Công thức frenet của đường cong trong r4

Luận văn, khóa luận, đề tài

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết đường cong trong Rn là một nội dung quan trọng trong hình học vi phân

đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và đã được trình bày trong nhiềutài liệu chẳng hạn [6],[7] và nó có nhiều ứng dụng trong vật lý, giao thông vận tải

và các ngành khác nhau của toán học

Một trong những đặc trưng cơ bản của đường cong trong Rn là các độ cong củađường cong ấy Trong các tài liệu hình học vi phân [6], [7] đã trình bày cách xácđịnh các độ cong của đường cong nhờ vào việc xây dựng trường mục tiêu Frenetdọc đường cong

Trong khóa luận này, chúng tôi xây dựng tích lệch của ba trường vectơ trong R4 và

sử dụng nó để xây dựng trường mục tiêu Frenet dọc một đường cong trong R4 và

từ đó trình bày cách xây dựng công thức Frenet của đường cong ấy

Khóa luận được chia thành 3 mục

§1.Tích lệch của ba trường vectơ trong R4

Trong mục này,chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của tích lệch của

ba trường vectơ trên R4 Ngoài ra còn trình bày định nghĩa Gram và mối quan hệgiữa định thức Gram với tích lệch của ba trường vectơ trên R4

§2.Đường cong trong R4

Trong mục này, chúng tôi dành cho việc trình bày các định nghĩa và tính chất cơbản của đường cong trong R4

§3.Trường mục tiêu Frenet trong R4 Trong phần này, chúng tôi xây dựng trườngmục tiêu Frenet và công thức Frenet dọc đường cong  trong R4

Khóa luận được hoàn thành vào tháng 5 năm 2010 tại khoa Toán trường Đại họcVinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này,tác giả xin hãy bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc đến thầy hướng dẫn Tácgiả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ hình học và cácthầy cô trong khoa Toán – Đại học Vinh đã dạy bảo tác giả trong những năm đại

học, xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giảtrong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận này.

Vinh, tháng 05 năm 2010

Tác giả

§1 TÍCH LỆCH CỦA BA TRƯỜNG VECTƠ TRONG R4

I/TÍCH LỆCH CỦA BA TRƯỜNG VECTƠ TRONG R 4

Trong mục này,ta luôn ký hiệu  1 ,  2 ,  3 ,  4 là trường mục tiêu tự nhiên trongR4

0 1 0

0 0 1 , 0 0 0

0 1 0

0 0 1 , 0 0 0

0 0 0

0 0 1 , 0 1 0

0 0 1

0 0 0

Giả sử: X1    11 , 12 , 13 , 14,X2  21 , 22 ,   23 , 24,X3    31 , 32 , 33 , 34 là các trường vectơ

thuộc B R 4 mà  X X1 , 2 ,X3 phụ thuộc tuyến tính

Do đó X 0 Điều này mâu thuẫn với giả thiết X 0

Vậy  X X1 , 2 ,X3 phụ thuộc tuyến tính (3)

Từ (2) và (3) ta suy ra điều cần chứng minh

(iii) Ta có

     3

1 1 1 2 1 3

1 2 3 2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3 , ,

3 2 2 2 1 2

3 1 2 1 1 1

0 1 0

0 0 1

= 1

I/ ĐƯỜNG CONG TRONG R 4

2 4

3 3

2 2

t t

x

t t

t x

t t

t x

t t

Hai cung 1 và 2 được gọi là tương đương, ký hiệu 1  2, nếu và chỉ nếu tồn tạimột vi phôi : I J sao cho: 1   2.

Ta có: 1  2 nên tồn tại vi phôi  1 :a b,  c d,  thoả mãn 1  2. 1

1 2 nên tồn tại vi phôi  1 :c d,   e f,  thoả mãn 2   2. 2

Từ (1) và (2) ta suy ra tồn tại vi phôi  sao cho 1   3. 1

Nên ta suy ra "  " là quan hệ tương đương

+Ta kí hiệu :   1 1   ,  được gọi là một cung

Như vậy một cung là một tập hợp tất cả các cung tham số tương đương với nhau vàmột cung có duy nhất một tập ảnh :   J

Ta gọi  là đường cong

+ Giả sử  là một đường cong cho bởi:: t  t , điểm P  t0 được gọi làđiểm chính quy khi và chỉ khi  t0 0

Điểm p được gọi là điểm kỳ dị nếu và chỉ nếu p không chính quy ( t0 0)

Đường cong  được gọi là đường cong chính quy khi và chỉ khi mọi điểm p   làđiểm chính quy.

+ Với p  t0 là điểm chính quy của , đường thẳng a đi qua điểm p nhận  t0

làm vectơ chỉ phương được gọi là tiếp tuyến của  tại p

3 3

4 4

2

2 1 3

Đường cong  được gọi là đường cong tam chính quy nếu và chỉ nếu mọi điểm

p   đều là điểm tam chính quy

Như vậy  là đường cong tam chính quy thì  là song chính quy,do đó chínhquy

Do đó đường cong  là đường cong tam chính quy.

+Đường cong  cho bởi tham số  :R  R4 và    t2 ,t0R là điểm tam chínhquy Khi đó siêu phẳng P đi qua điểm p và nhận 1 t0 ,   t0 ,   t0  làm vectơchỉ phương được gọi là 3- phẳng mật tiếp của đường cong  tại p

Vậy   1 ,  1 ,  1 độc lập tuyến tính.Do đó p là điểm tam chính quy

Phương trình 3-phẳng mật tiếp (P) tại p Giả sử X x x x x 1 , 2 , 3 , 4P

8x  x  8x  12x  2  0

II/ THAM SỐ TỰ NHIÊN CỦA ĐƯỜNG CONG TRONG R4

Như ta đã biết một đường trong cho trước có nhiều tham số hoá, các tham số hoá

ấy tương đương với nhau Trong mục này ta tìm một tham số hoá tốt nhất, thuậnlợi cho việc nghiên cứu đường cong

2.4 Độ dài của đường cong 

Tham số hoá  t của  được gọi là tham số hoá tự nhiên khi và chỉ khi

Ta nhận thấy rằng  t xác định với t (vì  khả vi)

Hơn nữa  t là hàm dương,  t đơn điệu tăng Do đó,  t là vi phôi từ J đến

ĐƯỜNG CONG TRONG R4

I/ TRƯỜNG MỤC TIÊU FRENET DỌC ĐƯỜNG CONG TRONG R4

Trong mục này,bằng cách sử dụng tích lệch của ba trường vectơ,chúng tôi trìnhbày cách xây dựng trường mục tiêu Frenet dọc theo một đường cong tam chínhquy trong R4

Giả sử là một đường cong tam chính quy,định hướng và được cho bởi tham sốhoá tự nhiên 4

Nên suy ra:

9

2 1

2 9

Như vậy     1 , 2 , 3 , 4 là trường mục tiêu của đường cong trong R4.

II/ CÔNG THỨC FRENET DỌC ĐƯỜNG CONG 

Bây giờ chúng tôi trình bày công thức Frenet dọc  Điều này có nghĩa là biểu thịcác đạo hàm của các i theo trường mục tiêu trên

(i) D2 biểu thị qua  1, 3

(ii) D 3 biểu thị qua  2 ,  4

 D   2 2

Vậy D không biểu thị qua 

Tóm lại D2 không biểu thị qua   2 , 4.

Vậy D2 chỉ có thể biểu thị qua   1 , 3

 D . 1  .D1  0

 b1 a  0

 a b1 ,   2, 3

Ta đặt: b1 k ta thu được : D  k 1 k1 1

Lập công thức Frenet của .

Giải +)  tam chính quy

Thật vậy, ta có   t  cos ,sin , ,2t t t t

5 36

D

D

D

Tóm lại : Để tìm công thức Frenet ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Chứng minh  là đường cong tam chính quy

Bước 2: Tìm tham số hoá tự nhiên của

Bước 3: Tìm trường mục tiêu Frenet  i i41

Bước 4 : Tính Di4i1 và biểu diễn qua  i 4i1

Bước 5 : Kết luận

KẾT LUẬN

Trong khóa luận này, chúng tôi đã trình bày các sự kiện sau đây :

- Trình bày các tính chất của tích lệch của ba trường vectơ trong R4(Nhận xét 1.3)

- Trình bày chứng minh chi tiết một số tính chất của tích lệch của ba trường vectơ( Mệnh đề 1.2 và mệnh đề 1.5 )

- Trình bày một số tính chất cơ bản của đường cong trongR4(Mệnh đề 2.5.c )

- Trình bày cách xây dựng trường mục tiêu Frenet dọc đường cong  trong R4nhờtích lệch của ba trường vectơ (Nhận xét 3.1)

- Trình bày cách xây dựng công thức Frenet dọc đường cong  trong R4 và chỉ ramột số ví dụ về việc tính các độ cong trong R4 (Mệnh đề 3.5,mệnh đề 3.6 và ví dụ3.6)

Thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu tích lệch của (n-1) trường vectơtrong Rn để xây dựng công thức Frenet của một đường cong trong Rn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Văn Như Cương, Tạ Mẫn – Hình học Afin và hình học Ơclit – NXB Đại học

Quốc gia Hà Nội, 1998

[2] Nguyễn Văn Giám, Mai Quý Năm, Nguyễn Hữu Quang, Nguyễn Sum, Ngô Sĩ

Tùng – Toán cao cấp – Tập 1 NXB Giáo dục,1998.

[3] Trịnh Thị Nhưng – Tích ba vecto trong không gian E 4

Khóa luận tốt nghiệpđạơi học – Đại học Vinh, 2003

[4] Nguyễn Hữu Quang – Bài giảng chuyên đề hình học Riman

[5] Nguyễn Hữu Quang – Hà Văn Sơn – Hình học –giải tích – NXB Giáo dục,

1999

[6] Nguyễn Hữu Quang – Ngô Đình Quốc – Nguyễn Văn Bồng - Hình học vi

phân–NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008.

[7] Đoàn Quỳnh – Hình học vi phân–NXB Đại học Sư phạm, 2003.

[8] Trịnh Thị Thanh –Về tích ba vectơ trong không gian vectơ 4