phân tích các tổ chức toán học bài hàm số liên tục

3 2 Hàm số liên tục được sử dụng trong chương trình trung học như thế nào?...4 3 Hàm số liên tục có mối quan hệ gì với những đối tượng khác tồn tại trong thể chế dạy học bậc trung học?..

Trang 1

CHƯƠNG 1 PHÂN TÍCH VÀ LÀM RÕ MỘT SỐ ĐIỂM CỦA R(I,O) 3

1) Trong chương trình ở bậc trung học khái niệm hàm số liên tục xuất hiện và được mô tả như thế nào? 3 2) Hàm số liên tục được sử dụng trong chương trình trung học như thế nào? 4

3) Hàm số liên tục có mối quan hệ gì với những đối tượng khác tồn tại trong thể chế dạy học bậc trung học? 5

4) Phân tích các tổ chức toán học xung quanh hàm số liên tục 5

: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm thuộc tập xác định của hàm số đã cho 6

Để thực hiện kiểu nhiệm vụ thứ nhất (): Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 6

: Xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục, trong đó hàm số là hàm số được cho bằng một công thức và là một trong các loại hàm số trong định lí 1, 2 trang 137 của sách giáo khoa đại số và giải tích 11 hiện hành 7

: Xét tính liên tục của hàm số cho bằng nhiều công thức trên tập xác định của hàm số đó 7

: Tìm điều kiện của tham số để hàm số cho bằng nhiều công thức liên tục tại một điểm 9

: Chứng minh phương trình có ít nhất m nghiệm trong đó hàm số là một trong các loại hàm số trong định lí 1, 2 trang 137 của sách giáo khoa đại số và giải tích 11 hiện hành 10

5) Dự đoán về kiến thức của học sinh về đối tượng tri thức “Hàm số liên tục”. 13

CHƯƠNG 2 KẾT LUẬN 13

PHẦN MỞ ĐẦU

Hàm số liên tục là một tri thức toán học đã xuất hiện từ rất lâu, gắn liền với nhiều bài toán khác nhau của các nhà toán học tên tuổi trong lịch sử toán học Chính vì thế chúng tôi đã tìm hiểu đôi nét về lịch sử hình thành và phát triển của tri thức này Khi tìm hiểu chúng tôi đã căn cứ vào nghiên cứu của Trần Anh Dũng – Chuyển hóa sư phạm khái niệm hàm số liên tục trong chương trình toán bậc trung học phổ thông ở Hoa Kì và Việt Nam – Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh số 21 năm 2010

“Theo nghiên cứu của Habiba El Bouazzaoui (1988), lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm HSLT có thể được phân thành 3 giai đoạn chính sau đây.[9]

 Giai đoạn 1: Từ Hy Lạp cổ đại đến đầu thế kỷ XVII.

Cho đến đầu thế kỷ XVII, khái niệm hàm số vẫn còn ngầm ẩn Nó thể hiện qua biểu diễn bằng hình vẽ và nhiều lúc qua phát biểu bằng lời Khái niệm HSLT vì thế cũng

Trang 2

chỉ xuất hiện ngầm ẩn qua khái niệm liên tục – một khái niệm hiện diện dựa trên trực giác

về những định lượng biến thiên một cách liên tục theo thời gian như đường đi, quĩ đạo.

Cụ thể hơn, trong giai đoạn này có một quan niệm nguyên thủy (QNNT) về sự liên tục:

Khái niệm liên tục có cơ chế tiền toán học, có tính tổng thể và ngầm ẩn Nó chưa có tên, chưa được định nghĩa và chỉ xuất hiện như một công cụ ngầm ẩn cho phép giải quyết vấn đề tính diện tích, thể tích trong phạm vi hình học Trong phạm

vi vật lí, nó tác động ngầm ẩn qua việc biểu diễn tương quan giữa vận tốc, thời gian

và quãng đường Nó luôn gắn liền với các đối tượng vật lí như đường đi, quĩ đạo.

 Giai đoạn 2: Thế kỷ XVII, XVIII.

Giai đoạn này bắt đầu với quan niệm hình học của Descartes (QHD), nhưng nổi trội hơn hết là quan niệm hàm số liên tục của Euler (QHE) ở thế kỉ XVIII

Trong QHD, khái niệm HSLT có cơ chế cận toán học, được tiếp cận tổng thể và dựa trên trực giác, được sử dụng như một công cụ ngầm ẩn

Trong khi đó, theo QHE hàm số liên tục có tính tổng thể, có cả đặc tính hình học

và đặc tính số học Quan niệm này cho thấy một sự tiến triển rõ ràng so với quan niệm hình học của Descartes và những nhà toán học cùng thời với Newton Tuy nhiên, cũng như thời kì trước khái niệm liên tục vẫn hiện diện với cơ chế cận toán học

 Giai đoạn 3: Từ thế kỷ XIX đến nay.

Trong nửa đầu thế kỷ XIX, Bolzano và Cauchy đã số hóa khái niệm HSLT: tính liên tục của hàm số được xem như một tính chất địa phương, khác quan niệm của Euler (tính liên tục gắn với đặc trưng tổng thể) Trong quan niệm số hóa của Cauchy (QSC), khái niệm hàm số liên tục đã lấy cơ chế toán học, trong khi trong quan niệm của Euler nó chỉ có cơ chế cận toán học Đó là những bước tiến quan trọng của khái niệm hàm số liên tục trong lịch sử tiến hóa của nó

Trong nửa cuối thế kỷ XIX, với Weierstrass và Darboux, định nghĩa tính liên tục của hàm số đã thoát khỏi những trực giác của sự chuyển động còn ngầm ẩn trong định nghĩa của Cauchy Weierstrass và Darboux đã loại bỏ việc sử dụng khái niệm vô cùng bé trong định nghĩa tính liên tục Bước tiến hóa này đã chuyển định nghĩa tính liên tục thành một định nghĩa hình thức Trong quan niệm số hóa của Weirstrass (QSW), khái niệm HSLT có đặc trưng địa phương, số học, có cơ chế toán học và áp dụng đối với những hàm bất kỳ

Trong giai đoạn này, còn xuất hiện quan niệm HSLT của Baire (QSB) dựa trên sự phân loại các hàm số với biến số thực bất kỳ

Từ đầu thế kỷ XX, tôpô học đã xuất hiện với tư cách là một lĩnh vực toán học chuyên tìm hiểu và nghiên cứu các quan hệ liên tục trong phạm vi toán học Khái niệm

Trang 3

về HSLT là quan niệm tiến hóa cao nhất cho đến nay.”

Như vậy, hàm số liên tục được hình thành và phát triển trong một thời gian khá dài nhưng chúng tôi nhận thấy trong chương trình trung học phổ thông hàm số liên tục dường như ít được quan tâm, do đó chúng tôi đưa ra câu hỏi là:

Câu hỏi 1: Lý do để đưa vào khái niệm hàm số liên tục là gì?

Câu hỏi 2: Những tổ chức toán học nào xoay quanh hàm số liên tục?

Để làm sáng tỏ giả thuyết của mình cũng như để trả lời cho hai câu hỏi trên, chúng tôi đã thực hiện nghiên cứu tri thức hàm số liên tục và nghiên cứu mối quan hệ thể chế với tri thức hàm số liên tục

CHƯƠNG 1 PHÂN TÍCH VÀ LÀM RÕ MỘT SỐ ĐIỂM CỦA R(I,O)

Trong đó:

O: là hàm số liên tục.

I: là thể chế dạy học ở bậc trung học phổ thông.

1) Trong chương trình ở bậc trung học khái niệm hàm số liên tục xuất hiện và được mô

tả như thế nào?

Toán 9, tính liên tục của đồ thị hàm số trên các khoảng xác định của nó được hợp thức

hóa thông qua việc vẽ đồ thị các hàm số (bằng cách lấy hai điểm thuộc đồ thị hàm số rồi nối liền hai điểm đó thành một đường thẳng), (bằng cách lấy ba, năm điểm hoặc nhiều hơn thuộc đồ thị hàm số rồi nối các điểm đó lại thành một đường cong gọi là parabol)

(SGK 9 tập/tr50)

Trang 4

Cách vẽ đồ thị được trình bày trong SGK

(SGK 9 tập/tr51)

(SGK 9 tập 2/tr34)

Toán 10, tính liên tục được tiếp tục công nhận như một đặc trưng hiển nhiên của đồ thị

hàm số trên một khoảng mà nó xác định Ví dụ các hàm số có đồ thị là đường liền nét

(SGK Đãi Số 10 CB/tr34)

Trang 5

Đồ thị hàm số

(SGK Đại Số 10 CB/tr41)

Trang 6

(SGK Đại Số 10 CB/tr44) Cách vẽ trình bày trong SGK

Trang 7

Toán 11, học kì I khái niệm hàm số liên tục vẫn chỉ xuất hiện ngầm ẩn Cụ thể, trong 1

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC, SGK đưa ra đồ thị hàm số trên đoạn

Sau đó SGK hướng dẫn học sinh vẽ đồ thị hàm số trên nhưng vẫn không giải thích vì sao làm như vậy

Trang 8

Tương tự đối với hàm số

Tính gián đoạn của hàm số lần đầu tiên xuất hiện, ngầm ẩn trong việc vẽ đồ thị hàm số ,

Trang 9

Tóm lại, trong giai đoạn trước học kì II của lớp 11, khái niệm hàm số liên tục hiện diện ngầm ẩn qua hình ảnh đồ thị là đường liền nét

Học kì II, khái niệm hàm số liên tục xuất hiện tường minh (sách giáo khoa trang 136), cụ thể là:

Khái niệm hàm số liên tục tại một điểm; khái niệm hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn được định nghĩa rõ ràng

Trang 10

(SGK Đại Số & Giải Tích 11 CB/tr136)

2) Hàm số liên tục được sử dụng trong chương trình trung học phổ thông như thế nào?

* Giai đoạn ngầm ẩn (giai đoạn trước học kì II lớp 11): hàm số liên tục là công cụ ngầm

ẩn để học sinh vẽ đồ thị của các hàm số bằng cách nối các điểm thành đường liền nét

* Giai đoạn tường minh (bắt đầu từ học kì II lớp 11, bài 3, chương 4)

Hàm số liên tục là công cụ tường minh để giải quyết các bài toán trong chương trình lớp 12: xét tính đơn điệu của hàm số, tính nguyên hàm (sự tồn tại nguyên hàm sách giáo khoa trang 95), tích phân

Bổ sung vd

3) Hàm số liên tục có mối quan hệ gì với những đối tượng khác tồn tại trong thể chế dạy học bậc trung học phổ thông?

* Tính liên tục trong giải tích được thể hiện:

Khái niệm hàm số liên tục được sử dụng như một công cụ tường minh để giải các bài toán về đạo hàm (lớp 11), nguyên hàm, tích phân (lớp 12) và các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền, bài toán tồn tại nghiệm của phương trình trong một khoảng hoặc một đoạn nào đó

* Tính liên tục trong hình học được thể hiện:

Trang 11

phép biến hình để tìm quỹ tích Các lời giải dạng bài tập này không theo một quy tắc truyền thống, có hai phần thuận và đảo của bài toán quỹ tích Lý do này có thể được giải thích dựa trên cơ sở lý luận về ánh xạ song liên tục giữa các không gian mêtric Các phép biến hình được xét đều có tính chất: là song ánh, và đều liên tục, đây chính là lý do không cần thiết phải chứng minh phần thuận, đảo

4) Phân tích các tổ chức toán học xung quanh hàm số liên tục

Kiểu nhiệm vụ thứ nhất (): Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Kiểu nhiệm vụ thứ hai (): Xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục

Kiểu nhiệm vụ thứ ba : Xét tính liên tục của hàm số cho bằng nhiều công thức trên tập xác định của hàm số đó

Kiểu nhiệm vụ thứ tư : Tìm điều kiện của tham số m để hàm số cho bằng nhiều công thức liên tục tại một điểm

Kiểu nhiệm vụ thứ năm (): Chứng minh phương trình có ít nhất m nghiệm, , trong đó

hàm số là một trong các loại hàm số trong định lí 1, 2 trang 137 của sách giáo khoa đại

số và giải tích 11 hiện hành

Kiểu nhiệm vụ thứ sáu (): Sử dụng đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục

: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm thuộc tập xác định của hàm số đã cho

Ví dụ 1/tr136

Bài 1/tr140

Bài 2/tr141

Trang 12

Để thực hiện kiểu nhiệm vụ thứ nhất (): Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm thuộc tập xác định của hàm số đã cho

Ta áp dụng kỹ thuật :

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Kiểm tra xem có thuộc tập xác định hay không Nếu có tiếp tục thực hiện bước

3, ngược lại kết luận hàm số không liên tục tại

Bước 3: Tính Nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn thì thực hiện bước 4, ngược lại kết luận hàm số ekhông liên tục tại

Bước 4: Tính

Bước 5: So sánh hai giá trị vừa tìm được

+ Nếu = thì hàm số liên tục tại

+ Nếu thì hàm số không liên tục tại

Kỹ thuật này phải có công nghệ của nó, công nghệ của nó là : Định nghĩa hàm số liên

tục tại một điểm

Những công nghệ đó cần có một lý thuyết tương ứng và lý thuyết của công nghệ này là

: Lý thuyết hàm số liên tục, : Lý thuyết giới hạn, : Lý thuyết các phép biến đổi đại số Chúng tôi nhận thấy kiểu nhiệm vụ “Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm không thuộc tập xác định của hàm số đã cho” không xuất hiện, vậy việc này có gây ảnh hưởng

gì đến nhận thức của học sinh về hàm số liên tục không?

: Xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục, trong đó hàm số là hàm số được cho

bằng một công thức và là một trong các loại hàm số trong định lí 1, 2 trang 137 của sách giáo khoa đại số và giải tích 11 hiện hành

Bài 4/tr141 sách giáo viên chỉ ghi đáp số mà không trình bày lời giải chi tiết

Kỹ thuật :

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2 Kết luận: Hàm số liên tục trên các khoảng mà nó xác định

Trang 13

(SGK Đại Số & Giải Tích 11 CB/tr137)

Lý thuyết:

: Lý thuyết hàm số liên tục

: Lý thuyết giới hạn

Lý thuyết các phép biến đổi đại số

: Xét tính liên tục của hàm số cho bằng nhiều công thức trên tập xác định của hàm số đó

Ví dụ 2/tr137

Trang 14

Bài 7/tr143

Kỹ thuật :

Bước 1 Tìm tập xác định D của hàm số

Bước 2 Căn cứ vào công thức xác định hàm số để chia tập xác định thành các khoảng Bước 3 Xét tính liên tục của hàm số trên mỗi khoảng đã chia

Bước 4 Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm “chuyển tiếp” trong hàm số cho bằng nhiều công thức? (Áp dụng kỹ thuật của ) Với điểm chuyển tiếp là điểm “biên giới” giữa các biểu thức xác định hàm số, nghĩa là tại điểm đó hàm số thay đổi “luật” xác định (chúng tôi gọi chúng là điểm chuyển tiếp)

là một kiểu nhiệm vụ độc lập Nhưng nó lại xuất hiện như một thành phần trong kĩ thuật

của kiểu nhiệm vụ Vậy ta thấy rằng là một kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ Công nghệ:

: Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm

: Định lý 1, 2 trang 137 sách giáo khoa đại số và giải tích 11 hiện hành

Lý thuyết:

Trang 15

nhưng ở dạng trắc nghiệm SBT cũng có đưa vào nhưng không trình bày lời giải mà chỉ ghi đáp số Vì thế chúng tôi nghiên cứu thêm kiểu nhiệm vụ này trong chương trình 11 nâng cao Cụ thể…

(SBT Đại Số & Giải Tích 11/tr164)

Kỹ thuật :

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số đã cho Nếu thuộc tập xác định tiếp tục thực hiện bước 2, ngược lại thì chuyển qua bước 5.2

Bước 2 Tìm nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn tiếp tục thực hiện bước 3, ngược lại thì chuyển qua bước 5.2

Bước 3 Tìm

Bước 4 Tìm m để

Bước 5.1 Kết luận giá trị m vừa tìm được thoả đề

Bước 5.2 Kết luận không có giá trị m nào thoả đề

Công nghệ:

: Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm

Lý thuyết:

Trang 16

: Chứng minh phương trình có ít nhất m nghiệm trong đó hàm số là một trong các loại hàm số trong định lí 1, 2 trang 137 của sách giáo khoa đại số và giải tích 11 hiện hành

Ví dụ 3/tr139

Bài 6/tr141

Bài 14,15/tr181

Kỹ thuật :

Bước 1: Tìm m khoảng (, các khoảng đôi một giao nhau bằng rỗng) sao cho và liên tục

trên mỗi đoạn (Áp dụng kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ để kiểm tra tính liên tục trên mỗi đoạn )

Bước 2: Kết luận phương trình có ít nhất m nghiệm và mỗi nghiệm

Công nghệ:

: Định nghĩa hàm số liên tục trên đoạn

: Định lí về sự tồn tại nghiệm của phương trình

Lý thuyết:

Trang 17

Bài 3.1/tr168

Kỹ thuật :

Bước 1 Vẽ đồ thị

Bước 2 Nhìn đồ thị rồi kết luận

Công nghệ:

: Nhận xét về đồ thị của hàm số liên tục (SGK/tr136)

Trang 18

: Cách vẽ đồ thị hàm số.

Lý thuyết:

Lý thuyết hàm số

: Lý thuyết các phép biến đổi đại số

*tổng kết số lượng bài tập

Kiểu nhiệm vụ Số lượng bài tập

5 bài (21,74%)

1 bài (4,35%)

5 bài (21,74%)

3 bài (13,04%)

7 bài (30,43%)

2 bài ( 8,7%)

(100%)

Kết luận: thông qua bảng phân tích cho thấy thể chế chú trọng về phương diện số học của hàm số liên tục, phương diện hình học mờ nhạt, liên hệ rất ít Điều đó cho thấy thể chế mong muốn điều gì? Chúng tôi đưa ra giả thuyết rằng thể chế muốn đại số hóa giải tích vì qua bảng trên ta thấy kiểu nhiệm vụ chiếm ưu thế,

Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm

Định lý 1, 2 trang 137 sách giáo khoa đại số và giải tích 11

Trang 19

Định lý sự tồn tại nghiệm

Nhận xét về đồ thị của hàm số liên tục

Cách vẽ đồ thị hàm số

Kết luận

 , , tạo nên 3 tổ chức toán học điểm: , ,

Công nghệ chung cho cả 3 kĩ thuật: Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm

 , , cùng thuộc 1 tổ chức toán học địa phương

 , , tạo nên 4 tổ chức toán học điểm: , ,

Công nghệ chung cho cả 4 kĩ thuật: Định lý 1, 2 trang 137 sách giáo khoa đại số và giải tích 11 hiện hành

 , , cùng thuộc 1 tổ chức toán học địa phương

6 tổ chức toán học điểm trên cùng thuộc 1 tổ chức toán học vùng mà lý thuyết chung là:

 Lý thuyết hàm số liên tục

 Lý thuyết giới hạn

 Lý thuyết các phép biến đổi đại số

5) Dự đoán kiến thức của học sinh về đối tượng tri thức “Hàm số liên tục”.

Thể chế mong muốn học sinh giải quyết được các kiểu nhiệm vụ, sử dụng thành thạo các

kỹ thuật để giải quyết nhiệm vụ, từ đó hiểu và nắm vững công nghệ Học sinh phải biết:

 Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng, đoạn

 Xác định tham số m để hàm số liên tục trên tập xác định

 Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trên (a; b)

 Xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục

 Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số tại

Trong đó nhiệm vụ chiếm ưu thế hơn các nhiệm vụ khác, ở cả sách giáo khoa cơ bản và sách bài tập cơ bản trong chương trình toán 11 ở Việt Nam

Điều này thể hiện thể chế mong muốn học sinh hiểu và vận dụng cách xét tính liên tục của hàm số, cách dự đoán số nghiệm của phương trình trên một khoảng, một đoạn nào đó

CHƯƠNG 2 KẾT LUẬN

Hiểu hàm số liên tục ta phải hiểu theo hai phương diện, một là phương diện số, hai là phương diện hình học nhưng trong thể chế trung học phổ thông, phương diện số được

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,61 MB