Chứng tỏ rằng với giá trị của các biến làm 2 trong 4 đơn thức trên có giá trị khác dấu thì 2 đơn thức còn lại cũng có giá trị khác dấu.. Trên tia đối của các tia BA và CA lấy lần lượt cá
Trang 1Phòng GD&ĐT Tiên Lãng Đề thi học sinh giỏi
Môn toán Lớp 7
Năm học 2008 - 2009
Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (2 điểm)
a/ Tìm x biết: 1 1 7
4,7
6 x − 9 x + 15 x =
b/ Tính nhanh: 2 1: 5 1:
9 14 9 7+
Bài 2 (2 điểm)
a/ Tìm x,y, z biết: x = 4y = 9
125
z− và x + y + z = 2029.
b/ Cho các đơn thức M = xy2z3; N = yz2t3; P = zt2x3; Q = tx2y3 Chứng tỏ rằng với giá trị của các biến làm 2 trong 4 đơn thức trên có giá trị khác dấu thì 2 đơn thức còn lại cũng có giá trị khác dấu
Bài 3 (2 điểm)
a/ Tìm số nguyên n để biểu thức P = 2
7
n n
+
− có giá trị lớn nhất
b/ Chứng tỏ rằng: 13 13 13 1 3 1
3 + 5 + 7 + + 2009 < 12
Bài 4 (4 điểm)
Cho tam giác đều ABC Trên tia đối của các tia BA và CA lấy lần lượt các điểm
M và N sao cho BM = CN Gọi I là giao điểm của MC và BN
a/ Chứng minh rằng: MI = NI
b/ Tia phân giác của ·AMC cắt AI và AN thứ tự tại O và K
Chứng minh rằng MO >
2
MC
c/ BO cắt AN tại Q Chứng minh rằng ∆OKQ cân
================Hết================
Trang 2Phòng GD&ĐT Tiên Lãng Hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi
Môn toán Lớp 7 Năm học 2008 - 2009
1
(2đ) a 1 1 7
4,7
6 9 15 x
⇔ 47 47:
10 90
b =2 1 5 1
: :
=2.14 5.7
=4.7 5.7
= 4 5 .7
9 9
2
(2đ) a Từ giả thiết suy ra 9
4 500
x = =y z−
0.25 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 9 9
4 500 4 1 500
x = =y z− = x y z+ + −
=2029 9
505
−
= 2020
b M.N.P.Q = xy2z3.yz2t3 zt2x3 tx2y3= x6y6z6t6 ≥0 với mọi x,y,z,t 0.25 Giả sử tại giá trị nào đó của các biến làm cho 2 trong 4 đơn thức trên có
giá trị khác dấu, không mất tính tổng quát giả sử đó là các đơn thức M và
⇒PQ < 0 hay P và Q có giá trị khác dấu
Vậy với giá trị của các biến làm 2 trong 4 đơn thức trên có giá trị khác
dấu thì 2 đơn thức còn lại cũng có giá trị khác dấu 0.25
3
(2đ) a P = 1+ 9
7
Khi n < 7 thì P < 1; n = 7 thì P không xác định; n > 7 thì P >1 do đó để
tìm giá trị lớn nhất của P ta chỉ xét trờng hợp n >7 0.25 Khi n > 7, P có giá trị lớn nhất ⇔ 9
7
n− có giá trị lớn nhất ⇔ n - 7 có giá trị nhỏ nhất ⇔n nhỏ nhất
0.25
Trang 3n là số nguyên lớn hơn 7 nên n = 8.
Vậy với số nguyên n = 8 thì P có giá trị lớn nhất 0.25
b
Chứng minh đợc với mọi số nguyên n >2 ta luôn có 3 ( ) ( )
1 1
n < n n n
Từ đó suy ra 13 13 13 1 3
3 + 5 + 7 + + 2009 < 1 1 1
2.3.4 3.4.5 + + + 2008.2009.2010 0.25
2 2.3 3.4 3.4 4.5 2008.2009 2009.2010
2 2.3 2009.2010
<1 1.
2 6 = 1
12 Vậy 13 13 13 1 3 1
3 + 5 + 7 + + 2009 < 12 0.25
4
(4đ) a C/m đợc ∆AMC =∆ ANB 0.5
Suy ra ∆MBI = ∆NCI (gcg)
do đó MI = NI 0.5
b C/m đợc ∆AMI =∆ANI 0.25 ⇒ AI là phân giác của ãMAC
⇒CO là phân giác của ãACM 0.25
Dễ thấy ãACM AMC>ã
⇒OCM OMCã > ã ⇒ MO > OC 0.25
Mà MO + OC > CM
Nên 2.MO > MC
⇒ MO >
2
c Gọi giao điểm của CO với AM là P.Chứng minh đợc ∆ABO = ∆ACO 0.25
⇒ ãAQB OKQ= ã hay KQO OKQã = ã
L
u ý:
- Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Nếu học sinh không vẽ hình thì chấm một nửa số điểm của phần làm bài hình, học sinh
vẽ hình sai thì không chấm điểm bài hình.
- Bài làm không chặt chẽ, không đủ cơ sở ở phần nào thì trừ một nửa số điểm ở phần đó.
- Tuỳ theo bài làm của học sinh giám khảo có thể chia nhỏ mỗi ý của biểu điểm.
Q P
O
K
I M
A
N
Trang 4================HÕt================