Đề kiểm tra đội tuyển IMO

Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO Đề kiểm tra đội tuyển IMO

Đề kiểm tra đội tuyển IMO

Nguyễn Văn Linh Tháng 4/2014

Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với trực tâm H Đường thẳng qua A vuông góc với OH cắt BC tại D Gọi E, Eb, Ec lần lượt là tâm đường tròn Euler của các tam giác ABC, ABD, ACD Chứng minh rằng E, Eb, Ec, H cùng thuộc một đường tròn

T S

H b

H c

M a

M b

M c

M E

H a

E c

E b

D

H

O A

Chứng minh Gọi Ma, Mb, Mc lần lượt là trung điểm BC, CA, AB; Ha, Hb, Hc là chân các đường cao của tam giác ABC AD giao MbMc tại S, T là trung điểm AHa

Qua E kẻ đường song song với AD cắt BC tại M Từ M kẻ M Eb0 ⊥ BHb, M Ec0 ⊥ BHc Ta sẽ chứng minh Eb0 ≡ Eb, Ec0 ≡ Ec

Do Eb0, E, Ha cùng nằm trên đường tròn đường kính HM nên ∠Eb0EHa= ∠Eb0HHa= ∠McT Ha= 1

2∠McEHa

Do đó EEb0 là phân giác ∠McEHa Mà EMc= EHanên Eb0Mc= Eb0Ha

Ta có ∠McEb0Ha= 360◦− 2∠EEb0Ha= 2∠EM Ha= 2∠EOMa

Do AD ⊥ EO, MbMc⊥ OMa nên ∠EOMa= ∠ASMc, suy ra ∠McEb0Ha= 2∠ASMc= 2∠McSD Điều này nghĩa là Eb0 là tâm của đường tròn Euler của tam giác ADB hay Eb0 ≡ Eb

Chứng minh tương tự, Ec0 ≡ Ec Từ đó H, E, Eb, Eccùng nằm trên đường tròn đường kính M H

1