HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

PHẦN V: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIANBÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN  I.. Hệ tọa độ trong không gian Định nghĩa: Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục

Trang 1

PHẦN V: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN



I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Hệ tọa độ trong không gian

Định nghĩa: Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được

gọi là hệ trục tọa độ trong không gian

Kí hiệu Oxyz hoặc ( , , , )O i j kr r r

với r r ri j k, ,

là các vecto đơn vị lần lượt nằm trên 3 trục đó

Điểm O được gọi là gốc tọa độ

Trục Ox được gọi là trục hoành, trục Oy được gọi là trục tung, trục Oz được gọi là trục cao

Trang 2

4 Liên hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ điểm hai mút

trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A x y z( ;A A; )A và B x y z( ; ; )B B B ta có kết quả sau:

5 Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ

Định nghĩa: Tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ v x y zur1 1; 1; 1

và v x y zuur2 2; 2; 2

kí hiệu ��v vur uur1, 2�� là một vectơ được xác định bởi:

b Vectơ ��v vur uur1, 2��vuông góc với hai vectơ vur1 và vuur2 .

Trang 3

c ��v vur uur1, 2�� v vur uur1 2 sin trong đó  là góc giữa hai vectơ vur1

và vuur2

Diện tích tam giác: Diện tích của ABC có các đỉnh được cho bởi công thức

S  ��uuur uuurAB AC�� uuur uuurAB AC uuur uuurAB AC

Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

Định lý: Điều kiện cần và đủ để ba vectơ v vur uur1, 2

và vur3 đồng phẳng là: ��v vur uur uur1, 2��.v3 0Như vậy, với v x y zur1 1; 1; 1,v x y zuur2 2; 2; 2

và v x y zur3 3; 3; 3

thì v vur uur1, 2

và vur3 đồng phẳng khi và chỉ khi:

uuur uuur uuur

Thể tích tứ diện: Thể tích của tứ diện được cho bởi công thức:

Mặt cầu tâm O bán kính R có phương trình x2y2z2 R2

Mặt cầu đơn vị có phương trình x2y2z2 1

Định lý: Trong không gian Oxy, mặt  S có phương trình

 S : x2y2 z2 2ax2by2cz d 0  2

với a2   b2 c2 d 0 là phương trình của mặt cầu tâm I a b c ; ;  và bán kính R a2  b2 c2 d.Phương trình  2 gọi là phương trình tổng quát của mặt cầu

II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, gốc O có tọa độ là:

Trang 4

các em hãy luôn viết lại nó dưới dạng xir yj zkr r (theo đúng thứ tự).

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ ur2; 1; 1  và  2

2; 1;

vr a Để u vr r điều kiệnlà:

A.a 0 B.a 1 C.a  1 D Vô nghiệm.

Đáp số trắc nghiệm D.

Lời giải tự luận: Ta có điều kiện là:  1 a2, vô nghiệm

Vậy không tồn tại a để u vr r

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ độ Oxyz , vectơ ur0;1; 5  và vr0; ;a b Để u vr r điều kiện

Trang 5

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ độ Oxyz , cho hai vectơ ur1    1; 3;6 và ur2 2;1; 5  Vectơ

 Thiết lập môi trường làm việc với vectơ cho máy tính bằng cách ấn:

MODE MODE MODE 3

 Để nhập tọa độ cho vectơ ar

Vậy ta được ur   11;7; 14  , ứng với đáp án C

Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng cho bài toán trên thì:

+ Trong cách lựa chọn đáp án băng việc sử dụng máy tính CASIO fx-570MS chúng sử dụng chức

năng tính vecto của máy tính để tìm tọa độ của vecto ur Tuy nhiên, hầu hết các em học sinh lầnđầu đọc cách làm đó đều có chung một nhận định là nó “quá phức tạp” và sẽ mất nhiều thời gianhơn cách giải tự luận Điều này hoàn toàn sai, nhất là với những vecto có tọa độ lẻ

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vecto 1 4

Trang 6

+ Lựa chọn đáp án bằng việc sử dụng máy tính CASIO fx-570MS, ta ấn:

+ Lời giải tự luận: Ta có ur3uur12uuur2 3 ; 3;1 2 2 1; ;4 3 1 35; ;5



6 .

Lời giải Chọn A.

+ Lời giải tự luận: Ta có abr r 1.4 1 5 2 3 13

Trang 7

+ Lời giải tự luận: Ta có a b cr r r.    2;3;1 5; 7;0 ��    3; 2;4 �� 39

+ Lựa chọn đáp án bằng việc sử dụng máy tính CASIO fx-570MS, ta ấn:

+ Lời giải tự luận kết hợp sử dụng máy tính CASIO fx-570MS:

Gỉa sử vrx y z; ;  ta biến đổi điều kiện về dạng:

Trang 8

Do đó ta chọn B.

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ ar1; 3;4  Vectơ br2; ;y z

cùng phương với vectơ r

a

A.y 3và z4 B.y 6 và z8 C y6 và z  8 D y3 và z 4

Lời giải Chọn B.

Ta có : // 1 3 4 6 2; 6;8

82

a khi

A.4a  3b 3c 0 B.4a   3b 3c 0 C.2a   3b 3c 0 D 2a   3b 3c 0

Lời giải Chọn D.

Ta có : 0 3 3 0 2 3 3 0

arbr�a br ur �    � a b c

Nhận xét: Như vậy, qua 20 bài toán trên chúng ta đã sử dụng các kiến thức rất cơ bản của vectơ

trong không gian để thực hiện chúng Tiếp theo chúng ta sẽ quan tâm tới các bài toán về tọa độ của điểm trong không gian

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 9; 1; 1

3 4

A��   ��

� � và

4 58; ;

Trang 9

Trọng tâm G của ABC có tọa độ: 3 5 1 1 3 2 2 2 3; ; 1 4; ; 1

G��       � ��    ��

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A9;0;0 , B 0;9;0 , C 0;0;9 Tọa độ

hình chiếu vuông góc H của O lên (ABC) là:

A.9;9;9  B.9;6;3  C.3;3;3  D 3;6;9 

Lời giải Chọn C.

Nhận thấy rằng O.ABC là hình chóp đều nên H chính là trọng tâm của tam giác ABC, nên

Lựa chọn đáp án bằng phép thử 1: (từ trái qua phải) : Ta lần lượt đánh giá:

 Với đáp án A thì: MNuuuur 2; 2;1 và uuurPQ0;4;1

� MNuuuur và PQuuur

không cùng phương

� Đáp án A bị loại.

 Với đáp án B thì: MPuuur1; 5; 2   và uuurNQ3;1; 2  �MPuuur và uuurNQ

không cùng phương

� Đáp án B bị loại.

 Với đáp án C thì MQuuuur1; 1; 1   và uuurNP3; 3; 3   �MQuuuur và NPuuur cùng phương

� Chọn đáp án C.

Trang 10

Nhận xét : Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng cho bài toán

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M2;0;0 , N0; 3;0  và P0;0; 4 Nếu

tứ giác MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của điểm Q là:

A. 2; 3; 4 B.3; 4; 2  C.2;3; 4  D    2; 3; 4

Lời giải Chọn C.

Cách 1 : Giả sử Q x y z Khi đó, để MNPQ là hình bình hành, điều kiện là: ; ; 

Cách 2: Giả sử Q x y z Khi đó, để MNPQ là hình bình hành, điều kiện  ; ; 

là MP và NQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của MP và NQ, ta có: I1;0; 2 và

2

x

x y

z z

Lựa chọn đáp án bằng phép thử 1.1: (từ trái qua phải) : Để MNPQ là hình bình hành,

điều kiện là MN QPuuuur uuur , với MNuuuur 2; 3;0

Ta lần lượt đánh giá:

 Với đáp án A thì QPuuur2;3;0

nên đáp án A bị loại.

 Với đáp án B thì QPuuur 3; 4; 2 nên đáp án B bị loại.

 Với đáp án C thì QPuuur 2; 3;0MNuuuurnên chọn đáp án C.

Trang 11

điều kiện là MN QPuuuur uuur , với MNuuuur 2; 3;0.

 Với đáp án D thì QPuuur2;3;8

nên đáp án D bị loại.

 Với đáp án C thì QPuuur 2; 3;0MNuuuurnên chọn đáp án C.

điều kiện là MP và NQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, với trung điểm I của

MP là I1;0; 2

 Với đáp án A thì trung điểm của NQ có tọa độ  1; 3;2 nên đáp án A bị loại.

 Với đáp án B thì trung điểm của NQ có tọa độ 3 1; ;1

2 2

� � nên đáp án B bị loại.

 Với đáp án C thì trung điểm của NQ có tọa độ 1;0; 2 � nên chọn đáp án C.I

điều kiện là MP và NQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, với trung điểm I của

MP là I1;0; 2

 Với đáp án D thì trung điểm của NQ có tọa độ    nên đáp án D bị loại.1; 3; 2

 Với đáp án C thì trung điểm của NQ có tọa độ 1;0; 2 � nên chọn đáp án C.I

Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng cho bài toán trên thì:

 Trong cách giải tự luận 1, chúng ta đi tìm tọa độ điểm Q thông qua điều kiện MN QPuuuur uuur để

 Trong cách lựa chọn đáp án bằng phép thử 2.1 và 2.2, chúng ta kiểm tra điều kiện MP và NQ

cắt nhau tại trung điểm mỗi đường theo hướng từ trái qua phải và từ phải qua trái

Câu 1: Nội dung câu hỏi

Trang 12

Câu 7: Nội dung câu hỏi.

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ ar 1; 0; -1 ,  br2; 1; 1 Véc tơ nào sau

đây vuông góc với cả ar và br:

 Lựa chọn đáp án bằng phép thử 1 (từ trái qua phải): Ta lần lượt đánh giá:

 Với véc tơ trong đáp án A, ta có:

Trang 13

 Lựa chọn đáp án bằng phép thử 2 (Từ phải qua trái): Ta lần lượt đánh giá:

 Với véc tơ trong đáp án B, ta có:

Trang 14

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 1; 1 , B 5; 1; -2 , C 7; 9; 1.

Diện tích của ABC bằng:

Trang 15

70(đvtt)

Trang 16

6 .Đáp số trắc nghiệm D.

 Lời giải tự luận: Viết lại phương trình dưới dạng: 2 2 2 2

 nên: a2 b2 c2 d=49 >0

Câu 34: Mặt cầu  S với tâm I 1; 3; 0  và bán kính R = 3 có phương trình:

 Lời giải tự luận 1: Mặt cầu  S có:

Trang 17

 Lựa chọn đáp án bằng phép thử: Ta lần lượt đánh giá:

 Mặt cầu có tâm I 2; -1; 3 nên các đáp án A và B bị loại. 

 Với đáp án D thì:   2  2 2  

3 2   4 1  4 3  11�11 11� �A S

Đáp án D bị loại

Do đó, việc lựa chọn đáp án C là đúng đắn

Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng cho bài toán trên thì;

 Trong cách giải tự luận 1, chúng ta đi xác định tâm và bán kính của mặt cầu  S , từ đó

nhận được phương trình chính tắc của  S

 Trong cách giải tự luận 2, chúng ta sử dụng phương pháp quỹ tích để xác định phương

trình của S

 Trong cách lựa chọn đáp án bằng phép thử, thông qua tọa độ tâm I chúng ta loại bỏ được

đáp án A và B Cuối cùng, để lựa chọn được đáp án đúng chúng ta kiểm tra điều kiện  S đi qua

Trang 18

Tâm I là trung điểm AB

Nhận xét: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng cho bài toán trên thì;

 Trong cách giải tự luận 1, chúng ta đi xác định tâm và bán kính của mặt cầu  S , từ đó

nhận được phương trình chính tắc của  S

 Trong cách giải tự luận 2 và 3, chúng ta sử dụng phương pháp quỹ tích để xác định

phương trình của S và chuyển nó về dạng chính tắc để lựa chọn được đáp án đúng

 Trong cách lựa chọn đáp án bằng phép thử, thông qua độ dài của bán kính R, chúng ta

loại bỏ được đáp án A và B Cuối cùng, để lựa chọn được đáp án đúng chúng ta kiểm tra điều kiện

 S đi qua điểm A

Câu 37: Mặt cầu  S đi qua hai điểm A1; 3; 2 , B 3; 5; 0   và có tâm thuộc trục Ox có phương trình:

Trang 19

 Lựa chọn đáp án bằng phép thử 1 (Từ trái qua phải): Ta lần lượt đánh giá:

 Với mặt cầu trong đáp án A, có tâm I0; 2; 0�Ox nên đáp án A bị loại

 Với mặt cầu trong đáp án B có tâm thuộc Ox,ta thay tọa độ điểm A, B vào và nhận thấy :

1 2   3 2 22�22 22 , đúng

3 2  5 22�50 22 , mâu thuẫn  Đáp án B bị loại

 Với mặt cầu trong đáp án C có tâm thuộc Ox, ta thay tọa độ điểm A B, vào và nhận thấy:

 Lựa chọn đáp án bằng phép thử 2 ( từ phải qua trái): Ta lần lượt đánh giá:

 Với mặt cầu trong đáp án D có tâm thuộc Ox, ta thay tọa độ điểm A B, vào và nhận thấy:

1 5  3 2 5�29 5 mâu thuẫn � đáp án D bị loại

 Với mặt cầu có trong đáp án C có tâm thuộc Ox, ta thay tọa độ điểm A B, vào và nhận thấy:

Trang 20

Chọn D.

 Lời giải tự luận: Giả sử phương trình mặt cầu  S có dạng:

 S :x2y2 z2 2ax2by2cz d 0 với điều kiện a2   � b2 c2 d 0

� thỏa điều kiện  *

Vậy phương trình mặt cầu  S có dạng :

 S :x2y2 z2 2x2y2z 1 0

 Lựa chọn đáp án bằng phép thử 1.1 ( từ trái qua phải): ta lần lượt đánh giá:

 Với mặt cầu trong đáp án A không đi qua điểm B nên đáp án A bị loại

 Với mặt cầu trong đáp án B không đi qua điểm A nên đáp án B bị loại.

 Với mặt cầu trong đáp án C không đi qua điểm A nên đáp án C bị loại

Do đó, việc lựa chọn đáp án D là đúng đắn

 Lựa chọn đáp án bằng phép thử 1.2 ( từ trái qua phải): ta lần lượt đánh giá:

 Với mặt cầu trong đáp án A có tâm I1;0;0 �A nên đáp án A bị loại

 Với mặt cầu trong đáp án B có tâm I0;1;0 �B nên đáp án B bị loại.

 Với mặt cầu trong đáp án C có tâm I0;0;1 �C nên đáp án C bị loại

Do đó, việc lựa chọn đáp án D là đúng đắn

 Lựa chọn đáp án bằng phép thử 2 ( từ phải qua trái): ta lần lượt đánh giá:

 Với mặt cầu trong đáp án D có tâm I1;1;1 thuộc  P , ta thay tọa độ điểm A B C, , vào và nhậnthấy :

A x2y2 z2 5x7y  8 0 B x2 y2 z2 5x7y   3z 14 0

C x2y2 z2 3x 3z 21 0 D x2y2 z2 7y 3z 29 0

Trang 21

Lời giải

Chọn B.

 Lời giải tự luận 1: Giả sử phương trình mặt cầu  S có dạng:

 S :x2y2 z2 2ax2by2cz d 0 với điều kiện a2   � b2 c2 d 0

a b c d

thỏa điều kiện

Vậy phương trình mặt cầu  S có dạng :

 S :x2y2 z2 5x7y3z14 0

 Hướng dẫn lời giải tự luận 2: Nhận xét rằng :

3

SA SB SC   , AB BC CA   18

Suy ra S ABC là hình chóp tam giác đều

 Hướng dẫn lời giải tự luận 3: Nhận xét rằng :

, ,

SA SB SC đôi một vuông góc nhau.

 Hướng dẫn lời giiả tự luận 4: Nhận xét rằng SA SB SC, , đôi một vuông góc nhau và bằng nhau,

do đó mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương sinh bởi, ,

SA SB SC là SBDC AB D C 1 1 1

 Lựa chọn đáp án bằng phép thử - Học sinh thực hiện

§2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

I KIẾN THỨC CƠ BẢN :

1 Cặp vec tơ chỉ phương của mặt phẳng :

Định nghĩa 1 : Hai vectơ khác vectơ – không a br r,

gọi là cặp vectơ chỉ phương (vtcp)của mặt phẳng  P nếu chúng không cộng tuyến và các đường thẳng chứa chúng đều song song với  P

( hoặc nằm trên  P )

Chú ý :

Trang 22

(i) Mỗi mặt phẳng có nhiều cặp vectơ chỉ phương.

(ii) Hai mặt phẳng phân biệt có cùng một cặp vec tơ chỉ phương thì song song với nhau

(iii) Một mặt phẳng  P được hoàn toàn xác định nếu biết một điểm M và cặp vec tơ chỉ phương

 a br r,

của nó

2 Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Định nghĩa 2 : Vectơ nr là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  

 

0

n P

1 Nếu nr là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  P thì mọi vectơ k nr

với k �0 đều là vtpt của mặt phẳng đó

3 Phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Mặt phẳng  P trong không gian Oxyz có phương trình tổng quát:

 P Ax By Cz D:    0 với A2B2C2  (1)0

Nhận vectơ nr A B C; ;  là vtpt

Một số trường hợp đặc biệt.

1 Nếu D0 , mặt phẳng  P đi qua gốc tọa độ

2 Nếu A0,B�0,C �0 , mặt phẳng  P Bx Cz D:   0 sẽ chứa hoặc song song với trục x Ox�

Tương tự :

a Mặt phẳng  P : Ax Cz D  0 sẽ chứa hoặc song song với trục y Oy�

b Mặt phẳng  P : Ax By D  0 sẽ chứa hoặc song song với trục z Oz�

3 Nếu A0,B0,C�0, mặt phẳng  P có dạng  P : Cz D 0 sẽ chứa hoặc song song với trục x Ox� và y Oy� nên nó song song hoặc trùng với mặt phẳng xOy

Tương tự :

a Mặt phẳng Ax D 0 sẽ song song hoặc trùng với mặt phẳng yOz

b Mặt phẳng By D 0 sẽ song song hoặc trùng với mặt phẳng xOz

Trang 23

Phương trình (2) gọi là phương trình đoạn chắn của mặt phẳng  P

5 Chia hai vế của phương trình (1) cho M  A2B2C2 Khi đó, đặt:

II- CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TRĂC NGHIỆM

Câu 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A1; 2;1 và hai mặt phẳng:

  : 2x4y6z 5 0 ,   :x2y3z0

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.   đi qua A và song song với  

B   không đi qua A và song song với  

C   đi qua A và không song song với  

D   không đi qua A và không song song với  

Lời giải

Chọn D.

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M1;1;1, N2; 4;3 Một vectơ pháp tuyến

của mặt phẳng OMN có tọa độ là:

Định dạng
Số trang	45
Dung lượng	4,08 MB