4 bất đẳng thức và bất phương trình

Đại số 10. Bất đẳng thức. Bất phương trình Bài giảng này trình bày đầy đủ phần: A. Lí thuyết cần nhớ B. Phương pháp giải các dạng toán tự luận C. Các dạng câu hỏi trắc nghiệm. Bạn đọc quan tâm có thể mua thêm phần: D. Đáp số Hướng dẫn Lời giải Các ví dụ Câu hỏi trắc nghiệm E. Luyện tập thêm Liên hệ tới Thầy Hoàng Hà của Nhóm HỒNG ĐỨC

Quy tắc 2: (Chuyển vế): Nếu a + c > b  a > b  c

Quy tắc 3: (Phép nhân): Nếu a > b ≥ 0 và c > d ≥ 0  ac > bd

Quy tắc 4: (Phép nâng lên luỹ thừa): Nếu a > b ≥ 0  an > bn, với n  *

II BẤT ĐẲNG THỨC VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta suy ra các tính chất sau:

a  a  a với mọi a 

x  a  a  x  a với a  0

(tương tự x< a  a < x < a với a > 0)

x  a  x  a hoặc x  a với a  0

(tương tự x > a  x < a hoặc x > a với a > 0)

Định lí: Với mọi a, b  , ta có:

|a|  |b|  |a + b|  |a| + |b|

III BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN

(BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI)

1 ĐỐI VỚI HAI SỐ KHÔNG ÂM

Định lí: Với hai số không âm a, b, ta có:

2



 ab (thường được viết a + b  2 ab )

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất

khi hai số đó bằng nhau

Tức là, với hai số dương a, b có a + b = S không đổi suy ra:

Hệ quả 2: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất

khi hai số đó bằng nhau

Tức là, với hai số dương a, b có ab = P không đổi suy ra:

a + b  2 P  (a + b)Min = 2 P , đạt được khi a = b

Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi

thường được viết:

a + b + c  33 abc hoặc (a + b + c)3  27abc

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

b Với n số ai, i = 1, n không âm, ta luôn có:

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Với mọi số thực a, b, c Hãy lựa chọn bất đẳng thức đúng

Câu 5 Với a, b dương Hãy lựa chọn bất đẳng thức đúng

Câu 7 Với mọi số thực a, b, c ta có bất đẳng thức (a + b)2(b + c)2  4abc(a + b + c) Hỏi

dấu “=” xảy ra khi nào?

1n(n 1) < 1 B

11.2 +

12.3 + +

1n(n 1) > 1

C 1

1.2 +

12.3 + +

1

11.2 +

12.3 + +

1n(n 1) ≥ 1

Câu 13 Với mọi n  * luôn có:

Câu 16 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 Lựa chọn bất đẳng thức đúng:

A. a + b  16abc B a + b < 16abc C a + c  16abc D. b + c < 16abc

Câu 17 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 ta luôn có a + b  16abc Khi đó, cần

điều kiện nào để dấu “=” xảy ra:

I KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Định nghĩa: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg Đặt

D = Df  Dg

Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng f(x) < g(x), f(x) > g(x), f(x)  g(x),

f(x)  g(x) được gọi là bất phương trình một ẩn; x gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của bất phương trình đó

Số x0 D gọi là nghiệm của bất phương trình f(x) < g(x) nếu f(x0) < g(x0) là mệnh đề đúng

Khái niệm này cũng được định nghĩa tương tự cho các bất phương trình dạng:

f(x) > g(x), f(x)  g(x), f(x)  g(x)

Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của bất phương

trình đó

II BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Định nghĩa: Hai bất phương trình (cùng ẩn) gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập

nghiệm

Nếu f1(x) < g1(x) tương đương với f2(x) < g2(x) thì ta viết:

f1(x) < g1(x)  f2(x) < g2(x)

 Chú ý: Khi muốn nhấn mạnh hai bất phương trình có cùng điều kiện xác định D và

tương đương với nhau, ta nói:

"Hai bất phương trình tương đương trong điều kiện D"

hoặc "Với điều kiện D, hai bất phương trình là tương đương với nhau"

III BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Định nghĩa (Phép biến đổi tương đương): Các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm

của bất phương trình được gọi là các phép biến đổi tương đương Phép biến

đổi tương đương biến một bất phương trình thành bất phương trình tương đương với nó

Hệ quả: Cho bất phương trình f(x) < g(x) có tập xác định D

a (Quy tắc chuyển nâng lên luỹ thừa bậc lẻ): Ta có:

f(x) < g(x)  [f(x)]2n + 1 < [g(x)]2n + 1, với n  *

Chẳng hạn với luỹ thừa bậc ba thì f(x) < g(x)  [f(x)]3 < [g(x)]3

b (Quy tắc chuyển nâng lên luỹ thừa bậc chẵn): Nếu f(x) và g(x) không âm với mọi x thuộc D thì:

f(x) < g(x)  [f(x)]2n < [g(x)]2n, với n  *

Chẳng hạn với luỹ thừa bậc hai thì f(x) < g(x)  [f(x)]2 < [g(x)]2

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 24 Giá trị x = 3 thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào ?

A (x + 1)(x + 3) > 0 B (x + 2)(x + 3)2  0

C x 1 x 2 0 D x 9 x 2 0

Câu 25 Bất phương trình |x  3| < 6 có bao nhiêu nghiệm nguyên ?

I GIẢI VÀ BIỆN LUẬN BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b < 0

Viết lại bất phương trình dưới dạng:

Nếu b < 0, bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 

Nếu b  0, bất phương trình vô nghiệm

Kết luận:

Với a = 0 và b < 0, bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 

Với a = 0 và b  0, bất phương trình vô nghiệm

Với a > 0, nghiệm của bất phương trình là (; b

a )

Với a < 0, nghiệm của bất phương trình là (b

a ; +)

II GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm thu được

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 33 Cho bất phương trình mx + 1  m2  x Khi đó với m = 1 tập nghiệm của bất

Câu 41 Hai bất phương trình (m  1)x  m + 3 > 0 và (m + 1)x  m + 2 > 0 tương đương

với nhau khi:

f(x) trái dấu với a 0 cùng dấu với a

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM V

Câu 45 Bất phương trình (x  1)(2  3x)(4x + 3) < 0 có tập nghiệm là:

Câu 47 Bất phương trình

1x

|2x

II DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Dấu của tam thức f(x) = ax2 + bx + c phụ thuộc vào dấu của biệt thức  và hệ số a

Khả năng 1: Nếu  < 0 thì f(x) cùng dấu với a, với x  , tức là:

a.f(x) > 0, x  Khi đó, ta có thể minh hoạ bằng đồ thị:

Khả năng 2: Nếu  = 0 thì f(x) cùng dấu với a, với x  \ b

2a Khi đó, ta có thể minh hoạ bằng đồ thị:

Khả năng 3: Nếu  > 0 thì f(x) có hai nghiệm, giả sử là x1 < x2 Lúc đó:

f(x) cùng dấu với a khi x < x1 hoặc x > x2

f(x) trái dấu với a khi x1 < x < x2

Trong trường hợp này ta có bảng tổng kết sau:

f(x) cùng dấu a 0 khác dấu a 0 cùng dấu a

Khi đó, ta có thể minh hoạ bằng đồ thị:

Định lí: Với tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0), ta có:

a Nếu  < 0 thì f(x) cùng dấu với a, với x  , tức là:

b Nếu  = 0 thì f(x) cùng dấu với a, với x  \ b

b

và af(x)  0, x 

c Nếu  > 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2, giả sử là x1 < x2 Lúc đó:

f(x) cùng dấu với a khi x < x1 hoặc x > x2

f(x) trái dấu với a khi x1 < x < x2

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 56 Tam thức f(x) = (m + 2)x2 + 2(m + 2)x + m + 3 luôn dương khi:

Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai (ẩn x) là bất phương trình có một trong các dạng

f(x) < 0, f(x) > 0, f(x)  0, f(x)  0, trong đó f(x) là một tam thức bậc hai

Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai, ta sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai

II GIẢI VÀ BIỆN LUẬN BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Để thực hiện việc giải và biện luận bất phương trình:

Nếu c > 0, bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

Nếu c  0, bất phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: Nếu a > 0, ta có:

 = b2  4ac (hoặc nếu b = 2b' thì tính ' = (b')2  ac)

a Nếu  < 0 (hoặc ' < 0), bất phương trình (1) nghiệm đúng với x

b Nếu  = 0 (hoặc ' = 0), bất phương trình (1) nghiệm đúng với x  b

a Nếu   0 (hoặc '  0), bất phương trình (1) vô nghiệm

b Nếu  > 0 (hoặc ' > 0), ất phương trình (1) có nghiệm:

b 2a

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 58 Bất phương trình 3x2  x  2  0 có tập nghiệm là:

Câu 67 Bất phương trình

15xx

3xx

2

2 4

03x

Câu 75 Cho hệ bất phương trình:

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức

Bước 2: Lập bảng xét dấu các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Ai, i = 1 , n từ đó chia

trục số thành những khoảng sao cho trong mỗi khoảng đó các biểu thức dưới dấu trị tuyệt đối chỉ nhận một dấu xác định

Bước 3: Giải ( hoặc biện luận) phương trình, bất phương trình trên mỗi khoảng đã chia

Câu 79 Bất phương trình |x  5|  x2 + 7x  9  0 có tập nghiệm là:

Bài 7 Cho a > b ≥ 0 và n  *, hãy lựa chọn bất đẳng thức đúng:

a )( 2 1

b + 2 2

b )

B. (a1b1 + a2b2)2 ≥ ( 2

1

a + 2 2

a )( 2 1

b + 2 2

b )

C. (a1b1 + a2b2)2 > ( 2

1

a + 2 2

a )( 2 1

b + 2 2

b )

D. (a1b1 + a2b2)2 < ( 2

1

a + 2 2

a )( 2 1

b + 2 2

a + 2 3

a )( 2 1

b + 2 2

b + 2 3

b )

C. (a1b1 + a2b2 + a3b3)2 > ( 2

1

a + 2 2

a + 2 3

a )( 2 1

2

b + 2 3

b )

D. (a1b1 + a2b2 + a3b3)2 ≥ ( 2

1

a + 2 2

a + 2 3

a )( 2 1

b + 2 2

b + 2 3

Bài 19 Giá trị lớn nhất của hàm số y  x  1 x  là:

Bài 25 Khẳng định "Do hai vế của bất phương trình x 2   x luôn không âm nên bình

phương hai vế, ta được bất phương trình tương đương x  2< x2" là đúng hay sai ?

Bài 33 Bất phương trình (2x  1)(x + 3)  3x + 1  (x  1)(x + 3) + x2  5 có tập nghiệm là:

3x

7x7

5x

3

1x2x15

51x

34x

2x

1xx

Bài 53 Bất phương trình

1x

102x

Bài 56 Tam thức f(x) = 2x2  x + 1:

C Âm với mọi x  (1; 2)

D Âm với mọi x  (0; 2)

f(x)  x  3 1 x   5 3  8:

A Dương với mọi x 

B Âm với mọi x 

C Âm với mọi x  (; 1)

D Âm với mọi x  (; 1)

Bài 58 Tam thức f(x) = (m2 + 2)x2  2(m + 1)x + 1 luôn dương khi:

 

 

Bài 64 Bất phương trình 16x2  8x + 1 ≤ 0 có tập nghiệm là:

 

  

4 T 3

2 T 11

 

  

1 T 11

 

  

 