Kì dị của đường công phẳng

Líi cam đoan Tôi xin cam đoan r¬ng nëi dung trình bày trong luªn văn này là trungthüc, không trùng l°p vîi các đ· tài khác và các thông tin trích d¨n trongluªn văn đã đưñc ch¿ rõ nguçn g

Trang 1

Đ„I HÅC THÁI NGUYÊNTRƯÍNG Đ„I HÅC SƯ PH„M

—————————————————

TRÀNH SAO LINH

KÌ DÀ CÕA ĐƯÍNG CONG PHNG

LUŠN VĂN TH„C SĨ TOÁN HÅC

Thái Nguyên – 2016

Trang 2

Đ„I HÅC THÁI NGUYÊNTRƯÍNG Đ„I HÅC SƯ PH„M

—————————————————

TRÀNH SAO LINH

KÌ DÀ CÕA ĐƯÍNG CONG PHNG

Chuyên ngành: Đ„I SÈ VÀ LÝ THUY˜T

SÈ Mã sè: 60.46.01.04

LUŠN VĂN TH„C SĨ TOÁN HÅC

Ngưíi hưîng d¨n khoa håc

TS ĐOÀN TRUNG CƯÍNG

Thái Nguyên – 2016

Trang 3

Líi cam đoan

Tôi xin cam đoan r¬ng nëi dung trình bày trong luªn văn này là trungthüc, không trùng l°p vîi các đ· tài khác và các thông tin trích d¨n trongluªn văn đã đưñc ch¿ rõ nguçn gèc

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016

Ngưíi vi¸t luªn văn

Trành Sao Linh

Trang 4

Líi c£m ơn

Luªn văn đưñc hoàn thành trong khóa 22 đào t¤o Th¤c sĩ cõa trưíngĐ¤i håc Sư ph¤m – Đ¤i håc Thái Nguyên, dưîi sü hưîng d¨n cõa TS ĐoànTrung Cưíng, Vi»n Toán håc Tôi xin bày tä lòng bi¸t ơn chân thành tîith¦y hưîng d¨n, ngưíi đã t¤o cho tôi mët phương pháp nghiên cùu khoahåc, tinh th¦n làm vi»c nghiêm túc và đã dành nhi·u thíi gian, công sùchưîng d¨n tôi hoàn thành luªn văn

Tôi cũng xin bày tä lòng c£m ơn sâu sc tîi các th¦y cô giáo cõa trưíngĐ¤i håc Thái Nguyên, Vi»n Toán håc, nhúng ngưíi đã tªn tình gi£ng d¤y,khích l», đëng viên tôi vưñt qua nhúng khó khăn trong håc tªp

Tôi xin chân thành c£m ơn Ban lãnh đ¤o Khoa Sau đ¤i håc, Trưíng Đ¤ihåc Sư ph¤m – Đ¤i håc Thái Nguyên đã t¤o måi đi·u ki»n thuªn lñi, giúp

đï tôi trong suèt thíi gian tôi håc tªp

Cuèi cùng, tôi xin c£m ơn gia đình, ngưíi thân và b¤n bè đã đëng viên,õng hë tôi đº tôi có thº hoàn thành tèt khóa håc và luªn văn cõa mình

Trành Sao Linh

Trang 5

2.1 Đưíng cong đ¤i sè affin 11

2.2 Đưíng cong x¤ £nh 18

2.3 Bëi giao và c§p 22

32 Ki¸n thùc chu©n bà 3 1.1 Mi·n phân tích duy nh§t 3

1.2 K¸t thùc 5

Möc löc Líi cam đoan i

Líi c£m ơn ii

Möc löc iii

Mð đ¦u 1

1 2 2.4 Tªp các điºm kì dà và đưíng th¯ng ti¸p xúc 26

3 Đưíng cong ph¯ng bªc 3

Trang 6

3.1 Đưíng cong ph¯ng suy rëng 32

3.2 Bëi giao cõa các đưíng cong suy rëng 35

3.3 Đưíng cong bªc 3 b§t kh£ quy 40

3.4 Phân lo¤i đưíng cong trơn bªc 3 42

K¸t luªn 50

Tài li»u tham kh£o 51

Trang 7

Mð đ¦u

Hình håc đ¤i sè là mët nhánh cõa toán håc, nghiên cùu v· nghi»m cõa cácphương trình đa thùc Đa thùc mët bi¸n có bao nhiêu nghi»m? Câu häi nàyđưñc tr£ líi mët cách rõ ràng bði "Đành lý cơ b£n cõa đ¤i sè" Nhưng n¸u taxét trong trưíng hñp đa thùc hai bi¸n thì tªp nghi»m là vô h¤n Nhúng tªpnhư vªy, có thº đưñc xem như là đèi tưñng cõa hình håc Chính xác hơn làđưíng cong ph¯ng đ¤i sè Vì vªy, có hai con đưíng đº xét tính giao nhau ðđây Mët là tø đ¤i sè, và mët là tø hình håc nên nó không đáng ng¤c nhiênkhi các tính ch§t cõa đưíng cong đã đưñc nghiên cùu trong nhi·u th¸ k Möc đích cõa luªn văn này là trình bày l¤i mët sè k¸t qu£ v· đưíngcong ph¯ng düa theo tài li»u "Plane Algebraic Curves" cõa Gerd Fischer và

"Elementary Algebraic Geometry" cõa Klaus Hulek

Luªn văn này chia làm ba chương:

Chương 1, trình bày mët sè ki¸n thùc v· mi·n phân tích duy nh§t và k¸tthùc Đây cũng là công cö cơ b£n dùng cho các đành nghĩa và chùng minh

ð chương sau

Chương 2, đưñc dành đº trình bày v· các khái ni»m trong đưíng congaffine và đưíng cong x¤ £nh, lý thuy¸t giao Ngoài ra, còn trình bày v·khái ni»m điºm kì dà, điºm trơn, đưíng th¯ng ti¸p xúc cõa đưíng cong

Trang 8

Chương 3, trình bày sü phân lo¤i đưíng cong bªc 3 qua tương đương x¤

£nh cũng như sü phân lo¤i đưíng cong bªc 3 trơn b¬ng cách sû döng J −b§tbi¸n

Trành Sao Linh

Trang 9

Chương 1

Ki¸n thùc chu©n bà

1.1 Mi·n phân tích duy nh§t

Möc này đưñc dành đº nhc l¤i đành nghĩa và mët sè k¸t qu£ cơ b£n v·mi·n phân tích duy nh§t Trưîc h¸t ta có đành nghĩa ph¦n tû b§t kh£ quy.Đành nghĩa 1.1.1 Cho A là mët mi·n nguyên Mët ph¦n tû a ∈ A là b§tkh£ quy n¸u tø måi phân tích a = bc vîi b, c ∈ A, thì ho°c b ho°c c làph¦n tû kh£ nghàch trong A

Xét mët ph¦n tû 0 = a ∈ A Mët phân tích a = an1 anr vîi a1, , ar

A là các ph¦n tû b§t kh£ quy và n1, , nr ∈ N đưñc gåi là mët phântích b§t kh£ quy Ta nói phân tích b§t kh£ quy đó là duy nh§t n¸u trongtrưíng hñp a có phân tích b§t kh£ quy khác

a = bm1 s1 bms ,vîi b1, , bs ∈ A là các ph¦n tû b§t kh£ quy, m1, , msN, thì s = r

và sau mët cách đánh sè l¤i, ta đưñc ni = mi, bi = λiai, i = 1, , r vîi

λi là các ph¦n tû kh£ nghàch trong A

Đành nghĩa 1.1.2 Mët mi·n nguyên A là mët mi·n phân tích duy nh§t

Trang 10

Đành lý 1.1.4 Vành đa thùc trên mët mi·n phân tích duy nh§t là mëtmi·n phân tích duy nh§t.

Ví dö 1.1.3 là trưíng hñp riêng cõa đành lý này Thªt vªy, mët trưíng kluôn là mët mi·n phân tích duy nh§t Do đó, k[x] là mi·n phân tích duynh§t theo Đành lý 1.1.4

Tø Ví dö 1.1.3 và Đành lý 1.1.4, ta có h» qu£ quan trång sau đèi vîi ph¦ncuèi cõa luªn văn

H» qu£ 1.1.5 Cho k là mët trưíng, vành đa thùc hai bi¸n k[x, y] là mëtmi·n phân tích duy nh§t

Chùng minh Ta có thº coi k[x, y] = k[x][y] là vành đa thùc theo bi¸n y trênvành k[x] Do đó, k¸t luªn là h» qu£ trüc ti¸p cõa Ví dö 1.1.3 và Đành lý1.1.4

Trang 11

Ma trªn trên có cï (m + n) × (m + n) Ma trªn này có các hàng là tåa

đë cõa đa thùc X n−1f, X n−2f, , X f, f, X m−1, , X g, g theo cơ

sð X n+m−1, , X, 1 Theo đành nghĩa Rf,g ∈ A T¦m quan trång cõa k¸tthùc là đành lý sau

Đành lý 1.2.2 Cho A là mi·n phân tích duy nh§t Cho f, g ∈ A[X ] vîi

a0, b0 = 0 Khi đó, hai kh¯ng đành sau là tương đương

i) f, g có nhân tû chung vîi bªc ≥ 1 trong A[X ]

Trang 12

0 0 0

b M = 0 m a ii) Rf,g = 0 trong A Đº chùng minh đành lý, trưîc tiên ta chùng minh bê đ· sau Bê đ· 1.2.3 N¸u mi·n nguyên A vîi hai đa thùc f, g ∈ A[X ] có bªc n, m tương ùng Khi đó, hai kh¯ng đành sau là tương đương i) Tçn t¤i hai đa thùc 0 = p(x), q(x) ∈ A[X ] có bªc deg(p) < deg(g), deg(q) < deg(f ), thäa mãn pf + qg = 0 ii) Rf,g = 0 trong A Chùng minh bê đ· Vîi A là mi·n nguyên, ký hi»u K = n a |a, b ∈ A, b = 0 o là trưíng các phân thùc trên A Xét f, g như các đa thùc trên K Ta có Rf,g = det M vîi M là ma trªn vuông

a0 a1 am

0 a0 a1 am 0 0

b0 b1 bn 0 0 0

0 b 0 b1 bn 0 0

0

bn

Chú ý r¬ng, các hàng cõa ma trªn này là tåa đë cõa các đa thùc

Trang 13

X n−1f, X n−2f, , X f, f, X m−1, , X g, g theo cơ sð X n+m−1, ,

X, 1 Do vªy, Rf,g = 0 tương đương vîi các hàng cõa M là phö thuëc tuy¸ntính

Trang 14

Sû döng bê đ· 1.2.3 suy ra pf + qg = 0.

Đº chùng minh Đành lý 1.2.2, ta sû döng A là mi·n phân tích duy nh§t

và chùng minh hai kh¯ng đành sau là tương đương

i) f và g có nhân tû chung vîi bªc ≥ 1 trong A[X ]

ii) Tçn t¤i p(x), q(x) ∈ A[X ] không đçng thíi b¬ng 0 vîi

deg p < deg g , deg q < deg f, thäa mãn pf + qg = 0

Chùng minh i) ⇒ ii) Gi£ sû h là nhân tû chung thì f = f1h và g = g1h, trong đó f1, g1 ∈ A[X ] vîi deg f1 < deg f, deg g1 < deg g Đ°t

p(x) = g1(x), q(x) = −f1(x) ta có pf + qg =

0

ii) ⇒ i) Vì A là mi·n phân tích duy nh§t nên A[X ] cũng là mi·n phântích duy nh§t Vì pf + qg = 0 nên f | qg Do A[X ] là mi·n phân tíchduy nh§t suy ra f = f 1 rn1 f nrvîi f1, fr là các đa thùc b§t kh£ quy khácnhau N¸u f, g nguyên tè cùng nhau thì f1, , fr không là ưîc cõa g

Trang 16

Trên C måi đa thùc đ·u có phân tích thành tích các đa thùc tuy¸n tính.Đi·u này cho ta mët h» qu£ t§t y¸u.

H» qu£ 1.2.4 Cho f, g ∈ C[X ] vîi deg f, deg g ≥ 1 Khi đó các kh¯ng đành sau là tương đương

Đành lý 1.2.6 Cho A là mi·n nguyên và cho

f = (X − c1) (X −

cm), g = (X − d1) (X

− dn),trong đó c1, , cm, d1, , dn ∈ A Khi đó,

m n

Trang 18

R = RF,G và S = Y(Yi − Zj ).

i,j

Sû döng Đành lý 1.2.5, c£ hai đa thùc trong Z[Y, Z ] là thu¦n nh§t theo Yi,

Zj bªc m.n N¸u ta thay th¸ Zj b¬ng Yi thì F và G có nhân tû chungtuy¸n tính Do đó R có nghi»m t¤i Zj = Yi và thuªt toán chia đa thùccho th§y Yi − Zj là ưîc cõa R

Vîi måi i, j thì S là ưîc cõa R và do đó R = aS, vîi a ∈ Z nào đó H»sè

tü do cõa RF,G là

(−1)m.n(Z1 Zn)m.Nhưng đây cũng là mët đơn thùc trong S, do đó a = 1 Thay th¸ Yi =

ci, Zj = dj ta đưñc đi·u c¦n chùng minh

Ta có h» qu£ quan trång sau cõa Đành lý 1.2.6

H» qu£ 1.2.7 Cho các đa thùc f1, f2, g = 0 trong A[X ] Ta

có

Rf1 f2 , g = Rf1 ,g Rf2 ,g

Trang 19

Chùng minh Chú ý r¬ng k¸t thùc đưñc đành nghĩa theo h» sè đa thùc, do đókhông phö thuëc mð rëng trưíng Xét mët mð rëng húu h¤n k cõa trưíngcác phân sè Frac(A) cõa A Ta gåi f1, f2, g ∈ k[X ] và chån k sao chocác

Trang 20

đa thùc này có đõ nghi»m Sû döng Đành lý 1.2.6 ta suy ra ngay

Rf1 f2 , g = Rf1 ,g Rf2 ,g

Trang 21

Chương 2

Đưíng cong affin và x¤ £nh

Nëi dung chính trong ph¦n này trình bày v· khái ni»m cơ b£n v· đưíngcong affin và x¤ £nh, xét giao cõa hai đưíng cong, mët sè đ°c điºm đ°c bi»ttrên đưíng cong xét trong C

2.1 Đưíng cong đ¤i sè affin

Đành nghĩa 2.1.1 Vîi f = P aij xi 1 2xj Đ°t n = max{i + j : ∃aij = 0}

i,j≥0

Khi đó bªc cõa f là deg(f ) = n

Ví dö 2.1.2 deg(x1 22x2 + x2 − 3x2 + 2) = 3

Đành nghĩa 2.1.3 Mët tªp con C ⊂ C2 đưñc gåi là mët đưíng cong đ¤i

sè affin n¸u tçn t¤i mët đa thùc f ∈ C[X1, X2] sao cho deg f > 0 và

Trang 22

Nhc l¤i là mët đa thùc f ∈ C[x1, x2] là b§t kh£ quy n¸u f là ph¦n tûb§t kh£ quy trong vành C[x1, x2] như trong Đành nghĩa 1.1.1.

Vîi måi đa thùc f ∈ C[x1, x2] vîi deg f > 0, có đưíng cong liênk¸t V (f ) ⊆ C2 N¸u g là ưîc cõa f , tùc là f = gh thì V (f ) = V (g) ∪ V(h) Vì f = gh nên f (x1, x2) = g(x1, x2)h(x1, x2) Ta có f (x1, x2) =

0 khi và ch¿ khi g(x1, x2) = 0 ho°c h(x1, x2) = 0, vì (x1, x2) ∈ V (f )nên ho°c (x1, x2) ∈ V (g) ho°c (x1, x2) ∈ V (h) suy ra (x1, x2) ∈ V (g) ∪ V(h) Do đó V (g) ⊆ V (f )

Đành lý 2.1.6 (Bê đ· Study) Cho hai đa thùc f, g ∈ C[x1, x2], f là

đa thùc b§t kh£ quy và deg f > 0 Khi đó V (f ) ⊆ V (g) khi và ch¿ khi f làưîc cõa g

Chùng minh Đi·u ki»n c¦n đã đưñc chùng minh ð trên Ta chùng minh đi·uki»n đõ Ta biºu di¹n

f (x1, x2) = a0(x1)xm +a1(x1)xm−1 +a2(x1)xm−2 +

+am 2 2 2 − 1 2 m 11(x )x +a (x ),

g(x1, x2) = b0(x1)xn + b1(x1)xn−1 + b2(x1)xn−2 + + bn 1(x )x

Trang 23

+ b (x ), 2 2 2 − 1 2 n 1

vîi a0(x1), a1(x1), , am(x1) là các đa thùc theo x1,

Trang 24

Gi£ sû n = 0 Khi đó, g(x1, x2) = b0(x2) là đa thùc ch¿ phö thuëc x2 Vì

a0(x1) và b0(x1) là các đa thùc theo x1 nên có húu h¤n nghi»m, suy ra tçnt¤i u ∈ C sao cho a0(u) = 0 và b0 = 0

Xét f (u, x2) = a0(u)xm+ .+am(u) có nghi»m x2 = v Do đó (u, v) ∈ V (f) M°t khác, (u, v) ∈/ V (g) vì g(u, v) = b0(u) = 0 Mâu thu¨n Vªy n >0

Bưîc 2 Xét k¸t thùc Rf,g ∈ C[x1] Ta s³ chùng minh Rf,g = 0 b¬ngcách ch¿ ra Rf,g có vô sè nghi»m Vì a0(x1), b0(x1) có húu h¤n nghi»m nên

có vô sè u ∈ C sao cho a0(u)b0(u) = 0 Vîi méi u, đ°t

fu(x2) = f (u, x2) ∈C[x2], gu(x2) = g(u, x2) ∈

Bưîc 3 Vì Rf,g = 0 nên f và g có nhân tû chung vîi bªc dương M°t khác,

vì f là b§t kh£ quy nên f là nhân tû cõa g

Bê đ· Study có r§t nhi·u h» qu£ quan trång Trong ph¦n ti¸p theo ta s³

Trang 25

l¦n lưñt xét mët sè trong các h» qu£ đó Trưîc h¸t ta có h» qu£ sau.H» qu£ 2.1.7 Måi đưíng cong đ¤i sè C đ·u có vô sè điºm.

Trang 26

thùc g, h liên hñp vîi nhau n¸u g = λh vîi λ ∈ C, λ = 0.

Đành nghĩa 2.1.8 Mët đưíng cong đ¤i sè C ⊆ C2 đưñc gåi là kh£ quy n¸u tçn t¤i các đưíng cong đ¤i sè C1, C2 sao cho C1 = C2 và C = C1 ∪ C2.N¸u C không là kh£ quy thì C là b§t kh£ quy, tùc là, vîi måi sü phân tíchthành hñp hai đưíng cong C = C1 ∪ C2 thì C1 = C2 = C

Ví dö 2.1.9 C = V (x2 + x2) = V (x1 + ix2) ∪ V (x1 − ix2) là hñp cõa

đưíng th¯ng Do đó C là kh£ quy

Bê đ· 2.1.10 Đưíng cong đ¤i sè C = V (f ) ⊆ C2 là b§t kh£ quy khi

và ch¿ khi tçn t¤i k ∈ N∗ và đa thùc b§t kh£ quy g ∈ C[x1, x2] sao cho f

Trang 27

= gk .

Chùng minh

Trang 28

Đi·u ki»n c¦n: Xét phân tích f = f α1 f

Đi·u ki»n đõ: Gi£ sû f = gk vîi g là b§t kh£ quy Ta có C = V (g) N¸u

C = C1 ∪ C2 = V (g1) ∪ V (g2) = V (g1g2) thì theo Bê đ· Study, g | g1g2

Vì g là b§t kh£ quy nên ho°c g | g1 ho°c g | g2 Gi£ sû g | g1 Khi đó,

C = V (g) ⊂ V (g1) ⊆ C nên C = C1 Vªy C là b§t kh£ quy

Đành lý 2.1.11 Måi đưíng cong đ¤i sè C ⊆ C2 đ·u có phân tích duy nh§t

r

C = [

Ci,

i=1

trong đó Ci là các đưíng cong b§t kh£ quy đôi mët khác nhau

Đành nghĩa 2.1.12 Khi đó, các đưíng cong Ci đưñc gåi là thành ph¦n b§t kh£ quy cõa C

Chùng minh Đ¦u tiên ta ch¿ ra sü tçn t¤i: Ta có phân tích

r

f = f α1 f

αr suy ra C = V (f ) = [ V (fi),

Trang 29

1 r

i=1

vîi V (fi) là b§t kh£ quy đôi mët khác nhau Ta chùng minh sü duy nh§t:Gi£ sû V (g) là mët đưíng cong vîi g là đa thùc b§t kh£ quy sao cho

Trang 30

V (g) ⊆ C ⇒ V (g) ⊆ V (f ) Theo bê đ· Study’s ta có g | f ⇒ g ∼ fi nào

đó Suy ra V (g) = V (fi)

Như chúng ta đã th§y, các thành ph¦n b§t kh£ quy cõa đưíng cong đ¤i

sè là xác đành duy nh§t Ngưñc l¤i, b¬ng cách sû döng các thành ph¦n b§tkh£ quy này cho thông tin v· đa thùc đành nghĩa cõa đưíng cong

H» qu£ 2.1.13 Gi£ sû C = V (f1) ∪ ∪ V (fr ) là phân tích b§t kh£ quyvîi f1, , fr là các đa thùc b§t kh£ quy N¸u g là mët đa thùc xác đành C ,nghĩa là C = V (g), thì g = λf β1 f

Bây gií, ta có thº sû döng đa thùc cüc tiºu đº đành nghĩa bªc cõa mët đưíng cong đ¤i sè

Trang 31

Đành nghĩa 2.1.15 Cho C = V (f ) ⊂ C2 là đưíng cong đ¤i sè và f =

f1 fr là đa thùc cüc tiºu xác đành đưíng cong C Bªc deg(f ) cõa đathùc f đưñc gåi là bªc cõa C và ký hi»u là deg(C )

Đº gi£i thích ý nghĩa hình håc cõa bªc, chúng ta xét giao điºm cõa đưíngcong vîi các đưíng th¯ng Cho đưíng th¯ng L ∈ C2 tham sè hóa bði ánhx¤

ϕ : C −→ L ⊂ C2, t 7→ (ϕ1(t), ϕ2(t)),vîi ϕ1, ϕ2 ∈ C[T ] là các đa thùc tuy¸n tính N¸u C = V (f ) ⊂ C2, ta nhªn đưñc đa thùc

g(T ) = f (ϕ1(T ), ϕ2(T )),các nghi»m cõa g tương ùng vîi giao điºm cõa C và L Sè giao điºm cõa C

và L đưñc ký hi»u là #(C ∩ L) Vì g = 0 tương đương vîi L ⊂ C , b§tđ¯ng thùc deg g ≤ deg f suy ra đi·u sau

M»nh đ· 2.1.16 Vîi måi đưíng cong C và måi đưíng th¯ng L ⊆ C2 mà

Trang 32

là đa thùc khác 0 theo t Do đó

#(C ∩ L) là sè nghi»m cõa đa thùc p(t) = f (u1 + tv1, u2 + tv2) Vªy

Trang 33

C

1

#(C ∩ L) ≤ deg(p) ≤ deg(f ) = deg(C )

H» qu£ 2.1.17 Đưíng cong x2 = sin(x1) không là đưíng cong đ¤i sè

C = C1 ∪ ∪ Cr ta có đa thùc cüc tiºu f = f1 fr Khi đó

JC = {g(x1, x2) ∈ C[x1, x2] : g(u, v) = 0, ∀u, v ∈ C

}Vªy JC thuëc vào bëi cõa f Ta l¤i có

g1, g2 ∈ JC ⇒ g1 + g2 ∈ JC và h ∈ C[x1, x2] ⇒ g1h ∈

JCVªy JC là mët iđêan cõa C[x1, x2]

2.2 Đưíng cong x¤ £nh

Đành nghĩa 2.2.1 M°t ph¯ng x¤ £nh P2 là tªp hñp t§t c£ các đưíng th¯ng

L trong A3 đi qua gèc tåa đë

Méi đưíng th¯ng L ∈ P2 đưñc xác đành duy nh§t bði mët véctơ ch¿phương: L ←→ (x0, x1, x2) Khi đó, điºm u = (x0 , x0 , x0 ) n¬m trên L khi

và ch¿ khi tçn t¤i λ ∈ C sao cho

Trang 34

£nh cõa L

Trang 35

Đành nghĩa 2.2.5 Cho F ∈ C[x0, x1, x2] Khi đó, F đưñc gåi là mët

đa thùc thu¦n nh§t n¸u måi đơn thùc trong F đ·u có cùng bªc deg(F )

Đành nghĩa 2.2.7 Vîi mët đa thùc thu¦n nh§t F , ta đành nghĩa tªp

không điºm cõa F trong P2 là V (F ) = {(x0 : x1 : x2) ∈ P2 : F (x0, x1, x2)

= 0}

Đành nghĩa 2.2.8 Mët tªp C ⊂ P2 là mët đưíng cong x¤ £nh ph¯ng n¸u

có mët đa thùc thu¦n nh§t F ∈ C[x0, x1, x2] vîi deg(F ) > 0 và C = V (F

)

Đành nghĩa 2.2.9 Xét mët đưíng cong affine C = V (f ) vîi deg(f ) = n.Đ°t F (x0, x1, x2) = xnf ( x1 , x2 ) D¹ th§y F là mët đa thùc thu¦n nh§t có

Trang 36

0 x0 x0

bªc deg F = deg f Khi đó, F đưñc gåi là thu¦n nh§t hóa cõa f

Trang 37

Ð đây, ta đçng nh§t các điºm cõa V (f ) vîi £nh cõa nó qua ϕ0.

Đành nghĩa 2.2.11 Cho đưíng cong C = V (f ) ⊆ A2 Gi£ sû F là đa thùcthu¦n nh§t hóa cõa f Khi đó, đưíng cong x¤ £nh C = V (F ) ⊆ P2 đưñcgåi là bao x¤ £nh cõa đưíng cong C

Trong trưíng hñp này (x0 : x1 : x2) = (1 : t : t3)

+ Vîi x0 = 0 thì x1 = 0, x2 = 0 tùy ý Nghi»m phương trình trên là

Trang 38

(0 : 0 : 1).

Trang 39

Bê đ· 2.2.13 Cho đa thùc f và đa thùc thu¦n nh§t hóa F Khi đó, f

là b§t kh£ quy khi và ch¿ khi F là b§t kh£ quy

Trang 40

2.3 Bëi giao và c§p

Bëi giao là lý thuy¸t trung tâm trong lý thuy¸t giao cõa hai đưíng cong.Khái ni»m này cùng vîi các k¸t qu£ chính cõa lý thuy¸t giao đóng vai tròthen chèt, d¨n đ¸n các khái ni»m cơ b£n khác cũng như nhúng b§t bi¸nkhác cõa các đưíng cong ph¯ng

Trưîc h¸t ta xét giao cõa mët đưíng cong C = V (F ) ⊂ P2 vîi đa thùccüc tiºu F và mët đưíng th¯ng L B¬ng cách đêi tåa đë, ta có thº gi£ sû

L = V (X2) Ta cũng gi£ thi¸t thêm L * C

Vi¸t F = F0X n + F1X n−1 + + Fn

2 2 − 2 n i 0 1

thu¦n nh§t bªc n − i Khi đó, Fn(X0, X1) = F (X0, X1, 0) Vì L * C nên

Fn = 0 Vì Fn là đa thùc thu¦n nh§t hai bi¸n nên ta phân tích

Fn(X0, X1) = (b1X0 + a1X1)k1 (br X0 + ar Xr )

kn .Khi đó p = (x0 : x1 : x2) ∈ C ∩ L khi và ch¿ khi Fn(x0, x1) = 0, hay(x0 : x1) = (−ai, bi) nào đó

Đành nghĩa 2.3.1 Ta đành nghĩa bëi giao cõa C và L t¤i p(x0 : x1 : x2)

kmultp(C, L) =

n¸u (x : x ) = (a , b ) nào đó,

i 0 1 i i

0 trưíng hñp còn l¤i

M»nh đ· 2.3.2 Cho đưíng cong C ⊂ P2 và đưíng th¯ng L ⊆ P2 Gi£ sû

L * C Khi đó, sè giao điºm cõa C và L tính c£ bëi là

r

X multp (C ∩ L) = α1 + + αr = n = deg(C

)

Định dạng
Số trang	85
Dung lượng	1,46 MB