phương pháp giải các bài toán tích phân

PHƯƠNG PHÁP GIẢI Sử dụng ba tích chất sau để biến đổi tích phân cần tính thành tổng – hiệu các tích phân cơ bản BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của cá

 Chuyên đề 4 : TÍCH PHÂN

 Vấn đề 1:

BIẾN ĐỔI VỀ TỔNG – HIỆU CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Sử dụng ba tích chất sau để biến đổi tích phân cần tính thành tổng – hiệu các tích phân cơ bản

BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp

9 u'tan udx ln cosu c

10 u'cot udx ln sin u c 

Đặc biệt: u(x) = ax + b; f(x)dx F(x) c   f(ax b)dx 1F(ax b) c 

Bài 3: CAO ĐẲNG GTVT III KHỐI A NĂM 2007

Tính các tích phân sau:     





2 1

t(t 1), với x > 1 Từ đó tìm xlim I(x)

tlnt ln t 1 ln

dxI

(1) và (2) ta có hệ:

 Vấn đề 2:

TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI I

2 Phương pháp: Xét tích phân b

a

I f(x)du

- Đặt t = u(x)  dt = u'(x)dx

- Đổi cận u(a) = t1 ; u(b) = t2

- Suy ra: t2 t2t1

t1

Ig(t)dt g(t) (g(t) f[u(x)].u (x))  

Thường đặt ẩn phụ t là

 căn thức, hoặc mũ của e, hoặc mẫu số, hoặc biểu thức trong ngoặc

 có sinxdx  đặt t = cosx, có cosxdx  đặt t = sinx, có dx

dx đặt x atan t



B ĐỀ THI

ln t4

2

3

2t 6t 21t 10ln t3

ln x dxx(2 ln x)

dxI

1 tcos2x

sin2x 2(1 sinx cosx)

4I

sin2x 2(1 sinx cosx)

Đặt t = sinx + cosx       

dt (cosx sinx)dx 2 sin x dx

4 Đổi cận: x = 0  t = 1; x   t 2

1

2 6

t 1

Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006

sin2x dx

1 3sin x Đặt t = 1 + 3sin2x  dt = 3sin2xdx

xI

2 0

dxI

e dxI

e dxI

I 1 cos x sinxcos xdx 1 cos x.cos x.sinx.cos xdx

Đặt t61 cos x 3 t6 1 cos x3 6t dt 3sinxcos xdx5  2

 2t5dt = sinxcos2xdx và cos3x = 1 – t6

 Vấn đề 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP

1 1

1 2(2x 1)

1

4 2

Tính tích phaân :   



1 0

x (1 2e ) e

1 2e

1 d(1 2e )

1 x 0

2 6

3 1 tan t dt 22

3 1 tan t 6 34

Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ 2

Tính tích phân: 

2 0

I1tsint0sintdt cost  2

1 sin2x dxcos x

 Vấn đề 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍNH DIỆN TÍCH Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a, b] Diện tích

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là:

S f(x)dx f(x) dx

Từ bài toán 1 suy ra nếu f(x) không

dương trên đoạn [a, b]

 b b

S f(x)dx f(x) dx

Bài toán 2: (Tổng quát)

Cho hai hàm số y1 = f(x), y2 = g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và có đồ thị lần lượt là (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường x = a,

x = b được xác định bởi công thức: b 

THỂ TÍCH CÁC VẬT THỂ

I CÔNG THỨC THỂ TÍCH

Giả sử vật thể T được xác định bởi 2 mặt

phẳng ( ) và ( ) song song với nhau Ta  

chọn trục Ox sao cho nó vuông góc với

các mặt phẳng ( và () Ta có Ox  ()

= A, Ox  () = B Giả sử mặt phẳng

( ( ) Ox, ( ) Ox C,     () cắt vật thể T

có thiết diện là S(x)

Khi đó b

a

V S(x)dx

II BÀI TOÁN

Bài toán 1: Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các

đường y = f(x), x = a, x = b và y = 0 quay quanh Ox

Hình tròn S(x) có bán kính R = y: S(x) y 2

 b 2

a

Bài toán 2: Thể tích do hình phẳng: x = g(y), x = 0,

y = a, y = b quay quanh trục Oy:

 b 2

a

Bài toán 3: Tính thể tích vật thể do hình phẳng

giới hạn hai đường cắt nhau quay quanh Ox:

Bài toán 4: Tính thể tích vật thể do hình phẳng

giới hạn hai đường cắt nhau quay quanh Ox

B ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): x = x2 + 4x và đường thẳng d: y = x

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x

Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = xlnx, y = 0, x = e

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox

Bài 4: ĐỀ DỰ BỊ 2 - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi paraol y = x2– x + 3 và đường thẳng

Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra trong phép quay xung quanh trục Ox,

của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đường y = x sinx (0  x  )

Bài 8: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Bài 9: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = 7 – 2x2, y = x2 + 4