bRút gọn biểu thức A.. cTìm giá trị nhỏ nhất của A.. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K.. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC... AC cắt BD tại M...
Trang 1
PHÒNG GD&ĐT BỦ GIA MẬP
TRƯỜNG THCS BÙ GIA MẬP
KÌ THI HỌC SINH GIỎI
LỚP 9
Năm học: 2017 - 2018 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian
giao đề)
Bài 1:(3 điểm)
A
x
−
+ a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa b)Rút gọn biểu thức A
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 2:(6 điểm)
a) Giải phương trình: x2+2015x−2014 2 2017= x−2016 b) Chứng minh rằng : 1 1 2
x+ ≤ −y biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0
và x.y > 0
c) Cho x y z, , thỏa mãn 1 1 1 x y z ÷ : x y z 1 ÷ 1
+ + + + = Tính giá trị của biểu thức B=( x21+ y21)( y11+ z11)( z2017+ x2017)
Bài 3:(4 điểm)
a)Với n chẵn (n∈N) chứng minh rằng: (20n + 16n – 3n – 1)M 323 b)Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : 2017 2
(y+2)x −y −2y− =1 0
Bài 4:(4 điểm)
Cho tam giác ABC ( có ba góc nhọn) nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao
AD, BE, CF cắt nhau tại H Kéo dài AO cắt đường tròn tại K Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC
a) Chứng minh SAHG = 2SAGO b) Chứng minh HD HE HF 1
AD+BE+CF=
Bài 5:(3 điểm)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB C và D là hai điểm nằm trên nửa đường tròn đó sao cho góc 0
CAB=45 , góc 0
DAB=30 AC cắt BD tại M Tính diện tích tam giác ABM theo R
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM :
1a
(1đ) a) Điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa : 3
2 0
2
1 0
1
2 1
x
x x
x x
+ ≥
≥ −
+ ≠ ⇔
1b
(1đ)
b) Rút gọn biểu thức A
2
2
A
x
1,0đ
1c
(1đ)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Ta có 2
2
A
Ta có A nhỏ nhất khi 1 2 3
x− + đạt giá trị nhỏ nhất Vậy: Giá trị nhỏ nhất của là A là 4
3
− khi 1
2
x− = 0⇔ 1
2
x=
1,0đ
2a
(2đ) a) Giải phương trình:
2 2015 2014 2 2017 2016
Điều kiện 2016
2017
x≥
⇒Phương trình đã cho tương đương với
2
2 1 2017 2016 2 2017 2016 1 0
1,0đ
Trang 3( )2 ( )2
1 0
2017 2016 1 0
x
x
− =
1
2017 2016 1
x
x
=
1
x
⇔ = (thỏa mãn điều kiện)
Vậy x=1 là nghiệm của phương trình đã cho
1,0đ
2b
(2đ)
b) Chứng minh: 1 1 2
x+ ≤ −y biết x 3 + y 3 + 3(x 2 +y 2 ) + 4(x+ y) + 4 = 0 và x.y
> 0
Ta có: x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + 4 = 0
⇔ (x + y)( x2 – xy + y2) + 2(x2 – xy + y2) + (x2 + 2xy + y2) + 4(x+y) + 4 = 0
⇔ ( x2 xy + y2)( x + y + 2) + ( x + y + 2)2 = 0
⇔ ( x + y + 2)( x2 – xy + y2 + x + y + 2) = 0
⇔ 1
2 ( x + y + 2)( 2x2 – 2xy + 2y2 + 2x + 2y + 4) = 0
⇔ 1
2 ( x + y + 2).(x y− )2+ +(x 1)2+ +(y 1)2+2= 0
⇔ x + y + 2 = 0
⇔ x + y = -2 mà x.y > 0 nên x< 0, y < 0
1,0đ
Áp dụng BĐT CauChy ta có ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 1
Do đó xy ≤1 suy ra 1≤ 1
xy hay 2
xy
−
≤ -2 Mà M 1 1 x y 2
Vậy M 1 1 2
x y
= + ≤ − (đpcm)
1,0đ
2c
(2đ) c) Cho x y z, , thỏa mãn 1 1 1 : 1 1
+ + + + =
Tính giá trị của biểu thức B=( x21+ y21)( y11+ z11)( z2017+ x2017)
x y z
+ + + + = ⇔ + +
⇔(yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz
⇔xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz
⇔(xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) = 0
1,0đ
⇔x(yz + zx+ y2+ yx)+ z(y2 + yz+ xz+ xy) = 0
⇔(yz + zx+ y2+ yx)( x+ z) = 0⇔ +(x y y z x z)( + )( + =) 0
= −
⇔ = −
= −
1,0đ
Trang 4G H
M F
A
E O
C K
D B
Thay vào B tính được B = 0
3a
(2đ)
a) Với n chẵn (n∈N) chứng minh rằng: 20 n + 16 n – 3 n – 1M323
Ta có: 323=17.19
• 20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n)
20n – 1M19
16n – 3nM19 (n chẵn)
Do đó 20n + 16n – 3n – 1M19 (1)
1,0đ
• 20n + 16n – 3n – 1= (20n – 3n) + (16n –1)
20n – 3n M17
16n –1n M17 ( n chẵn)
Do đó 20n + 16n – 3n – 1M17 (2)
Mà (17;19) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra 20n + 16n – 3n – 1M323
1,0đ
3b
(2đ)
b) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : (y+2)x2017−y2−2y− =1 0
Nếu y+2=0 ⇔ = −y 2 lúc đó phương trình có dạng 0x2017− =1 0(vô nghiệm ).
Nếu y≠ −2 thì ta có 2017 2 2 1 1
1,0đ
Vì x,y nguyên nên y1+2 nguyên y+ ∈2 Ư(1) = −{ 1;1} .
y+ = − ⇒ = − ⇒y x = − (loại ).
Với y+ = ⇒ = − ⇒2 1 y 1 x2017 = ⇔ =0 x 0
Vậy số nguyên x,y thỏa mãn đề bài là : x=0,y=-1
1,0đ
a) Chứng minh S AHG = 2S AGO
• Tam giác ACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK
Nên KC vuông góc với AC
Mà BE vuông góc với AC (gt)
Suy ra KC // BE hay KC // BH
Chứng minh tương tự ta có KB // CH
Nên tứ giác BHCK là hình bình hành
1,0đ
Trang 5N
C M
D
B H
O
4
(4đ)
5
(3đ)
Gọi M giao điểm của BC và HK nên
• M là trung điểm của BC mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG =
2
3AM
• M là trung điểm của HK nên AM là đường trung tuyến của tam giác
AHK
Mà G thuộc đoạn AM và AG = 2
3AM nên G là trọng tâm của tam giác AHK
Ta có O là trung điểm của AK nên HO là đường trung tuyến của tam giác AHK
Nên HO đi qua G do đó HG = 2GO
• Tam giác AHG và tam giác AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO và
HG = 2GO
Do đó S AHG = 2S AGO
b) Chứng minh HD HE HF 1
AD+BE+CF=
Ta có:
HD.BC HE.AC HF.AB
SHBC SHAC SHAB
SABC SABC SABC
SABC
SABC = 1
Tính diện tích tam giác ABM theo R
1,0đ
2,0đ
Trang 6Gọi N là giao điểm của AD và BC; H là giao điểm của MN và AB
Chứng minh góc 0
AHM=90 ; mà góc 0
CAB=45 (gt) nên tam giác AHMvuông cân
⇒MH = AH
⇒MH + HB = AH + HB = 2R (1)
1,0đ
* Tam giác MHBvuông tại H
cos MBH cos 60
⇒
2
3
3 = (2)
Từ (1) và (2) ta có MH + 3.MH 2R MH 6R (3 3).R
-+
-2,0đ
Chú ý:
- Học sinh có thể giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
- Không có điểm vẽ hình
- Chứng minh mà không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không có điểm