra còn một số kỹ thuật dồn biến trong lớp hàm lồi, hàm lõm, dồn biến bằng cách xét hàm đặc trưng, dồn biến bằng việc khảo sát độc lập từng biến, xin được đề cập đến trong một bài viết khác.

Trong quá trình giảng dạy và học tập, khi đứng trước một bài toán bấtđẳng thức, chúng ta thương đặt ra các câu hỏi:

- Vai trò các biến trong bất đẳng thức thế nào (Bình đẳng hay không bình đẳng)

- Có những đại lượng nào có tổng hay tích là hằng số hay không

- Dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi nào

- Biểu thức nào lớn, biểu thức nào bé trong bất đẳng thức

- Những công thức, hằng đẳng thức nào liên quan đến các biểu thức trong bài toán …

Việc trả lời các câu hỏi này giúp chúng ta định hướng cách giải, đánh giá cácbiểu thức, sử dụng công thức, bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hình thức củabất đẳng thức…để giải quyết bài toán.Trong bài viết này, tôi xin nêu ra một sốphương pháp thường được sử dụng trong việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy ởchương trình phổ thông

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Với sự thay đổi của kì thi THPT Quốc Gia kể từ năm 2017, các bài toánthực tế có thể sẽ được đưa vào các đề thi Như đề thi minh họa lần 1 và lần 2 của

Bộ Giáo Dục và Đào tạo đều có các bài toán thực tế nói chung Trước khi thựchiện đề tài này nhiều học sinh có tâm lý sợ các bài tập tìm giá trị lớn nhất nhỏnhất chứa nhiều biến Đây là một dạng toán mới và khó nên đa số học sinh khigặp dạng toán này còn lúng túng và không giải được Học sinh thường làm theophương pháp hàm cơ bản sẽ mất nhiều thời gian hơn so với sử dụng bất đẳngthức Cauchy

Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đã trình bày chi tiết phương pháp tìm GTLN vàGTNN của hàm số một biến số (khả vi) Trong các đề thi Đại học những nămgần đây thường xuất hiện dạng bài tập tìm GTLN và GTNN của một hàm số hai

hay ba biến, có thể có hoặc không có điều kiện ràng buộc Phương pháp chính

để giải quyết các bài toán này là chứng minh một bất đẳng thức phụ và thôngqua một số phép biến đổi (đánh giá, đặt ẩn phụ) để làm giảm số biến trong biểuthức ban đầu, dần quy về hàm một biến và khảo sát hàm số để tìm được GTLN,GTNN Kỹ thuật đánh giá nhằm làm giảm số biến của một biểu thức gọi chung

là kỹ thuật dồn biến và cũng là việc khó khăn nhất khi giải quyết các bài toándạng này

2.3.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức hai biến.

2.3.1 Bài toán tìm GTLN, GTNN, dùng phương pháp thế biến.

Phần này trình bày một số kỹ thuật dồn biến thường sử dụng để tìm GTLN,GTNN của các bài toán chứa hai biến có một số dạng đặc biệt: có thể thế biến,dạng đối xứng, đẳng cấp…

Ví dụ 1 Cho x y R y,  , 0 và x2   x y 12 Tìm GTLN và GTNN của biểuthức sau: P xy x  2y17

Từ điều kiện của bài toán ta có thể rút được ngay y theo x rồi thế vào biểu thức P sẽ được một hàm một biến số Sử dụng điều kiện y 0 để tìm TXĐ

của hàm một biến mới, qua đó, khảo sát hàm số trên đoạn này, bài toán sẽ được giải quyết, cụ thể:

Ta có y0,x2   x y 12 x2  x 12 0 hay 4 x 3 Hơn nữa

3 2

Khảo sát hàm số này trên đoạn 4,3 ta có Min P = – 12 và Max P = 20

Ví dụ 2 Cho x y,   3,2 , x3 y3 2 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Từ đó t   6,8 Khảo sát hàm số  

2 2 3 3

( ) 2

f t   t t trên đoạn này ta có

3 4, 4 336

Qua ví dụ trên ta thấy phương pháp này có ba bước rõ ràng:

1 Chọn ra một biến và thay thế toàn bộ các biến trong biểu thức cần tìm qua biến đó

2 Tìm tập các giá trị mà biến mới có thế nhận

3 Khảo sát hàm một biến trên tập hợp trên để tìm GTLN, GTNN

2.3.2 Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đối xứng

Trong phần này ta xét các bài toán tìm GTLN và GTNN của các biểu thức

hai biến mà giả thiết và biểu thức có dạng đối xứng với x và y Với dạng này ta

thường dùng các phép biến đổi để đưa biểu thức cần tìm GTLN và GTNN về

dạng hàm số một biến là các đa thức đối xứng của x và y Đó có thể là các đa thức đối xứng sơ cấp (tổng x + y hoặc tích xy) hoặc một số dạng khác (

Qua ví dụ trên ta thấy.

Giả thiết và biểu thức P đều là các đa thức đối xứng của x và y nên luôn

có thể biểu diễn qua các đa thức đối xứng sơ cấp (S = x+y, P = x) Do đó điều đầu tiên ta nghĩ đến là có thể đặt một trong hai đại lượng này làm biến mới.

Giữa các đa thức đối xứng của x, y lại có mối liên hệ với nhau theo các bất đẳng thức ta đã đề cập ban đầu nên có thể đánh giá đề tìm được tập các giá trị biến mới có thể nhận và đánh giá được P trong trường hợp cần thiết.

Ví dụ 2 (ĐH Khối B – 2009)

Tìm GTNN của A3(x4 y4 x y2 2) 2( x2  y2) 1 , với x y, là các sốthỏa mãn điều kiện: (x y )3 4xy2.

Vì giả thiết là biểu thức khá phức tạp nên ta khai thác nó trước cho gọn để sử dụng dễ dàng hơn Chú ý hằng đẳng thức :

Và (x y )2 4xy Khi đó điều kiện bài toán trở thành : x y 1

Ta biến đổi được A như sau :

Ta có thể nghĩ đến việc đưa A về hàm một biến bằng cách đặt t x 2  y2.

Tìm điều kiện của biến t ta sử dụng bất đẳng thức

x y



 

2.3.3 Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đẳng cấp.

Trong phần này ta sẽ xét một số bài toán mà biểu thức cần tìm GTLN,GTNN chứa hai biến và giả thiết hoặc biểu thức đó thể hiên tính đẳng cấp Vớiloại bài toán này, cách thường dùng nhất là đổi biến nhờ phép đặt y tx , cố gắngđưa biểu thức cần tìm GTLN, GTNN về dạng thuần nhất để có thể giản ước mộtbiến

Ví dụ 1 Cho hai số thực a b , 0. Chứng minh rằng a4 b4 a b ab3  3

Bài toán này có nhiều cách giải (có thể xét hiệu hay dùng trực tiếp BĐT Cauchy) Tuy nhiên để ý thấy BĐT cần chứng minh là biểu thức đẳng cấp của

Khảo sát hàm số trên trên tập số thực R ta có ngay điều phải chứng minh

Ví dụ 2 (Đề thi ĐH khối B – 2008) Cho x2  y2 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

x y Tuy nhiên, sau khi dùng phép đặt x ty , P vẫn chứa hai biến Nhưng lại

để ý thấy biểu thức trong giả thiết a x 2  y2xy cũng là một biểu thức đẳng

cấp cùng bậc với P nên có thể xét biểu thức thuần nhất dạng P

Vậy minP0; maxP 7 2 7

Ví dụ 4 Cho x y, 0, x2  y2 1 Tìm GTLN của biểu thức P y x y (  )

Bài toán này cũng có thể làm một cách tương tự như bài trên Tuy nhiên với các trường hợp giả thiết là một đẳng thức thì ta có thể làm một cách tự nhiên hơn như sau.

Do x y, 0, x2  y2 1 nên đặt y tx t , 0 ta có 2 21

1

x t



 Khi đó

2 2

Đến đây lại khảo sát f t( ) trên 0, ta được 

có thể dùng dự đoán điểm rơi như sau (các căn cứ này không được đề cập đến trong chương trình phổ thông):

Ví dụ 1 Cho a b c , , 0 Tìm GTNN của biểu thức P a b c

Với bài toán này ta phải tìm số t sao cho nó không làm thay đổi tổng

Với dự đoán về điểm rơi ta sẽ chứng minh là 2ta3 2t42at36 với

Vậy P 6 hay Max P = 6, đạt được khi a b c  1

Qua ví dụ trên ta thấy có hai vấn đề:

- Việc chọn biến t phụ thuộc vào giả thiết ràng buộc ban đầu giữa ba biến

và ta cố gằng không làm thay đổi mối quan hệ đó trong quá trình dồn biến Ngoài ra, việc dự đoán điểm rơi nghĩa là ta dự đoán được GTLN của P, từ đó làm cho việc đánh giá biểu thức cuối cùng trở lên đơn giản hơn nhiều.

- Bất đẳng thức ( , , ) f a b c  f a t t( , , ) 0 (hay ≥ 0) không phải lúc nào cũng đúng Trong một số trường hợp ta phải sắp xếp lại thứ tự các biến hoặc chọn biến lớn nhất, nhỏ nhất dựa vào tính đối xứng hay tính hoán vị vòng quanh của các biểu thức trong đề bài.

Bài tập tương tự.

1 Cho , ,a b c0, abc1 Tìm GTNN của

Giả sử trong quá trình tìm GTLN hay GTNN mà ta cần chứng minh

( , , ) 0

f x y z  với x y z , , 0, ta có thể hi vọng vào đánh giá ( , , ) f x y z f(0, , )s t trong đó s t, là các đại lượng nào đó tùy điều kiện bài toán Từ đó có thể quy về một bài toán với số ẩn ít hơn Về tư tưởng thì phép dồn biến này gần giống trường hợp trước, chỉ khác ở kỹ thuật chọn biến mới.

Ví dụ Cho a b c, , không âm và thỏa mãn ab bc ca  1 Tìm GTNN của

về trường hợp này.

Khi cho biến c 0 thì phải tìm hai số s t, sao cho nó vẫn bảo toàn điều kiện trong giả thiết của bài toán, tức là lúc này st 1 Ta có thể xét

1,

s a b t

a b

 Xét hiệu f a b c( , , ) f a b( , 1 ,0)

a b



a b  nên có thể thấy ngay 2(1 ab) 2 ( c a b )ab a b(  )2 Bây giờ chỉ cầntìm GTNN của biểu thức

2, đạt được khi ( , , ) (1,1,0)a b c  và các hoán vị của nó

Qua ví dụ trên, một lần nữa ta thấy tầm quan trọng của việc xác định điểm rơi trong việc giải quyết các bài toán dạng này Đó là căn cứ để lựa chọn cách dồn biến và đánh giá các bất đẳng thức trung gian.

2.4.3.Dồn biến theo các đại lượng hỗn hợp

Trong một số bài toán, việc dồn biến theo hai phương pháp trên trở lên phức tạp thì ta có thể để ý một số điểm đặc biệt trong biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để lựa chọn biến cần dồn về cho thích hợp Một số trường hợp có thể chọn biến là các biểu thức hỗn hợp chứa 3 biến (đối xứng hoặc bất đối xứng), tùy thuộc vào từng trường hợp Dạng này không có quy tắc như hai dạng trước nhưng nếu khéo léo lựa chọn biến mới thì lời giải có thể ngắn gọn và đơn giản hơn nhiều.

Cách dồn biến trong loại bài tập này khá đa dạng Đầu tiên là một ví dụ

có thể dùng phép thế biến

 Đến đây, nếu thay z 1 (x y ) vào ta sẽ được một biểu

thức đối xứng theo hai biến x y, :

(1 ( ))

x y P

Khảo sát hàm một biến t trên khoảng 0,1 ta có 

Min P = 16, đạt được khi 1, 1

Một số bài toán có các biểu thức dạng đối xứng với 3 biến thì có thể dồn

về một trong các đa thức đối xứng sơ cấp ( a b c ab bc ca abc  ,   , )

Ví dụ 2 Cho x y z R x, ,  , 2  y2 z2 1

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P x y z xy yz zx     

Bài toán này xuất hiện các đa thức đối xứng của x y z, , Nói chung các đa thức này có mối quan hệ với nhau do khai triển x y z  2 nên ta sẽ chọn một trong các đa thức đó làm biến mới để dồn về Nhìn biểu thức P ta nghĩ ngay đến việc đặt t x y z  

Khảo sát hàm số một biến t trên tập đã được chỉ ra ta có

minPf( 1) 1 đạt được tại 1,0,0 và các hoán vị của nó

maxPf( 3) 1  3 đạt được tại 1 , 1 , 1

Ví dụ 3 (Đề thi B-2010) Cho , , a b c0,a b c  1 Tìm GTNN của biểu thức

Tổng 111 Trên Khá 38 chiếm 34,2% Dưới Khá 62 chiếm 65,8%

Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Sáng kiến kinh nghiệm đã trình bày một cách khái quát về lý thuyết tổng quancũng như các kỹ thuật dồn biến thường dùng đối với các bài toán tìm Giá trị lớnnhất và Giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai biến và ba biến Với cách phân loạinhư trên, tôi đã cố gắng giới thiệu một cách cụ thể từng phương pháp qua các ví

dụ minh họa phần nào giúp các thầy cô giáo và các em học sinh tham khảo để

có thể giải quyết tốt các bài toán thuộc loại này trong các đề thi Đại học, caođẳng và đề thi Học sinh giỏi các tỉnh thành Xin chân thành cảm ơn các thầy côgiáo tổ Toán trường Trung Học Phổ Thông Hàm Rồng- Thanh Hóa đã đóng gópnhững ý kiến quý báu trong các buổi sinh hoạt chuyên đề Do kinh nghiệm cònhạn chế nên bài viết chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận được sự đónggóp của các bạn đọc và đồng nghiệp để bài viết được hoàn thiện hơn

3.2 Kiến nghị

Đối với sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa: Thông qua việc chấm sáng kiếnkinh nghiệm hàng năm, lựa chọn những đề tài có chất lượng và cần phổ biếnrộng rãi cho các trường trong tỉnh để những trường có điều kiện tương đồngtriển khai áp dụng hiệu quả Nên đưa những SKKN có chất lượng vào mục “tàinguyên” của sở để các giáo viên toàn tỉnh có thể tham khảo một cách rộng rãi.Đối với trường THPT Hàm Rồng : Mỗi sáng kiến kinh nghiệm được lựachọn cần được phổ biến rộng rãi trong phạm vi tổ Cần có những bản lưu trongthư viện để giáo viên và học sinh tham khảo.

Đối với tổ chuyên môn: Cần đánh giá chi tiết những mặt đạt được, nhữnghạn chế và hướng phát triển của đề tài một cách chi tiết cụ thể để hoàn thiệnsáng kiến hơn nữa

Đối với đồng nghiệp: Trao đổi ý tưởng, kinh nghiệm và hỗ trợ trong việc

áp dụng rộng rãi sáng kiến trong mỗi lớp học của mình Phản hồi những mặttích cực những mặt hạn chế của sáng kiến

Đề tài nghiên cứu trong thời gian hạn chế, rất mong Hội đồng khoa học Sởgiáo dục và đào tạo Thanh Hóa nghiên cứu, góp ý bổ sung để sáng kiến hoànthiện hơn nữa

XÁC NHẬN CỦA THỦ

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinhnghiệm của mình viết, không sao chép nộidung của người khác

Người viết SKKN

Hồ Thị Bình