Bài giảng bài hàm số liên tục giải tích 11 (6)

Hàm số liên tục tại một điểm: 2.. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn: 3.. Tính chất của hàm số liên tục:... Tính chất của hàm số liên tục:... Chứng minh rằng phương trình Px

1 Hàm số liên tục tại một điểm:

2 Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn:

3 Tính chất của hàm số liên tục:

Chứng minh rằng:



















1 2

1 1

1

3

x khi

x

khi x

x y

a/ Hàm số gián đoạn tại điểm x = 1

b/ Hàm số y = x4 – 2x2 + 2 liên tục trên đoạn [-1, 2].

Chứng minh rằng:

b/ Hàm số y = x4 – 2x2 + 2 liên tục

trên [-1, 2]

Giải Hàm số f(x) = x4 - 2x2 + 2 xác định

trên R.Với mọi x0  (-1, 2) ta có:

) 2 2

( lim )

(

0 0









x x x

x

) ( 2

4

  hàm f liên tục trên khoảng (-1, 2)

Lại có: f(-1) = 1 = lim f(x) khi x  -1+

f(2) = 10 = lim f(x) khi x  2-

Do đó hàm f liên tục trên đoạn [-1, 2]



















1 2

1 1

1 3

x khi

x

khi x

x y

a/ Hàm số gián đoạn tại điểm x = 1

Giải Với x = 1, f(1) = 2 Với mọi x  1 ta có:

1

) 1 )(

1 (

1

1 )

(

2 3

















x

x x

x x

x x

f

1

2  

 x x

Do đó:

 1 3 2 (1) lim

) (

1 1

f x

x x

f

x x















 Vậy hàm f gián đoạn tại điểm x = 1

y = x4 – 2x2 + 2

0

x

y

10

1

f(-1)

f(2)

Với mỗi M nằm giữa f(-1)

và f(2), hãy tìm c  (-1, 2) sao cho f(c) = M trong các trường hợp sau:

Trường hợp 1: M = 2 Trường hợp 3: M = 5

Nhận xét:

Hàm f có liên tục trên đoạn [-1, 2] hay không? Hàm f có liên tục trên đoạn [-1, 2]

Tính f(-1) = f(2) =

Ta có: f(-1) = 1 f(2) = 10

 f(-1)  f(2)

2

2

3

M =

M = 2

M = 5

Với mỗi M bất kì nằm giữa f(-1) và f(2) ta luôn tìm được ít nhất một giá trị

c  (-1, 2) sao cho f(c) = M

M

a

b f(a)

f(b)

c

y = f(x)

3 Tính chất của hàm số liên tục:

Định lí 2: (định lí về giá trị

trung gian của hàm số liên tục)

y

0

x

Giả sử hàm số f liên tục trên

đoạn [a, b] Nếu f(a)  f(b) thì với

mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b),

tồn tại ít nhất một điểm c  (a, b)

sao cho f(c) = M

Ý nghĩa hình học của định lí:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn

[a, b] và M là một số thực nằm giữa

f(a) và f(b) thì đường thẳng y = M

cắt đồ thị của hàm số y = f(x) ít

nhất tại một điểm có hoành độ

c  (a, b)

y = M

f(c) = M

0 x

y

-1

2

2 1

1

Cho hàm số:





















1 2

1

1 1

)

(

2

x khi

x khi x

x

f

y = x 2 + 1

Giải Hàm f liên tục trên đoạn [-2, 0]

Lại có f(-2) = 5  1 = f(0)

Theo định lí 2 tồn tại ít nhất một điểm

c (-2, 0) sao cho f(c) = M

Tìm lỗi sai trong lời giải sau:

3 Tính chất của hàm số liên tục:

Hãy dự đoán phương trình x4 - x3 – 3 = 0 có ngiệm hay không?

0 x

y

a

b f(a)

c

1 Hàm số y = f(x) có liên tục trên đoạn [a, b] hay không?

2 Tích f(a).f(b) như thế nào?

Khi đó c được gọi là gì của phương trình f(x) = 0?

Nhận xét:

1.Hàm số y = f(x) có liên tục trên đoạn [a, b]

2 Tích f(a).f(b) < 0

Theo định lí 2, tồn tại ít nhất một điểm c  (a, b) sao cho f(c)=M, với mỗi M nằm giữa f(a)

và f(b)

Khi đó:

c được gọi là nghiệm của phương trình f(x) = 0

Hệ quả:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a, b) sao cho f(c) = 0

Ý nghĩa hình học của hệ quả:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì đồ thị hàm

số y = f(x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c  (a, b)

f(c) = 0

y = 0

Khi M = 0 ta có f(c) = 0, với

c  (a, b)

M

Áp dụng:

Chứng minh phương trình có

nghiệm trong một khoảng:

Nếu hàm số f(x) liên tục trên

đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì

phương trình f(x) = 0 có ít nhất

một nghiệm trong khoảng (a, b)

Để chứng minh sự tồn tại

nghiệm của phương trình ta thực

hiện như sau:

+ Tìm hàm f(x)

+ Chọn [a, b] sao cho: hàm f(x) liên

tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0

+ Kết luận

Ví dụ : Cho hàm số P(x) = x3+ x - 1

Chứng minh rằng phương trình P(x) = 0 có ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1

Giải

Ta có:

+ P(x) = x3 + x - 1 liên tục trên đoạn [0, 1]

+ P(0) = -1 + P(1) = 1

 P(0).P(1) = (-1).1 = -1 < 0 Theo hệ quả tồn tại ít nhất một điểm

c  (0, 1) sao cho P(c) = 0

Do đó: x = c chính là một nghiệm dương nhỏ hơn 1 của phương trình P(x) = 0

3 Tính chất của hàm số liên tục:

Định lí 2:

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a, b]

nếu f(a)  f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa

f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c  (a, b)

sao cho f(c) = M

Ý nghĩa hình học của định lí:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và M

là một số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì đường

thẳng y = M cắt đồ thị của hàm số y = f(x) ít

nhất tại một điểm có hoành độ c  (a, b)

Hệ quả:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và

f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a, b)

sao cho f(c) = 0

Ý nghĩa hình học của hệ quả:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và

f(a).f(b) < 0 thì đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục

hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ

c(a, b)

+ Tìm hàm f(x)?

+ Tìm đoạn [a, b] thỏa hàm f liên tục trên đoạn [a, b] và tích f(a).f(b)

< 0?

+ Theo hệ quả ta có kết luận gì?

Hãy dự đoán phương trình

x4-x3–3=0 có ngiệm hay không?

Ta có:

+ f(x) = x4-x3-3 liên tục trên đoạn [-2, 0]

+ f(-2).f(0) = 5.(-3) = -15 < 0

Theo hệ quả tồn tại ít nhất một điểm c  (-2, 0) sao cho f(c) = 0

Vậy x = c là một nghiệm của phương trình f(x) = 0

Ta có +f(x) = x4-x3-3 liên tục trên đoạn [0, 2]

+f(0).f(2) = -15

Theo hệ quả tồn tại ít nhất một điểm c  (0, 2) sao cho f(c) = 0

Vậy x = c cũng là một nghiệm của phương trình f(x) = 0

Giải

Ta có: hàm f liên tục trên [0, 2]

Lại có: f(0).f(2) = (-1).2 = -2 < 0

Vì - 0.8  (-1, 2) nên theo định lí 2 tồn tại ít nhất một điểm

c  (0, 2) sao cho f(c) = - 0.8

Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm c  (0, 2) sao cho f(c) = - 0.8

Cho hàm số f(x) =

2 2

2 5

2







x x x