MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

 Bài 03MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Định nghĩa.. Chia hai vế phương trình cho a2+b2 , ta đựợc 3 Phương trình bậc hai

 Bài 03

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

THƯỜNG GẶP

1) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Định nghĩa Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là

phương trình cĩ dạng

0

at b + =trong đĩ , a b là các hằng số (a¹ 0) và t là một hàm số lượng giác.

Cách giải Chuyển vế rồi chia hai vế phương trình cho a , ta đưa về

phương trình lượng giác cơ bản

2) Phương trình bậc nhất đối với sin x và cosx

Định nghĩa Phương trình bậc nhất đối với sin x và cosx là phương trình cĩ

dạng

sin cos

a x b + x c =

Cách giải Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm: a2+b2³ c2

Chia hai vế phương trình cho a2+b2 , ta đựợc

3) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Định nghĩa Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là

phương trình cĩ dạng

at + + = bt c

trong đĩ a b c, , là các hằng số (a¹ 0) và t là một hàm số lượng giác.

Cách giải Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn

phụ (nếu cĩ) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này Cuối cùng, ta đưa về việcgiải các phương trình lượng giác cơ bản

4) Phương trình bậc hai đối với sin x và cosx

Định nghĩa Phương trình bậc hai đối với sin x và cosx là phương trình cĩ

● Khi cosx ¹ 0, chia hai vế phương trình cho cos x2 ta thu được phươngtrình

Đặc biệt Phương trình dạng asin x b+ sin cosx x c+ cos x d= ta làm như sau:Phương trình Û asin2x b+ sin cosx x c+ cos2x d= 1

5) Phương trình chứa sin x ± cos x và sin cos x x

Định nghĩa Phương trình chứa sinx±cosx và sin cosx x

( sin co s ) s i n co s 0

a x ± x + b x x + = c

Cách giải Đặt t=sinx±cosx (điều kiện - 2£ £t 2)

Biểu diễn sin cosx x theo t ta được phương trình cơ bản.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 1 Gọi S là tập nghiệm của phương trình 2cos x- 3 0= Khẳng định nàosau đây là đúng?

é

ê = +ê

êê

p p

Quá dễ để nhận ra có 4 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên

đường tròn lượng giác là A, B, C, D Chọn A.

Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của k tương ứng với

có 2018 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn D.

Câu 6 Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương

D

A B

Câu 7 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của

Câu 8 Giải phương trình 4sin2x =3

2

23

é

ê = +ê

Îê

ê

êê

¢

3

k x

k k

k k

é

ê = +ê

êê

k

k k

Câu 9 Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương

{ } { }

{ } { }

Vậy phương trình đã cho có 12 nghiệm Chọn D.

Câu 11 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m Chọn C.

Câu 12 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 2108;2018]

để phương trình cosm x+ = có nghiệm?1 0

Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của tham số m Chọn A.

Câu13 Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình (m- 2 sin2) x m= +1nhận

12

+1

Câu 15 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

(m- 2 sin2) x m= + vô nghiệm.1

Lời giải TH1 Với m= , phương trình 2 (m- 2 sin2) x m= + Û1 0 3= : vô lý

22

2

m> là giá trị cần tìm Chọn D.

Vấn đề 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x và cosx

Câu 16 Gọi S là tập nghiệm của phương trình cos2 x- sin2x= Khẳng định1nào sau đây là đúng?

Lời giải Phương trình Û 3sin3x- 4sin 33 x- 3cos9x= Û1 sin9x- 3cos9x=1

min Cho 0

Cách trắc nghiệm Thử từng nghiệm của đáp án vào phương trình và so

sánh nghiệm nào thỏa mãn phương trình đồng thời là nhỏ nhất thì ta chọn

Câu 20 Số nghiệm của phương trình sin5x+ 3cos5x=2sin7x trên khoảng0;

êê

êê

ê = ® =ê

ê

¢

Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn Chọn D.

ê

êë

Lời giải Phương trình Û sin9x- 3cos9x=sin7x- 3cos7x

Lời giải Phương trình Û 3sin3x+cos3x=sinx+ 3cosx

x

-=-

ìïï ¹ +ïïï

+ïïïî

¢

Điều kiện bài toán tương đương với bỏ đi vị trí hai điểm trên đường tròn lượng giác (Hình 1).

Phương trình Û cosx- 3sinx= Û0 cosx= 3sinx

nên có 2 giá trị nguyên Chọn B.

cos2x+ 3sin2x+ 3sinx- cosx= Mệnh đề nào sau đây là đúng?2

Lời giải Phương trình 1cos2 3sin2 3sin 1cos 1

Câu 27 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10] để

Câu 30 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 2018;2018]

để phương trình (m+1 sin) 2x- sin2x+cos2x= có nghiệm.0

Lời giải Phương trình ( 1)1 cos2 sin2 cos2 0

Câu 31 Hỏi trên 0;

1sin

( )

26

p p

é

ê = +ê

Câu 32 Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 2cos2x+5cosx+ =3 0

trên đường tròn lượng giác là?

Câu 34 Số nghiệm của phương trình 4sin 22 x- 2 1( + 2 sin2) x+ 2 0= trên

(0;p là?)

2sin2

2

1sin2

p

éé

ê

êê

ê

êê

Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn Chọn B.

Câu 35 Số nghiệm của phương trình sin 22 x- cos2x+ = trên đoạn 1 0 [- p p;4 ]

Do xÎ -[ p p;4 ]¾¾®- p£k p£4pÛ - £ £ ¾¾¾1 k 4 kÎ ¢® Î -k { 1;0;1;2;3;4 }

Vậy phương trình có 6 nghiệm thỏa mãn Chọn C.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn Chọn B.

Câu 38 Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình

2cos2x+2cosx- 2 0= trên đoạn [0;3p ]

Suy ra có duy nhất 1 vị trí đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm Chọn A.

Câu 40 Cho phương trình cos cos 1 0

Vậy có hai nghiệm thỏa mãn Chọn B.

Câu 42 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

tanx m+ cotx= có nghiệm.8

Yêu cầu bài tốn tương đương với:

 TH1: Phương trình ( )* cĩ một nghiệm t =- (cĩ một nghiệm x ) và một1 1nghiệm 0< < (cĩ bốn nghiệm x ) (Hình 1) t2 1

ê =- ¾¾® = Ỵê

loạithỏa

 TH2: Phương trình ( )* cĩ một nghiệm t = (cĩ hai nghiệm x ) và một1 1nghiệm - < £ (cĩ ba nghiệm x ) (Hình 2).1 t2 0

ê = ¾¾® = Ï ê

-loạiloại

t

é

ê =êê

= ê

-O O

Ta thấy ứng với một nghiệm 1 1

çè ø Do đó yêu cầu bài toán - < £ Û - < -1 t2 0 1 m 2 0£ Û < £1 m 2. Chọn B.

Cách 2 Yêu cầu bài toán tương đươn với phương trình 2t2+ -(3 2m t m) + - 2 0=

- < £ < < Û íïïï >

- >

ïî

Vấn đề 4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x và cosx

Câu 46 Giải phương trình sin2x- ( 3 1 sin cos+ ) x x+ 3cos2x=0

Chọn B

Câu 48 Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với

phương trình sin2x- ( 3 1 sin cos+ ) x x+ 3 cos2x= 3

Lời giải Phương trình Û sin2x- ( 3 1 sin cos+ ) x x+ 3 cos2x= 3 sin( 2x+cos2x)

(1 3 sin) 2x ( 3 1 sin cos) x x 0 sinxé(1 3 sin) x ( 3 1 cos) xù 0

 sinx= Û0 cos2x= Û1 cos2x- =1 0

 (1- 3 sin) x- ( 3 1 cos+ ) x= Û0 (1- 3 sin) x=( 3 1 cos+ ) x

-Vậy phương trình đã cho tương đương với (tanx+ +2 3 cos) ( 2x- 1)= Chọn D.0

Câu 49 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của

phương trình sin2x+ 3 sin cosx x= ?1

34

Câu 50 Cho phương trình cos x- 3sin cosx x+ = Mệnh đề nào sau đây là1 0sai?

A x kp= không là nghiệm của phương trình

B Nếu chia hai vế của phương trình cho cos x thì ta được phương trình2 2

C Nếu chia 2 vế của phương trình cho sin x thì ta được phương trình2 2

D Phương trình đã cho tương đương với cos2x- 3sin2x+ = 3 0

x x

thấy thỏa mãn Vậy A đúng

 Phương trình Û cos2x- 3sin cosx x+sin2x+cos2x=0

min Cho 0

Câu 54 Cho phương trình ( 2 1 sin- ) 2x+sin2x+( 2 1 cos+ ) 2x- 2 0= Trong

các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

8

B Nếu chia hai vế của phương trình cho cos x2 thì ta được phương trình2

Câu 56 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10] để

phương trình 11sin2x+(m- 2 sin2) x+3cos2x= có nghiệm?2

Câu 57 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc để phương trình

sin x- 2m- 1 sin cosx x- m- 1 cos x m= có nghiệm?

Lời giải Phương trình Û (1- m)sin2x- 2(m- 1 sin cos) x x- (2m- 1 cos) 2x=0

ê >

ê

Chọn B.

Câu 60 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 3;3]

để phương trình (m2+2 cos) 2x- 2 sin2m x+ = có nghiệm.1 0

Câu 61 Giải phương trìnhsin cosx x+2 sin( x+cosx)= 2

t t

x k

k

p p p

é =êê

ê = +ê

¢ Chọn B.

Câu 62 Cho phương trình 3 2 sin( x+cosx)+2sin2x+ = Đặt 4 0 t=sinx+cosx,

ta được phương trình nào dưới đây?

Nhận thấy trong các đáp án A, B, C, D thì phương trình ở đáp án D vô nghiệm

Lời giải Đặt sin cos 2sin

t t

Ta có t2=(sinx- cosx) =sin2x+cos2x- 2.sin cosx xÞ sin2x= -1 t2.

t t

C sinx =- hoặc sin1 x = 0 D sinx = hoặc sin0 x = 1

2

t

-Phương trình trở thành (1+ 5)t+ -1 t2- -1 5 0=

Lời giải Ta có (1 sin+ x)(1 cos+ x)= Û +2 1 sinx+cosx+sin cosx x=2

Lời giải Phương trình 1 (sin cos )(1 sin co ) 3sin2

2s

Câu 75 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

sin cosx x- sinx- cosx m+ = có nghiệm?0