phương trình và hệ phương trình vi phân (toán cao cấp 3)

Phương trình và Hệ phương trình Vi phânA... Chú ý khi giải phương trình vi phân cấp 1 Đây là kinh nghiệm cá nhân Nếu không giải được thì đưa về dạng B.. Phương trình vi phân cấp 2 Tuyế

Phương trình và Hệ phương trình Vi phân

A Phương trình vi phân cấp 1

1 Phương trình biến số phân ly

+ Dạng:

+ Cách giải: Lấy tích phân hai vế ta được nghiệm của phương trình

+ Chú ý:

+ Ví dụ:

a)

Tích phân hai vế

∫ ∫

b)

Tích phân hai vế

∫ ∫

2 Phương trình vi phân toàn phần

+ Dạng: Thỏa mãn

+ Cách giải:

( )

Trong đó được xác định bởi công thức

∫ ∫

là một điểm tùy ý thuộc miền xác định của hàm P Q Thường lấy điểm (0,0)

3 Phương trình tuyến tính cấp 1

+ Dạng:

+ Cách giải:

Tính: ∫ ∫

Công thức nghiệm:

4 Phương trình Bernoulli + Dạng: { }

+ Cách giải: Đưa về phương trình tuyến tính cấp 1 và áp dụng công thức nghiệm thông qua hai bước - Bước 1: Làm mất ở vế phải - Bước 2: Đặt

Cụ thể: - Kiểm tra có là nghiệm của phương trình - Nếu chia hai vế phương trình cho

Đặt

Phương trình trở về dạng phương trình tuyến tính cấp 1 5 Phương trình thuần nhất + Dạng:

+ Cách giải: Đặt (với là hàm biến )

(Cách nhớ: Đặt Đưa về phương trình biến số phân ly)

6 Chú ý khi giải phương trình vi phân cấp 1

Đây là kinh nghiệm cá nhân

Nếu không giải được thì đưa về dạng

B Phương trình vi phân cấp 2

(Tuyến tính với hệ số hằng)

Dạng:

+ Nếu Phương trình thuần nhất

+ Nếu Phương trình không thuần nhất

1 Phương trình thuần nhất (PTTN)

Dạng:

Cách giải:

+ Xác định phương trình đặc trưng (PTĐT):

+ Giải PTĐT, nghiệm của PTĐT sẽ quyết định dạng nghiệm của PTTN

- PTĐT có 2 nghiệm phân biệt

Phương trình

𝑑𝑥

PT

tuyến

tính

cấp 1

PT Bernoulli

PT thuần nhất

PT biến

số phân

ly

PT vi phân toàn phần

Nghiệm PTTN: (TQTN: Tổng quát thuần nhất)

- PTĐT có nghiệm kép

Nghiệm PTTN:

- PTĐT có cặp nghiệm phức liên hợp

Nghiệm PTTN: in co

2 Phương trình không thuần nhất

Dạng:

Cách giải:

+ Có PTTN tương ứng là

Khi đó có công thức nghiệm là:

Trong đó là nghiệm riêng được xác định từ vế phải của PT

Cụ thể ta sẽ xét các trường hợp của

a TH1:

Trong đó: à ủ đ

à ộ ủ

{

à ủ

à ủ

à ủ

Ta tính được

Sau đó thế vào của PT để tìm các hệ số của

b TH2: in co

Tính

Kiểm tra xem là nghiệm bội của PTĐT

( in co )

3 Chú ý

Trong quá trình tìm nghiệm riêng ta có thể sử dụng nguyên lý chồng chất nghiệm riêng

Ví dụ: Xét 3 phương trình vi phân

{

Khi đó

C Hệ hai phương trình vi phân cấp 1 Dạng: {

à à

Cách giải: Dùng phương pháp thế, đưa về phương trình vi phân cấp 2 Chú ý: Rút theo và hoặc rút theo và