Khối Đa Diện Trong Đề Thi Tốt Nghiệp THPT Từ 2006 Đến 2017 Sự Tiến Triển Của Các Tổ Chức Toán Học

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài: “Khối đa diện trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2006 đến 2017: sự tiến triển của các tổ chức toán học và tác động đến dạy và học” là kết quả công tr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Ngọc

KHỐI ĐA DIỆN TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT TỪ 2006 ĐẾN 2017: SỰ TIẾN TRIỂN CỦA CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC VÀ TÁC ĐỘNG

ĐẾN DẠY VÀ HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thanh Ngọc

KHỐI ĐA DIỆN TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT TỪ 2006 ĐẾN 2017: SỰ TIẾN TRIỂN CỦA CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC VÀ TÁC ĐỘNG

ĐẾN DẠY VÀ HỌC

Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số : 8140111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài: “Khối đa diện trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2006

đến 2017: sự tiến triển của các tổ chức toán học và tác động đến dạy và học” là kết

quả công trình nghiên cứu của cá nhân tôi, dưới sự hướng dẫn của Thầy Trần Lương Công Khanh, những trích dẫn trong luận văn, cũng như các kết quả nghiên cứu từ các công trình nghiên cứu của các tác giả khác đều được trích dẫn đầy đủ theo đúng quy định

Nguyễn Thanh Ngọc

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin đặc biệt gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến TS Trần

Lương Công Khanh, người đã hướng dẫn và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình

hoàn thành luận văn này

Tôi xin vô cùng cảm ơn:

 PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, PGS.TS Lê Thái Bảo Thiên

Trung, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga, TS Tăng Minh Dũng,

các Thầy Cô đã rất nhiệt tình giảng dạy chúng tôi

 Các thầy cô ở Pháp đã góp ý, tư vấn cho chúng tôi có được hướng đi tốt trong

nghiên cứu của mình

Tôi cũng rất cảm ơn:

 Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng sau Đại học, Khoa Toán - Trường đại học

Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho

chúng tôi

 Các thầy cô và học sinh trường THPT Trịnh Hoài Đức, trường THPT Huỳnh

Văn Nghệ, Trung tâm GDNN - GDTX Thuận An, đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong

quá trình thực nghiệm của luận văn

 Ban giám đốc, các thầy cô và học sinh của Trung tâm GDNN - GDTX Tân

Uyên đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi rất nhiều trong quá trình tôi đi học và

thực nghiệm của luận văn

 Các bạn lớp Didactic 27 vì sự đồng hành cùng nhau trong suốt khóa học

Cuối cùng, là sự biết ơn vô vàn đến gia đình tôi, đặc biệt là mẹ tôi, đã động viên và hỗ

trợ hết lòng trong suốt quãng thời gian tôi đi học

Nguyễn Thanh Ngọc

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các từ viết tắt

Danh mục các bảng

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC VỀ KHỐI ĐA DIỆN TRONG SÁCH GIÁO KHOA VÀ SÁCH BÀI TẬP LỚP 12 5

1.1 Các tổ chức toán học liên quan đến khối đa diện trong sách giáo khoa và sách bài tập hình học 12 cơ bản 6

1.1.1 Tổ chức toán học hỗ trợ 6

1.1.2 Tổ chức toán học phức hợp 10

1.1.3 Tổ chức toán học tức thời 17

1.2 Các tổ chức toán học liên quan đến khối đa diện trong sách giáo khoa và sách bài tập hình học 12 nâng cao 19

1.2.1 Tổ chức toán học hỗ trợ 20

1.2.2 Tổ chức toán học phức hợp 21

1.2.3 Tổ chức toán học tức thời 27

Kết luận chương 1 30

Chương 2 TỔ CHỨC TOÁN HỌC LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI ĐA DIỆN TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (2006 – 2017) 30

2.1 Những kiểu nhiệm vụ về khối đa diện luôn xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp thpt từ năm 2006 đến năm 2017 31

2.2 Những kiểu nhiệm vụ về khối đa diện mới xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT 2017 31

2.2.1 Biến thể của kiểu nhiệm vụ t4 32

2.2.2 Biến thể của kiểu nhiệm vụ t4 37

2.2.3 Kiểu nhiệm vụ t12 40

2.2.4 Kiểu nhiệm vụ t1 41

2.2.5 Kiểu nhiệm vụ t6 41

2.3 Những kiểu nhiệm vụ về khối đa diện bị vắng bóng trong đề thi tốt nghiệp THPT 2017 43

Kết luận chương 2 44

Chương 3 QUAN SÁT THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CỦA GIÁO VIÊN VÀ SẢN PHẨM CỦA HỌC SINH 45

3.1 Quan sát thực hành giảng dạy của giáo viên 45

3.1.1 Quan sát thực hành giảng dạy của g1 46

3.1.2 Quan sát thực hành giảng dạy của g2 50

3.1.3 Kết luận 54

3.2 Phân tích sản phẩm của học sinh và ý kiến giáo viên 54

3.2.1 Đối tượng 55

3.2.2 Hình thức 55

3.2.3 Bộ câu hỏi thực nghiệm 55

Kết luận chương 3 69

KẾT LUẬN 71

TÀI LIỆU THAM KHẢO 73 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Từ viết tắt Nghĩa của từ viết tắt

THPT Trung học phổ thông GDTX Giáo dục thường xuyên GDĐT Giáo dục và đào tạo

TCTH Tổ chức toán học

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Thống kê các kiểu nhiệm vụ có trong HH12CB, BTHH12CB 18 Bảng 1.2 Thống kê các kiểu nhiệm vụ có trong HH12NC, BTHH12NC 28

MỞ ĐẦU

1 Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Hình học không gian là một trong những phân môn khó đối với HS Việt Nam, nhất là trong việc thực hành giải toán Để giải một bài toán hình học không gian, HS không những phải biết huy động công thức, tính chất phù hợp, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mà còn phải biết vẽ hình biểu diễn vật thể trên mặt phẳng và đọc hình

vẽ

Trong chương trình THPT hiện hành, HHKG được bắt đầu giảng dạy ở lớp 11

và tiếp tục ở lớp 12 Từ năm 2006 đến nay, một trong những chủ đề HHKG thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT là các KNV liên quan đến khối đa diện Đây là một KNV khó đối với HS, đặc biệt khi kết quả thi tốt nghiệp THPT được dùng

để xét tuyển đại học, cao đẳng (từ 2015) và khi đề toán chuyển sang hình thức trắc nghiệm (từ 2017)

Những bài toán nào liên quan đến khối đa diện đã xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông từ 2006 đến 2017? Sự tiến triển của các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khối đa diện qua các đề thi này? Tác động của sự tiến triển này đối với giáo viên

và học sinh?

Những câu hỏi này đưa chúng tôi đến đề tài Khối đa diện trong các đề thi trung học phổ thông (2006-2017): Sự tiến triển của các tổ chức toán học và tác động đến dạy

và học

2 Các công cụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết

Chúng tôi nghiên cứu đề tài của mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic Toán

đó là thuyết nhân học và phân tích thực hành dạy học của giáo viên theo quan điểm Didactic, đặc biệt là khái niệm tổ chức toán học

2.1 Quan hệ thể chế đối với một tri thức

Lý thuyết nhân học sư phạm dựa vào ba thuật ngữ ban đầu không định nghĩa đó

là đối tượng, cá thể, thể chế

Khi một cá thể X thâm nhập vào một thiết chế I mà trong đó tồn tại một đối tượng tri thức O, mối quan hệ cá nhân R(X, O) của X với O được hình thành Cá thể X và hệ

thống các quan hệ cá nhân R(X, O) được gọi là cá nhân Thông qua mối quan hệ cá nhân R(X, O), cá nhân trở thành một chủ thể của thiết chế I

Khi một cá nhân thâm nhập vào một thể chế sư phạm, mối quan hệ của cá nhân

với một đối tượng tri thức O nào đó được thiết lập dưới những ràng buộc của mối quan

hệ thể chế đối với đối tượng tri thức này Theo quan điểm này, truyền đạt một tri thức

là quá trình thiết lập hoặc thay đổi quan hệ cá nhân của người học với tri thức dưới những ràng buộc của quan hệ thể chế đối với tri thức

2.2 Tổ chức toán học

Theo quan điểm của Chevallard (1998): một praxéologie là một bộ bốn [T, , ,

] trong đó T là kiểu nhiệm vụ gồm ít nhất một nhiệm vụ,  là kỹ thuật giúp giải quyết

T,  là công nghệ biện minh cho  và  là lý thuyết biện minh cho 

Trong một praxéologie, khối [T/ ] thuộc về thực hành và khối [/ ] thuộc về

lý thuyết, lập luận Nếu T là một kiểu nhiệm vụ toán học, praxéologie liên quan sẽ gọi

là một tổ chức toán học

Từ đây, chúng ta phát biểu lại một số câu hỏi ban đầu như sau:

Các tổ chức toán học nào liên quan đến khối đa diện được trình bày trong SGK

cơ bản và nâng cao? Với mỗi KNV, các kỹ thuật có thể có trong mỗi giai đoạn? Các

kỹ thuật được ưu tiên? Những KNV về khối đa diện trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông? Việc chuyển đề toán sang hình thức trắc nghiệm làm nảy sinh những KNV mới nào về khối đa diện? Các kỹ thuật có thể có?

2.3 Chuyển hóa sư phạm

“Mọi tri thức S đều gắn với ít nhất một thể chế I mà trong đó tri thức được vận dụng vào một lĩnh vực thực tiễn D nào đó Điều chủ yếu là một tri thức không tồn tại một

cách riêng lẻ bên lề xã hội: mọi tri thức đều xuất hiện vào một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định như đã ăn sâu vào một hoặc nhiều thể chế” (Chevallard 1989)

Để có thể tồn tại trong một thể chế, mọi tri thức đều phải chịu một số điều kiện ràng buộc nhất định Sự chuyển hóa sư phạm có thể tóm tắt theo sơ đồ dưới đây:

Tri thức bác học



Tri thức cần dạy (Thể chế chuyển hóa)

Từ đây, chúng tôi xin phát biểu lại các câu hỏi ban đầu dựa trên những lý thuyết

đã tham chiếu như sau:

Q1 Các tổ chức toán học nào liên quan đến khối đa diện được trình bày trong SGK cơ bản và nâng cao? Với mỗi KNV, các kỹ thuật có thể có trong mỗi giai đoạn? Các kỹ thuật được ưu tiên?

Q2 Những KNV về khối đa diện trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông? Việc chuyển đề toán sang hình thức trắc nghiệm làm nảy sinh những KNV mới nào về khối đa diện? Các kỹ thuật có thể có?

Q3 Các kỹ thuật được giáo viên và học sinh ưu tiên chọn để giải quyết các KNV?

Các yếu tố công nghệ - lý thuyết biện minh cho các kỹ thuật được ưu tiên? 3 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện mục tiêu và trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đã nêu, thì nhiệm vụ

và phương pháp nghiên cứu được tiến hành như sau:

+ Xác định tổ chức toán học liên quan đến khối đa diện trong SGK 12 hiện hành + Xác định KNV liên quan đến khối đa diện trong trong các đề thi từ 2006 đến 2017

+ Quan sát thực hành dạy học của GV

+ Phân tích sản phẩm của GV và HS

4 Cấu trúc của luận văn

Luận văn này gồm 3 phần: phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương như sau:

Chương 1: Các tổ chức toán học về khối đa diện trong sách giáo khoa và sách bài

Chương 1 CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC VỀ KHỐI ĐA DIỆN TRONG SÁCH GIÁO

KHOA VÀ SÁCH BÀI TẬP LỚP 12

Ngày 05/5/2006, bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành Quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT về chương trình giáo dục phổ thông Từ năm học 2006-2007, hai bộ sách toán THPT được sử dụng trong cả nước: bộ nâng cao dành cho ban khoa học tự nhiên, bộ cơ bản dành cho ban khoa học xã hội và cơ bản

Trong quá trình thực hiện chương trình, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành Công văn số 5842/BGDĐT-VP ngày 01 tháng 9 năm 2011 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, công văn về giảm tải chương trình toán THPT, cụ thể vấn đề liên quan đến khối đa diện được trình bày ở chương I được áp dụng giảm tải như sau:

 Bài 1: Khái niệm khối đa diện đều, phần bài tập giảm tải bài 1, 2 trang 12

 Bài 2:

 Mục II trang 16, 17 và HĐ 4 trang 18 chỉ giới thiệu định lý và minh họa qua hình 1.20 Các nội dung còn lại của trang 16 – 17 và HĐ 4 trang 18 không dạy Điều này đồng nghĩa với việc bảng tóm tắt 5 loại khối đa diện không được chú trọng

 Phần luyện tập: Giảm tải bài 4 trang 18 (giảm tải việc chứng minh các đường vuông góc)

 Bài 3: Phần luyện tập giảm tải bài 3 trang 25 (giảm tải việc tính tỉ số thể tích của khối hộp, đồng thời giảm tải việc tính thể tích tứ diện thông qua tỉ số khối hộp)

 Ôn chương I: làm bài phần tự luận (6,8,9,10,11 trang 26)

Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi sẽ không nghiên cứu rộng về khái niệm khối đa diện mà tập trung phân tích sâu các TCTH có liên quan trong SGK, SBT

Dựa trên khối logos (công nghệ, lý thuyết), Chevallard phân biệt 4 loại TCTH: TCTH điểm (organisation mathématique ponctuelle): TCTH xoay quanh một

kiểu nhiệm vụ

TCTH địa phương (organisation mathématique locale): TCTH xoay quanh một

công nghệ

TCTH vùng (organisation mathématique régionale): TCTH xoay quanh một lý

TCTH tức thời: TCTH phục vụ cho việc hiểu, áp dụng một khái niệm, một tính

chất đơn giản, xuất hiện vào thời điểm đưa vào khái niệm, tính chất đó, không xuất hiện vào những thời điểm sau

TCTH hỗ trợ: TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng sẽ đóng vai trò kiểu nhiệm vụ con trong tổ chức toán học phức hợp

TCTH phức hợp: TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng bao gồm nhiều kiểu nhiệm

vụ của TCTH hỗ trợ, và việc giải quyết nhiều kiểu nhiệm vụ tương ứng cần huy động

rất nhiều công nghệ, lý thuyết

1.1 Các tổ chức toán học liên quan đến khối đa diện trong sách giáo khoa và sách bài tập Hình học 12 cơ bản

Quyển sách HH12CB được trình bày theo ba chương: Khối đa diện; Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu; Phương pháp toạ độ trong không gian Mỗi chương trình bày thành nhiều bài, có cả phần bài học và bài tập Cuối mỗi chương có bài tập ôn gồm phần tự luận và phần trắc nghiệm Sách HH12CB cũng dành khoảng 5 trang gần cuối quyển sách để trình bày ngắn gọn đáp án phần tự luận

Đề tài chúng tôi nghiên cứu được thể hiện ở chương 1: Khối đa diện, trong chương này được chia thành ba bài

1.1.1 Tổ chức toán học hỗ trợ

Khi tiến hành nghiên cứu HH12CB chúng tôi nhận thấy có các TCTH sau đây:

1.1.1.1 Tổ chức toán học O 1 : Phân chia, lắp ghép khối đa diện

Kiểu nhiệm vụ tương ứng T 1 : Phân chia khối đa diện thành hữu hạn khối

đa diện thỏa điều kiện cho trước hoặc lắp ghép hữu hạn khối đa diện cho trước thành khối đa diện thỏa điều kiện cho trước

Dưới đây, chúng tôi trình bày ba ví dụ tiêu biểu để rút ra kỹ thuật, công nghệ, lý thuyết tương ứng

Ví dụ 1 (bài 4, tr 12, HH12CB): Chia một khối lập phương thành sáu khối tứ

diện bằng nhau

Lời giải mong đợi (booktoan.com): Chia khối lập phương thành hai hình lăng

trụ bằng nhau ABD.A’B’D’ và BCD.B’C’D’ vì chúng đối xứng qua (BDD’B’) Trong lăng trụ ABD.A’B’D’ ta xét ba khối tứ diện: D’A’AB, D’A’B’B, D’ADB

Ta có: D’A’AB, D’A’B’B bằng nhau vì đối xứng qua (A’D’CB)

D’A’AB, D’ADB bằng nhau vì đối xứng qua (ABC’D’)

Tương tự, chia hình lăng trụ BCD.B’C’D’ thành ba khối tứ diện D’B’BC, D’B’C’C, D’BDC, các khối tứ diện này bằng nhau và bằng ba khối tứ diện đã chia

Vậy ta có: D’A’AB, D’A’B’B, D’ADB, D’B’BC, D’B’C’C, D’BDC bằng nhau

Ví dụ 2 (bài 1.3, tr 11, BTHH12CB): Chia hình chóp tứ giác đều thành tám

hình chóp bằng nhau

Lời giải mong đợi (BTHH12CB): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Hai

đường chéo AC, BD và hai đường thẳng nối trung điểm các cặp đối diện của hình vuông ABCD chia hình vuông ABCD thành tám tam giác bằng nhau Xem mỗi tam giác đó là đáy của một hình chóp đỉnh S ta sẽ được tám hình chóp bằng nhau

Ví dụ 3 (tr 11, BTHH12CB): Cho hình chóp tứ giác F.ABCD có đáy là hình

vuông Cạnh bên FC vuông góc với đáy và có độ dài bằng AB Chứng minh rằng có thể dùng ba hình chóp bằng hình chóp trên để ghép lại thành một hình lập phương

Lời giải mong đợi (BTHH12CB): Từ hình chóp trên ta dựng hình lập phương

HEFG.ABCD Ta thấy hai hình chóp F.ABCD và F.ABEH đối xứng với nhau qua mặt

phẳng (ABF), hai hình chóp F.ABCD và F.AHGD đối xứng với nhau qua mặt phẳng (ADF) Do đó ba hình chóp F.ABCD, F.ABEH và F.AHGD bằng nhau.

Như vậy có thể chia được hình lập phương HEFG.ABCD thành ba hình chóp bằng hình chóp F.ABCD Từ đó suy ra có thể ghép ba hình chóp bằng hình chóp F.ABCD

và chứa ít nhất một trong các khối đa diện cho trước Chứng minh phần còn lại của khối đa diện đã dựng cũng chứa các khối đa diện đã cho còn lại

 Công nghệ 1

+ Định nghĩa của HH12CB: Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1), (H2) sao cho (H1) và (H2) không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1) và (H2), hay có thể lắp ghép hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để được khối đa diện (H)

+ Tính chất của các hình trong mặt phẳng và trong không gian, các hệ thức lượng trong không gian, các phép biến hình trong không gian, các tính chất

 Lý thuyết 1: Hình học Euclid trong mặt phẳng và trong không gian

Chúng tôi cho rằng kiểu nhiệm vụ T1 được tác giả sách giáo khoa đưa vào nhằm chuẩn

bị cho việc giải quyết kiểu nhiệm vụ tính thể tích khối đa diện (sẽ đề cập ở phần sau)

Ví dụ 4 (bài 2, tr18): Cho hình lập phương (H) Gọi (H’) là hình bát diện đều có

các đỉnh là tâm các mặt của (H) Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’)

Lời giải mong đợi (booktoan.com)

Ta xét khoảng cách giữa O1, O2, với O1

là tâm của (ABCD), O2 là tâm của (BCC’B’)

Dễ thấy O1O2//AB’ và O1O2=1

2AB’ Gọi a là cạnh của lập phương thì O1O2=𝑎√2

2

Vì (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H) nên (H’) có 8 mặt

là tam giác đều cạnh là 𝑎√2

2

S(H’)=8.(𝑎√2

2 )

2.√3

4= 𝑎

2 √3 8

 Công nghệ 2: tính chất của các hình trong mặt phẳng và trong không gian, hệ thức lượng trong tam giác, các công thức tính diện tích

 Lý thuyết 1: Hình học Euclid trong mặt phẳng và trong không gian

Như vậy, việc giải quyết T2 đòi hỏi phải huy động trực tiếp các công thức tính diện tích toàn phần của đa diện và các tính chất của chúng

1.1.1.3 Tổ chức toán học O 3 : Chứng minh một hình là hình đa diện đều

Kiểu nhiệm vụ tương ứng T 3 : Chứng minh một hình là hình đa diện đều

Ví dụ 5 (Hoạt động 4/ tr18 HH12CB): Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’,

có các cạnh bằng a Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều

Lời giải mong đợi (HH12CB): Do

sáu mặt của hình lập phương là các

hình vuông bằng nhau nên đường

chéo của chúng cũng bằng nhau Suy

ra bốn tam giác AB’C, AD’B’,

D’B’C, AD’C là các tam giác đều

Tứ diện AB’CD’ là một tứ diện đều

Ta rút ra kỹ thuật, công nghệ và lý

thuyết của T3:

 Kỹ thuật 3: Chứng minh các mặt là hình đa giác đều

 Công nghệ 3: Các công thức tính góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau

 Lý thuyết 3: Lý thuyết về hình đa diện đều

1.1.2 Tổ chức toán học phức hợp

Đây là TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng bao gồm nhiều kiểu nhiệm vụ của

TCTH hỗ trợ

1.1.2.1 Tổ chức toán học O 4 : Tính thể tích khối đa diện

Chúng tôi nhận thấy rằng để giải quyết KNV T4: Tính thể tích khối đa diện, có 3

kỹ thuật được SGK lựa chọn đó là: tính trực tiếp; phải phân chia, lắp ghép; tính nhờ tỷ

số

HH12CB ưu tiên việc trình bày kỹ thuật phải phân chia, lắp ghép và kỹ thuật tính nhờ tỷ số

Cụ thể HH12CB đã trình bày lý thuyết như sau:

“Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V(H) thỏa mãn các tính chất sau:

a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) =1

b) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì V(H1)=V(H2)

c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diên H(1) và (H2) thì

V(H1)= V(H1)+ V(H2)

Số dương V(H) nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện (H) Số đó cũng được gọi là thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H)

Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị”

Từ đó, HH12CB cũng đưa ra công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối lăng trụ, và khối chóp như sau:

“Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó”

“Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V = Bh”

“Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V = 1

Bước 2: Tính thể tích từng khối nhỏ đã chia

Bước 3: Tính thể tích khối đa diện ban đầu (bằng cách tính tổng các thể tích khối nhỏ)

Ví dụ 6 (trang 24/ HH12CB): Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi E

và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’ và BB’ Đường thẳng CE cắt đường thẳng C’A’ tại E’ Đường thẳng CF cắt đường thẳng C’B’ tại F’ Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

a) Tính thể tích khối chóp C.ABFE theo V

b) Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp C.ABFE Tính tỉ số thể tích của (H) và của khối chóp C.C’E’F’

Lời giải: Hình chóp C.A’B’C’ và hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy và đường cao

Vì EA’ song song và bằng 1

2 CC’ nên theo định lý Ta-lét, A’ là trung điểm của E’C’ Tương tự, B’ là trung điểm của F’C’ Do đó diện tích tam giác C’E’F’ gấp bốn lần diện tích tam giác A’B’C’ Từ đó suy ra VC.E’F’C’ = 4VC.A’B’C’= 4

 Công nghệ 4-2: các công thức tính thể tích, các quan hệ định tính và định lượng trong hình học phẳng, chú ý công thức

 Lý thuyết 5_5: Khái niệm về thể tích khối đa diện, hình học Euclid

Như vậy KNV T 4’ : Tính tỉ số hai thể tích là 1 KNV con của T4: Tính thể tích khối đa diện

Trong BTHH12CB ưu tiên kỹ thuật tính trực tiếp, chúng tôi trình bày hai ví dụ tiêu biểu để rút ra kỹ thuật, công nghệ, lý thuyết tương ứng như sau:

Ví dụ 7 (bài 2/ tr16/BTHH12CB): Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB=

a Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy D sao cho CD=a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E Tính thể tích khối

tứ diện CDEF theo a

VDCEF= 1

3SCEF.DF=𝑎

3

36

Ví dụ 8 (Bài 1.30/tr22/BTHH12CB): Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy

là tam giác vuông cân ở C Cạnh B’B = a và tạo với đáy một góc bằng 600 Hình chiếu vuông góc hạ từ B’ lên đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ đó theo a

Ví dụ 9 (Bài 1.6/ tr 14/ BTHH12CB): Tính sin của góc tạo bởi hai mặt kề nhau

(tức là hai mặt có một cạnh chung) của một tứ diện đều

Lời giải: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a Gọi M và N theo thứ tự là trung

điểm của AB và CD Khi đó góc giữa hai mặt (CAB) và (DAB) bằng 𝐶𝑀𝐷̂ =2𝐶𝑀𝑁̂

Ta có: CM=𝑎√3

2 , CN= 𝑎

2, do đó sin𝐶𝑀𝑁̂ =

𝑎 2 𝑎√3 2

B2: Tính giá trị lượng giác của góc giữa hai mặt phẳng

 Công nghệ 5: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau tr106, HH11CB

 Lý thuyết 5: Góc giữa hai mặt phẳng, Hệ thức lượng trong tam giác

1.1.2.3 Tổ chức toán học O 7 : Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng và khối

đa diện

 Trong T 7 : Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng và khối đa diện

Ví dụ 10 (bài 1.9 tr 14/BTHH12CB)

Cho khối bát diện đều ABCDEF Gọi O

là giao điểm của AC và BD, M và N theo

thứ tự là trung điểm của AB và AE Tính

diện tích thiết diện tạo bởi khối bát diện

đó với mặt phẳng (OMN)

Lời giải mong đợi

Ta có khối bát diện đều ABCDEF, cạnh

a Do MN//(DEBF) nên giao của (OMN)

và (DEBF) là đường thẳng qua O và

song song với MN

Ta nhận thấy đường thẳng này cắt DE và

BF tại các trung điểm P và S tương ứng

của chúng Do (ADE) // (BCF), nên

(BCF) cắt (OMN) theo giao tuyến qua S

và song song với NP Dễ thấy giao tuyến

này cắt FC tại trung điểm R của nó

Tương tự, (OMN) cắt DC tại trung điểm Q của nó Từ đó suy ra thiết diện tạo bởi hình bát diện đã cho với (OMN) là lục giác đều có cạnh bằng 𝑎

1.1.2.4 Tổ chức toán học O 8 : Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

KNV T8: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là KNV con của T4

Ta có: CI2=CA2-AI2=5a2-(𝑎√2

 Công nghệ 4-3: công thức tính thể tích khối đa diện

 Lý thuyết 8: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khái niệm thể tích khối đa diện

1.1.3 Tổ chức toán học tức thời

Đây là TCTH phục vụ cho việc hiểu, áp dụng một khái niệm, một tính chất đơn giản, xuất hiện vào thời điểm đưa vào khái niệm, tính chất đó, không xuất hiện vào những thời điểm sau

1.1.3.1 Tổ chức toán học O 6 : Chỉ ra các mặt đối xứng, tâm đối xứng, trục đối xứng của một đa diện đều

Ví dụ 12 (Bài 1.8/tr 14/BTHH12CB): Cho một khối bát diện đều Hãy chỉ ra một

mặt phẳng đối xứng, một tâm đối xứng và một trục đối xứng của nó

Lời giải mong đợi

Ta có khối bát diện đều

ABCDEF (như hình) Gọi O là giao

điểm của EF và (ABCD) Khi đó

(ABCD), điểm O và EF lần lượt là mặt

phẳng đối xứng, tâm đối xứng và trục

đối xứng của khối bát diện đều đã cho

1.1.3.2 Tổ chức toán học O 9 : Phân loại khối đa diện đều

KNV T9: Phân loại khối đa diện đều, có các KNV con là:

T 9,1 : Chỉ ra số cạnh hoặc số mặt bất kỳ của hình đa diện, hình đa diện đều

HH12CB không trình bày kỹ thuật giải quyết tuy nhiên có đưa ra một số lý thuyết như sau:

 Lý thuyết 9: Khối đa diện đều tr15/ HH12CB

HH12CB định nghĩa khối đa diện lồi và khối đa diện đều như sau:“ Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của (H) luôn thuộc (H) Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi”

“ Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có các tính chất sau:

a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh

b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt

Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p;q}”

Chỉ có 5 loại khối đa diện đều Đó là loại {3 ;3}, loại {4 ;3} , loại {3 ;4}, loại {5 ;3} và loại {3 ;5}, theo thứ tự được gọi là khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều, khối mười hai mặt đều v2 khối hai mươi mặt đều

Bảng 1.1 Thống kê các kiểu nhiệm vụ có trong HH12CB, BTHH12CB

CB

BTHH 12CB Tổng Tỉ lệ

Kiểu nhiệm vụ Các biến thể HH12

CB

BTHH 12CB Tổng Tỉ lệ

T5: Tính giá trị

lượng giác của

góc tạo bởi hai

T9: Phân loại khối

đa diện đều

T9,1: Chỉ ra số cạnh hoặc

số mặt bất kỳ của hình đa diện, hình đa diện đều

2

2 3,6%

Nhận xét: Từ bảng thống kê ta thấy rằng, các bài tập trong HH12CB, BT12CB

tập trung ở kiểu nhiệm vụ T4 :Tính thể tích khối đa diện chiếm 76,6%

1.2 Các tổ chức toán học liên quan đến Khối đa diện trong sách giáo khoa và sách bài tập Hình học 12 nâng cao

Cũng như HH12CB, quyển sách HH12NC cũng được trình bày theo ba chương : Khối đa diện và thể tích của chúng; Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón; Phương pháp toạ độ trong không gian Mỗi chương trình bày thành nhiều bài, có cả phần bài học và bài tập Cuối mỗi chương có bài tập ôn gồm phần tự luận và phần trắc nghiệm Sách

HH12NC cũng dành nhiều trang gần cuối quyển sách để trình bày ngắn gọn đáp án phần tự luận và cả đáp án phần trắc nghiệm (phần này HH12CB không có)

(Để nhất quán,và dễ so sánh, chúng tôi trình bày ở phẩn này như các ký hiệu kiểu nhiệm vụ, các phân loại về TCTH đã trình bày trong HH12CB)

1.2.1 Tổ chức Toán học hỗ trợ

Đây là TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng sẽ đóng vai trò kiểu nhiệm vụ con trong tổ chức toán học , khi tiến hành nghiên cứu HH12CB chúng tôi nhận thấy bao gồm có các TCTH sau đây:

1.2.1.1 Tổ chức toán học O 1 : Phân chia, lắp ghép khối đa diện

Trong T 1 : Phân chia, lắp ghép khối đa diện

Ví dụ 13 (bài 4/tr7/HH12NC): Hãy phân chia một khối hộp thành năm khối tứ diện Lời giải

Khối hộp ABCD.A’B’C’D’ được chia

thành 5 khối tứ diện C.B’C’D; B.CB’A;

A.A’B’D’; D.ACD’; B’.ACD’ bởi

(CB’D’), (ACB’), (AB’D’), (ACD’)

Ví dụ 14 (vd 1/tr6/HH12NC)

Cho khối chóp tứ giác S.ABCD Ta hãy xét hai

khối chóp tam giác S.ABC và S.ACD

+ Kiểm tra lại xem các khối đa diện con vừa mới chia có thể ghép lại thành khối đa diện ban đầu không

 Công nghệ 1: các khối được chia thoả mãn: không có điểm trong chung, nghĩa

là điểm trong của khối này không là điểm trong của khối kia Hợp của các khối được chia thành khối bị chia

 Lý thuyết: Khối đa diện

1.2.1.2 Tổ chức toán học O 2 : Tính tỉ số diện tích:

HH12NC không ưu tiên tổ chức toán học này

1.2.1.3 Tổ chức toán học O 3 : Chứng minh một hình là hình đa diện đều

HH12NC không thấy xuất hiện kiểu nhiệm vụ T 3 : Chứng minh một hình là hình đa diện đều

1.2.2 Tổ chức toán học phức hợp

Đây là TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng bao gồm nhiều kiểu nhiệm vụ của TCTH

hỗ trợ

1.2.2.1 Tổ chức toán học O 4 : Tính thể tích khối đa diện

Trong T 4 : Tính thể tích khối đa diện

Chúng tôi nhận thấy rằng để giải quyết KNV T4: Tính thể tích khối đa diện, có 3 kỹ thuật được SGK lựa chọn đó là: tính trực tiếp; phải phân chia, lắp ghép; tính nhờ tỷ số HH12NC ưu tiên việc trình bày kỹ thuật tính trực tiếp

Ví dụ 15: Tính thể tích của khối tứ diện đều có cạnh bằng a

Lời giải mong đợi

Xem tứ diện đều ABCD (cạnh bằng a) như là hình chóp

có đỉnh là A và đáy là tam giác đều BCD có cạnh bằng

a

Diện tích mặt đáy là: SBCD = √3

4 𝑎2Gọi H là tâm của tam giác đều BCD thì AH là đường

cao của hình chóp A.BCD Khi đó chiều cao của hình

chóp là:

Ví dụ 16 (ví dụ 3/ tr26) : Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a

Lời giải mong đợi

Ta có khối tám mặt đều (H) với các đỉnh

là A, B, C, D, E, F Ta có thể phân chia khối đa

diện (H) thành hai khối chóp tứ giác đều

A.BCDE và F.BCDE Vì hai khối chóp đó bằng

nhau nên có thể tích bằng nhau, do đó thể tích V

của khối (H) bằng hai lần thể tích V1 của khối

Ví dụ 17 (bài 20/tr28): Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam

giác đều cạnh a, điểm A’ cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 Tính thể tích của khối lăng trụ đó

Lời giải mong đợi

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC Vì

A’A= A’B= A’C nên A’O⊥(ABC)

Vậy 𝐴′𝐴𝑂̂ = 600

Từ đó ta có: A’O=AO tan 600=

AO.√3=𝑎√3

3 √3=a

Vậy thể tích cần tìm là:

V=SABC.A’O=𝑎2√3

4 a=𝑎

3 √3 4

Từ đây ta có thể rút ra kỹ thuật để giải quyết KNV như sau

 Kỹ thuật 4,3:

Bước 1: Tìm và tính chiều cao khối đa diện Bước 2: Tính diện tích đáy B của khối đa diện Bước 3: Tính thể tích khối đa diện

 Công nghệ 4,3: V= 1

3.Sđáy.h ; 𝑉 = 𝑆đá𝑦 ℎ; V=abc

 Lý thuyết 4,3: Khái niệm về thể tích khối đa diện(tr23)

Ví dụ 18 (ví dụ 4/ tr27)

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của hai cạnh AA’ và BB’ Mặt phẳng (MNC’)

chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần Tính tỉ số thể tích

Ta có tỉ số thể tích hai phần được phân chia là k= 𝑉1

𝑉 2 = 12

 Lý thuyết 4’: Thể tích khối đa diện, phép vị tự và sự dồng dạng của các khối đa diện

1.2.2.2 Tổ chức toán học O 5 : Tính giá trị lượng giác của góc tạo bởi hai mặt kề nhau của một đa diện đều

Ở BTHH12NC có một biến thể là

T5’: Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng để thể tích khối đa diện là lớn nhất, nhỏ nhất

Ví dụ 19 (bài 34/ tr10/BTHH12NC): Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam

giác vuông cân đỉnh C và SA⊥(ABC), SC=a Hãy tìm góc giữa (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất

Lời giải mong đợi

Ta có: BC ⊥ AC nên BC ⊥ SC (định lý 3 đường vuông

góc), suy ra góc SCA là góc giữa hai mặt phẳng (SCB)

và (ABC) Đặt góc SCA=x (0<x<𝜋

2) Khi đó: SA=asinx, AC=acosx

Vậy VS.ABC đạt giá trị lớn nhất khi x=𝛼 với 0<𝛼<𝜋

2 và cos𝛼= √2

3 + Kỹ thuật 5’:

B1: Xác định góc giữa hai mặt phẳng

B2: Xác định thể tích khối đa diện, xác định hàm số liên quan

B3: Lập bảng biến thiên của hàm số

T7: Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng và khối đa diện

Ví dụ 20 (Bài 52/tr12/BHHH12NC): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ mà

đáy là tam giác vuông tại B có AB=a, BC=b, AA’=c (c2≥a2+b2) Một mặt phẳng (P)

đi qua A và vuông góc với CA’

a) Xác định thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi (P)

b) Tính diện tích thiết diện nói trên

Lời giải mong đợi

a) Trong (AA’C’C) dựng đường thẳng qua A vuông

góc CA’ lần lượt cắt CA’ và CC’ tại I và M

Vì AC=√𝑎2+ 𝑏2 ≤ c nên IC ≤ IA’, do đó M phải

thuộc đoạn CC’

Bây giờ ta tìm giao điểm N của (P) và BB’ Dễ thấy

AN⊥ BC, AN⊥ CA’

Suy ra AN ⊥ A’B Vậy để tìm N, ta kẻ qua A (trong (A’B’BA) đờng thẳng vuông góc với A’B cắt B’B tại N Vậy thiết diện là tam giác AMN

b) Ta có: VA’.AMN= VM.AA’N=VM.AA’B=VC.A’AB=1

6abc (do NB//AA’, MC//AA’)

Mặt khác: VA’.AMN=1

3.SAMN.A’I, suy ra SAMN=3𝑉𝐴′.𝐴𝑀𝑁

𝐴′𝐼 =𝑎𝑏𝑐

2𝐴′𝐼Xét tam giác vuông A’AC ta có:

A’I.A’C=AA’2=c2 suy ra A’I=𝑐

Bước 1: Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng và khối đa diện

Bước 2: Tính diện tích

+ Công nghệ 7: Cách xác định thiết diện (tr48, HH11NC), công thức tính diện tích

+ Lý thuyết 7: Thiết diện (hay mặt cắt) của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P)

là phần chung của (H) và (P), hệ thức lượng trong tam giác

1.2.2.4 Tổ chức toán học O 8 : Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

KNV T 8 : Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng có biến thể là

T8’: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau

Ví dụ 21 (bài 49/tr11/BTHH12NC): Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có

cạnh bằng a.Gọi K là trung điểm của DD’ Tính khoảng cách giữa CK và A’D

Lời giải mong đợi

Gọi M là trung điểm của BB’, ta có A’M//KC nên:

d(CK,A’D)=d(CK,(A’MD))=d(K,(A’MD)

Đặt d(CK,A’D)=x, ta có

VA’.MDK=VK.A’MD=1

3.SA’MD.x (1) Mặt khác

5 = 9𝑎2

5 ; suy ra DI= 3𝑎

√5Vậy SA’MD= 1

 Công nghệ 4-3: công thức tính thể tích khối đa diện

 Lý thuyết 8’: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khooảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, khái niệm thể tích khối đa diện

1.2.3 Tổ chức toán học tức thời

Đây là TCTH phục vụ cho việc hiểu, áp dụng một khái niệm, một tính chất đơn giản, xuất hiện vào thời điểm đưa vào khái niệm, tính chất đó, không xuất hiện vào những thời điểm sau

1.2.3.1 Tổ chức toán học O 6 : Chỉ ra các mặt đối xứng, tâm đối xứng, trục đối xứng của một đa diện đều

T6: Chỉ ra các mặt đối xứng, tâm đối xứng, trục đối xứng của một đa diện đều

Ví dụ 22 (bài 6/tr32/HH12NC): Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối

 Lý thuyết 6: Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện

1.2.3.2 Tổ chức toán học O 9 : Phân loại khối đa diện đều

T9: Phân loại khối đa diện đều

Cũng giống như HH12CB, HH12NC cung cấp khối công nghệ lý thuyết như sau:

“ Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:

a) Các mặt là những đa giác đều và có cùng số cạnh;

b) Mỗi đỉnh là đỉnh chung của cùng một số cạnh

Khối đa diện đều mà mỗi mặt là đa giác đều n cạnh và mỗi đình là đình chung của p cạnh được gọi là khối đa diện đều loại {n;p}

Tuy nhiên HH12NC không trình bày thành định lý các loại khối đa diện đều thường gặp như HH12CB mà chỉ trình bày thành bảng ở phần đọc thêm

{5;3} Khối mười hai mặt đều 20 30 12

{3;5} Khối hai mươi mặt đều 12 30 12

+ Kỹ thuật 9: (tìm thấy ở trang 21, HH12NC)

Bước 1: Xác định n giác đều (đa giác đều n cạnh)

Bước 2: Xác định mỗi đỉnh là đỉnh chung của p cạnh

+ Lý thuyết 9: Khối đa diện đều và sự đồng dạng của khối đa diện đều

Bảng 1.2 Thống kê các kiểu nhiệm vụ có trong HH12NC, BTHH12NC

Kiểu nhiệm vụ Các biến thể HH12

NC

BTHH 12NC Tổng Tỉ lệ

T9: Phân loại khối

Từ bảng thống kê ta thấy rằng, các bài tập trong HH12NC, BT12NC cũng tập trung ở kiểu nhiệm vụ T4 :Tính thể tích khối đa diện chiếm 76,6%

Kết luận chương 1

Việc phân tích HH12CB, SBTHH12CB, HH12NC và SBTHH12NC giúp chúng tôi rút ra những nhận xét sau đây:

+ Đối với KNV T4 (Tính thể tích khối đa diện), HH12CB ưu tiên kỹ thuật dùng

tỉ số thể tích, hoặc phân chia, lắp ghép khối đa diện; rất ít bài tập trong SBTHH12CB huy động kỹ thuật dùng công thức Ngược lại, HH12NC ưu tiên kỹ thuật dùng công thức và có ít bài tập dùng hai kỹ thuật còn lại Điều này sẽ ảnh hưởng thế nào đến học sinh trong kỳ thi tốt nghiệp THPT? Chúng tôi sẽ cố gắng đi tìm những yếu tố trả lời câu hỏi này trong các chương sau

+ SGK chưa trình bày tường minh kỹ thuật giải quyết một số KNV T6 (Chỉ ra các mặt đối xứng, tâm đối xứng, trục đối xứng của một đa diện đều), T9,1 (Chỉ ra số cạnh hoặc số mặt bất kỳ của hình đa diện, hình đa diện đều)

+ Việc so sánh cách trình bày của HH12CB, HH12NC phần nào cho thấy được

sự nhất quán trong việc thể hiện tính trọng tâm của chương trình trong chương I (cả HH12NC và HH12CB đều ưu tiên tập trung ở kiểu nhiệm vụ T4 :Tính thể tích khối đa diện và đều chiếm 76,6%), bởi trên thực tế hiện nay mặc dù đã thay đổi về hình thúc thi cử, nhưng bộ SGK Toán 12 vẫn chưa được chỉnh lý và một số trường vẫn còn áp dụng thực hiện việc giảng dạy 2 bộ sách: HH12CB và HH12NC cho khối 12

+ Các KNV thường gặp, các KT để giải quyết các KNV này, cũng như khối công nghệ, lý thuyết liên quan được trình bày ở HH12NC và HH12CB nhìn chung là giống nhau, chỉ khác nhau về kỹ thuật được ưu tiên

Chương 2

TỔ CHỨC TOÁN HỌC LIÊN QUAN ĐẾN KHỐI ĐA DIỆN

TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

(2006 – 2017)

Chương này phân tích các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn toán (2006 – 2017) để mô tả các tổ chức toán học liên quan đến khối đa diện và trả lời hai câu hỏi nghiên cứu:

Q2 Các kiểu nhiệm vụ nào về khối đa diện có mặt trong đề thi tốt nghiệp trung học

phổ thông? Việc chuyển sang hình thức trắc nghiệm có làm nảy sinh những kiểu nhiệm

vụ mới so với tri thức cần dạy không? Nếu có, những kỹ thuật có thể có nào giúp giải quyết các kiểu nhiệm vụ mới này?

Q3 Những kỹ thuật nào được giáo viên và học sinh ưu tiên để giải quyết các kiểu

nhiệm vụ về khối đa diện có mặt trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông? Những yếu tố công nghệ - lý thuyết nào biện minh cho các kỹ thuật được ưu tiên?

2.1 Những kiểu nhiệm vụ về khối đa diện luôn xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT từ năm 2006 đến năm 2017

Từ năm 2006 đến năm 2017 những KNV về khối đa diện luôn xuất hiện đó là T4: Tính thể tích khối đa diện, việc trình bày kỹ thuật và công nghệ lý thuyết để giải thích cho KNV này chúng tôi đã phân tích ở chương 1

Cụ thể: Ở giai đoạn từ năm 2006 đến năm 2014, KNV T4 xuất hiện trong hầu hết các đề thi trong từng năm, và chủ yếu là T4_1: Tính thể tích khối chóp, khối tứ diện, khối tám mặt đều, trong đó T4_2: Tính thể tích khối lăng trụ chỉ xuất hiện một lần trong

đề thi Tốt nghiệp THPT GDTHPT 2012 Giai đoạn 2014 – 2015, trong hai năm, KNV

T4_1: Tính thể tích khối chóp, khối tứ diện, khối tám mặt đều xuất hiện một lần, và

T4_2: Tính thể tích khối lăng trụ cũng xuất hiện một lần Năm 2017, đều xuất hiện cả

KNV T4_1 và T4_2, tuy nhiên trong tất cả 4 mã đề gốc, thì T4_2 xuất hiện chỉ hai lần Từ những ghi nhận trên, có phải chăng Bộ GDĐT đặc biệt chú trọng việc giải quyết T4_1: Tính thể tích khối chóp, khối tứ diện, khối tám mặt đều là phần trọng tâm của chương trình?

2.2 Những kiểu nhiệm vụ về khối đa diện mới xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT 2017

2.2.1 Biến thể của KNV T 4 : Tính thể tích khối đa diện (T 11 : Tính độ dài cạnh

để thể tích lớn nhất)

Câu 49 Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB = x và các cạnh còn lại đều bằng 2√3

Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất

A x = √6 B x = √14 C x = 3√2 D x = 2√3

(Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông 2017, mã đề 102)

Đây là một trích từ Đề thi 102 Tốt nghiệp THPT Quốc gia 2017, việc tìm cạnh của tứ diện sao cho thoả thể tích của nó đạt giá trị lớn nhất, chúng tôi nhận thấy đây là một biến thể của KNV T4: Tính thể tích khối đa diện, hay kỹ càng hơn đây là một biến thể của KNV T4_1: Tính thể tích khối chóp, khối tứ diện, khối tám mặt đều,

Việc phân tích kỹ thuật để giải quyết T4_1 hay công nghệ để giải thích cho kỹ thuật này đã được trình bày ở chương 1, ở đây chúng tôi chỉ đi xét việc đối mặt với kiểu biến thề mới này GV và HS đã lựa chọn chiến lược và công nghệ nào giải thích cho chiến lược đó

Sau đây là kết quả lời giải chi tiết mà chúng tôi tham khảo từ những giáo viên tham gia luyện thi tốt nghiệp THPT

Lời giải 1 (được giáo viên ưu tiên) Công nghệ Lý thuyết

Gọi M, N là trung điểm của AB, CD Hai

tam giác CAB, DAB cân tại C, D nên

CM  AB, DM  AB Suy ra

AB  (CDM)

 Tính chất tam giác cân

 Điều kiện đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

 Lý thuyết tam giác cân

 Lý thuyết đường thẳng vuông góc

phẳng