GD- ĐT VŨNG LIÊM ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI VÒNG TRƯỜNGTR.. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BE và CF.. a Chứng minh rằng tứ giác DIAK là hình bình hành.. Từ C vẽ đường vuông góc với đường t
Trang 1P GD- ĐT VŨNG LIÊM ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI VÒNG TRƯỜNG
TR NGUYỄN THỊ THU Môn TOÁN Lớp 9 ( Năm học : 2008 – 2009)
Thời gian làm bài : 120 phút
-A SỐ HỌC : (2 điểm)
1) Chứng minh rằng : 4n2+28n chia hết cho 8 với n là số nguyên
2) Tìm số tự nhiên n để n2+2n+6 chia hết cho n+4
B ĐẠI SỐ : (4 điểm)
Bài 1: (2 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình (ẩn số x) sau:
1
4 1
4
= +
+ +
−
−
x
x x
x
b) 10+ 24+ 40+ 60 =2008 2( x− +1) 2+ 3+ 5
x
x
Bài 2 : ( 2 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A x= 2− −3x 5
b) Biết a + b + c = 0 và abc ≠ 0 Hãy chứng minh rằng :
0 1
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
− +
+
− +
+
−
b
c) Rút gọn : C a a a a a a a a a a 1
1
2 1
2
−
−
− + +
+
C HÌNH HỌC: (4 điểm)
Bài 1 : (2 điểm)
Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Từ điểm D trên BC ( D khác điểm B và C) vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB, AC ở E và F Gọi I, K lần lượt là trung điểm của
BE và CF
a) Chứng minh rằng tứ giác DIAK là hình bình hành
b) Với điều kiện nào của tam giác ABC và điểm D thì DIAK là hình chữ nhật, hình thoi ?
Bài 2 : (2 điểm)
Gọi AC là đường chéo của hình bình hành ABCD (Â < 1v) Từ C vẽ đường vuông góc với đường thẳng AB tại E và vuông góc với đường thẳng AD tại F
Chứng minh : AB.AE + AD.AF = AC2
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM:
Số
học
1 Ta có:
2
4 1 24
Vì 4 (n n+1) 8M nên 4n2 + 28nM 8với n N∈
1,0
2 Ta có: n2+2n+ = −6 (n 2) (n+ +4) 14
4 1; 2;7;14 3; 10
n
⇔ + ∈
1,0
Đại
số
1.a) ĐKXĐ: x≠ ± 1
PT suy ra:
( 4) ( 1) ( 4) ( 1) 2( 2 1)
0 6
x
Vậy PT đã cho vô nghiệm
0,25 0,25 1.b)
2
2 3 5 2008 2 1 2 3 5
2008 2 1 0
1
2
x x x x
x
0,25
0,25 0,25 1.c) Bất phương trình trở thành: (x 2) (2x 3) 0 (x 2) (x 3) 0
Lập bảng xét dấu:
x 2 3 (x – 2)(x – 3) < 0 + 0 – 0 +
Vậy : 2 < x < 3
0,25
0,25 0,25 2.a) Ta có:
2
Khi đó: min 29 3
A= − ⇔ =x
0,25 0,25 2.b) Từ a b c+ + = ⇒ + = − 0 b c a
( ) ( )2 2
⇒b2+ −c2 a2 = −2bc
Tương tự, ta có: c2+ − = −a2 b2 2ca và a2+ − = −b2 c2 2ab
Khi đó:
0
a b c
+ +
0,25 0,25 0,25
Trang 3Câu Nội Dung Điểm
Đại
số
C
a
2
a C
a
C=2
0,25
0,25 0,25
Hình
học
1.a) Chứng minh: DIAK là hình bình hành
- C.minh được : AI // DK
- C.minh được : AK // DI Suy ra: DIAK là hình bình hành 1.b)
- Hình bình hành DIAK là hình chữ nhật
· 900
- Hình bình hành DIAK là hình thoi
D
⇔ là trung điểm của BC
0,5 0,5
0,5 0,25 0,25
2 Chứng minh: AB.AE + AD.AF =
AC 2
- Kẻ BH ⊥ AC (H∈AC)
- Chứng minh được: ∆ABH : ∆ACE
(gĩc nhọn) AB AH
⇒ AB AE =AC AH (1)
- Chứng minh được: ∆BCH : ∆CAF
(gĩc nhọn) BC CH
⇒BC AF = AC CH (2)
- Mà : BC = AD (2 cạnh đối hbh) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra:
AB.AE + AD.AF = AC2
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
* Lời giải khác, nếu đúng cho điểm tương đương.
K I
E
F
A
D
H
F
E
A
D
Trang 4P GD- ĐT VŨNG LIÊM ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI VÒNG TRƯỜNG
TR THCS HIẾU PHỤNG Môn TOÁN Lớp 9 ( Năm học : 2008 – 2009)
Thời gian làm bài : 120 phút
-A SỐ HỌC : (2 điểm)
Chứng minh:
a) 25n 3+ +5 3n n 2+ chia hết cho 17 với n là số tự nhiên
b) 3n4−14n3+21n2−10n chia hết cho 24 với n là số nguyên
B ĐẠI SỐ : (4 điểm)
Bài 1: (2 điểm)
Cho bốn số dương x1, x2, x3, x4
a) Chứng minh rằng: (1 x+ 1) (1 x+ 2) (1 x+ 3) (1 x+ 4) ≥16 x x x x1 2 3 4
b) Từ bất đẳng thức trên hãy suy ra nghiệm nguyên dương của phương trình
(1 x+ 1) (1 x+ 2) (1 x+ 3) (1 x+ 4)=16 x x x x1 2 3 4
Bài 2 : ( 2 điểm)
1) Phân tích đa thức x 5 x 6− + thành nhân tử
2) Cho biểu thức: A 2 x 9 x 3 2 x 1
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A > 1
C HÌNH HỌC: (4 điểm)
Bài 1 : (1 điểm)
Chứng minh rằng trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình có diện tích lớn nhất là hình vuông
Bài 2 : (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH và trung tuyến AM Đường phân giác trong của góc A cắt đường trung trực của BC tại D Từ D kẻ DE vuông góc với BA tại E và DF vuông góc với AC tại F Chứng minh:
a) AD là phân giác của HAM
b) Ba điểm E, M, F thẳng hàng
c) Tam giác BDC vuông cân
