Đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông (2006 2017) sự tiến triển của các tổ chức toán học và tác động đến việc dạy, học​

Các tổ chức toán học liên quan giữa mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong sách giáo khoa hiện hành ..... Từ đây, chúng tôi phát biểu lại một số câu hỏi ban đầu như sau: Các tổ chức toá

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2019

Nguyễn Thị Hồng Hoa

Trần Lương Công Khanh, người đã hướng dẫn, bao dung, kiên nhẫn và tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này

Tôi xin vô cùng cảm ơn:

 PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, PGS.TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga, TS Tăng Minh Dũng, các Thầy Cô đã rất nhiệt tình giảng dạy chúng tôi

 Các thầy cô ở Pháp đã góp ý, tư vấn cho chúng tôi có được hướng đi tốt trong nghiên cứu của mình

Tôi cũng rất cảm ơn:

 Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau đại học, Khoa Toán- Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi

 Các thầy cô và học sinh Trường THPT An Mỹ, đồng nghiệp ở các trường THPT trong khu vực Thành phố Thủ Dầu Một đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình thực nghiệm của luận văn

 Ban giám hiệu, các thầy cô và học sinh của trường THPT An Mỹ đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi rất nhiều trong quá trình tôi đi học và thực nghiệm của luận văn

 Các bạn lớp Didactic 27 vì sự đồng hành cùng nhau trong suốt khóa học Cuối cùng, là sự biết ơn thật nhiều đến gia đình tôi đã động viên và hỗ trợ hết lòng trong suốt quãng thời gian tôi đi học

Nguyễn Thị Hồng Hoa

Lời cam đoan

ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG, MẶT CẦU TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 12 HIỆN HÀNH 6

1.1 Các tổ chức toán học liên quan đến mặt cầu trong sách giáo khoa toán 12 hiện hành 6 1.1.1 Tổ chức toán học O1: Viết phương trình mặt cầu 7 1.1.2 Tổ chức toán học O2: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó 9 1.2 Các tổ chức toán học liên quan đến mặt phẳng trong sách giáo khoa toán 12 hiện hành 11 1.2.1 Tổ chức toán học O3: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 13 1.2.2 Tổ chức toán học O4: Tính khoảng cách từ một điểm đến một

mặt phẳng 14 1.2.3 Tổ chức toán học O5: Viết phương trình mặt phẳng 14 1.3 Các tổ chức toán học liên quan đến đường thẳng trong sách giáo khoa toán 12 hiện hành 22 1.3.1 Tổ chức toán học O6: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng 23 1.3.2 Tổ chức toán học O7: Tìm giao điểm giữa đường thẳng và

mặt phẳng 25 1.3.3 Tổ chức toán học O8: Viết phương trình đường thẳng 25 1.4 Các tổ chức toán học liên quan giữa mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong sách giáo khoa hiện hành 34

1.4.2 Tổ chức toán học O10: Tìm tọa độ điểm là điểm đối xứng của

một điểm qua một mặt phẳng 35

1.4.3 Tổ chức toán học O11: Tìm tọa độ điểm là hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng 37

1.4.4 Tổ chức toán học O12: Tìm tọa độ điểm là điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng 37

1.5 Kết luận chương 1 39

Chương 2 CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG, MẶT CẦU TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG MÔN TOÁN TỪ 2006 41

2.1 Kiểu nhiệm vụ liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu dưới dạng câu hỏi tự luận xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp từ năm 2006 đến năm 2016 44

2.2 Kiểu nhiệm vụ liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan từ năm 2017 45

2.3 Kiểu nhiệm vụ mới liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan trong đề thi tốt nghiệp từ năm 2017 51

2.4 Kết luận chương 2 57

Chương 3 THỰC NGHIỆM 59

3.1 Quan sát thực hành giảng dạy của giáo viên 59

3.1.1 Quan sát thực hành giảng dạy của G1 60

3.1.2 Quan sát thực hành giảng dạy của G2 68

3.1.3 Quan sát thực hành giảng dạy của G3 72

3.1.4 Kết luận 76

3.2.2 Hình thức 77

3.2.3 Bộ câu hỏi thực nghiệm 77

3.3 Kết luận chương 3 98

KẾT LUẬN 100

TÀI LIỆU THAM KHẢO 103 PHỤ LỤC

GDĐT : giáo dục đào tạo

Bảng 1.1 Thống kê số lượng các kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa

HH12CB, HH12NC 38 Bảng 2.1 Thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến đường thẳng, mặt

phẳng, mặt cầu trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2006 đến 2017 42 Bảng 3.1 Thống kê các KNV được giáo viên ưu tiên ôn tập cho học sinh 83 Bảng 3.2 Thống kê các dạng bài tập được giáo viên ưu tiên yêu cầu học

sinh thực hiện 83 Bảng 3.3 Thống kê các kỹ thuật giải được giáo viên ưu tiên yêu cầu học

sinh thực hiện 84 Bảng 3.4 Thống kê các quan điểm khi giảng dạy được giáo viên ưu tiên 84 Bảng 3.5 Thống kê kết quả các phiếu khảo sát của học sinh 97

Hình 3.1 Kiến thức cần lưu ý về phương trình mặt phẳng trong tiết ôn

tập của giáo viên G1 64 Hình 3.2 Kiến thức cần lưu ý về phương trình đường thẳng trong tiết ôn

tập của giáo viên G1 67 Hình 3.3 Ma trận đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2018 trong tiết ôn

tập của giáo viên G2 68

MỞ ĐẦU

1 Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Từ 2006 đến 2017, kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông (THPT) đã trải qua ba giai đoạn xét theo vai trò và hình thức ra đề:

- Giai đoạn 2006 - 2014: thi theo hình thức tự luận, đề thi khác nhau giữa THPT và giáo dục thường xuyên (GDTX)

- Giai đoạn 2015 - 2016: thi theo hình thức tự luận, chỉ một đề chung cho THPT và GDTX, kết quả thi được dùng để xét tuyển đại học, cao đẳng

- Từ 2017: thi theo hình thức trắc nghiệm, chỉ một đề chung cho THPT và GDTX, kết quả thi được dùng để xét tuyển đại học, cao đẳng

Trong cả ba giai đoạn, các bài toán liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng

và mặt cầu luôn xuất hiện trong đề thi nhưng với những kiểu nhiệm vụ khác nhau và chiếm tỷ lệ khác nhau

Thống kê sơ lược đề thi tốt nghiệp THPT (2006 - 2017) cho thấy ba kiểu nhiệm vụ (KNV) “Viết phương trình đường thẳng”, “Viết phương trình mặt phẳng”, “Viết phương trình mặt cầu” chiếm1 79 % các bài toán hình học giải tích trong khi các kiểu nhiệm vụ khác chỉ chiếm 21 %

Mặt khác, một số KNV từng xuất hiện trong đề thi tự luận lại vắng bóng trong đề thi trắc nghiệm và một số KNV mới liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu lần đầu xuất hiện dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm

Các tổ chức toán học (TCTH) liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong đề thi tốt nghiệp THPT từ 2006 đến 2017 đã tiến triển như thế nào?

Sự tiến triển này tác động gì đến việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh?

Hai câu hỏi này đưa chúng tôi đến đề tài: Đường thẳng, mặt phẳng, mặt

cầu trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông (2006 - 2017): Sự tiến triển

1 Mỗi một trong ba kiểu nhiệm vụ này chiếm lần lượt 29 %, 31 % và 19 % các bài toán hình học giải tích trong đề thi THPT (2006 – 2017)

của các tổ chức toán học và tác động đến việc dạy, học

2 Các công cụ lý thuyết và đặt lại vấn đề theo công cụ lý thuyết

Chúng tôi đặt đề tài của mình trong phạm vi lý thuyết của Didactic Toán, đặc biệt là thuyết nhân học didactic, khái niệm tổ chức toán học và phân tích thực hành dạy học của giáo viên theo quan điểm Didactic

2.1 Quan hệ thể chế đối với một tri thức

Lý thuyết nhân học sư phạm dựa vào ba thuật ngữ ban đầu không định

nghĩa đó là đối tượng, cá thể, thể chế

Khi một cá thể X thâm nhập vào một thiết chế I mà trong đó tồn tại một đối tượng tri thức O, mối quan hệ cá nhân R(X, O) của X với O được hình thành Cá thể X và hệ thống các quan hệ cá nhân R(X, O) được gọi là cá nhân Thông qua mối quan hệ cá nhân R(X, O), cá nhân trở thành một chủ thể của thiết chế I

Khi một cá nhân thâm nhập vào một thể chế sư phạm, mối quan hệ của cá

nhân với một đối tượng tri thức O nào đó được thiết lập dưới những ràng buộc của mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức này Theo quan điểm này,

truyền đạt một tri thức là quá trình thiết lập hoặc thay đổi quan hệ cá nhân của người học với tri thức dưới những ràng buộc của quan hệ thể chế đối với tri thức

2.2 Tổ chức toán học

Theo quan điểm của Chevallard (1998): một praxéologie là một bộ bốn [T, , , ] trong đó T là kiểu nhiệm vụ gồm ít nhất một nhiệm vụ,  là kỹ thuật giúp giải quyết T,  là công nghệ biện minh cho  và  là lý thuyết biện minh cho 

Dựa trên khối logos (công nghệ, lý thuyết), Chevallard phân biệt 4 loại

TCTH:

TCTH điểm (organisation mathématique ponctuelle): TCTH xoay quanh

một kiểu nhiệm vụ

TCTH địa phương (organisation mathématique locale): TCTH xoay

TCTH tức thời: TCTH phục vụ cho việc hiểu, áp dụng một khái niệm,

một tính chất đơn giản, xuất hiện vào thời điểm đưa vào khái niệm, tính chất

đó, không xuất hiện vào những thời điểm sau

TCTH hỗ trợ: TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng sẽ đóng vai trò kiểu nhiệm vụ con trong một tổ chức toán học lớn hơn

TCTH phức hợp: TCTH mà kiểu nhiệm vụ tương ứng bao gồm nhiều kiểu nhiệm vụ của TCTH hỗ trợ, và việc giải quyết nhiều kiểu nhiệm vụ tương ứng

cần huy động rất nhiều công nghệ, lý thuyết

Từ đây, chúng tôi phát biểu lại một số câu hỏi ban đầu như sau:

Các tổ chức toán học nào liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu được trình bày trong sách giáo khoa hình học cơ bản và nâng cao? Với mỗi KNV, các kỹ thuật có thể có trong mỗi giai đoạn? Các kỹ thuật được ưu tiên? Những KNV về đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông? Việc chuyển đề toán sang hình thức trắc nghiệm làm nảy sinh những KNV mới nào về đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu? Các

kỹ thuật có thể có?

2.3 Chuyển hóa sư phạm

“Mọi tri thức S đều gắn với ít nhất một thể chế I mà trong đó tri thức được vận dụng vào một lĩnh vực thực tiễn D nào đó Điều chủ yếu là một tri

thức không tồn tại một cách riêng lẻ bên lề xã hội: mọi tri thức đều xuất hiện vào một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định như đã ăn sâu vào một hoặc nhiều thể chế” (Chevallard 1989)

Để có thể tồn tại trong một thể chế, mọi tri thức đều phải chịu một số điều kiện ràng buộc nhất định Sự chuyển hóa sư phạm có thể tóm tắt theo sơ đồ dưới đây:

Tri thức bác học



Tri thức cần dạy (Thể chế chuyển hóa)

Q2 Những tổ chức toán học về đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu can thiệp trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông? Việc chuyển sang hình thức trắc nghiệm làm nảy sinh những kiểu nhiệm vụ mới nào? Các kỹ thuật có thể có?

Q3 Các kỹ thuật được giáo viên và học sinh ưu tiên để giải quyết các kiểu nhiệm vụ? Các yếu tố công nghệ - lý thuyết biện minh cho các kỹ thuật được ưu tiên ?

Để trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đã nêu, nhiệm vụ của chúng tôi là:

- Xác định các tổ chức toán học liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong SGK 12 hiện hành

- Xác định các tổ chức toán học liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong trong đề thi từ 2006 đến nay

- Quan sát thực hành dạy học của giáo viên

- Phân tích sản phẩm của giáo viên và học sinh

3 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Các tổ chức toán học liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng,

mặt cầu trong sách giáo khoa toán 12 hiện hành

Chương 2: Các tổ chức toán học liên quan đến đường thẳng, mặt phẳng,

mặt cầu trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn toán từ 2006

Chương 3: Thực nghiệm

1.1 Các tổ chức toán học liên quan đến mặt cầu trong sách giáo khoa toán

12 hiện hành

Về cấu trúc, chương III – Hệ tọa độ trong không gian ở sách giáo khoa Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao đều gồm ba bài theo thứ tự: Hệ tọa độ trong không gian, Phương trình mặt phẳng, Phương trình đường thẳng Nội dung liên quan đến mặt cầu chỉ là một tiểu mục trong bài 1

Ngoài ra, sách giáo viên ở cả hai ban đã cụ thể hóa mục tiêu cần đạt dưới dạng những kiểu nhiệm vụ của các tổ chức toán học cần giảng dạy ở mỗi bài của chương Cụ thể, ở bài “Hệ tọa độ trong không gian”, học sinh cần:

Lập phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính của mặt cầu đó (Sách giáo

viên HH12CB, trang 64)

2 Trong luận văn này, trừ trường hợp có nêu rõ, đường thẳng được hiểu là đường thẳng trong không gian

Viết được phương trình mặt cầu với các điều kiện cho trước Xác định được tâm

và tính được bán kính mặt cầu khi biết phương trình của nó (Sách giáo viên

HH12NC, trang 69)

Liên quan đến mặt cầu, chúng tôi nhận thấy chỉ có các TCTH sau đây:

1.1.1 Tổ chức toán học O 1 : Viết phương trình mặt cầu

Kiểu nhiệm vụ (KNV) tương ứng T 1 : Viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính

Trong đó, cả hai loại sách giáo khoa Cơ bản và Nâng cao đều giới thiệu định lý như là một bước trong kỹ thuật để thực hiện KNV trên

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là: (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = r 2 (Sách giáo khoa HH12CB, trang 66)

Mặt cầu tâm I(x 0 ; y 0 ; z 0 ), bán kính R có phương trình:

(x – x 0 )2 + (y – y 0 )2 + (z – z 0 )2 = R2 (Sách giáo khoa HH12NC, trang 79)

Dưới đây, chúng tôi trình bày các ví dụ tiêu biểu để rút ra kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết tương ứng

Ví dụ 1 (bài 6, trang 68, HH12CB): Lập phương trình mặt cầu trong hai

trường hợp sau đây:

a/ Có đường kính AB với A(4; - 3; 7), B(2; 1; 3)

b/ Đi qua điểm A(5; - 2; 1) và có tâm C(3; - 3; 1)

Lời giải mong đợi (trang 100, sách bài tập HH12CB):

a/ Mặt cầu có tâm là trung điểm I của đoạn AB

Ta có: 𝐼 = (4+2

2 ;−3+1

2 ;7+3

2 ) = (3; −1; 5) Gọi r là bán kính mặt cầu, ta có: 𝑟 = |𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ | với 𝐼𝐴⃗⃗⃗⃗ = (1; −2; 2)

Do đó: 𝑟 = √12 + (−2)2+ 22 = 3

Vậy mặt cầu có phương trình là: (𝑥 − 3)2+ (𝑦 + 1)2 + (𝑧 − 5)2 = 9 b/ Mặt cầu cho trước có bán kính 𝑟 = |𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ | trong đó 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = (2; 1; 0)

Do đó: 𝑟 = √22+ 12 = √5

Vậy mặt cầu tâm C(3; - 3; 1) đi qua điểm A(5; - 2; 1) có phương trình là: (𝑥 − 3)2+ (𝑦 + 3)2+ (𝑧 − 1)2 = 5

Ví dụ 2 (bài 14, trang 82, HH12NC): Trong mỗi trường hợp sau, hãy

viết phương trình mặt cầu:

a/ Đi qua ba điểm A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0;12; 4) và có tâm nằm trên mp(Oyz)

b/ Có bán kính bằng 2, tiếp xúc mặt phẳng (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox c/ Có tâm I(1; 2; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz)

Lời giải mong đợi (booktoan.com)

a/ Vì tâm mặt cầu nằm trên mp(Oyz) nên ta gọi tâm mặt cầu là 𝐼 =(0; 𝑏; 𝑐)

Vì mặt cầu đi qua A, B, C nên ta có hệ:

b/ Vì tâm mặt cầu nằm trên Ox nên ta gọi tâm mặt cầu là I(a; 0; 0)

Vì mặt cầu tiếp xúc với (Oyz) nên bán kính 𝑅 = 𝑑(𝐼, (𝑂𝑦𝑧)) = |𝑎|

Theo đề bài ta có a = 2

Vậy phương trình mặt cầu là: (𝑥 − 2)2+ 𝑦2+ 𝑧2 = 4

c/ Vì phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) và có tâm là I = (1; 2; 3) nên ta có bán kính mặt cầu là: 𝑅 = 𝑑(𝐼, (𝑂𝑦𝑧)) = 1

Vậy phương trình mặt cầu là: (𝑥 − 1)2+ (𝑦 − 2)2+ (𝑧 − 3)2 = 1

Hai ví dụ trên giúp rút ra kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết của T1

 Kỹ thuật τ 1 :

B1 Dùng các điều kiện đề bài đã cho để tìm tâm và bán kính của mặt cầu B2 Vận dụng định lý mà sách giáo khoa đã giới thiệu để viết phương trình mặt cầu

 Công nghệ θ 1 :

- Định lý về dạng của phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính

- Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng, giữa mặt cầu và điểm trong không gian; hệ quả từ định lý về biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong không gian; ứng dụng của tích vô hướng trong không gian

 Lý thuyết Θ1: Hình học giải tích trong không gian 3 chiều

Ngoài ra, chúng tôi còn nhận thấy có một ghi chú được giáo viên lưu ý đối với học sinh để giúp giải nhanh bài toán dù rằng điều này không được sách giáo khoa giới thiệu

Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) Khi đó:

(S) tiếp xúc với (Oyz), (S) có bán kính 𝑅 = 𝑑(𝐼, (𝑂𝑦𝑧)) = |𝑎|

(S) tiếp xúc với (Oxy), (S) có bán kính 𝑅 = 𝑑(𝐼, (𝑂𝑥𝑦)) = |𝑐|

(S) tiếp xúc với (Oxz), (S) có bán kính 𝑅 = 𝑑(𝐼, (𝑂𝑥𝑧)) = |𝑏|

1.1.2 Tổ chức toán học O 2 : Tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó Kiểu nhiệm vụ tương ứng T 2 : Từ phương trình mặt cầu hoặc một số điều kiện cho trước, tìm tâm và bán kính của mặt cầu

Chúng tôi cũng tiến hành phân tích một số ví dụ để có thể tìm thấy kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết tương ứng

Ví dụ 3 (ví dụ, trang 67, HH12CB): Xác định tâm và bán kính của mặt

cầu có phương trình: x2 + y2 + z2 + 4x – 2y + 6z + 5 = 0

Lời giải do sách giáo khoa trình bày (trang 68, HH12CB):

Phương trình mặt cầu đã cho tương đương với phương trình sau:

(𝑥 + 2)2+ (𝑦 − 1)2 + (𝑧 + 3)2 = 32Vậy mặt cầu đã cho có tâm I = ( - 2; 1; - 3), bán kính r = 3

Tuy nhiên, với nội dung nhận xét về dạng khác của phương trình mặt cầu mà cả hai sách giáo khoa đã giới thiệu, học sinh có thể tìm ra ngay tâm và bán kính của mặt cầu mà không cần trải qua bước biến đổi như trên

Người ta chứng minh được rằng phương trình dạng:

x 2 + y 2 + z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A 2 + B 2 + C 2 – D > 0 là phương trình của mặt cầu tâm I( - A; - B; - C) có bán kính 𝑟 =

√𝐴 2 + 𝐵 2 + 𝐶 2− 𝐷 (HH12CB, trang 67)

Phương trình dạng: x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi a2 + b2 + c2 – d > 0 Khi đó tâm mặt cầu là điểm I( - a; - a;

- a) và bán kính mặt cầu là R= √𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2− 𝑑 (HH12NC, trang 80)

Hơn nữa, chúng tôi cũng nhận thấy giáo viên đã cho học sinh ghi nhớ:

“Muốn tìm tọa độ tâm mặt cầu, lấy hệ số trước x, y, z lần lượt chia cho – 2” để tìm nhanh tọa độ tâm I, từ đó áp dụng công thức tìm bán kính mặt cầu

Lời giải mong đợi:

Mặt cầu đã cho có tâm I = ( - 2; 1; - 3),

bán kính 𝑟 = √(−2)2+ 12+ (−3)2− 5 = 3

Ví dụ 4 (bài 5, câu b, trang 68, HH12CB): Tìm tâm và bán kính của mặt

cầu có phương trình sau đây: 3𝑥2+ 3𝑦2 + 3𝑧2− 6𝑥 + 8𝑦 + 15𝑧 − 3 = 0

Lời giải mong đợi:

3𝑥2+ 3𝑦2+ 3𝑧2− 6𝑥 + 8𝑦 + 15𝑧 − 3 = 0

⇔ 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2− 2𝑥 +8

3𝑦 + 5𝑧 − 1 = 0 Mặt cầu có tâm 𝐼 (1; −4

Ví dụ 5 (bài 2, câu a, trang 91, HH12CB): Cho mặt cầu (S) có đường

kính AB biết rằng A(6; 2; - 5), B( - 4; 0; 7) Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của

mặt cầu (S)

Lời giải mong đợi (booktoan.com):

Tâm I của mặt cầu là trung điểm của đoạn AB, vậy I(1; 1; 1)

 Lý thuyết Θ2: Hình học giải tích trong không gian 3 chiều

Ở nội dung này, chúng tôi nhận thấy O 2 đóng vai trò là TCTH hỗ trợ cho TCTH O 1

1.2 Các tổ chức toán học liên quan đến mặt phẳng trong sách giáo khoa toán 12 hiện hành

Sách Hình học 12 Cơ bản chỉ nhắc đến một cách sơ lược mục tiêu cần đạt

ở bài “Phương trình mặt phẳng”:

Trong hình học không gian ở lớp 11 ta đã biết một số cách xác định mặt phẳng, chẳng hạn như xác định mặt phẳng bằng ba điểm không thẳng hàng, bằng hai

đường thẳng cắt nhau, Bây giờ ta sẽ xác định mặt phẳng bằng phương pháp

tọa độ (HH12CB, trang 69)

Mục đích của bài “Phương trình mặt phẳng” được định hướng:

Biết cách lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến cho trước

Biết cách xác định vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng khi cho biết phương trình tổng quát của mặt phẳng đó

Nắm vững điều kiện để hai mặt phẳng song song hoặc vuông góc bằng phương

pháp tọa độ (Sách giáo viên HH12CB, trang 68)

Cùng nội dung nói trên, sách giáo viên Hình học 12 Nâng cao đã mở rộng

Biết cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và có vectơ

pháp tuyến cho trước, đồng thời biết cách đưa về trường hợp cơ bản đó để viết phương trình mặt phẳng trong những trường hợp khác

Có thể nhận biết nhanh chóng vị trí tương đối của hai mặt phẳng căn cứ vào phương trình của chúng

Nhớ và vận dụng được công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt

phẳng và áp dụng vào các bài toán khác (Sách giáo viên HH12NC, trang 80)

Khi đề cập đến việc “biết cách đưa về trường hợp cơ bản đó để viết phương trình mặt phẳng trong những trường hợp khác”, chúng tôi nhận thấy rõ ràng đây không phải là các kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ “viết phương

trình mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và có vectơ pháp tuyến cho trước”

mà chúng tôi gọi đó là những “biến thể”

1.2.1 Tổ chức toán học O 3 : Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Kiểu nhiệm vụ tương ứng T 3 : Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Ví dụ 6 (Hoạt động 1, trang 70, HH12CB): Trong không gian Oxyz cho

ba điểm A(2; - 1; 3), B(4; 0; 1), C(- 10; 5; 3) Hãy tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)

Lời giải mong đợi (trang 69, sách giáo viên HH12CB):

Nhằm mục đích để học sinh làm quen với việc sử dụng tích có hướng để tìm vectơ pháp tuyến Để tìm vectơ pháp tuyến 𝑛⃗ của mặt phẳng (ABC) học sinh phải làm như sau:

Tính 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (2; 1; −2), 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = (−12; 6; 0)

Suy ra 𝑛⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = (12; 24; 24) và có thể chọn 𝑛⃗ = (1; 2; 2)

Ví dụ 7 (Hoạt động 2, trang 72, HH12CB): Hãy tìm một vectơ pháp

tuyến của mặt phẳng (α): 4x – 2y – 6z + 7 = 0

Lời giải mong đợi (trang 69, sách giáo viên HH12CB):

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) là 𝑛⃗ = (4; −2; −6)

Kỹ thuật, công nghệ, lý thuyết của T3 được nhận thấy sau hai ví dụ:

Định nghĩa vectơ pháp tuyến, phương trình tổng quát của mặt phẳng

 Lý thuyết Θ3: Hình học giải tích trong không gian 3 chiều

1.2.2 Tổ chức toán học O 4 : Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Kiểu nhiệm vụ tương ứng T 4.1 : Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Ví dụ 8 (trang 79, HH12CB): Tính khoảng cách từ điểm M(1; - 2; 13)

đến mặt phẳng (α): 2x – 2y – z + 3 = 0

Lời giải mong đợi (trang 79, HH12CB):

Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta có: 𝑑(𝑀, (𝛼)) = |2.1−2.(−2)−13+3|

√2 2 +(−2) 2 +(−1) 2 =4

3 Công nghệ θ4.1 dựa trên định lý về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, lý thuyết Θ4.1 thuộc về Hình học Euclide trong không gian

Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy có các KNV có kỹ thuật giải tương tự, lý thuyết như trên nhưng có thêm yếu tố công nghệ

Kiểu nhiệm vụ T 4.2 : Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Kiểu nhiệm vụ T 4.3 : Tính khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song với nó

1.2.3 Tổ chức toán học O 5 : Viết phương trình mặt phẳng

Ngoài ra sau khi nghiên cứu, chúng tôi nhận thấy có các biến thể được sắp xếp thành các nhóm như sau:

Nhóm 1: Các kiểu nhiệm vụ yêu cầu viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và điều kiện để có thể tìm được ngay vectơ pháp tuyến

Kỹ thuật, công nghệ, lý thuyết sử dụng để giải quyết các KNV này là:

 Công nghệ θ 5.1 : Định nghĩa vectơ pháp tuyến, phương trình tổng quát

của mặt phẳng

 Lý thuyết Θ5.1: Hình học giải tích trong không gian 3 chiều

Dưới đây, chúng tôi trình bày các KNV có cùng kỹ thuật giải nói trên và các ví dụ minh họa

Kiểu nhiệm vụ T 5.1.1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm

và có một vectơ pháp tuyến

Ví dụ 9 (bài 1, câu a, trang 80, HH12CB): Viết phương trình mặt phẳng

đi qua điểm M(1; - 2; 4) và nhận 𝑛⃗ = (2; 3; 5) làm vectơ pháp tuyến

Lời giải mong đợi (sách giáo viên, trang 71, HH12CB):

Gọi (α) là mặt phẳng đi qua điểm qua điểm M(1; - 2; 4) và nhận 𝑛⃗ =(2; 3; 5) làm vectơ pháp tuyến Phương trình của (α) có dạng:

2(𝑥 − 1) + 3(𝑦 + 2) + 5(𝑧 − 4) = 0 hay 2𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 − 16 = 0

Ví dụ 10 (bài 3, trang 80, HH12CB): Lập phương trình của các mặt

phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz)

Lời giải mong đợi (trang 71, sách giáo viên HH12CB):

Phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oxz), (Oyz) lần lượt là:

𝑧 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0

Kiểu nhiệm vụ T 5.1.2 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm

và song song với một mặt phẳng cho trước

Ví dụ 11 (trang 76, HH12CB): Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua

điểm M(1; - 2; 3) và song song với mặt phẳng (β): 2x – 3y + z + 5 = 0

Lời giải do sách giáo khoa trình bày:

Vì mặt phẳng (α) song song mặt phẳng (β) nên (α) có vectơ pháp tuyến 𝑛⃗ = (1; −2; 3) Mặt phẳng (α) đi qua điểm M (1; - 2; 3), vậy (α) có phương trình:

2(𝑥 − 1) − 3(𝑦 + 2) + 1(𝑧 − 3) = 0 hay 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 11 = 0

Lời giải mong đợi:

Vì mặt phẳng (α) song song mặt phẳng (β) nên phương trình (α) có dạng: 2x – 3y + z + d = 0, d ≠ 5

(α) đi qua điểm M (1; - 2; 3) ⇔ 2.1 − 3 (−2) + 3 + 𝑑 = 0 ⇔ 𝑑 = −11 (thỏa điều kiện)

Vậy phương trình (α) là: 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 11 = 0

Ví dụ 12 (câu b, bài 3, trang 80, HH12CB): Lập phương trình của các

mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; - 3) và song song với các mặt phẳng tọa độ

Lời giải mong đợi (trang 71, sách giáo viên HH12CB):

Phương trình mặt phẳng tọa độ (Oxy) là z = 0

Mặt phẳng (α) cần tìm song song với (Oxy) nên phương trình (α) có dạng:

𝑧 + 𝑚 = 0, 𝑚 ≠ 0 (α) đi qua M ⇒ m = 3 (thỏa điều kiện)

Vậy phương trình (α): 𝑧 + 3 = 0

Chúng tôi nhận thấy kết quả ở ví dụ được sử dụng như một bước trong

kỹ thuật để giải quyết các KNV có liên quan đến phương trình mặt phẳng tọa

độ Trong trường hợp này, giáo viên thường yêu cầu học sinh ghi nhớ phương trình mặt phẳng tọa độ với cách nhớ: “Mặt phẳng (Oxy) thiếu z, có phương trình z = 0; mặt phẳng (Oyz), thiếu x, có phương trình x = 0; mặt phẳng (Oxz), thiếu y, có phương trình y = 0”

Kiểu nhiệm vụ T 5.1.3 : Viết phương trình mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng

Ví dụ 13 (bài 2, trang 80, HH12CB): Viết phương trình mặt phẳng trung

trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3)

Lời giải mong đợi (trang 71, sách giáo viên HH12CB):

Đoạn thẳng AB có trung điểm là I(3; 2; 5)

Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB, ta có (α) đi qua I và có vectơ pháp tuyến là 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (2; −2; −4)

Vậy phương trình của (α) là: 2(𝑥 − 3) − 2(𝑦 − 2) − 4(𝑧 − 5) = 0

hay 𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 + 9 = 0

Sau khi kết thúc bài “Phương trình đường thẳng”, trong nội dung Ôn tập chương III, TCTH O4 lại xuất hiện với vai trò như là một TCTH phức hợp liên quan giữa mặt phẳng và đường thẳng, giữa mặt phẳng và mặt cầu

Kiểu nhiệm vụ T 5.1.4 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm

và tiếp xúc mặt cầu tại một điểm cho trước

Ví dụ 14 (câu c, bài 2, trang 92, HH12CB): Cho mặt cầu (S) có đường

kính AB biết rằng A(6; 2; - 5), B(- 4; 0; 7)

a/ Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S)

c/ Lập phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A

Lời giải mong đợi (trang 83, sách giáo viên HH12CB):

a/ Tâm I của mặt cầu là trung điểm của AB Ta có: I(1; 1; 1), bán kính

Kiểu nhiệm vụ T 5.1.5 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm

và vuông góc một đường thẳng cho trước

Ví dụ 15 (câu b, bài 6, trang 92, HH12CB): Cho mặt phẳng (α) có

phương trình: 3x + 5y – z – 2 = 0 và đường thẳng d có phương trình:

thẳng d

Lời giải mong đợi (trang 85, sách giáo viên HH12CB):

(β) vuông góc d nên có vectơ pháp tuyến 𝑛⃗ = (4; 3; 1)

Phương trình (β) có dạng: 4𝑥 + 3𝑦 + (𝑧 + 2) = 0 hay 4𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 2 = 0

Nhóm 2: Các kiểu nhiệm vụ yêu cầu viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và các điều kiện để có thể tìm được vectơ pháp tuyến bằng cách lấy tích có hướng của hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc chứa trong mặt phẳng cần tìm

Với các KNV thuộc nhóm này, kỹ thuật giải quyết bài toán dựa trên yếu

tố công nghệ và lý thuyết như sau:

 Lý thuyết Θ5.2: Hình học giải tích trong không gian 3 chiều

Dưới đây, chúng tôi trình bày các KNV có cùng kỹ thuật giải nói trên và các ví dụ minh họa

Kiểu nhiệm vụ T 5.2.1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Ví dụ 16 (hoạt động 3, trang 72, HH12CB): Lập phương trình tổng quát

Khi thay đổi điều kiện đề bài, chúng tôi nhận thấy có các nhóm biến thể

sử dụng kỹ thuật giải tương tự

Kiểu nhiệm vụ T 5.2.2 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm

và vuông góc một mặt phẳng cho trước

Ví dụ 17 (bài 7, trang 80, HH12CB): Lập phương trình mặt phẳng đi

qua hai điểm A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (β):

Nhóm 3: Các kiểu nhiệm vụ yêu cầu viết phương trình mặt phẳng trong

đó chứa các điều kiện có thể sử dụng dạng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Kiểu nhiệm vụ T 5.3.1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm lần lượt nằm trên các trục tọa độ

Ví dụ 18 (trang 74, HH12CB): Trong không gian Oxyz cho ba điểm

M(1; 0; 0), N(0; 2; 0), P(0; 0; 3) Hãy viết phương trình mặt phẳng (MNP)

Lời giải mong đợi (trang 74, HH12CB):

Áp dụng phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình của mặt phẳng (MNP) là: 𝑥

Ví dụ 19 (câu g, trang 89, HH12NC): Viết phương trình mặt phẳng đi

qua điểm G(1; 2; 3) và cắt các trục tọa độ lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC

Lời giải mong đợi:

Mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ lần lượt tại ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (điều kiện: a, b, c ≠ 0)

G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ {𝑎 = 3𝑏 = 6

𝑐 = 9Phương trình (P) là: 𝑥

 Công nghệ θ 5.3 : Các trường hợp riêng về phương trình tổng quát của

mặt phẳng

 Lý thuyết Θ5.3: Hình học giải tích trong không gian 3 chiều

Nhóm 4: Các kiểu nhiệm vụ yêu cầu viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu cùng các điều kiện để tìm được vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Kiểu nhiệm vụ T 5.4.1 : Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với hai đường thẳng a, b

Ví dụ 20 (bài 8, trang 93, HH12CB): Viết phương trình mặt phẳng (α)

tiếp xúc mặt cầu (S): 𝑥2+ 𝑦2 + 𝑧2− 10𝑥 + 2𝑦 + 26𝑧 + 170 = 0 và song song với hai đường thẳng 𝑑: {

4𝑥 + 6𝑦 + 5𝑧 + 51 ± 5√77 = 0

Kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết tương ứng là:

 Kỹ thuật τ 5.4 :

B1 Từ điều kiện đề bài, xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

B2 Suy ra dạng của phương trình mặt phẳng

B3 Áp dụng điều kiện tiếp xúc giữa mặt phẳng và mặt cầu để tìm tham số còn thiếu

 Công nghệ θ 5.4 :

- Định nghĩa vectơ pháp tuyến, phương trình tổng quát của mặt phẳng

- Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng

 Lý thuyết Θ5.4: Hình học không gian, hình học giải tích trong không gian 3 chiều

Chúng tôi nhận thấy cũng có một nhóm KNV có kỹ thuật giải tương tự như sau:

Kiểu nhiệm vụ T 5.4.2 : Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) và song song mặt phẳng (Q)

Kiểu nhiệm vụ T 5.4.3 : Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S), vuông góc cả hai mặt phẳng (P), (Q)

Kiểu nhiệm vụ T 5.4.4 : Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S), vuông góc mặt phẳng (Q) và song song đường thẳng d

Ngoài ra, dựa trên kỹ thuật giải chúng tôi có thể thấy việc giảng dạy và tiếp thu TCTH O 4 sẽ giúp cho việc giảng dạy và tiếp thu TCTH O 5 trong một số KNV Chúng tôi quy ước gọi O 4 là TCTH hỗ trợ cho O 5

1.3 Các tổ chức toán học liên quan đến đường thẳng trong sách giáo khoa toán 12 hiện hành

Ở bài “Phương trình đường thẳng trong không gian”, sách giáo viên HH12CB mong muốn học sinh:

Biết cách lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ khi cho biết một điểm M 0 (x 0 ;y 0 ; z 0 ) thuộc ∆ và tọa độ một vectơ chỉ phương 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) của ∆ Biết cách xác định tọa độ của một điểm trên đường thẳng ∆ và tọa độ một vectơ chỉ phương của ∆ khi cho biết phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc của ∆

Nắm vững các điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau

(Sách giáo viên HH12CB, trang 74)

Trong khi đó sách giáo viên HH12NC một lần nữa đã liệt kê rõ hơn các kiểu nhiệm vụ mà giáo viên cần giảng dạy thông qua mục tiêu:

4 Biết tính góc và khoảng cách giữa các đối tượng: điểm, đường thẳng và mặt

phẳng (Sách giáo viên HH12NC, trang 89)

Tuy nhiên, chúng tôi chỉ chọn phân tích những TCTH chiếm tỷ lệ xuất hiện cao trong các đề thi tốt nghiệp THPT như đã trình bày ở phần mở đầu

1.3.1 Tổ chức toán học O 6: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng

Kiểu nhiệm vụ tương ứng T 6 : Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng

Ví dụ 21 (hoạt động 2, trang 84, HH12CB): Cho đường thẳng ∆ có

Lời giải mong đợi (trang 75, sách giáo viên HH12CB):

Ta có đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 ( - 1; 3; 5) và một vectơ chỉ phương của ∆ là 𝑎 = (2; −3; 4)

Ví dụ 22 (ví dụ 3, trang 94, HH12NC): Cho hai mặt phẳng (α) và (α’)

lần lượt có phương trình: x + 2y – z + 1 = 0 và x + y + 2z + 3 = 0

Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng đó cắt nhau và viết phương trình tham số của giao tuyến của hai mặt phẳng đó

Lời giải mong đợi (trích từ bài giải ở trang 94, HH12NC):

Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (α’)

Gọi 𝑛⃗⃗⃗⃗ = (1; 2; −1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α), 𝑛1 ⃗⃗⃗⃗ =2(1; 1; 2) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α’)

Đường thẳng d vuông góc với hai vectơ 𝑛⃗⃗⃗⃗ và 𝑛1 ⃗⃗⃗⃗ nên nó có vectơ chỉ 2phương là 𝑢⃗ = [𝑛⃗⃗⃗⃗ , 𝑛1 ⃗⃗⃗⃗ ] = (5; −3; −1) 2

Từ hai ví dụ, có thể nhận thấy kỹ thuật, công nghệ và lý thuyết của TCTH

 Công nghệ θ 6 :

Định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng trong mặt phẳng, định nghĩa phương trình tham số của đường thẳng trong không gian, tính chất của tích có hướng hai vectơ trong không gian

 Lý thuyết Θ6: Hình học giải tích trong mặt phẳng và trong không gian 3 chiều

1.3.2 Tổ chức toán học O 7 : Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng

Kiểu nhiệm vụ tương ứng T 7 : Tìm tọa độ giao điểm giữa một đường thẳng và một mặt phẳng cho trước

Ví dụ 23 (câu 1, bài 6, trang 92, HH12CB): Cho mặt phẳng (α) có

phương trình 3x + 5y – z – 2 = 0 và đường thẳng d có phương trình

Lời giải mong đợi (trang 84, sách giáo viên HH12CB):

Xét điểm M(12+ 4t; 9 + 3t; 1 + t) thuộc d Ta có:

M ∈ (α) ⇔ 3(12 + 4𝑡) + 5(9 + 3𝑡) − (1 + 𝑡) − 2 = 0

⇔ 26𝑡 + 78 = 0 ⇔ 𝑡 = −3

Vậy d cắt (α) tại điểm M(0; 0; - 2)

Từ ví dụ trên, dựa trên lý thuyết Θ7 về hình học Euclide trong không gian,

kỹ thuật và công nghệ tương ứng:

1.3.3 Tổ chức toán học O 8 : Viết phương trình đường thẳng

Tương tự như khi phân tích các TCTH liên quan đến mặt phẳng, sau quá trình nghiên cứu, chúng tôi nhận thấy có các biến thể được sắp xếp thành các

nhóm như dưới đây

Nhóm 1: Các kiểu nhiệm vụ yêu cầu viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và điều kiện để có thể tìm được ngay vectơ chỉ phương

Kiểu nhiệm vụ T 8.1.1 : Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm và có một vectơ chỉ phương cho trước

Ví dụ 24 (trang 83, HH12CB): Viết phương trình tham số của đường

thẳng ∆ đi qua điểm M0 (1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương là 𝑎 = (1; −4; −5)

Lời giải mong đợi (trang 83, HH12CB):

Phương trình tham số của ∆ là: {

Lời giải mong đợi (trang 84, HH12CB):

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (2; 2; −3)

Phương trình tham số của AB là: {𝑦 = −2 + 2𝑡𝑥 = 1 + 2𝑡

Ví dụ 26 (bài 1, trang 89, HH12CB): Viết phương trình tham số của

đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

b/ d đi qua A(2; - 1; 3) và vuông góc mặt phẳng (α) có phương trình x + y – z + 5 = 0

c/ d đi qua điểm B(2; 0; - 3) và song song đường thẳng ∆: {𝑦 = −3 + 3𝑡𝑥 = 1 + 2𝑡

𝑧 = 4𝑡

Lời giải mong đợi:

b/ Đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (α): x + y – z + 5 = 0 suy ra d có vectơ chỉ phương là 𝑎 = (1; 1; −1)

Vậy phương trình tham số của d là: {𝑦 = −1 + 𝑡𝑥 = 2 + 𝑡

𝑧 = 3 − 𝑡

c/ Đường thẳng d song song đường thẳng ∆: {𝑦 = −3 − 3𝑡𝑥 = 1 + 2𝑡

𝑧 = 4𝑡

nên d có vectơ chỉ phương 𝑎 = (2; 3; 4)

Kiểu nhiệm vụ T 7.1.5 : Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

Ví dụ 27 ( ví dụ 3, trang 94, HH12NC): Cho hai mặt phẳng (α) và (α’)

lần lượt có phương trình: x + 2y – z + 1 = 0 và x + y + 2z + 3 = 0

Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng đó cắt nhau và viết phương trình tham số của giao tuyến hai mặt phẳng đó

Lời giải mong đợi (trang 94, HH12NC):

Hai mặt phẳng đã cho cắt nhau vì bộ ba số (1; 2; - 1) không tỉ lệ với bộ ba

Cụ thể là: Trong hệ (1) cho z = 0, ta tìm được x = - 5, y = 2

Vậy điểm A(- 5; 2; 0) thuộc d

Lại cho z = 1, ta được x = - 10, y = 5

Vậy điểm A’( - 10; 5; 1) cũng thuộc d

Vectơ chỉ phương của d là 𝐴𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−5; 3; 1) nên d có phương trình tham

số là: {𝑥 = −10 − 5𝑡𝑦 = 5 + 3𝑡

𝑧 = 1 + 𝑡

Đồng thời sách giáo khoa cũng trình bày thêm hai kỹ thuật giải mà trong

đó cách 1 dưới đây tương ứng với kỹ thuật giải của các KNV ở nhóm 2, cách 3 được dự đoán là lời giải mong đợi đối với câu hỏi trắc nghiệm khách quan có các đáp án là phương trình tham số

Cách 1 Tìm tọa độ một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương của nó rồi viết phương trình tham số của d

Cụ thể là, trong hệ (1) cho z = 0, ta tìm được x = - 5, y = 2

Vậy điểm A(- 5; 2; 0) thuộc d

Gọi 𝑛⃗⃗⃗⃗ = (1; 2; −1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α), 𝑛1 ⃗⃗⃗⃗ =2(1; 1; 2) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α’)

Đường thẳng d vuông góc với cả hai vectơ 𝑛⃗⃗⃗⃗ và 𝑛1 ⃗⃗⃗⃗ nên nó có vectơ chỉ 2phương là 𝑢⃗ = [𝑛⃗⃗⃗⃗ , 𝑛1 ⃗⃗⃗⃗ ] = (5; −3; −1) 2

Vậy, phương trình tham số của d là: {𝑥 = −5 + 5𝑡𝑦 = 2 − 3𝑡

B2 Dựa vào định nghĩa để viết phương trình đường thẳng

Kỹ thuật, công nghệ lý thuyết tìm được như sau:

Lý thuyết Θ8.2: Hình học giải tích trong mặt phẳng và trong không gian

3 chiều

Dưới đây là các KNV tương ứng được tìm thấy

Kiểu nhiệm vụ T 8.2.1 : Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm, nằm trong một mặt phẳng và vuông góc một đường thẳng

Ví dụ 28 (câu b, bài 33, trang 104, HH12NC): Cho đường thẳng ∆ và

Lời giải mong đợi (trang 103, sách giáo viên HH12NC):

Gọi d là đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với ∆

Khi đó, vectơ chỉ phương 𝑢′⃗⃗⃗ của d phải vuông góc với vectơ chỉ phương

𝑢⃗ = (1; 2; 2) của ∆, đồng thời vuông góc với vectơ pháp tuyến 𝑛⃗ = (2; 0; 1) của (P) nên ta chọn 𝑢′⃗⃗⃗ = [𝑢⃗ , 𝑛⃗ ] = (2; 3; −4)

Vậy đường thẳng d có phương trình chính tắc: 𝑥−1

Ví dụ 29 (câu a, bài 2, trang 89, HH12CB): Viết phương trình tham số

của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: {

𝑥 = 2 + 𝑡

𝑦 = −3 + 2𝑡

𝑧 = 1 + 3𝑡lên mặt phẳng (Oxy)

Lời giải do sách giáo viên HH12CB trình bày:

Gọi (α) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (Oxy)

Mặt phẳng (α) song song hoặc chứa giá của hai vectơ 𝑎⃗⃗⃗⃗ = (1; 2; 3); 𝑘𝑑 ⃗ =(0; 0; 1)

Suy ra (α) có vectơ pháp tuyến là 𝑛⃗⃗⃗⃗ = (−2; 1; 0) 𝛼

Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (Oxy)

Vectơ chỉ phương của d’ vuông góc với hai vectơ 𝑎⃗⃗⃗⃗ = (−2; 1; 0) và 𝑘𝛼 ⃗ =(0; 0; 1) Suy ra d’ có vectơ chỉ phương là 𝑎⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1; −2; 0) 𝑑′

Lấy điểm M(2; - 3; 1) trên d

Đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc mặt phẳng (Oxy) có phương trình