Bai 3 tính đồng biến nghịch biến

Định nghĩa: Cho hàm số y= f x xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn..  Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y= f x liên tục tr

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ  DẠNG KHÔNG CHỨA THAM SỐ M 

A KIẾN THỨC CƠ BẢN 

1 Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( )xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng 

hoặc một đoạn. 

• Hàm số y= f x( )đồng biến (tăng) trên K nếu "x x1, 2ÎK x, 1<x2Þ f x( )1 < f x( )2  

• Hàm  số  y= f x( )nghịch  biến  (giảm)  trên  K  nếu 

( ) ( )

1, 2 , 1 2 1 2

x x K x x f x f x

2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f x( )có đạo hàm trên khoảng K. 

• Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì  f¢( )x ³ " Î0, x K. 

• Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì  f¢( )x £ " Î0, x K. 

3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f x( )có đạo hàm trên khoảng K. 

• Nếu  f¢( )x > " Î0, x Kthì hàm số đồng biến trên khoảng K. 

• Nếu   f¢( )x < " Î0, x Kthì hàm số nghịch biến trên khoảng K. 

• Nếu   f¢( )x = " Î0, x Kthì hàm số không đổi trên khoảng K. 

 Chú ý. 

 Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y= f x( ) 

liên  tục  trên  đoạn  hoặc  nửa  khoảng  đó”.  Chẳng  hạn:  Nếu  hàm  số  y= f x( )liên  tục 

trên đoạn [ ]a b; và có đạo hàm  f¢( )x > " Î0, x Ktrên khoảng ( )a b; thì hàm số đồng 

biến trên đoạn [ ]a b;  

 Nếu  f¢( )x ³ " Î0, x K(  hoặc  f¢( )x £ " Î0, x K)  và  f¢( )x =0chỉ  tại  một  số  điểm 

hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng 

K). 

B KỸ NĂNG CƠ BẢN 

1 Lập bảng xét dấu của một biểu thức P x( ) 

Bước 1.   Tìm nghiệm của biểu thức P x( ), hoặc giá trị của x làm biểu thức P x( ) không 

xác định.  

Bước 2.   Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. 

Bước 3.   Sử dụng máy tính tìm dấu của P x( ) trên từng khoảng của bảng xét dấu. 

2 Xét tính đơn điệu của hàm số y= f x( ) trên tập xác định 

Bước 1.   Tìm tập xác định D. 

Bước 2.   Tính đạo hàm y¢= f¢( )x . 

Bước 3.   Tìm nghiệm của  f¢( )x  hoặc những giá trị x làm cho  f¢( )x  không xác định. 

Bước 4.   Lập bảng biến thiên.  

Bước 5.   Kết luận. 

3 Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y= f x( ) đồng biến, nghịch biến trên khoảng 

(a b; ) cho trước. 

Cho hàm số y= f x m( , ) có tập xác định D, khoảng ( ; )a b ÌD: 

  Hàm số nghịch biến trên ( ; )a b Ûy' 0,£ " Îx ( ; )a b  

  Hàm số đồng biến trên ( ; )a b Ûy' 0,³ " Îx ( ; )a b  

  Chú ý: Riêng hàm số a x b1 1

y

cx d

+

= +  thì :   

 Hàm số nghịch biến trên ( ; )a b Ûy' 0,< " Îx ( ; )a b  

 Hàm số đồng biến trên ( ; )a b Ûy' 0,> " Îx ( ; )a b  

Nhắc lại một số kiến thức liên quan:  

Cho tam thức g x( )=ax2+bx c a+ ( ¹0) 

( ) 0,

0

a

³ " Î Û í

D £ ï

( ) 0,

0

a

> " Î Û í

D >

ï

( ) 0,

0

a

£ " Î Û í

D £ ï

( ) 0,

0

a

< " Î Û í

D <

ï

 Chú ý: Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng 

( ; )a b : 

 Bước 1:  Đưa  bất  phương  trình  f¢( ) 0x ³   (hoặc f¢( ) 0x £ ),  " Îx ( ; )a b   về  dạng 

( ) ( )

g x ³h m  (hoặc g x( )£h m( )), " Îx ( ; )a b  

 Bước 2:  Lập bảng biến thiên của hàm số g x( ) trên ( ; )a b   

 Bước 3:  Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm 

của tham số m. 

4 Sử dụng tính đơn điệu cửa hàm số để giải phương trình, hệ phương trình và bất 

phương trình: 

Đưa  phương  trình,  hoặc  bất  phương  trình  về  dạng  f x( )=m  hoặc  f x( )³g m( ),  lập 

bảng biến thiên của  f x( ), dựa vào BBT suy ra kết luận. 

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 

Câu 1 Cho hàm số y= f x( ) là hàm số đơn điệu trên khoảng ( )a b;  Trong các khẳng định 

sau, khẳng định nào đúng? 

A. f '( )x ³ " Î0, x ( )a b;   B.  f '( )x £ " Î0, x ( )a b;  

C.  f'( )x ¹ " Î0, x ( )a b;   D. f '( )x  không đổi dấu trên ( )a b;  

Câu 2 Phát biểu nào sau đây là sai về tính đơn điệu của hàm số? 

A.  Hàm  số  y= f x( )  được  gọi  là  đồng  biến  trên  miền  DÛ"x x1, 2ÎD  và  x1<x2,  ta  có: 

( )1 ( )2

f x < f x  

B.  Hàm  số  y= f x( )  được  gọi  là  đồng  biến  trên  miền  DÛ"x x1, 2ÎD  và  x1<x2,  ta  có: 

( )1 ( )2

f x > f x  

C. Nếu  f/( )x > " Î0, x ( )a b;  thì hàm số  f x( ) đồng biến trên ( )a b;  

D. Hàm số  f x( ) đồng biến trên ( )a b;  khi và chỉ khi  f/( )x ³ " Î0, x ( )a b;  

Câu 3 Cho hàm số y= f x( ) xác định trên khoảng ( )a b;  Phát biểu nào sau đây là đúng? 

A.  Hàm  số  y= f x( )  gọi  là  đồng  biến  trên  ( )a b;   khi  và  chỉ  khi  "x x1, 2Î( )a b; :

( ) ( )

x >x Ûf x < f x  

B.  Hàm  số  y= f x( )  gọi  là  nghịch  biến  trên  ( )a b;   khi  và  chỉ  khi  "x x1, 2Î( )a b; :

( ) ( )

x >x Ûf x > f x  

C.  Hàm  số  y= f x( )  gọi  là  đồng  biến  trên  ( )a b;   khi  và  chỉ  khi  "x x1, 2Î( )a b; :

( ) ( )

x <x Û f x < f x  

D.  Hàm  số  y= f x( )  gọi  là  nghịch  biến  trên  ( )a b;   khi  và  chỉ  khi  "x x1, 2Î( )a b; :

( ) ( )

x >x Ûf x > f x  

Câu 4 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên ( )a b;  Phát biểu nào sau đây là đúng? 

A. Hàm số y= f x( ) gọi là đồng biến trên ( )a b;  khi và chỉ khi  f '( )x < " Î0, x ( )a b;  

B. Hàm số y= f x( ) gọi là đồng biến trên ( )a b;  khi và chỉ khi  f '( )x £ " Î0, x ( )a b;  

C. Hàm số y= f x( ) gọi là đồng biến trên ( )a b;  khi và chỉ khi  f '( )x ³ " Î0, x ( )a b;  

D.  Hàm  số  y= f x( )  gọi  là  đồng  biến  trên ( )a b;   khi  và  chỉ  khi  f '( )x ³ " Î0, x ( )a b;   và 

( )

f x =  tại hữu hạn giá trị xÎ( )a b;  

Câu 5 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên ( )a b;  Phát biểu nào sau đây là đúng? 

A. Hàm số y= f x( ) gọi là nghịch biến trên ( )a b;  khi và chỉ khi  f '( )x > " Î0, x ( )a b;  

B. Hàm số y= f x( ) gọi là nghịch biến trên ( )a b;  khi và chỉ khi  f '( )x ³ " Î0, x ( )a b;  

C. Hàm số y= f x( ) gọi là nghịch biến trên ( )a b;  khi và chỉ khi  f '( )x £ " Î0, x ( )a b;  

D.  Hàm  số  y= f x( )  gọi  là  nghịch  biến  trên ( )a b;   khi  và  chỉ  khi  f '( )x £ " Î0, x ( )a b;   và 

( )

f x =  tại hữu hạn giá trị xÎ( )a b;  

Câu 6 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên ( )a b;  Phát biểu nào sau đây là sai? 

A.  Hàm  số  y= f x( )  gọi  là  đồng  biến  trên  ( )a b;   khi  và  chỉ  khi  "x x1, 2Î( )a b; :

( ) ( )

x >x Ûf x > f x  

B.    Hàm  số  y= f x( )  gọi  là  đồng  biến  trên ( )a b;   khi  và  chỉ  khi "x x1, 2Î( )a b; ,x1¹x2:

( )1 ( )2

2 1

0

f x f x

x x

->

C. Hàm số y= f x( ) gọi là đồng biến trên ( )a b;  khi và chỉ khi  f '( )x > " Î0, x ( )a b;  

D.  Hàm  số  y= f x( )  gọi  là  đồng  biến  trên ( )a b;   khi  và  chỉ  khi  f '( )x ³ " Î0, x ( )a b;   và 

( )

f x =  tại hữu hạn giá trị xÎ( )a b;  

Câu 7 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên ( )a b;  Phát biểu nào sau đây là sai? 

A.  Hàm  số  y= f x( )  gọi  là  nghịch  biến  trên  ( )a b;   khi  và  chỉ  khi  "x x1, 2Î( )a b; :

( ) ( )

x >x Ûf x < f x  

B. Hàm số y= f x( ) gọi là nghịch biến trên ( )a b;  khi và chỉ khi  f '( )x < " Î0, x ( )a b;  

C. Hàm số y= f x( ) gọi là nghịch biến trên ( )a b;  khi và chỉ khi  f '( )x £ " Î0, x ( )a b;  

D.  Hàm  số  y= f x( )  gọi  là  nghịch  biến  trên ( )a b;   khi  và  chỉ  khi  f '( )x £ " Î0, x ( )a b;   và 

( )

f x =  tại hữu hạn giá trị xÎ( )a b;  

Câu 8 Cho hàm số y= f x( ) đồng biến trên khoảng ( )a b;  Mệnh đề nào sau đây sai? 

A. Hàm số y= f x( +1) đồng biến trên ( )a b;  

B. Hàm số y= -f x( )-1 nghịch biến trên ( )a b;  

C. Hàm số y= -f x( ) nghịch biến trên ( )a b;  

D. Hàm số y= f x( )+1 đồng biến trên ( )a b;  

Câu 9 Cho hàm số  1

1

x y x

+

=

- . Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng? 

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥;1) (È 1;+¥)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-¥;1) (È 1;+¥).  

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-¥;1) và (1;+¥)

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥;1) và (1;+¥). 

Câu 10 Cho hàm số y= -x3+3x2-3x+2. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 

A. Hàm số luôn nghịch biến trên . 

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-¥;1) và (1;+¥). 

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-¥;1) và nghịch biến trên khoảng (1;+¥). 

D. Hàm số luôn đồng biến trên . 

Câu 11 Cho hàm số y= -x4+4x2+10 và các khoảng sau: 

(I):   (-¥ -; 2);  (II):   (- 2;0);  (III):   (0; 2); 

Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?

A. Chỉ (I).  B. (I) và (II).  C. (II) và (III).  D. (I) và (III). 

Câu 12 Cho hàm số 3 1

4 2

x y

x

-=

- + . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 

A. Hàm số luôn nghịch biến trên . 

B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. 

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥;2)và (2;+¥). 

D. Hàm số nghịch biến(-¥ -; 2) trên các khoảng  và(- +¥2; ). 

Câu 13 Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên ? 

A. h x( )=x4-4x2+4.    B. g x( )=x3+3x2+10x+1. 

( )

f x = - x + x -x.  D. k x( )=x3+10x-cos2x. 

Câu 14 Hỏi hàm số 

2 3 5 1

x x y

x

= +  nghịch biến trên các khoảng nào ? 

A. (-¥ -; 4)và (2;+¥).  B. (-4;2). 

C. (-¥ -; 1) và (- +¥1; ).  D. (- -4; 1) và (-1;2). 

Câu 15 Hỏi hàm số 

3 2

3

x

y= - x + x-  nghịch biến trên khoảng nào? 

A. (5;+¥)  B. ( )2;3   C. (-¥;1)  D. ( )1;5  

Câu 16 Hỏi hàm số 3 5 4 3

5

y= x - x + x -  đồng biến trên khoảng nào? 

A. (-¥;0).  B. .  C. (0; 2).  D. (2;+¥). 

Câu 17 Cho hàm số y=ax3+bx2+cx d+  Hỏi hàm số luôn đồng biến trên khi nào? 

A.  20, 0

a b c

a b ac

é = = >

ê

ê > - £

ë

a b c

a b ac

é = = >

ê

ê > - ³ ë

. 

C.  20, 0

a b c

a b ac

é = = >

ê

ê < - £

ë

a b c

a b ac

é = = = ê

ê < - <

ë

. 

Câu 18 Cho hàm số y=x3+3x2-9x+15. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-3;1).   

B. Hàm số đồng biến trên . 

C. Hàm số đồng biến trên (- -9; 5).   

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (5;+¥). 

Câu 19 Cho hàm số y= 3x2-x3  Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( )0;2  

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥;0 ; 2;3) ( ). 

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-¥;0 ; 2;3) ( ). 

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )2;3  

Câu 20 Cho hàm số  sin2 , [ ]0;

2

x

y= + x xÎ p  Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào? 

12 và 12

p

7 11

;

12 12

C

12 và 12 12

p æ p pö

12 12 và 12

p

Câu 21 Cho hàm số y= +x cos2x. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 

A. Hàm số luôn đồng biến trên . 

B. Hàm số đồng biến trên  ;

4 k

p p

ç + +¥÷

è øvà nghịch biến trên khoảng  ;

4 k

p p

ç-¥ + ÷

C. Hàm số nghịch biến trên  ;

4 k

p p

ç + +¥÷

è øvà đồng biến trên khoảng  ;

4 k

p p

ç-¥ + ÷

D. Hàm số luôn nghịch biến trên . 

Câu 22 Cho các hàm số sau:  

3 2

1

3

y= x -x + x+ ;

1 (II) :

1

x y x

-= +  ; 

2 (III) :y= x +4  

3

(IV) :y=x +4x-sinx;  (V) :y=x4+x2+2 . 

Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định? 

Câu 23 Cho các hàm số sau: 

3 2

(I) :y= -x +3x -3x+1;  (II) :y=sinx-2x; 

3

(IV) :

1

x y x

-=

-  

Hỏi hàm số nào nghịch biến trên toàn trục số? 

A. (I), (II).  B. (I), (II) và (III).  C. (I), (II) và (IV).   D. (II), (III). 

Câu 24 Xét các mệnh đề sau: 

 (I). Hàm số y= -(x-1)3 nghịch biến trên . 

(II). Hàm số  ln( 1)

1

x

y x

x

 đồng biến trên tập xác định của nó. 

(III). Hàm số 

2 1

x y

x

= +  đồng biến trên 

.  Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng? 

Câu 25 Cho hàm số y= x+1(x-2). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 

A. Hàm số nghịch biế 1

; 2

ç +¥÷

è øn trên khoảng 

1 1;

2

ç- ÷÷

è ø. 

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥ -; 1). 

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥ -; 1)và  1

; 2

ç +¥÷

è ø. 

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1

1;

2

ç- ÷÷

è ø và đồng biến trên khoảng . 

Câu 26 Cho hàm số y= + +x 3 2 2-x. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥ -; 2)và đồng biến trên khoảng (-2;2). 

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-¥ -; 2)và nghịch biến trên khoảng (-2;2). 

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-¥;1) và nghịch biến trên khoảng ( )1;2  

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥;1) và đồng biến trên khoảng ( )1;2  

Câu 27 Cho  hàm  số  cos 2 sin 2 tan , ;

2 2

y x x x x æ p p ö

è ø.  Khẳng  định  nào  sau  đây  là  khẳng định đúng? 

A. Hàm số luôn giảm trên  ;

2 2

p p

ç- ÷÷

è ø. 

B. Hàm số luôn tăng trên  ;

2 2

p p

ç- ÷÷

è ø. 

C. Hàm số không đổi trên  ;

2 2

p p

ç- ÷÷

è ø. 

D. Hàm số luôn giảm trên  ;0

2

p

ç- ÷÷

è ø  

Câu 28 Nếu  hàm  số  y= f x( )  liên  tục  và  đồng  biến  trên  khoảng  (-1;2)  thì  hàm  số 

( 2)

y= f x+  luôn đồng biến trên khoảng nào? 

A. (-1; 2).   B. ( )1;4    C. (-3;0).   D. (-2;4). 

Câu 29 Nếu  hàm  số  y= f x( )  liên  tục  và  đồng  biến  trên  khoảng  ( )0;2   thì  hàm  số 

( )2

y= f x  luôn đồng biến trên khoảng nào? 

A. ( )0;2    B. ( )0;4    C. ( )0;1    D. (-2;0). 

Câu 30 Hàm số 

3 2 3

x

y= -x +x đồng biến trên khoảng nào? 

A. .   B. (-¥;1).   C. (1;+¥).   D. (-¥;1) và (1;+¥). 

D ĐÁP ÁN  

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20 

D  B  C  D  D  B  C  A  D  A  D  B  C  D  D  B  A  B  B  A 

21  22  23  24  25  26  27  28  29  30 

A  C  A  A  B  C  C  C  C  A