Về ứng dụng của lý thuyết tập hợp, đường cong phẳng và đa thức trong số học

Luận văn trình bày các ứng dụng của lý thuyết tập hợp, đường cong phẳng và đa thức trong các nghiên cứu của Số học.. Luận văn có thể tiếp tục nghiên cứu những vấn đề sâu hơn trong Sốhọc:

Trờng đại học Vinh

2.1 Đường cong phẳng ……… 10 2.2 Đường cong hữu tỉ ……… 13 2.3 Ứng dụng của đa thức và tổ hợp trong Số học ………… 25

1

MỞ ĐẦU

Ngày nay, trong thời đại công nghệ thông tin, nhiều thành tựu mới nhấtcủa Số học có ứng dụng trực tiếp vào các vấn đề của đời sống kinh tế, xã hội,thong tin, mật mã, kỹ thuật máy tính Vì vậy, một phương hướng mới của sốhọc đã ra đời và phát triển mạnh mẽ: Số học thuật toán

Khi làm việc với số học, người ta thường làm việc với số thực, sốnguyên, số hữu tỉ, số siêu việt,… Vì vậy các loại số luôn là đối tượng và làcông cụ nghiên cứu của số học nói chung và toán học nói riêng

Luận văn trình bày các ứng dụng của lý thuyết tập hợp, đường cong phẳng và đa thức trong các nghiên cứu của Số học Nội dung chính của luận văn gồm:

1 Dùng lý thuyết tập hợp đếm được để chỉ ra sự tồn tại của số thực siêuviệt Hơn nữa, chỉ rõ tập hợp các số siêu việt có lực lượng quá đếm được

2 Dùng lý thuyết đường cong phẳng để diễn đạt tính vô nghiệm hữu tỉhoặc nghiệm nguyên của phương trình Diophante

3 Dùng lý thuyết đa thức để giải quyết một số bài tập số học

Qua nội dung đã trình bày trong luận văn, chúng tôi có ý tưởng minhhoạ sự thống nhất của các ngành Toán học: Đại số, Số học và Hình học trongnhững trường hợp cụ thể

Luận văn có thể tiếp tục nghiên cứu những vấn đề sâu hơn trong Sốhọc: Tính hữu hạn nghiệm hữu tỉ của các phương trình Diophante hay tínhhyperbilic Brody của các đa tập đại số phức

Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn nghiêm túc và chu đáo củaPGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kínhtrọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS LêQuốc Hán, TS Mai Văn Tư, TS Nguyễn Thị Hồng Loan và các thầy cô giáotrong Bộ môn Đại số và Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau Đại học đã tận tâmdạy bảo chúng em trong thời gian học tập vừa qua

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người bạn học viên cao họckhoá 16 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đã tận tình giúp đỡ trong quátrình học tập và hoàn thành luận văn

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được sựchỉ bảo của các thầy cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp

Tác giả

CHƯƠNG 1 ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT TẬP HỢP TRONG SỐ HỌC

3

Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp.

+ Trước tiên ta thấy n = 1 kết luận đúng

+ Với n = 2, xét hai tập hợp A, B với lực lượng hữu hạn Nếu AB  thì hiển nhiên AB A  B Nếu C  A Bthì ta có ABA\BCB\A

Vì các tập này đôi một giao nhau bằng rỗng; nên AB A\BC  B\ A.

A Theo công thức (1) ta có:

n n

n n

1.1.2 Hệ quả (Xây dựng công thức tính giá trị của hàm Eleur) Nếu số

nguyên dương n > 1 có sự phân tích chính tắc thành các thừa số nguyên tố

Ví dụ 1 Giả thiết n sinh viên có n chiếc ô khác nhau để ngoài giảng đường.

Tìm số khả năng để không có sinh viên nào lấy lại ô của mình

Giải Kí hiệu Dn là số khả năng để không có sinh viên nào lấy lại ô của mình

Ta thay n sinh viên qua {1, 2,…, n-1, n} Kí hiệu A là tập tất cả các khả năng

lấy ô của n sinh viên và Ai là tập con của A gồm tất cả các khả năng lấy ô của

i i

2005

|

| , 668 3

2005

|

| , 1002 2

2005

|

|A2   A3    A11   và

; 154 13

2005

|

|, 91 22

2005

|

| 334 6

2005

|

|A2A3    A2A11    A2A13   

14 143

2005

|

| 51 39

2005

|

| 60 33

2005

|

|, 30 66

2005

|

|A2A3A11    A2A3A13   

4 429

2005

|

|, 7 286

2005

|

|A2A11A13    A3A11A13   

2 858

T A  A A A A 

Vậy T = 562

1.2 Tồn tại số siêu việt1.2.1 Tập đếm được Tập A đựợc gọi là tập đếm được nếu và chỉ nếu có

một song ánh từ A vào tập các số tự nhiên Đặc biệt,  là tập đếm được

Giả sử h: A là một song ánh Thay cho a  A ta viết a h a( ) Như

vậy nói tập A đếm được tương đương với việc đánh số được các phần tử củanó

1.2.2 Bổ đề Tập con của tập đếm được là tập đếm được.

Chứng minh Giả sử Blà một tập con của tập đếm được A Vì Ađếm đượcnên ta có một song ánh f A  : . Mặt khác ta có ánh xạ nhúng n c:B A.Khi đó hàm hợp :f n B   cũng là một song ánh Vậy c B là tập đếm được



1.2.2 Bổ đề Ta có kết luận sau đây là đúng:

a) Tập   là đếm được.

b) Tích Đề các của một họ đếm được các tập  là đếm được.

c) Hợp của họ đếm được các tập đếm được là tập đếm được

1 (n n

phần tử

(b) Được suy ra từ (a) qua quy nạp theo số các tập .

(c) Giả sử X=Ai\iT là một họ đếm được các tập đếm được Vì các Ai là đếm được, nên các phần tử thuộc tập Ai có thể đánh số ai0, ai1,… cho mỗi số tự nhiên i Ta thấy ngay chỉ có một số hữu hạn các aij với i+j=h cho mỗi số tự

nhiên h Bắt đầu đánh số các a ij với i + j = 0; tiếp theo đánh số các aij với

1.2.4 Số đại số Phần tử sR được gọi là phần tử đại số trên Q nếu tồn tại

các phần tử a 1 , a 2 , …,a n Q sao cho:

s n + a 1 s n-1 +…+ a n-1 s + a n = 0.

Đặt

f(x)= x n + a 1 x n-1 +…+ a n-1 x + a n

Đa thức f(x) được gọi là phương trình đại số trên Q.

Trong trường hợp trái lại, s được gọi là phần tử siêu việt trên Q.

1.2.5 Định lý Tập tất cả các số đại số trên Q là một tập đếm được.

Chứng minh Vì tập D với tất cả các đa thức với các hệ tử thuộc Q và hệ tử

cao nhất bằng 1 là tập đếm được theo bổ đề 1.2.2 và bổ đề 1.2.3, nên ta đánh

số được các đa thức thuộc D hay

D f x i i( ) \ 1,2

9

Vì mỗi đa thức khác không bậc n có không quá n nghiệm, nên mỗi đa thức

fi(x) sẽ ứng với một tập các nghiệm a , , i1 a in 

Như vậy, tập tất cả các số đại số trên Q là tập hợp đếm được Nó là tập đếm

được theo bổ đề 1.2.2



Từ định lý trên ta suy ra hệ quả sau đây:

1.2.6 Hệ quả Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số là số đại số trên Q là một

tập đếm được.

1.2.7 Hệ quả Tập hợp tất cả các nghiệm của những đa thức với hệ số là số

đại số trên Q là một tập đếm được.

1.2.8 Bổ đề Tập hợp tất cả các số thực là tập không đếm được.

Chứng minh Giả sử tập hợp tất cả các số thực là 1 tập đếm được Khi đó tập

tất cả các số thực  trong khoảng (0,1) là đếm được Đánh số tất cả các sốthực này và biểu diễn chúng dưới dạng:

với mọi I và nó không được đánh số Vậy tập hợp tất cả các số thực là tập hợpkhông đếm được 

Từ định lý 1.2.5 và bổ đề 1.2.8 ta có kết quả sau:

1.2.9 Định lý Tập hợp tất cả các số siêu việt trên Q là một tập không đếm

được.

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA ĐƯỜNG CONG PHẲNG

Khi đó x = 0 ta có điểm O(0,0), khi x  0 ta có điểm

(x = t2 – 1, y = t(t2-1)) Điểm này sẽ trở thành điểm gốc tọa độ khi t = 1 hoặc

t = -1

Vậy mọi điểm trên đồ thị (l) có tọa độ (t2-1, t(t2-1)), t 

2.1.1 Định nghĩa Tập (l) tất cả những điểm (a,b)C2 thỏa mãn phương

trình f(x,y) = 0, f R ,x y\ 0, được gọi là đường cong phẳng hay đường cong đại số Nếu 1

1n ns s

f f f với các đa thức f bất khả qui thì bậc của (l), i

ký hiệu deg(l), được định nghĩa bằng 



s

i

i f

1

Hiển nhiên, tất cả những đa thức f, g R ,x y với f= g,  R\0 ,hoặc f = gS, sN*, xác định cùng một đường cong phẳng Vì vậy người tathường giả thiết f không chia hết cho một đa thức nào dạng g2

Để có một cách ngẫu nhiên hình học về bậc, ta xét số giao điểm giữa

một đường thẳng (d) và đường cong phẳng (l): f(x,y) = 0 bậc m Không hạn

chế, giả thiết (d) đi qua gốc tọa độ với phương trình tham số

Biểu diễn f(x,y) = f m (x,y) + f (m-1) (x,y) +…+ f 0 , ở đó mỗi f i (x,y) là một đa

thức thuần nhất bậc i của hai biến x và y Thế phương trình tham số của (d)vào phương trình (l) ta có:

f m (a,b) t m + f m-1 (a,b)t m-1 +…+ f 0 = 0 (1)

Khi f m (a,b)  0, (1) là phương trình bậc m có m nghiệm tính cả bội.Đườngthẳng (d)cắt đường cong phẳng (l) tại m điểm kể cả bội Khi

f m (a,b)= f m-1 (a,b)=…=f n+1 (a,b) = 0

và f n (a,b) 0thì số điểm cắt ít hơn m

Như vậy, hai đường cong phẳng trên cắt nhau tại nhiều nhất là m điểmtính cả bội và bậc của một đường cong phẳng ấy tại hữu hạn điểm

Nếu đa thức f là khả qui, chẳng hạn f(x,y)= g(x,y) h(x,y) và cả 2 đa thức

này đều có bậc lớn hơn 0, thì ( ) = ( ) 1 ( )2 với ( )1 được xác định bởi

phương trình g(x,y) = 0, còn (l2) bởi h(x,y) = 0 Khi đó ta nói rằng (l) là

đường cong phẳng bất khả qui.

2.1.2 Định lý Cho đường cong phẳng ( ) : f 0 bậc m Đường thẳng (d) cắt

( ) tại hữu hạn điểm thì tổng số điểm với số bội tương ứng không vượt quá m Chứng minh: Biểi diễn đường cong ( ) bởi phương trình f có dạng fm(x,y) +

fm-1(x,y) +…f0(x,y) = 0, ở đó fi(x,y) là dạng bậc j trong R x, y Không mấttính tổng quát ta giả thiết (d) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ với sự biểudiễn:

tính cả bội Vậy đường cong phẳng ( ) và đường thẳng (d) cắt nhau tại đúng

m điểm tính cả bội khi chúng cắt nhau tại một số hữu hạn điểm

Khi f   =0 phương trình trên trở thành phương trình bậc nhỏ hơn m Khi m( , )

đó số điểm giao nhỏ hơn m

f x y   được gọi là đường cong phẳng hữu tỷ nếu có hàm hữu tỷ

x y

13

    , ở đó ( ), ( ), ( ), ( )f t g t h t k t là những đa thức của t thõa

mãn ( ( ), ( )) 0.f  t  t  Khi cho t t0 sao cho mẫu của ( ), ( )t  t đều khác 0thì ta có điểm ( ( ), ( )) t0  t0 thuộc ( ) ta qui ước điểm ( ( ), ( ))    với

t t  t  t Vậy ( ) là đường cong hữu tỷ 

Ví dụ 6 Trong mặt phẳng, đường cong Lem-nis-cat (Lemniscat) cho bởi

( ) : (x2  y2 2) 2(x2  y2) là một đường cong phẳng hữu tỉ

Giải Đặt x2  y2 t x y(  ) và thay vào phương trình ta có

x y

Tóm lại ( ) là một đường cong hữu tỉ 

Ví dụ 7 Tìm tất cả những điểm thuộc đường cong ( ) : 29x2  y2  1 0, cótọa độ là những số hữu tỉ

Giải Ta thấy điểm ( , ) ( ).1 5

2 2

y  t x t Q Thay y quabiểu thức trên vào phương trình , ta có tất cả những điểm thuộc đường congvới tọa độ là những số hữu tỉ

2.2.2 Bổ đề (Định lý Mason) Cho các đa thức a x b x c x( ), ( ), ( ) với hệ số

thuộc C , nguyên tố cùng nhau từng cặp và thõa mãn a x( )b x( )c x( ). Nếu

kí hiệu n f là số nghiệm phân biệt của đa thức 0( ) f x( ) trong k thì

Vận dụng bổ đề này ta chứng minh được một kết quả sau đây.

2.2.3 Định lí Đường cong phẳng ( ) : x n  y n 1,n3, không là đường cong phẳng hữu tỉ trên .

Chứng minh Nếu ( ) là đường cong phẳng hữu tỉ thì sẽ có các đa thức hệ sốthực hay phức a x b x c x( ), ( ), ( ), nguyên tố cùng nhau từng cặp và thõa mãn( )n ( )n ( ) n

0( ) 1 dega( )+degb( )+degc( )-1

Nên deg ( ) deg ( ) deg ( ) deg ( ) 1n a x  a x  b x  c x  : mâu thuẫn 

Ví dụ 8 Có hay không các đa thức nguyên tố cùng nhau a x b x( ), ( ) với

3deg ( ) deg ( ) deg ( ) d

] 1,] 1

Cộng hai vế của bất đẳng thức, sau khi nhân hai vế bất đẳng thức thứ nhất với

2, ta có deg[ ( )a x 18 b x( ) ] 11deg ( ) 13  a x  : mâu thuẫn

Định lí sau đây chỉ ra số nghiệm của một hệ hai phương trình đa thức hai ẩn

C f x y  và C g x y  cắt nhau tại một số hữu hạn điểm tổng số g : ( , ) 0

giao điểm s thõa mãn sdegC f.degC g

Chứng minh Đường thẳng đi qua điểm O(0,0) và A a b( , ) có phương trình

Hai đường cong C C cắt nhau tại điểm nằm trên đường thẳng f, g (OA) khi và

chỉ khi có t  là nghiệm của hệ ( ) 0, ( ) 0F t  G t  hay có t j   t i nào đó.Tất cả có m n. khả năng để t j t i nên sdegC f.degC g. 

2.2.5 Hệ quả Cho hai đa thức f x y g x y( , ), ( , )k x y[ , ] không đồng thời bằng 0 và không có nhân tử chung Khi đó số nghiệm của hệ sau là hữu hạn

( , ) 0,( , ) 0

Chứng minh Số nghiệm của hệ không vượt quá deg C f.degC g. 

Ví dụ 9 Chứng minh hai đường cong phẳng 3 2 2

1

( ) : x x  y 0 và

2

( ) : 5 x y3xy  y  10 0 có không quá 9 điểm chung

Giải Từ phương trình ( )1 ta suy ra nếu x 0 thì y 0 Nhưng (x 0,y 0

) không là điểm chung của hai đường cong Vậy x 0 Đặt y tx với t k

Từ phương trình đầu ta suy ra x t 2 1,y t 3 t Thay tất cả vào phươngtrình thứ hai ta có

5(t  1) (t  t) 3( t  1)(t  t) (t  t)  10 0. Đây là phương trình bậc 9 của t k  , Vậy hai đường cong đã

Ví dụ 10 Chứng minh hai đường cong 2 2 2 2 2

và thay vào phương trình đầu, ta có t x y2(  )2 2005(x2  y2) Do x y , nên

( )  ( )  và gọi nó là phần thực của ( ) Đặt ( )  ( ) 2 và gọi nó

là phần hữu tỷ của ( ) Phần thực của đường cong phẳng không chỉ được sửdụng để nghiên cứu tập nghiệm một hệ phương trình đại số mà nó còn được

sử dụng khi xét hệ bất phương trình đại số Phần hữu tỉ của đường cong phẳngđược sử dụng để nghiên cứu tập nghiệm nguyên của một hệ phương trình đại

số với các hệ số nguyên Nó gắn liền với lý thuyết phương trình Đi-ô-phăng

Ví dụ 11 Xét tập đai số afin ( ) : x3 y2  x 1 0 trong 2

Vấn đề đặt ra là: Sử dụng thuần túy hình học để mô tả các điểm thuộc ( )  từ một số hữu hạn điểm cho trước Ta thấy ngay 6 điểm

p q thì đường thẳng (pq) trở thành tiếp tuyến của   Xuất phát từ 6 điểm

1, 1 , 0, 1 , 1, 1      V ta xây dựng được các điểm mới trong ( )  như đãlàm ở trên Người ta đã chỉ ra: ( ) chứa hữu hạn điểm mà từ chúng ta có thểtìm tất cả các điểm hữu tỉ khác qua việc tìm giao đường thẳng nối hai điểmvới ( )  Tổng quát, năm 1922 L.S.Moc-đen phỏng đoán phương trình

( , )

f x y =0 với deg f >3 chỉ có một số hữu hạn nghiệm hữu tỉ Năm 1983

G.Phan-ting(G.Faltings) đã giải quyết được vấn đề này Bây giờ ta quan tâmđến nghiệm nguyên của phương trình đa thức thuần nhất f x y z   , ,  0

Chúng ta bắt đầu bằng định nghĩa không điểm tổng quát của đường cong

phẳng

Cho   : f x y  với  ,  0 f x y là đa thức bất khả qui Điểm  ,   1, 2

được gọi là không điểm tổng quát của   nếu f    và nêu đa thức 1, 2 0

 , 

g x y thõa mãn g    thì ( , ) 01 2 g x y chia hết cho  ,  f x y  , 

Giả sử ta tìm được hai hàm hữu tỷ  t , t   t và cả hai không đồng thời thuộc  và coi nó như một phần tử Ta định nghĩa

  lim   à   lim  

 sẽ có dạng  t0 ; ( ) ; t0  t   Điểm  t ; t  là không điểm tổng quát của   gắn liền với việc giải phương trình f x y  trên  ,  0  hay phương trình d  2x, y 0

 a b, 2|a2 b2 1 Một bộ ba Pi-ta-go nguyên thủy (u,v,w) tương ứng

một điểm hữu tỉ w wu, v    \ 0, 1 , 1,0       * Ta biết   :

Ví dụ 13 Tìm tất cả các bộ ba u v, , w 3 với uvw 0 thõa mãn phươngtrình u2  uv v 2 3w2.

Giải Ta xét đường cong phẳng   :x2  xy y 2  3 0 trong 2

  Không điểm tổng quát của   là

x t 2 3,y t 3 4t Mỗi bộ ba u v, , w với uvw0 tương ứng có một

nghiệm hữu tỉ w wu, v    Khi cho m

n

t   với m n  ta có ngay ,  1nghiệm

3

3 4

của u3 v3  3auvw trong  

Ví dụ 19 Giải phương trình x2  y22 2z x2 2  y2 trong 

Giải Ta có không điểm tổng quát của   :x2  y22 2z x2 2  y2 là

Vấn đề sau đây được coi như một bài tập: Khi m là số lẻ với UCLNn m ,  1,

bộ ba 2mn m 2  2n2, 2mn m 2  2n2,m4  4n4 có bộ ba nguyên thủy của

2.3 Ứng dụng của đa thức và tổ hợp trong Số học

Sử dụng ký hiệu hình thức ta chứng minh một số bài toán về tổ hợp

2.3.1 Định lí Nếu f g, là những hàm thõa mãn    

0

n i n i

p Khi đó p n q1n đúng cho mọi n

Vậy  p x n q 1 xn Cho x 1 ta có q n  p 1n hay

Ta suy ra kết quả cần chứng minh 

Ví dụ 20 Tính số các hoán vị của n phần tử, trong đó không có một phần tử

nào chiếm lại vị trí đầu tiên

Giải Gọi số các phép thế phải tìm là q Đặt n p n n! Xét tất cả các phép thế

n

p , trong đó có chứa q là những phép thế không có phần tử nào chiếm lại vị n

trí xuất phát của mình Số các phép thế trong đó có một phần tử chiếm lại vịtrí xuất phát là nq n1 Tương tự, số các phép thế trong đó có đúng hai phần tử

chiếm lại vị trí xuất phát là C q n n2 2,… Cuối cùng, số các phép thế trong đó tất

cả các phần tử chiếm lại vị trí xuất phát là n 0 1

q được thay bởi q sau khai triển Với i

qui ước như vậy, có thể viết đồng nhất thức ký hiệu đúng với mọi giá trị của x

25