Đại số tổ hợp

Hỏi có bao nhiêu cách trao 3 loại huy chương vàng , bạc , đồng cho 3 đội nhất , nhì , ba biết rằng mỗi đội chỉ có thể nhận nhiều nhất là một huy chương và đội nào cũng có thể đạt huy c

Kính chào !

TIẾT 75 – 76

1) Quy tắc cộng và quy tắc nhân :

a) Quy tắc cộng :

Nếu có m 1 cách chọn đối tượng x 1 ; m 2 cách chọn đối tượng x 2 ; … m n cách chọn đối tượng x n và nếu cách

chọn đối tượng x i không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng x j nào thì có m 1 + m 2 + … + m n cách chọn một

trong các đối tượng đã cho

* Ví dụ :

Từ các chữ số 1; 2 ; 3 có thể lập được bao nhiêu số

khác nhau có những chữ số khác nhau ?

Giải :

Từ 1 ; 2 ; 3 có thể lập được 3 số có 1 chữ so á⇒ 3 cách Từ 1 ; 2 ; 3 có thể lập được 6 số có 2 chữ số khác nhau ⇒ 6 cách

Từ 1 ; 2 ; 3 có thể lập được 6 số có 3 chữ số khác nhau ⇒ 6 cách

Vậy có tất cả : 3 + 6 + 6 = 15 cách chọn ⇒ 15 số

b) Quy tắc nhân :

Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp ; Ùbước 1 có m 1 cách ; bước 2 có m 2 cách ; … bước n có m n

cách , thì phép chọn đó được thực hiện theo m 1 m 2 …m n

cách khác nhau

* Ví dụ : Có 18 đội bóng đá tham gia thi đấu Hỏi có

bao nhiêu cách trao 3 loại huy chương vàng , bạc , đồng

cho 3 đội nhất , nhì , ba biết rằng mỗi đội chỉ có thể nhận nhiều nhất là một huy chương và đội nào cũng có thể đạt

huy chương.

Giải : Mỗi đội đều có thể nhận huy chương ⇒ có 18

cách trao huy chương vàng Sau đó thì mỗi đội trong 17

đội còn lại nhận huy chương bạc ⇒ có 17 cách trao huy

chương bạc Sau đó thì mỗi đội trong 16 đội còn lại có thể

Vậy có : 18 17 16 = 4896 cách trao giải.

abc ; acb ; bac ; bca ; cab ; cba

2) Số hoán vị của n phần tử :

3 Chỉnh hợp :

a) Định nghĩa :

Cho tập A , gồm n phần tử ( n ≥ 1) Mỗi bộ gồm k

(0 ≤ k ≤ n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi

là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.

Tương tự với các chữ số : 3 ; 5 ; 7 ; 9 :

b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử :

* Ví dụ 1: Tính chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử : a ; b ; c

Giải :

k n

A

* Định lý : = n (n – 1) (n – 2) … (n – k + 1)

Cm s.g.k

2 3

A

* Ví dụ 2 : Tính chỉnh hợp chập 3 của 5 số :1,2,3,4,5

3 5

A = 5 (5 – 1) (5 – 2) (5 – 3 + 1) = 5.4.3 = 60

= 3 (3 – 2 + 1) = 3.2 = 6

• * Ví dụ 3 : Có bao nhiêu cách chọn và sắp xếp thứ tự 5

• cầu thủ để đá bóng luân lưu 11 m , biết rằng cả 11 cầu

• thủ (cả gôn) đều có khả năng như nhau

Giải :

5 11

A

Mỗi cách chọn và sắp thứ tự là 1 chỉnh hợp chập

5 của 11 phần tử , do đó số khả năng chọn là :

= 11 (10).(9).(8).(7) = = 55440

• * Chú ý : * Biểu thức tính chỉnh hợp :

k n

4 Tổ hợp :

a) Định nghĩa :

Cho tập A , gồm n phần tử ( n ≥ 1) Mỗi tập con gồm k (0 ≤ k ≤ n) phần tử của tập hợp A được gọi là 1 tổ hợp

chập k của n phần tử dã cho

b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử :

Có 6 thầy giáo tham gia hỏi thi Mỗi phòng cần 2 giám

khảo Hỏi có bao nhiêu cách ghép 6 thành đôi để hỏi thi

2 6

C = 2 ! ( 6 6 − ! 2 ) ! ( ) ( 1 2 1 2 3 4 )

6 5 4 3 2

1

6

5

=

=

! 2

19

=

=

•Ví dụ 2 :

• Có bao nhiêu đường chéo trong 1 hình thập giác lồi

Một thập giác lồi có 10 đỉnh Qua mỗi cặp đỉnh có 1

đường thẳng duy nhất ; mỗi cặp điểm là 1 đường thẳng là đường chéo hoặc 1 cạnh

Số đường chéo là : C102 − 10 10

! ) 8 (

! 2

!

10

−

c) Các hệ thức giữa các số C n k :

k nC

nC

=

k 1 n

1

k 1

3) Củng cố và dặn dò :

Làm các bài tập 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17 trang 168

Kính chào !

TIẾT 77 – 78

1) Bài 1 trang 168 :

Từ các chữ số 1,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên có 4 chữ số

Số được lập có dạng : abcd

⇒ a,b,c,d được chọn : 4 trường hợp trong các số 1,5,6,7

⇒ Vậy có : 4 4 = 256 số phải tìm

3) Bài 3 trang 168 :

⇒ c được chọn {2 , 4, 6, 0} : có 4 cách

a được chọn N\{0} : có 6 cách

b được chọn trong N : có 7 cách

⇒ Tổng số được lập : 4.6.7 = 168 số chẵn

Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số mà cả 2 chữ số đều chẵn

N = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ; Số phải tìm có dạng : ab

( trong dó a , b đều là chữ số chẵn )

a được chọn : {2,4,6,8} có 4 cách chọn

b được chọn : {1,2,4,6,8} có 5 cách chọn

⇒ Vậy số có 2 chữ số chẵn là : 4.5 = 20 số

4) Bài 4 trang 168 :

Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau

abcde

a = e ≠ 0 có 9 cách chọn đồng thời 2 chữ số

Số phải lập có dạng : trong đó :

b = d có10 cách chọn cùng 2 chữ số

c có10 cách chọn bất cứ số nào } ⇒ có 9.10.10 = 900

5) Bài 5 trang 168 :

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5

Số lập có dạng : abcdef

trong đó f chọn : { 0 ; 5} có 2 cách

⇒ Tổng số phải tìm là : 2.9.10.10.10.10 = 180 000 số

a ≠ 0 có 9 cách chọn ; b,c,d,e : mỗi chữ có 10 cách chọn

các bài hát là như nhau

Chọn kịch , múa , hát mỗi kiểu 1 tiết mục

⇒ 2 vở kịch có 2 cách chọn ;

⇒ 3 điệu múa có 3 cách chọn ;

⇒ 6 bài hát có 6 cách chọn ⇒ Vậy có : 2.3.6 = 36 cách chọn.

7) Bài 7 trang 168 :

Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường Từ

thành phố A đến thành phố C có 2 con đường Từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường , Từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường Không có con đường nào nối từ thành phố B với thành phố C

Hỏi có bao nhiêu con đường từ A đến D.

Từ A đến D qua B có 3.2 = 6 đường A

B

Từ A đến D qua C có 2.3 = 6 đường

Vậy từ A đến D có tất cả :

6 + 6 = 12 con đường

8) Bài 8 trang 169 :

Tính các số : P4 ; P6 ; P7 : A73

P 4 = 4! = 1.2.3.4 = 24 ; P 6 = 6 ! = 1.2.3.4.5.6 = 720

3 7

4 5

4 6 A

! 4

! 1

!

5

! 2

! 6

+

=

4 3 2

5 4 3 2 6

5 4

7 10

13 15

! 7

!

10

3

! 2

! 13

!

15

! 2

! 23

! 25

−

−

=

165 3

2

10 9

8

3 2

15

14 2

25

10) Bài 10 trang 168 :

1 1

m

1 m

m

= +

m

( ) 6

11

11

1

=+

−+

=

m m

m

06

3

−

* x = 3 ⇒ 18 = 6 (L) * Vậy nghiệm : x = 1 ; x = 2

C

1 1

1 2

k n

k

C

1 1 1

a) 1 người nhận được 1 đồ vật , còn 2 người kia mỗi người nhận

được 2 đồ vật

b) mỗi người nhận được ít nhất 1 đồ vật

Có 5 đồ vật ; gọi 3 người thứ tự là : A , B , C

Giải :

a) A nhận 1 đồ vật trong 5 đồ ⇒ có C 5 1 cách

B nhận được 2 đồ vật trong 4 đồ còn lại ⇒ có C 4 2 cách

C nhận được 2 đồ vật trong 3 đồ còn lại ⇒ có C 3 2 cách

Vậy có : C 5 1 C 4 2 C 3 2 = 30 cách

Mà B,C có thể nhận thay như A ⇒ có tất cả: 30 +30 +30 = 90 cách

b) Có các trường hợp xảy ra :

A nhận 1 đồ vật ; B nhận 2 đồ ; C nhận 2 đồ ⇒ có C 5 1 C 4 2 C 3 2 = 30 và A,B,C luân phiên cho nhau ⇒ có 3.30 = 90 cách

A nhận 1 đồ ; B nhận 3 đồ , C nhận 1 đồ ⇒ có C 5 1 C 4 3 C 3 1 = 20 cách và A,B,C luân phiên nhau ⇒ có 3.20 = 60 cách

Vậy tổng số cách là : 90 + 60 = 150 cách

Củng cố và dặn dò :

Làm các bài tập còn lại s.g.k.trang 168 ; 169

Kính chào !

Kính chào !

TIẾT 79 – 80

1) Công thức nhị thức Nưutơn :

(a + b) n = C n 0 a n + C n 1 a n-1 b + C n 2 a n-2 b 2 + + …

+ C n k a n - k b k + … + C n n b n

n

k n

n

b a

C b

a

0

.

2 Các tính chất của công thức nhị thức Nưutơn :

1) Số các số hạng của công thức bằng n + 1

2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng

số mũ của nhị thức : (n – k) + k = n

3) Số hạng tổng quát có dạng : Tk+1 = Cn k an−k bk

4) Các hệ số nhị thức cách đều 2 số hạng đầu và cuối

n n

+

3 2 1

1

2 1

3 Tam giác Pascan : ( Pascal )

( Có thể sắp xếp các hệ số của (a + b) n thành 1 tam giác )

n = 0 các hệ số là :

=

+ = + = + = + = + = + = + = + = + = + =

1 6

+ =

15

+ = 20

+ = 15

+ = 35

3 5

3

2 5

2

1 5

Củng cố và dặn dò :

Làm các bài tập 1,2,3,4 s.g.k.trang 173

Kính chào !

TIẾT 82 – 83

1) Vấn đề tổ hợp

2) Vận dụng công thức nhị thức Nưutơn

3) Giải các bài tập

1 Giản ước biểu thức

8 17

9 17

10 17 10

49

11 49

12 49

A

A

A A

A

! 9

! 17

! 39

! 49

!

9

! 7

!

9

! 38

!

39

! 37

! 39

14409

9.839

39

=

2) Giải bất phương trình : (n∈N*)

( )! (n 1)!

15 2

n n

0

12 8

n k

9

2 + − =

⇔ n n ⇔ n = −20 ( )L ; n 11= ( )N

4) Chứng minh : ( ) ( ) p

1 n

p

p n

p

3 n

2 n

1

n C C 1 C 1 C C

5) Tìm các số âm của dãy : {x n } = *

4

143 P

A

n 2

n

4 4

xn =

( ) ( ) 4 !

143

! 2

!

! 4

n n

n

n

− +

+

( )( )

! 4

n n

95 28

Cứ qua 2 điểm cho ta 1 đường (cả đường chéo và các cạnh)

⇒ Cn2 = n (n − 1) / 2 đường

Đa giác có n cạnh ⇒ có n cạnh Vậy số đường chéo là : Cn 2 − n = n (n − 3) / 2

Cứ 3 đỉnh trên 3 cạnh cho 1 tam giác

⇒ AB có n điểm ⇒ có n cách lấy ;

⇒ BC có m điểm ⇒ có m cách lấy ;

⇒ CA có k điểm ⇒ có k cách lấy

⇒ Vậy tổng số cách lấy là : m.n.k tam giác

Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy n điểm , trên cạnh

BC lấy m điểm và trên cạnh CA lấy k điểm Hỏi có bao nhiêu tam giác với đỉnh là các điểm đó

cách phân công 3 đoàn viên phụ trách 3 nhóm thiếu nhi

Là 1 chỉnh hợp chập 3 của 50

⇒ A503 = 48.49.50 = 117 600 cách

a) 3 con ngựa về nhất , nhì , ba là 1 chỉnh hợp chập 3 của 12

⇒ A123 = 1320 khả năng

Trong một cuộc đua ngựa có 12 con ngựa cùng xuất phát

Hỏi có bao nhiêu khả năng xếp loại :

a) 3 con ngựa về nhất , nhì , ba ?

b) 3 con ngựa về đích đầu tiên

b) 3 con ngựa về đích đầu tiên là 1 tổ hợp chập 3 của 12

⇒ C123 = 220 khả năng

Hệ số các số hạng thứ 3

n

2 2

n

2 n

1 n

1 n

n

0 n

n

x

1 C

x

1 x

.

C x

1 x

C x

.

C x

⇒ hệ số số hạng thứ 3 và thứ 1 theo bài ra có : Cn2 − Cn1 = 35 ⇔ n 2 − 3n − 70 = 0 ⇔ n = 10 ; n = − 7 (L)

Với n = 10 Tính số hạng không chứa x

Số hạng tổng quát : 10p 10 p p C10p x10 2p

x

1

x

Để số đó không chứa x ⇔ 10 − 2p = 0 ⇔ p = 5 ⇒ C105 = 252

Củng cố và dặn dò :

Làm các bài tập còn lại s.g.k.trang 173 - 175