CĂN BẬC 2 SỐ PHỨC

Căn bậc 2 của số phức

Định nghĩa: Cho số phức z a bi 

Căn bậc hai của số phức z là số phức z1  a1 b i1 thỏa mãn 2

1

z  z

Có 2 cách để giải bài toán tìm căn bậc 2 của một số phức , chúng ta có thể giải như sau : Cách 1 : Biến đổi số phức đã cho ra 1 bình phương của một số phức

Cách 2 : Dùng cách sau

Các bước giải :

Ta đặt z   là căn bậc 2 của số phức đã cho x yi z* a bi

Khi đó ta có

2 2

2

xy b

�  



Khi đó ta có a, b đầu bài cho , giải rat a được x, y

Ví dụ 1: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: 3 4i 

Cách 1.

Ta có:  2

3 4i 1 2i

    � căn bậc hai của 3 4i  là �1 2i 

Cách 2

Gọi x iy x y  , �� là một căn bậc hai của 3 4i  , ta có:

xy

�   

�



�

 2 y 2x 0  3

x



Thay (3) vào (1) ta được:

2

4

x

1

x 

� (nhận) hoặc x2   (loại)4

* Với x thì 1 y2

* Với x  thì 1 y 2

Vậy căn bậc hai của 3 4i   là 1 2i và  1 2i

Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau:

4 6 5

z  i

Cách 1: Dùng kỹ thuật biến đổi

2

4 6 5 i 4 2.3 5i 3 2.3 5i 5i  3 5i

Vậy z có hai căn bậc hai là 3 5i và 3  5i

Cách 2: Dựa vào định nghĩa: w là 1 căn bậc hai của z�w2 z

Đặt w x yi  là 1 căn bậc hai của z 4 6 5i

xy

�



�

 

 

2

2 2

2

45

4 1 4

2

x

x

�



Từ

�  � 

  �  

� Vậy z có hai căn bậc hai là 3 5i và 3  5i

Ví dụ 3: Gọi z x yi  là căn bậc 2 của số phức 1 4 3  i Giá trị x và y là bao nhiêu

2 2

�

xy

Ví dụ 4 : Tìm các căn bậc hai của số phức z 5 12i

Lời giải

Gọi x + yi (x; y�R) là căn bậc hai của z

Ta có: (x yi )2  5 12i

2 2 2 2 5 12 2 2 2 5 12

x  xyi y i   i x  xyi y   i

2 2

5

6 (2)

2 12

x xy

y

�  

���  � � �

�

Thay (2) vào (1) ta có:

2

6

y

� �

� �

4 5 2 36 0 2 4; 2 9( )

 � 

�

�   �  

�

Vậy z có hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i

LUYỆN TẬP

Bài 1 : Số nào sau đây là căn bậc 2 của:3 4i

A 2 + i B 2 – i C 3 + i D 3 - i Gọi số phức cần tìm là a + bi

�

� 

�

� 

 

�

2 2

2 2

3 4

2 1 3

2

1

a b

a

ab

b

Đáp án A

Bài 2 : Gọi a + bi là căn bậc 2 của 1 i khi đó ab:

Giải

Gọi số phức cần tìm là a + bi

  

�

�� �

�



�

� �



�



�

�  �

�

2 2

2 2

1

2

2 1 2 1

2

2 1 2

a

b

ab

a b

Đáp án A

Bài 3 : Tìm căn bậc 2 của 7 24i

Giải

A �3 3i  

B.�4 3i  

C.�3 3i  

D.�4 3i  

Giải

Gọi số phức cần tìm là a + bi

�

� 

�

� 



�

2 2

2 2

7 24

4 3 7

4

3

a b

a ab

b

Đáp án D

Bài 4 : Số nào sau đây là căn bậc 2 của

3

i i





A

 1 1

2 2i B.  3 1

2 2i C.  1 3

2 2i D.  1 1

2 2i Giải

Gọi số phức cần tìm là a + bi

 



�

�� 

��

�� 

�

�

�� 

�

2 2

2 2

3

2

1 2 1 2 0

1

2 1 2

i

a bi

i

a

b

b

Đáp án A

Bài 5 : Số nào là căn bậc 2 của

2

1 1

i i

� �

� �

� � là

A

2

1

1

i

i

� �

� �





1 1

i





1 1

i

Gọi số phức cần tìm là a + bi

� � 

2

a bi

Đáp án C

Bài 6 : Tìm căn bậc 2 của 1 2

A



1

1



1 1

2i C.�1  2i

D.�1  2i

Giải

Gọi số phức cần tìm là a + bi

  

�

��



�

��  � �  

� �

�

2 2

2 2

1

2 2

1

2

1 1

2

2

a b

a ab

b

Đáp án A

Bài 7 : Tìm căn bậc 2 của:

2

3

i i

A

��� ��



3

i

��� ��



3

i

Giải

2

3

i

��� ��



3

i i

Đáp án B

k Gọi z = a + bi là căn bậc 2 của:

2 2i

Khi đó

2

2

a

b là:

A





Giải

  

�

�� �

�

�

�

� �

2 2

2 2

2

2

2

2

a

b

Bài 8 : Cho Z = a + bi là căn bậc 2 của 2 1 i 3 giá trị của ab là

Giải

 

�

 

�

2 2

ab

Vậy A.

Bài 9 : Tính: căn bậc 2 của số trên là:

1 i1 i

A 0 B -1;1 C –i ; i D 2i ;–2i

Giải

  

Bài 10 Những căn bậc hai của  5 12i là:

(A)  5 12i (B) 2  3 , 2 3i  i

(C)  5 12 , 5i  12i (D)  5 12 , 5i  12i

Chọn  B

Giả sử x yi là một căn bậc hai của  5 12i , ta có:

5 12

x yi    i , hay

36

5

6 6

x x

�

Từ đó, ta được căn bậc hai của  5 12i là :  2  3 , 2 3i  i

Bài 11 Gọi  z x yi là căn bậc 2 của số phức 4 6 5 i Giá trị x và y là :

A

� � 

C

� � 

Giải:

4 6 5

�

xy

Bài 12 : Gọi  z x yi là căn bậc 2 của số phức 1 2 6  i Giá trị x và y là :

A

�  �� 

�  �� 

C

� �� 

� ��

Giải:

1 2 6

�

xy

Bài 13: Gọi  z x yi là căn bậc 2 của số phức 5 12   i Giá trị x và y là :

A  2  2

 �  

C  1 1

 �  

 �  

Giải:

5 12

2 12

    ���x y � x  �x 

xy

Bài 14: Gọi z x yi  là căn bậc 2 của số phức

4 5

3 2

  i

Giá trị x và y là :

A

B

�  �

C

D

2 2 2

5

Bài 15: Gọi z x yi  là căn bậc 2 của số phức 7 24 i Giá trị x và y là :

A  4  4

  � 

  � 

C  2  2

  � 

  � 

Giải:

   ���x  y � x �x  

xy

Bài 16: Gọi  z x yi là căn bậc 2 của số phức 40 42   i Giá trị x và y là :

A  5  5

  � 

  � 

C  3 3

 �  

  � 

Giải:

2 42

    � ��x y � x �x 

xy

Bài 17: Gọi z x yi  là căn bậc 2 của số phức 11 4 3 i Giá trị x và y là :

A

�  ��

�  ��

C

�  ��

�  �

�  ��

�  � 

Giải:

�

xy

Bài 18: Gọi z x yi  là căn bậc 2 của số phức

4 2 i

Giá trị x và y là :

A

B

�  ��

C

�  ��

�  �

�  ��

�  � 

Giải:

2 2 2

Bài 19: Gọi z x yi  là căn bậc 2 của số phức 5 12  i Giá trị x và y là :

A  2  2

 �  

   

 �  

C  1 1

 �  

 �  

Giải:

5 12

2 12

    ���x y � x  �x 

xy

Bài 20: Gọi  z x yi là căn bậc 2 của số phức 8 6  i Giá trị x và y là :

A  2  2

 �  

C  2 2

 �  

 �  

Giải:

   ���x y � x  �x  

xy

Bài 21: Gọi z x yi  là căn bậc 2 của số phức 33 56 i Giá trị x và y là :

A  7  7

  � 

 �  

C  2  2

  � 

  � 

Giải:

33 56

   � ��x  y � x �x  

xy

Bài 22: Tìm các căn bậc hai của số phức z 164 48 5 i

A 4 6 5 , 4 6 5 i  i B 4 6 5 , i  4 6 5i

C 4 6 5 , 4 6 5 i  i D 4 6 5 , i  4 6 5i

Lời giải

Giả sử a+bi (a; b�R) là căn bậc hai của z

Ta có: (a bi )2  164 48 5 i

2 2 2 164 48 5

�

2 2

164

24 5

a

�   

�   

Thay (2) vào (1) ta có:

a

16; 180( )

�

�  � 

�

  �  

�

Vậy z có hai căn bậc hai là 4 6 5 , i  4 6 5i

Bài 23: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau1 4 3i

A �2 3i

B �3 3i

C �2 3i

D �3 2i

Gọi x iy x y  , �� là một căn bậc hai của 1 4 3i , ta có:

 

2 2

2x 1 4 3

2 3 2

xy

�



�

 2 y 2 3x 0  3

x



Thay (3) vào (1) ta được:

2

12

x

2 4

x 

� (nhận) hoặc x2   (loại)3

* Với x thì 2 y 3

* Với x  thì 2 y  3

Vậy căn bậc hai của 1 4 3i là �2 3i