Phan tich va thiet ke he thong dieu khieu

Đánh giá tính ổn địnhChất lượng của hệ rời rạc Thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc... Chú ý: Ta có thể tính POT và tqđ dựa vào cặp cực phức Cặp cực phức của hệ thống kín là nghiệm của p

LÝ THUYẾ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THÓNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

Chương 7

Đánh giá tính ổn định

Chất lượng của hệ rời rạc

Thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc

DÁNH GIÁ TÍNH ỔN ĐỊNH

Hệ thống ổn định BIBO (Bounded Input Bounded Output) nếu tín hiệu vào bị chặn thì tín hiệu ra bị chặn.

Phương trình đặëc trưng củûa hệä rờøi rạïc

Hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi sơ đồ khối:

 Phửụng trỡnh ủaởc trửng: det(zI  Ad ) 

0

Tiêu chuẩn ổn định đại số

^ Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng

^ Tiêu chuẩn Jury

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

Tiêu chuẩån Routh – Hurwitz mởû rộäng

Re z Miền ổn định

tiêu chuẩn Routh – Hurwitz cho PTĐT theo biến w.

w 1

z  w  1

Thí dụï xétùt ổnån định dùøng tiêu chuẩån Routh – Hurwitz mởû rộnängg

 0.0673

3(1  3)

 w  1

 w  12

 w  13

Thí dụï xétùt ổnån định dùøng tiêu chuẩån Routh – Hurwitz mởû rộnängg

◆ ^ Hàng 1 là các hệ số của PTĐT theo thứ tự chỉ số tăng dần.

◆ ^ Hàng chẳn (bất kỳ) gồm các hệ số của hàng lẻ trước đó viết theo thứ tự ngược lại.

Thí dụï xétùt ổnån định dùøng tiêu chuẩån Jury

◆ Do các hệ số ở hàng lẻ cột 1 bảng Jury đều dương nên hệ thống ổn định.

5z3  2z 2  3z  1  0

◆ Xét tính ổn định của hệ rời rạc có PTĐT là:

◆ Bảng Jury

◆ Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0  .

◆ Xét hệ rời rạc có phương trình đặc trưng:

D(z)

1  K N (z)  0

0

D(z)

G (z)  K N (z)

Đặt:

Gọi n và m là số cực và số zero của G0(z)

Các qui tắc vẽ QĐNS hệ liên tục có thể áp dụng để vẽ QĐNS của hệ rời rạc, chỉ khác qui tắc 8.

Phương phápùp quỹ đạïo nghiệäm sốá (QĐNS)

Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.

Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero của G0(z) bên phải nó là một số lẻ.

trục thực và là nghiệm của phương trình:

Phương phápùp quỹ đạïo nghiệäm sốá (QĐNS)

Qui tắéc vẽ QĐNS (tt)

Qui tắc 8: : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với vịng trịn đơn vị cĩ thể xác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz mở rộng hoặc thay z=a+jb (a2+b2 =1) vào phương trình đặc trưng.

Qui tắc 9: Gĩc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức pj

Dạng hình học của cơng thức trên là:

j = 1800 + ( góc từ các zero đến cực p j )

 (góc từ các cực còn lại

đến cực p j )

◆ Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ khối:

s(s  5)

(z 1)(z 

0.607)

0.021z  0.018



Thí dụï vẽ QĐNS hệä rờøi rạïc

◆ Giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vị:

Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng:

Thay giá trị Kgh = 21.83 vào phương trình (*), ta được:



 j2ab  j(0.021K 1.607)b  0



◆ Giải hệ phương trình trên, ta được 4

giao điểm là: z  1

z  1

khi khi khi

0.607 0

3

2.506

0.792

Re z +1 0.5742+j0.8187

j

0.5742j0.8187

Chấtát lượnïngg củảa hệä rờiøi rạcïc

Đáp ứng của hệ rời rạc có thể tính bằng một trong hai cách sau:

^ Cách 1: nếu hệ rời rạc mô tả bởi hàm truyền thì trước tiên ta tính C(z), sau

đó dùng phép biến đổi Z ngược để tìm c(k).

^ Cách 2: nếu hệ rời rạc mô tả bởi PTTT thì trước tiên ta tính nghiệm x(k) của PTTT, sau đó suy ra c(k).

◆ Cặp cực quyết định của hệ rời rạc là cặp cực nằm gần vòng tròn đơn vị nhất.

trong đó cmax và cxl là giá trị cực đại và giá trị xác lập của c(k)

◆ Thời gian quá độ: tqủ 

Cẫch 22: Đânh giâ chất lượng quâ độ dựa văo cặp cực quyết định.

1 Tính hàm truyền kín của hệ thống điều khiển trên.

2 Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị.

3 Đánh giá chất lượng của hệ thống: độ vọt lố, thời gian quá độ, sai số xác lập.

Chấtát lượnïngg củảa hệä rờøi rạïc Thí dụï 1

 G(z)  (1  z

) Z

(z 1)(z  e20.1)(z  e30.1)

 10(1  z1)

G(z)k

G (z)  0.042z  0.036

Chấtát lượnïngg củảa hệä rờøi rạïc Thí dụï 1

2 Đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị:

c(k )  1.518c(k 1)  0.643c(k  2)  0.042r(k 1)  0.036r(k  2)

Tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị: r(k )  1,k  0

Điều kiện đầu: c(1)  c(2)  0

Thay vào biểu thức đệ qui tính c(k):

c(k )  0; 0.0420; 0.1418; 0.2662; 0.3909; 0.5003;

0.5860; 0.6459; 0.6817;0.6975; 0.6985; 0.6898;

0.6760; 0.6606; 0.6461; 0.6341; 0.6251; 0.6191; 

Chấtát lượnïngg củảa hệä rờøi rạïc Thí dụï 1

Step Response 0.7

G (z)  0.042z  0.036

1

 z 1.518z  0.643 1  z

0.042z  0.036

 lim(1  z )

z 1

z 1

3 Chất lượng của hệ thống: Giá

trị xác lập của đáp ứng:

cxl  lim(1  z1)C(z)

z 1

 lim(1  z1)Gk (z)R(z)

Chấtát lượnïngg củảa hệä rờøi rạïc Thí dụï 1

Thời gian quá độ theo tiêu chuẩn 5%: Trước tiên ta cần

0.6191; 

kqủ  14

Theo kết quả tính đáp ứng ở câu 2 ta thấy:

tqđ  kqđT  14  0.1

tqủ  1.4sec

Chú ý: Ta có thể tính POT và tqđ dựa vào cặp cực phức Cặp cực phức của hệ thống

kín là nghiệm của phương trình

Chấtát lượnïngg củảa hệä rờøi rạïc Thí dụï 2

1 Thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống trên.

2 Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị (điều kiện đầu bằng 0) dựa vào phương trình trạng thái vừa tìm được.

3 Tính độ vọt lố, thời gian quá độ, sai số xác lập.

(s  2)(s 

3)

Chấtát lượnïngg củảa hệä rờøi rạïc Thí dụï 2

◆ Ma trận quá độ:

1 1

 5

0  0

 0 1  6

 1

 6 s  5

s

 1 s  5

s(s  5)  6   6

Với điều kiện đầu x1(1)=x2( 1)=0, tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị,

suy ra nghiệm của PTTT là:

x1(k)  103  0; 4.2;13.5; 24.2; 34.2; 42.6; 49.1; 54.0; 57.4; 59.7; 61.2; 62.0; 62.5; 62.7; 62.8; 62.8; 62.7; 62.7; 62.6; 62.6 

x2 (k)  103  0; 77.9;106.1;106.6; 93.5; 75.4; 57.2; 41.2; 28.3;18.5; .

11.4; 6.5; 3.4;1.4; 0.3; -0.3; -0.5; -0.5; -0.5; -0.4 

x (k  1)  1.2465x (k )  0.4292x (k )  0.0779r(t)

Chấtát lượnïngg củảa hệä rờøi rạïc Thí dụï 2

Thiếtát kếá hệä thốáng điềuàu khiểnån rờiøi rạcïc

◆ Điều khiển nối tiếp

Hăøm truyềăn củảa cẫc khđu cơ bảûn rờøi rạïc

Khđu vi phđn

Vi phđn

e(t) u(t)

u(t)  de(t)

◆ Khđu vi phđn liín tục:

◆ Khđu vi phđn rời rạc:

T

dt e(kT )  e[(k

1)T ]

u(kT )



T zD

Khâu tích phân e(t) Tích phân

u(t)

t

u(t)   e(  )

d 0

◆ Khâu tích phân liên tục:

 u(kT )  u[(k 1)T ] 

 U (z)  z1U (z)  T  z1E(z) 

E(z)  Hàm truyền khâu tích  2

phân rời rạc: G (z) I  2 z T z 1  1

Hàøm truyềàn củảa bộä điềàu khiểån rờøi rạïc

◆ Bộ điều khiển PID

P PID

zC  pC

Cách 1: Thiết kế gián tiếp hệ thống điều khiển liên tục, sau đó rời rạc hóa

ta được hệ thống điều khiển rời rạc Chất lượng của hệ rời rạc xấp xỉ chất lượng hệ liên tục nếu chu kỳ lấy mẫu T đủ nhỏ.

Cách 2: Thiết kế trực tiếp hệ thống điều khiển rời rạc.

Phương pháp thiết kế: QĐNS, phương pháp phân bố cực, phương pháp giải tích, …

Trình tự thiếtát kếá khâu sớùm pha rờøi rạïc dùøng QĐNS

Bước 3: Xác định vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh

Vẽ 2 nữa đường thẳng bất kỳ xuất phát từ cực quyết định z* sao cho 2 nữa đường thẳng này tạo với nhau một góc bằng * 1 Giao điểm của hai nữa đường thẳng này với trục thực là vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh.

Có hai cách vẽ thường dùng:

^ PP đường phân giác (để cực và zero của khâu H/C gần nhau)

^ PP triệt tiêu nghiệm (để hạ bậc của hệ thống)

Bước 4: Tính hệ số khuếch đại KC bằng cách áp dụng công thức:

* 1

z z

1

Thí dụï thiếtát kếá bộä điềàu khiểån sớùm pha rờiøi rạcïc dùøng QĐNS

◆ TK bộ điều khiển sớm pha GC(z) sao cho hệ thống sau khi hiệu chỉnh có cặp cực quyết định với   0.707, n  10 (rad/sec)

 (1  z1)Z 



(z 1)(z 

0.607)

0.21z  0.18

G(z) 

◆ Phương trình đặc trưng: 1  G(z)  0

Giải:

Thí dụï thiếtát kếá bộä điềàu khiểån sớùm pha rờiøi rạcïc dùøng QĐNS

Thí dụï thiếtát kếá bộä điềàu khiểån sớùm pha rờiøi rạcïc dùøng QĐNS

◆ Chọn cực và zero của khâu hiệu chỉnh bằng phương pháp triệt tiêu

◆ Tính KC: GC (z)G(z) zz* 

1

 1

Thí dụï thiếtát kếá bộä điềàu khiểån sớùm pha rờiøi rạcïc dùøng QĐNS

Quỹ đạo nghiệm số của hệ thống trước và sau khi hiệu chỉnh

1 

zC

hoa ëc

◆ Bước 1: Đặt   1  pC Xác định  từ yêu cầu về sai số xác lập.

◆ Bước 2: Chọn zero của khâu hiệu chỉnh rất gần điểm +1:

Thí dụï thiếtát kếá bộä điềàu khiểån trểå pha rờiøi rạcïc dùøng QĐNS

◆ TK bộ điều khiển trể pha GC(z) sao cho hệ thống sau khi hiệu

V

K *  100

 (1  z1)Z 



(z 1)(z 

0.607)

0.21z  0.18

Thí dụï thiếtát kếá bộä điềàu khiểån trểå pha rờiøi rạcïc dùøng QĐNS

 PTĐT trước khi hiệu

chỉnh

 0

1

 (z 1)(z 

0.607)

0.21z  0.18

z1,2  0.699  j0.547

 Cực của hệ thống trước

khi hiệu chỉnh

K *  100

Thí dụï thiếtát kếá bộä điềàu khiểån trểå pha rờiøi rạcïc dùøng QĐNS

Bước 2: Chọn zero của khâu trể pha rất gần +1

 G (z) 

K

z  0,99

C s  0,999



QÑNS trước và sau khi hiệu chỉnh

Thí dụï thiếtát kếá bộä điềàu khiểån PID dùøng PP giảiûi tích

Thiết kế khâu hiệu chỉnh GC(z) sao cho hệ thống kín có cặp cực phức với =0.707, n=2 rad/sec và sai số xác lập đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị bằng 0.

0.05

T  2 sec

Khâu hiệu chỉnh cần thiết kế là khâu PI (vì yêu cầu sai số xác

lập bằng 0)

 KIT z  1

◆ Phương trình đặc trưng của hệ thống sau khi hiệu chỉnh là:

0.091

(z  0.819)

GH (z)





Thí dụï thiếtát kếá bộä điềàu khiểån PID dùøng PP giảiûi tích

◆ Do đó phương trình đặc trưng của hệ thống là:



  0

Thí dụï thiếtát kếá bộä điềàu khiểån PID dùøng PP giảiûi tích

z 2  (0.091KP  0.091K I 1.819)z  (0.091KP  0.091KI  0.819)  0

 0.091K  0.091K

◆ Cân bằng các hệ số phương trình đặc tröng của heä thoáng

và phương trình đặc trưng mong muốn, ta được:

◆ 0.091KP  0.091KI 1.819  0.112



 6.13

C

Kết luận:

◆ Bước 3: Cân bằng các hệ số của hai phương trình đặc trưng (1) và

◆ (2) sẽ tìm được vector hồi tiếp trạng thái K.

Hãy xác định vector hồi tiếp trạng thái K sao cho hệ thống kín có cặp

nghiệm phức với =0.707, n=10 rad/sec

PP phân bốá cực Thí dụï 1

Cho hệ thống điều khiển

A  1 0.316



(z 1  0.092k1)(z  0.368  0.316k2 )  0.316k1( 0.316  0.092k2 )  0

z 2  (0.092k1  0.316k2  1.368)z  (0.066k1  0.316k2  0.368)  0





Cânbằng các hệ số phương trình đặc tröng của heä thoáng và phương trình đặc trưng mong muốn, ta được:

s  1

1

s

1.Viết phương trình trạng thái mô tả hệ hở

2.Hãy xác định vector hồi tiếp trạng thái K = [k1 k2] sao cho hệ thống kín

có cặp nghiệm phức với =0.5, n=8 rad/sec.

3.Tính đáp ứng của hệ thống với giá trị K vừa tìm được khi tín hiệu vào

là hàm nấc đơn vị Tính độ vọt lố, thời gian quá độ.

PP phân bốá cực Thí dụï 2

2 Tính độ lợi hồi tiếp trạng thái K:

Phương trình đặc trưng của hệ kín:

Cặp cực quyết định mong muốn: