một số phương pháp tinh tích phân

Tức là trong hàm số dưới dấu tích phân hợp bởi 2 trong 4 hàm số trên thì ta đặt u theo thứ tự ưu tiên như trên, cịn lại thì đặt là dv.. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1.1... PHƯƠNG PHÁP ĐỔI

 Bài 04

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1 Phương pháp đổi biến số

a) Phương pháp đổi biến số loại 1

Giả sử cần tính tích phân ( )d

b

a

I =ịf x x ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Đặt x u t= ( ) (với u t là hàm cĩ đạo hàm liên tục trên ( ) [a b , ; ] f u téë( )ùûxác định trên [a b và ; ] u( )a =a u, ( )b = ) và xác định , b a b

Bước 2 Thay vào, ta cĩ I f u t u t t( ) '( )d g t t G t( )d ( ) G( ) G( )

b a

t

p p

p p

b) Phương pháp đổi biến số loại 2

Tương tự như nguyên hàm, ta cĩ thể tính tích phân bằng phương pháp đổibiến số (ta gọi là loại 2) như sau:

b

a

I =ịf x x nếu f x( )= ë ûg u x u xé( )ù '( ), ta cĩ thể thực hiệnphép đổi biến như sau:

ï = Þ =ïỵ

ìï =ïï

ax u

Ưu tiên đặt u theo quy tắc ''nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ '' Tức

là trong hàm số dưới dấu tích phân hợp bởi 2 trong 4 hàm số trên thì ta đặt u theo thứ tự ưu tiên như trên, cịn lại thì đặt là dv.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1.1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 1

Câu 1 Cho tích phân

8

2 0

.8

d4

x I

.1

ïï = ® =ïî

1d3

x

=+

ò và x= 3tant Mệnh đề nào sau đâyđúng?

t I

1d

2

2 2

x

t

ìïï ïïïïí

ïïïïîĐổi cận:

1

2 2

4

p p

Vấn đề 1.2 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI 2

Câu 6 Cho hàm số f x có nguyên hàm trên ¡ Mệnh đề nào sau đây đúng?( )

íï = Þ =ïî

B, C, D sai Ta có thể chọn hàm f x( )= để kiểm tra.x

Câu 7 Hàm số f x có nguyên hàm trên ( ) (a b đồng thời thỏa mãn; )

f x e x =

b

f x a

f x e x

b

f x a

ï = ® =ïî

x p t

ì = ® =ïï

ïí

ï = ® =ïïî

íï = ® =ïî

íï = ® =ïî

íï = ® =ïî

Khi đó

2 2

Câu 17 Cho tích phân

3 2 4 0

4d2

d

t I

t

1 2 0

d

t I

íï = Þ =ïî

Khi đó

3

2 2

d

t I

t

Câu 18 Tính tích phân 2( )2017

2019 1

2 1

íï = ® =ïî

íï = ® =ïî

12

I n

I n

Khi đó

1 1 0

íï = ® =ïî

Khi đó

2

1 1

23

íï = ® =ïî

d 1

1 1

Lời giải Với t= 1+ Þx t2= + , suy ra 2 d1 x t t=dx Đổi cận 0 1.

ì = ® =ïï

íï = ® =ïî

1d

d1

t t I

d1

t t I

t

=+

2

3 22 2

d1

t t I

t

=-

3 2 2

d1

t t I

t

=+

Đổi cận:

23

d1

11

ï = ® =ïî

3

t x

x t t

-ï =ïïïíï

ïïïî

íï = ® =ïî

íï = ® =ïî

Khi đó

ln2 2 ln2 2

0 0

u x x x u e u x

I = òt t B

2 2 1

2

d 3

I = òt t C

2 3 1

29

1 1

= - B f t( ) 12 2

t t

=- + C f t( ) 22 1

t t

t t

Lời giải Với t=lnx+ , suy ra 2

dd

x t x

x t

ìïï =ïí

íï = ® =ïî

x x

e x ae e I

ae b e

-+

++

.2

e

x t e

ìïï =- ® =ïïí

ïï = ® =ïïî

2 1

p p

=-Lời giải Đặt t=cos ,x suy ra dt=- sin d x x Đổi cận: 0 1

1

x p t

ì = ® =ïï

íï = ® ïî

x p u

ì = ® =ïï

ïí

ï = ® =ïïî

Khi đó

1

4 0

x p t

ì = ® =ïï

ïí

ï = ® =ïïî

I n

=

1.2

I n

x p t

ì = ® =ïï

ïí

ï = ® =ïïî

Khi đó

0 0

đúng?

x u

x u u x

-ïïï

ïïïîĐổi cận

.24

p

=+

d6cos

n x

x x

A nÎ [ ]1;2 B nÎ [3;4 ] C nÎ [5;6 ] D nÎ [7;8 ]

Lời giải Đặt t=tan ,x suy ra d d2

cos

x t

x

.tan

ïîKhi đó

7

0 0

¾¾® có 10 giá trị của k ¾¾® có 10 giá trị của a Chọn D.

Câu 51 Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn ( ) [2;4 và thỏa mãn] ( )2 2

íï = ® =ïî

íï = ® =ïî

Khi đó 16 ( )d 1.12 4

I = òf t t= = Chọn B.

íï = ® =ïî

Lời giải Xét 2 ( )

1 6

íï = ® =ïî

íï = ® =ïî

íï = ® =ïî

2

t u p

ì = ® =ïï

ïí

ï = ® =ïïî

Khi đó I 2 f(sin cos du) u u 2cos sin dx f( x x) 2017

1 4

ìïï = ® =ïïï

íï

ï = ® =ïïïî

1

1 2

x p u

ì = ® =ïï

ïí

ï = ® =ïïî

ìïï =ïïïíï

ï =ïïïî

ïï = ¾¾® =ïïî

íï = ® =ïî

íï = ® =ïî

Lời giải Đặt t=f x( ), suy ra dt=f x¢( ) ( )d x Đổi cận

íï = ® =ïî

Lời giải Đặt ln( 1) d d

.1

e

f X

e

=Với thiết lập Start 9, End 10, Step 1- (do a b c, , là các số nguyên)

2

x u

v x x v x

ìïï =ï

Câu 80 Cho hai số nguyên dương , a b thỏa mãn

a

b

ì =ïï

Câu 82 Cho , , a b c là các số nguyên dương thỏa mãn

2 2 1

x - +

hiệu bằng 0 Thử với a= , ta nhập hiệu 2

2 2 1

2 2

x x

ln2

x x

x x

íï = Þ =ïî

2

x x

Cách 2 CASIO Thiết lập hiệu ( ) 2 2

A a+2b= 8 B a b+ = 5 C 2a- 3b= 2 D a b- = 2

nào sau đây là đúng?

5

e K

p

íï = ® =ïî

Vấn đề 3 TÍCH PHÂN ẨN HÀM SỐCâu 101 Cho f x là hàm số chẵn trên đoạn ( ) [- 1;1] và thỏa mãn ( )

f x x b

Ví dụ Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên ¡ và thỏa mãn

0 0

f f

Lấy tích phân cận từ 1 đến 5 hai vế, ta được ( )

m

m e m

a

x I

f x

=+

( ) ( )

0 0

Câu 110 Cho số thực a¹ 0, đặt

1d

x

e x

x t a

x a t a

ì = ® =ïï

íï = ® ïî