3 phương trình và hệ phương trình

Đại số 10. Phương trình. Hệ phương trình Bài giảng này trình bày đầy đủ phần: A. Lí thuyết cần nhớ B. Phương pháp giải các dạng toán tự luận C. Các dạng câu hỏi trắc nghiệm. Bạn đọc quan tâm có thể mua thêm phần: D. Đáp số Hướng dẫn Lời giải Các ví dụ Câu hỏi trắc nghiệm E. Luyện tập thêm Liên hệ tới Thầy Hoàng Hà của Nhóm HỒNG ĐỨC

Trang 1

CHƯƠNG I I  PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Ớ

I KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Định nghĩa: Cho hai hàm số biểu thức y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt là Df và

Dg Đặt D = Df  Dg

Mệnh đề chứa biến "f(x) = g(x)" được gọi là phương trình một ẩn; x gọi là ẩn

số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình

Số x0  Dgọi là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) nếu "f(x0) = g(x0) là

mệnh đề đúng

 Chú ý: 1 Khi giải một phương trình (tức là tìm tập nghiệm của phương trình) nhiều khi

ta chỉ cần, hoặc chỉ có thể tính giá trị gần đúng của nghiệm (với độ chính

xác nào đó) Giá trị đó gọi là nghiệm gần đúng của phương trình

2 Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x)

II PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Ta đã biết: Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập

nghiệm Nếu phương trình f1(x) = g1(x) tương đương với phương trình f2(x) = g2(x) thì ta viết:

f1(x) = g1(x)  f2(x) = g2(x)

 Chú ý: 1 Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có cùng tập xác định D và tương

đương với nhau, ta nói:

"Hai phương trình tương đương trong điều kiện D"

hoặc "Với điều kiện D, hai phương trình là tương đương với nhau"

2 Các phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình được gọi

là các phép biến đổi tương đương Như vậy:

Phép biến đổi tương đương biến một phương trình thành phương trình tương đương với nó

III PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

Phương trình f1(x) = g1(x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x)

nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f(x) = g(x)

Trang 2

Khi đó, ta viết:

f(x) = g(x)  f1(x) = g1(x)

Từ định nghĩa, ta suy ra: Nếu hai phương trình tương đương thì mỗi phương trình đều là

hệ quả của phương trình còn lại

Định lí 2: Khi bình phương hai vế của phương trình, ta được phương trình hệ quả của

phương trình đã cho.

f(x) = g(x)  f2(x) = g2(x)

 Chú ý: 1 Có thể chứng minh được rằng: Nếu hai vế của một phương trình luôn cúng

dấu thì khi bình phương hai vế của nó, ta được phương trình tương đương

2 Nếu phép biến đổi một phương trình dẫn đến phương trình hệ quả thì sau khi

tìm được nghiệm của phương trình hệ quả, ta phải thử lại các nghiệm tìm

được vào phương trình đã cho để phát hiện và loại bỏ nghiệm ngoại lai

IV PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN

Định nghĩa: Cho hai biểu thức f(x, y,…) và g(x, z,…)

1 Mệnh đề chứa các biến dạng f(x, y,…) = g(x, z,…) được gọi là phương trình nhiều ẩn; x, y, z,… gọi là các ẩn số của phương trình

2 Các số x = x0, y = y0, z = z0,… thoả mãn ĐKXĐ của phương trình và mệnh

đề f(x0, y0,…) = g(x0, z0,…) là đúng thì bộ (x0, y0, z0,…) được gọi là một

nghiệm của phương trình

V PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

Những phương trình, trong đó ngoài các ẩn còn có những chữ khác Các chữ này được

xem là những chữ số đã biết và được gọi là tham số

Khi giải phương trình chứa tham số, ta phải chỉ ra tập nghiệm của phương trình tùy theo

các giá trị của tham số Khi đó, ta nói là giải vài biện luận phương trình

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Điều kiện xác định của phương trình x + x 1 = x là:

Trang 3

Câu 5 Phương trình x x 3 3 x 3 có tập nghiệm là:

được thực hiện như sau:

Viết lại phương trình dưới dạng:

Trường hợp 1: Với a = 0 thì:

(1)  0 = b  b = 0

a Nếu b = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x 

b Nếu b  0, phương trình vô nghiệm

Trang 4

Với a  0 và b = 0, phương trình vô nghiệm

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Việc giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn dạng:

được thực hiện như sau:

Trường hợp 1. Với a = 0, ta được:

a Nếu b = 0, ta được:

(2)  0 = c  c = 0

Nếu c = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x 

Nếu c  0, phương trình vô nghiệm

b Nếu b  0, ta được:

(2)  x = c

b , phương trình có nghiệm duy nhất

Trường hợp 2. Với a  0

Ta tính biệt thức  = b2  4ac (hoặc nếu b = 2b' tính ' = (b')2  ac)

a Nếu  < 0 (hoặc ' < 0), (1) vô nghiệm

b Nếu  = 0 (hoặc ' = 0) , (1) có nghiệm kép x0 =  b

Với a = b = c = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi x

Với a = b = 0 và c  0 , phương trình vô nghiệm

Với a = 0 và b  0 , phương trình có nghiệm duy nhất x = c

b Với a  0 và  < 0, phương trình vô nghiệm

Với a  0 và  = 0, phương trình có nghiệm kép x0 =  b

2a (hoặc x0 = b '

a )

Trang 5

Với a  0 và  > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Để biện luận số nghiệm của phương trình:

ax2 + bx + c = m, với a  0 và m là tham số

ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Vẽ đồ thị Parabol (P): y = ax2 + bx + c

Bước 2: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (P) với đường thẳng y =

m (là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng m)

III ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VIÉT

Ở lớp dưới, chúng ta đã học định lí Viét đối với phương trình bậc hai:

Hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai:

ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Thiết lập hệ thức Viét cho các nghiệm x1 và x2:

Bước 2: Thực hiện phép phân tích c thành tích của hai thừa số, c = m.n

Với mỗi cặp thừa số phân tích được, ta tính ngay m + n, khi đó:

a Nếu m + n = b, chuyển sang bước 3

b Nếu m + n  b, thực hiện lại bước 2

Bước 3: Vậy, phương trình có hai nghiệm là x1 = m và x2 = n

 Chú ý: a Thuật toán trên có tính dừng và được hiểu như sau:

Nếu tìm được một cặp (m; n) thoả mãn điều kiện m + n = b thì dừng lại phép thử và đưa ra lời kết luận

Nếu các cặp (m; n) đều không thoả mãn thì dừng và trong trường hợp này được hiểu là không nhẩm được nghiệm

Trang 6

b Chúng ta đã biết hai trường hợp đặc biệt của phương trình ax2 + bx + c = 0 là: Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1, x2 = c

a Nếu a  b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1, x2 = c

a

Các em học sinh có thể tìm hiểu thêm trong bài báo “Khai thác nhẩm

nghiệm của phương trình bậc hai” của tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số

1/2012

2 Phân tích đa thức thành nhân tử: Nếu đa thức f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 và

x2 thì nó có thể phân tích thành nhân tử f(x) = a(x  x1)(x  x2)

3 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị x1 và x2

Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 theo S và P,

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2

Trang 7

Bước 2: Áp dụng hệ thức Viét, ta được:

Bước 3: Khử m từ hệ (I) ta được hệ thức cần tìm

Trong bài học này, chúng ta quan tâm thêm tới các ứng dụng khác của định lí Viét là:

1 Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

2 Tìm điều kiện để các nghiệm của phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện K

3 Xác định số nghiệm của phương trình trùng phương

4 Ứng dụng "Lập phương trình đường thẳng", bao gồm:

Dạng 1 Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) thuộc

Parabol (P): y = ax2 + bx + c cho trước

Dạng 2 Lập phương trình tiếp tuyến của Parabol (P) tại điểm M(xM; yM)

Câu 16 Phương trình m2x + 2 = x + 2m vô nghiệm khi:

Trang 8

Câu 27 Cho parabol (P) : y = x2  3x + 1 và đường thẳng (d): y = x + m + 1 Khi đó, với

m < 4 thì:

A. (P) và (d) không có điểm chung B (P) và (d) có một điểm chung

C (P) và (d) có hai điểm chung D. (P) và (d) có vô số điểm chung

m = 4 thì:

m > 4 thì:

Câu 30 Phương trình x2  2x  m = 0 có nghiệm dương khi:

Câu 37 Phương trình mx2  2(m + 1)x + m + 2 = 0 thỏa mãn:

A. Vô nghiệm B Có hai nghiệm âm

C Luôn có nghiệm D. Có hai nghiệm dương

Câu 38 Cho ba số dương a, b, c Phương trình x2  2x  a

Câu 39 Cho ba số dương a, b, c Phương trình x2  2x  a

A. a = b B b = c C a = c D. a = b = c

Trang 9

Câu 40 Cho a2 + b2 > 0 Phương trình

Câu 41 Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 Hệ thức nào là điều

kiện cần và đủ để phương trình có một nghiệm bằng k lần nghiệm còn lại?

Câu 47 Gọi x1, x2, x3, x4 là các nghiệm của phương trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 1

Giá trị của biểu thức x1.x2.x3.x4 bằng:

A. 100 B 101 C 102 D. 104

Câu 48 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 + 2004x + 1 = 0 và x3, x4 là các

nghiệm của phương trình x2 + 2005x + 1 = 0 Giá trị của biểu thức:

A = (x1 + x3)(x2 + x3)(x1  x4)(x2  x4) bằng:

Trang 10

Câu 50 Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng

thức ax1 + bx2 + c = 0 Giá trị của biểu thức M = a2c + ac2 + b3  3abc bằng:

Câu 55 Để phương trình x2  2mx + m2  m + 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức

Câu 58 Cho Parabol (P): x2 = y và đường thẳng (d): y = (m  1)x + 4 Để (d) cắt (P) tại hai

điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) thỏa mãn y1 + y2 = y1y2 điều kiện là:

Trang 11

Câu 63 Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2mx  m + 1 Để (d) cắt (P) tại hai

điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) thỏa mãn |x1  x2| = 2 điều kiện là:

A m = 0 B m = 1 C m = 2 D Cả A, B, C

Câu 64 Cho Parabol (P): y = ax2 (a > 0) và đường thẳng (d): y = 2x  a2 Để (d) cắt (P) tại

hai điểm phân biệt điều kiện là:

A 0 < a < 1 B 1 a 3

2  2 D 2 < a < 3

Câu 65 Đường thẳng đi qua điểm I(0; 1) và cắt parabol (P): y = x2 tại hai điểm phân biệt M,

N sao cho MN2 10 có phương trình:

A y = ±2x + 1 B y = ±x + 1 C y = ±x + 2 D y = ±2x + 2

Câu 66 Cho Parabol (P): y = ax2 (a > 0) và đường thẳng (d): y = 2x  a2 Khi (d) cắt (P) tại

hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và (x2; y2) thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C (d) và (P) có hai điểm chung với hoành độ cùng dấu

D (d) và (P) có hai điểm chung với hoành độ trái dấu

Câu 68 Cho parabol (P): x2 = 2y và đường thẳng (d) đi qua hai điểm hai điểm I(0; 2),

M(m; 0) Khi đó (d) cắt (P) tại hai điểm A, B và độ dài đoạn AB thỏa mãn:

C (d) và (P) có hai điểm chung với hoành độ cùng dấu

D (d) và (P) có hai điểm chung với hoành độ trái dấu

Câu 70 Cho parabol (P): x2 = 2y và đường thẳng (d) đi qua hai điểm hai điểm I(0; 2),

M(m; 0) Khi đó (d) cắt (P) tại hai điểm A, B và gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục hoành Hãy lựa chọn đẳng thức đúng

Trang 12

)1(dcxbax

 Chú ý: Ý nghĩa của việc trình bày hai cách giải trên là:

Với cách 1 chúng ta chuyển việc giải phương trình ban đầu về các phương trình bậc nhất một ẩn

Với cách 2 chúng ta chuyển việc giải phương trình ban đầu về phương trình bậc hai một ẩn

II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN THỨC Ở MẪU

Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta chú ý đến điểu kiện xác định của phương trình

Câu 72 Phương trình |x  1| = 2x + 3 có tập nghiệm là:

Trang 13

Câu 80 Phương trình x3  (m + 1)x2  (2m2  3m + 2)x + 2m(2m  1) = 0 có 2 nghiệm

phân biệt khi:

Trang 14

Câu 86 Tập nghiệm của phương trình x4 + 2x3  20x2 + 4x + 4 = 0 là:

Trang 15

Câu 99 Phương trình 4x 5 3x 1  2x 7 x3 có tập nghiệm là:

Câu 112 Phương trình x2 x a 1 8ax a có tập nghiệm là:

A T = {1} B T = {2a + 1} C T = {2a  1} D T = {2a ± 1}

Trang 16

Câu 113 Phương trình 4 3 10 3x   x 2 có tập nghiệm là:

Trang 18

Câu 135 Phương trình x22x2 2x 1 có tập nghiệm là:

Câu 143 Phương trình 36x+18x34x 1 có tập nghiệm là:

A T cos ; cos5 ; cos7 ; cos11

Trang 19

§4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Ớ

I HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn a1x + b1y = c1 và a2x + b2y = c2 (tức 2 2

Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó

II GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Việc giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn dạng:

Với D = 0 và Dx  0 hoặc Dy  0, hệ phương trình vô nghiệm

 Chú ý: 1 Để nhớ cách tính các định thức ta có minh hoạ sau:

Trang 20

Câu 144 Cho hệ phương trình:

.2x y 4

  



Nghiệm của hệ là:



Nếu (x0; y0) là nghiệm của hệ thì biểu thức 7x0 + y0 nhận giá trị bằng:

0myx

Lựa chọn hệ thức liên hệ giữa nghiệm x, y của hệ không phụ thuộc vào m

A. x(x  1) = y(y + 1) B x(x + 1) = y(y + 1)

C x(x  1) = y(y  1) D. x(x + 1) = y(y  1)

x.sin 2 y(1 cos2 ) sin 2 x(1 cos2 ) y.sin 2 0

Trang 21

Câu 149 Hệ phương trình sau có nghiệm khi nào ?

Trang 22

Câu 157 Hệ phương trình sau vô nghiệm khi nào ?

mx y n

.(x y 2)(x 2y 1) 0

Câu 160 Hai phương trình x2  (m + 4)x + m + 5 = 0 và x2  (m  2)x + m + 1 = 0 có

nghiệm chung khi:

Câu 164 Biết hai phương trình x2 + ax + 2b = 0 và x2 + bx + 2a = 0 có nghiệm chung duy

nhất Khi đó, các nghiệm còn lại của hai phương trình này là nghiệm của phương trình nào sau đây ?

A. x2 + 2x + ab = 0 B x2 + x + ab = 0 C x2  x + ab = 0 D. x2  2x + ab = 0

Câu 165 Lựa chọn nghiệm cho hệ phương trình:

3 x y 5

.3x y 1

Trang 23

Câu 167 Lựa chọn nghiệm cho hệ phương trình:

II HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại I đối với ẩn x và y là hệ gồm các phương trình

không thay đổi khi ta thay x bởi y và y bởi x

III HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại II đối với ẩn x và y là hệ nếu tráo đổi vai trò

của x, y thì phương trình này chuyển thành phương trình kia của hệ

IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

Định nghĩa: Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:

Câu 168 Hệ phương trình sau có cặp nghiệm nào ?

36y

Trang 24

Trang 26

2yxx2

2 2

Nghiệm của hệ là:

Trang 27

Trang 28

Trang 30

ÔN TẬP CHƯƠNG III

Bài 1 Khẳng định " x 1 2 1 x   x 1 0" là đúng hay sai ?

Bài 2 Khẳng định "x x 2  1 x 2  x 1" là đúng hay sai ?

Trang 31

Bài 3 Khẳng định "x = 1  x = 1" là đúng hay sai ?

2x x 2 x Chuyển x2 sang vế phải thì

được phương trình tương đương" là đúng hay sai ?

2

  D T = 

Trang 32

Bài 16 Phương trình m(x  2) = 3x + 1 vô nghiệm khi:

B Hai nghiệm trái dấu

C Hai nghiệm dương

D Hai nghiệm âm

2 3 x 2 1 3 x 1 0  :

A Vô nghiệm

B Hai nghiệm trái dấu

C Hai nghiệm dương

D Hai nghiệm âm

1 2 x  2 23 x 1 0  có tổng hai nghiệm bằng:

Trang 33

2x

243x

43x

3x2

Trang 34

Bài 47 Phương trình 5  x 6 = x  6 có tập nghiệm là:

Định dạng
Số trang	36
Dung lượng	1,39 MB