Bài giảng: Liên hệ phép nhân và phép khai phương (Đại số 9)

Bài giảng có phần ngâng cao. Trình bày theo hướng "Lấy học trò làm trung tâm".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI VÀ CĂN BẬC BA

và phép khai phương

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon86@gmail.com để nhận

được giải đáp

2

Đ 3 l iên hệ giữa phép nhân và phép

khai phơng

bài giảng theo chơng trình chuẩn

1 định lí

Thí dụ 1: (HĐ 1/tr 12  sgk): Tính và so sánh 16.25 và 16 25

 Giải

Ta lần lợt có:

16.25 400  202 = 20; 16 .25 4 52 2 = 4.5 = 20 suy ra 16.25 = 16 25

Định lí: Với a  0, b  0 thì a.b = a b

 Chứng minh

Vì a  0, b  0 nên a, b xác định và không âm

Ta có:

 a b    2 a 2 b 2a.b

Vậy a b là căn bậc hai số học của a.b, tức là a.b = a b

 Chú ý: Định lí trên có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm

2 áp dụng

a) Quy tắc khai phơng một tích

Quy tắc khai phơng một tích: Muốn khai phơng một tích các biểu thức không âm,

ta có thể khai phơng từng biểu thức rồi nhân kết quả với nhau

Thí dụ 2: Sử dụng quy tắc khai phơng một tích, tính:

a

49

25

b

36 16

c

48

2

a 81

 Giải

a Ta có ngay:

49

.

25 = 25 49 = 5.7 = 35

b Ta có ngay:

36 16

.

9 = 9 16 36 = 3.4.6 = 72

c Ta viết lại:

48

.

27 = 27.3.16 = 81.16 = 9.4 = 36

d Ta có ngay:

2

a

81 = 81 a 2 = 9. a 

 Nhận xét: Trong câu c), nếu chúng ta vận dụng một cách máy móc quy tắc khai

phơng một tích sẽ không nhận đợc kết quả gọn

b) Quy tắc nhân các căn thức bậc hai

Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: Muốn nhân các căn thức bậc hai của các biểu

thức không âm ta có thể nhân các biểu thức dới dấu căn với nhau rồi lấy căn bậc hai của kết quả đó

Thí dụ 3: Sử dụng quy tắc nhân các căn thức bậc hai, tính:

b 1 , 1 44 10

d 27a. 3a, với a > 0

 Giải

a Ta có:

6 36 18 2 18

.

b Ta có:

10 44

1

,

1 = 1 , 1 44 10 = 11.11.4 = 22

c Ta có:

1 2 1

2   = ( 2  1 ).( 2  1 ) = 2  1 = 1

d Ta có:

a 3 a

27 = 81 a 2 = 9 a  = 9a, do a > 0

 Nhận xét: Trong câu c), chúng ta đã sử dụng hằng đẳng thức:

(a  b)(a + b) = a2  b2

bài tập lần 1

Bài tập 1: Sử dụng quy tắc khai phơng một tích, tính:

a

49

25

b

36 16

c

48

2

a 81

Bài tập 2: Sử dụng quy tắc nhân các căn thức bậc hai, tính:

b 1 , 1 44 10

d 27a. 3a, với a > 0

Bài tập 3: Rút gọn các biểu thức sau:

) a 3 (

a  , với a  3

b a

1



 , với a < b < 0

Bài tập 4: Thực hiện phép tính:

a A = ( 8+ 72 2) 2

b B = ( 4 7  4 7 )2

c C = (3 5+ 2)(3 5 2)

Bài tập 5: a So sánh 16 4 với 16  4

b Chứng minh rằng a b  a  b, với mọi a, b dơng

Bài tập 6: a Chứng minh bất đẳng thức:

|ac + bd|  ( a 2 b 2 )( c 2 d 2 )



  Bất đẳng thức

Bunhiacôpxki

b Biết x2 + y2 = 52 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

A = 3x + 2y

4

Bài tập 7: Cho biểu thức:

A =

2 2

2 2

a 3 ax 5 x

a 3 ax x 2







a Rút gọn biểu thức A

b Chứng minh rằng A = (a + a2 1)2 khi x = a2 1



Bài tập 8: Cho biểu thức:

A =

b b a a

ab b a









b a

1 b a





a Rút gọn biểu thức A

b Tính giá trị của A, biết a  b = 1

Bài tập 9: Cho hai biểu thức:

A = x2 x 2



 và B = x 1. x 2

a Tìm x để A có nghĩa

b Tìm x để B có nghĩa

c Với giá trị nào của x thì A = B ?

d Với giá trị nào của x thì chỉ A có nghĩa, còn B không có nghĩa ?

Bài tập 10:Cho a, b, c và a’, b’, c’ là số đo các cạnh tơng ứng của hai tam giác

đồng dạng Chứng minh rằng:

'

aa + bb' + cc' = ( a  b  c )( a '  b '  c ' )

Bài tập 11:Giải phơng trình x2 9

  x  3 = 0

Giỏo ỏn điện tử của bài giảng này giỏ: 450.000đ.

1 Liờn hệ thầy Lấ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

Lấ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhỏnh NHN0 & PTNT Tõy Hồ

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giỏo ỏn điện tử qua email.

LUễN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

bài giảng nâng cao

A Tóm tắt lí thuyết

1 định lí

Với A  0, B  0 thì A.B = A B

6

2 Khai phơng một tích

Quy tắc khai phơng một tích: Muốn khai phơng một tích các biểu thức không âm,

ta có thể khai phơng từng biểu thức rồi nhân kết quả với nhau

3 Nhân các căn thức bậc hai

Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: Muốn nhân các căn thức bậc hai của các biểu

thức không âm ta có thể nhân các biểu thức dới dấu căn với nhau rồi lấy căn bậc hai của kết quả đó

B phơng pháp giải toán

Ví dụ 1: (Bài 17/tr 14  Sgk): Sử dụng quy tắc khai phơng một tích, tính:

a 0,09.64 b 2 ( 7) 4  2 c 12,1.360 d 2 3 2 4

 Giải

a Ta có ngay:

0,09.64 = 0,09 64 = 0,3.8 = 2,4

b Ta có ngay:

4 2

2 ( 7) =   22 2.72   22 2 72 = 22.7 = 28

c Ta viết lại:

12,1.360  121.36  11 62 2 = 11.6 = 66

d Ta có ngay:

2 4

2 3  2 32  2 2 = 2.32 = 18

Ví dụ 2: (Bài 18/tr 14  Sgk): Sử dụng quy tắc nhân các căn thức bậc hai, tính:

c 0,4 6,4 d 2,7 5 1,5

 Giải

a Ta có:

7 63  7.63  441 = 21

b Ta có:

2,5 30 48= 2,5.30.48  3600 = 60

c Ta có:

0,4 6,4  0,4.6,4  2,56 = 1,6

d Ta có:

2,7 5 1,5  2,7.5.1,5  20,25 = 4,5

Ví dụ 3: (Bài 19/tr 15  Sgk): Rút gọn các biểu thức sau:

a 0,36a2 , với a < 0 b 4 2

) a 3 (

a  , với a  3

c 27.48(1 a) 2 , với a > 1 d 1 4 2

a (a b)

a b  , với a > b

 Hớng dẫn: Sử dụng quy tắc khai phơng một tích.

 Giải

a Ta có:

2

0,36a = 0,36 a2 = 0,6.a a 0 0,6a

b Ta có:

4 2

a (3 a) = a (3 a)4  2 = a2.3  a a 3

 a2(a  3)

c Ta có:

2

27.48(1 a)  1296(1 a) 2 = 1296 (1 a) 2 = 36.  a a 136(a 1).

d Ta có:

4 2

1

a (a b)

a (a b)

a b a2. a  b 

a b



1

a b a2.(a  b) = a2

Ví dụ 4: (Bài 20/tr 15  Sgk): Rút gọn các biểu thức sau:

a 2a 3a

3 8 , với a  0. b

52 13a

a , với a > 0.

c 5a 45a 3a , với a  0 d (3 a) 2 0, 2 180a2

 Hớng dẫn: Sử dụng quy tắc nhân các căn thức bậc hai.

 Giải

a Ta có:

2a 3a

2a 3a

3 8



2

a 4



2

a 2

 

  

 

a 2



a 0a 2





b Ta có:

52 13a

a

52 13a

a

c Ta có:

5a 45a 3a  5a.45a 3a  225a2 3a  15 a2 2  3a

= 15a  3aa 015a 3a 12a. 

d Ta có:

(3 a)  0, 2 180a (3 a) 2 0, 2.180a2

2 2

(3 a) 36a

   (3 a) 2 36 a2

2

(3 a) 6 a

2 2

a 9 khi a 0

a 12a 9 khi a 0







Ví dụ 5: (Bài 22/tr 15  Sgk): Biến đổi các biểu thức dới dấu căn thành dạng

tích rồi tính:

8

a 132 122 b 172 82

c 1172 1082 d 3132 3122

 Giải

a Ta có:

2 2

13 12  13 12 13 12      1.25 5.

b Ta có:

2 2

17  8  17 8 17 8      9.25 9 25 3.5 15. 

c Ta có:

2 2

117 108  117 108 117 108    

 9.225 9 225 3.15 45. 

d Ta có:

2 2

313  312  313 312 313 312      1.625 625 25.

Ví dụ 6: (Bài 23/tr 15  Sgk): Chứng minh:

a 2 3 2   31

b  2006 2005 và  2006 2005 là hai số nghịch đảo của nhau

 Giải

a Ta có:

2 3 2   322  3 2 4 3 1 , đpcm

b Xét tích hai số:

 2006 2005  2006 2005  2006 2 20052

= 2006  2005 = 1 Vậy  2006 2005 và  2006 2005 là hai số nghịch đảo của nhau

Ví dụ 7: Thực hiện phép tính:

b B = ( 4 7  4 7 )2

 Hớng dẫn: Sử dụng tính chất phân phối.

 Giải

a Ta có:

A = 8 2+ 72 2 2 2= 16+ 144  2 = 4 + 12  2 = 14

b Ta có:

B =  4  7 22 4 7. 4 7+ 4  7 2

= 4 + 7 2 ( 4  7 )( 4  7 ) + 4  7= 8  2 16  7 = 8  2.3 = 2.

c Ta có C = (3 5)2  2 = 45  2 = 43

 Nhận xét: Nh vậy, trong câu c), bằng việc sử dụng hằng đẳng thức chúng ta

đã giảm đợc đáng kể độ phức tạp

Ví dụ 8: (Bài 26/tr 16  Sgk):

a So sánh 25 9 với 25 9

b Chứng minh rằng a b  a  b, với mọi a, b dơng

 Hớng dẫn: Ta lần lợt:

 Với câu a), để so sánh hai số không âm A và B ở đây ta đi so sánh

A 2 với B 2

 Với câu b), sử dụng phép khai phơng trong phép biến đổi tơng đơng.

 Giải

a Nhận xét rằng:

( 25 9 )2 = 34 và ( 25 9)2 = (5 + 3)2 = 64

suy ra:

( 25 9 )2 < ( 25 9)2  25 9 < 25 9

b Hai vế của bất đẳng thức không âm nên bình phơng hai vế, ta đợc:

( a b)2  ( a  b )2  a + b  a + b + 2 a.b  0  2 a.b, đúng

 Nhận xét: Cách đặt vấn đề của ví dụ trên, giúp chúng ta tiếp cận với bất đẳng

thức trớc khi đi chứng minh nó Tuy nhiên, nếu đặt vấn đề theo kiểu ngợc lại, chúng ta sẽ đợc quyền sử dụng bất đẳng thức này để

đa ra đánh giá cho phép so sánh

Ví dụ 9: (Bài 27/tr 16  Sgk): So sánh:

 Hớng dẫn: Thực hiện so sánh hai số không âm A và B.

 Giải

a Ta có:

16 > 12  16 12  4 4.3 4 3  4 2 3.

b Ta có:

5 > 4  5 4  5 2   5 2

Ví dụ 10: (Bài 24/tr 16  Sgk): Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập

phân thứ ba) của các căn thức sau:

a 4 1 6x 9x   22 tại x 2

b 9a b2 2 4 4b tại a = 2, b 3

 Hớng dẫn: Sử dụng phép khai phơng của một tích để rút gọn.

 Giải

a Ta biến đổi:

10

 22

4 1 6x 9x   4 3x 1  22

   4 3x 1 22

  2 3x 1  2 khi đó, tại x 2 biểu thức có giá trị:

2 3  2 1

b Ta biến đổi:

2 2

9a b  4 4b  (3a) b 22   2 3a b 2 3a(b 2)

khi đó, tại a = 2, b 3 biểu thức có giá trị:

3( 2)(  3 2) 6( 3 2)  22,392

Ví dụ 11: (Bài 25/tr 16  Sgk): Tìm x, biết:

c 9(x 1) 21.  d 4(1 x) 2  6 0.

 Hớng dẫn: Sử dụng phép biến đổi tơng đơng:

2

f (x) k  f (x) k 

 Giải

a Ta biến đổi:

16x 8 16x 8 2  16x = 64  x = 4

Vậy, với x = 4 thoả mãn điều kiện

b Ta biến đổi:

4x 5  4x = 5 5

x 4

Vậy, với 5

x

4

 thoả mãn điều kiện

c Ta biến đổi:

9(x 1) 21   9(x  1) = 212  x  1 = 49  x = 50

Vậy, với x = 50 thoả mãn điều kiện

d Ta biến đổi:

2

4(1 x)  6 0  4(1 x) 2 6 4(1  x) = 62  1  x = 9  x = 8 Vậy, với x = 8 thoả mãn điều kiện

Ví dụ 12: Giải phơng trình x2 9

  x  3 = 0

 Hớng dẫn: Thiết lập điều kiện có nghĩa cho các biểu thức dới dấu căn, rồi sử dụng

quy tắc khai phơng một tích để tạo ra nhận tử chung Cụ thể:

x  9  x 3 x 3       x 3 x 3  

 Giải

Điều kiện:











 0 3 x

0 9

x 2

 



 3 x

9

x 2

 x  3

Biến đổi phơng trình về dạng:

3 x 3

x    x  3 = 0  x  3( x 3  1) = 0

















 1 3 x

0 3 x

 











 1 3 x

0 3 x

 











) i

ạ lo ( 2 x

3 x

Vậy, phơng trình có nghiệm x = 3

 Nhận xét: Nh chúng ta đã biết, phơng trình trên còn có thể đợc giải bằng

phơng pháp biến đổi tơng đơng, cụ thể:

2

x  9 x  3 = 0  x2  9 = x  3

 











3 x 9 x

0 3 x

2  











3 x ) 3 x )(

3 x ( 3 x

 











0 ) 1 3 x )(

3 x ( 3 x











2 x hoặc 3 x 3 x

 x = 3

Vậy, phơng trình có nghiệm x = 3

Ví dụ 13: a Chứng minh bất đẳng thức (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki):

ac + bd  ( a 2 b 2 )( c 2 d 2 )





b Biết x2 + y2 = 52 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

A = 3x + 2y

 Hớng dẫn: Ta lần lợt:

 Với câu a), sử dụng phép bình phơng hai vế.

 Với câu a), sử dụng kết quả của câu a).

 Giải

a Hai vế của bất đẳng thức không âm nên bình phơng hai vế, ta đợc:

(ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2)

 a2c2 + b2d2 + 2acbd  a2c2 + b2c2 + a2d2 + b2d2

 b2c2 + a2d2  2acbd  0  (bc  ad)2  0, luôn đúng

Dấu “ = ” xảy ra khi:

bc = ad 

d

b c

a



b Nhận xét rằng:

A = 3x + 2y  ( 3 2 2 2 )( x 2 y 2 )



 = 13.52 = 26

 26  A  26

Dấu “ = ” xảy ra khi:

2

y

3

x

 = t  x = 3t và y = 2t

do đó:

52 = x2 + y2 = (3t)2 + (2t)2 = 13t2  t2 = 4  t =  2  x 6 va y 4

x 6 va y 4





Vậy, ta đợc:

12

 AMax = 26, đạt đợc khi x = 6 và y = 4.

 AMin = 26, đạt đợc khi x = 6 và y = 4

bài tập lần 2

Bài 1: Tính:

a 49.100 b 2 ( 9)4  2 c 72.32 d 12,1.490

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a 27.48(a 3) 2 b 48.75a 2

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:

a

a , với a > 0.

b 8a 18a , với a < 0.2 4

Bài 4: Thực hiện phép tính:

a A = 72 18

b B = 25 7

7 16 .

c C = 9 3

2

Bài 5: Thực hiện phép tính:

a A = ( 5 + 2 + 1)( 5  1) b B = ( 2 + 1+ 3 )( 2 + 1 3 )

c C =  4 3 4 32

Bài 6: Chứng minh các đẳng thức:

a 5 + 3 = 8 2 5 . b 5 + 2 = 9 4 5 .

Bài 7: Cho a > 0 Chứng minh rằng:

a +1 > a 1

Bài 8: Cho a  1 Chứng minh rằng:

a 1 < a

Bài 9: Chứng minh rằng:

6  1 > 3  2

Bài 10: Tính giá trị của biểu thức:

a A = x2 + 2x + 16 với x = 2  1

b B = x2 + 12x  14 với x = 5 2  6

Bài 11: Cho hai biểu thức:

A = 2x2 3x 1 và B = x 1 2x 1  .

a Tìm x để A có nghĩa

b Tìm x để B có nghĩa

c Với giá trị nào của x thì A = B ?

d Với giá trị nào của x thì chỉ A có nghĩa, còn B không có nghĩa ?

Bài 12: Biết x2 + y2 = 117 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 2x + 3y

Bài 13: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là một nửa chu vi Chứng

minh rằng:

p < p a + p b + p c  3p

Bài 14: Giải các phơng trình sau:

a 3x 2

2 x 2

x 2



b 4x21  2 2x 1 = 0

Bµi 15: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

a x 2 + 4x 8  2

5

25x 50 4

 = 4

b x 4  1 x = 1 2x .

14